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五[1]2010年高考数学压轴题跟踪演练系列五[1]

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列五

1．（本小题满分14分）

已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，

满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a

a P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；

（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2

的正切值；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x

由P ),(y x 在椭圆上，得

)()()(||22

222

1x a

a x

a b b c x y c x P F +=-++=++=

由0,>+-≥+

≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a

a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==

则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=

由.||,4,2112

22121x a c

a r P F cx r r a r r +

===-=+得证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a

由椭圆第二定义得a c c

x P F =+|

|||21，即.||||||2

1x a c a c a x a c P F +=+=

由0,>+-≥+

-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a

a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x

当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==

||2

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥.

又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',），则???

???

?'=+'=.2,2y y c x x

因此???='-='.

2y y c x x ①

由a Q F 2||1=得.4)(2

a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分

（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤

所以，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，

由2222

022021b c a y c x MF MF =-=+-=?，

212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠?=?，

22121sin ||||2

b MF F MF MF S =∠?=

，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2

b 的充要条件是

③ ④

?????=?=+.||22

022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242

20≥+-=-=c b a c b a c

b a x 于是，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；

当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当c b a 2

≥时，记c

x y k k c x y k k M F M F -==+==0020012

1,，

由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2

1212

1=+-=∠k k k k MF F …………14分

2．（本小题满分12分）

函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设

m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=

（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；

（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[2

132

+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，

求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.

本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；

当0)(,0<'

最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分

（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12

2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(22

1b a -≤

③ ④

另一方面，由于32

3)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，

23x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线32

3x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)

2(2

1b x b y +=-