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2018年高考数学压轴题

2018年高考数学30道压轴题训练(教师版)

1．椭圆的中心是原点O

，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x

轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程；

1．（1

）解：由题意，可设椭圆的方程为(22

212x y a a +=。

由已知得,

().

222

22a c a c c c ?-=?

?=-??

解得2a c == 所以椭圆的方程为22162

x y +=

，离心率e =

。（2）解：由（1）可得A （3，0）。

设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22

162

3x y y k x ?+

=???=-?

得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ?=->

，得k <。设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122

276

k x x k -=+。 ② 由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是

()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。 ③

∵0OP OQ ?=，∴12120x x y y +=。 ④ 由①②③④得251k =

，从而(k =。所以直线PQ

的方程为30x -=

或30x +-=

2．已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，

|1|)(-=x x f 。

（1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。（2）证明)(x f 是偶函数。（3）试问方程01

log )(4

=+x

x f 是否有实数根若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

2．①f(x)=12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3．如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2

2=-+y x 。

（1）若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过点F 的直线g （3）过轨迹E 上一点P 求点P 的坐标及S 的最小值。

3．①x 2

=4y ②x 1x 2=-4 =7

4．以椭圆2

22y a

x +＝1（a 试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

4．解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）

设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0）

-2

-4

-15

-10

-5

x C

则AB ∶y ＝－

x ＋1 把BC 方程代入椭圆，是（1＋a 2k 2

）x 2

＋2a 2

kx ＝0

∴|BC |＝2222

121k a k a k ++，同理|AB |＝2

222

21a

k a k ++ 由|AB |＝|BC |，得

k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0

（k －1）［k 2

＋（1－a 2

）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2

＋（1－a 2

）k ＋1＝0

当k 2

＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2

－1）2

－4

由Δ＜0，得1＜a ＜3

由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解由Δ＞0即a ＞3时有三解

5．已知，二次函数f （x ）＝ax 2

＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.

（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；

（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 5．解：依题意，知a 、b ≠0

∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0

∴a ＞0且c ＜0

（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ），

得ax 2

＋2bx ＋c ＝0.（*）

Δ＝4（b 2－ac ）

∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0

∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点（Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标则|A 1B 1|2

＝|x 1－x 2|2

，由方程（*），知

|A 1B 1|2

＝2

2224)(444a ac

c a a ac b -+=-

4()a c ac a =

++ 24()1(**)c

c a

a ??=++????

∵0

20a b c a c a b

++=??+>?

>?，而a ＞0，∴

>- ∵020a b c a c c b

++=??+

c a <- ∴122c a -<

<- ∴4［（a c ）2＋a

c ＋1］∈（3，12）

∴|A 1B 1|∈（3，23）

6．已知过函数f （x ）=12

3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。（1）求a 、b 的值；

（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3）令()()132

++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）

有最大值1

6、解：（1）()x f

=ax x 232+

依题意得k=()1'

f =3+2a=－3， ∴a=－3

()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f

∴a=－3，b=－1 （2）令()x f

=3x 2

－6x=0得x=0或x=2

∵f （0）=1，f （2）=23

－3×22

＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17 ∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17

要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。

（1）已知g （x ）=－(

)

tx x tx x x x +-=++-+-3

31313 ∴()t x x g +-=2

∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2

＜0，

① 当t ＞3时，t －3x 2

＞0，()0'

>x g 即

∴g （x ）在]1.0(上为增函数，

g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2

令()x g '

=0,得x=

列表如下:

g （x ）在x=3t 处取最大值－3

3???

? ??t ＋t 3t

=1 ∴t=3427=2

233

＜3t 3

∴x=

t ＜1 ③当t ＜0时，()t x x g +-=2

3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数， ∴g （x ）在]1.0(上为增函数，

∴存在一个a=2

33，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。

7．已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱︱是2和→

→?PN PM

的等比中项。

（1）求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；

（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的

方程。

7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH -=→

,→

PM =（－2－x,－y ）

→

PN =（2－x,－y ）

∴→

PM ·→

PN =（－2－x,－y ）·（2－x,－y ）=2

4y x +-

x PH =→

由题意得∣PH ∣2=2·→PM ·→

PN 即(

42y

x x +-=

即14

2=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆（2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”），此时，实轴长2a 最大为10

所以，双曲线C 的实半轴长a=2

又2

3,221222=-=∴==

a c

b NM

c ∴双曲线C 的方程式为12

3252

2=-y x 8．已知数列{a n }满足a

a a

a b a a a a a a a n n n n n n +-=

+=>=+设,2),0(322

11 （1）求数列{b n }的通项公式；

（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与8

的大小，并证明你的结论. 8.（1）1

21-=

n n b

（2）08

11161

81)21212121161(81)212121(872441684=--=-+?+?+<-++++=- n

9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；

（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引

21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．

9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0

∵该直线与圆1)2(22

+y x 相切，

∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．…………………………………………2分

故设双曲线C 的方程为122

22=-a

y a x ．

又双曲线C 的一个焦点为 )0,2( ∴222=a ，12

=a ．

∴双曲线C 的方程为12

=-y x ．………………………………………………4分

（Ⅱ）由???=-+=1

2y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(2

---=mx x m x f

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．

因此?????????

>--<->?012

01202

m m m 解得21<

,1(

m m --， ∴直线l 的方程为)2(2

+++-=

x m m y ．………………………………6分

令x=0，得8

17)41(22

22222+

--=++-=

m m m b ． ∵)2,1(∈m ， ∴)1,22(8

(22

+-∈+

--m ∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．………………………………………………8分（Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =，若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =．

根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是

)0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分

由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．

则???

????=-=222T

T y y x x ，即???=+=y y x x T T 222．

代入①并整理得点N 的轨迹方程为12

2=+y x ．)2

≠x ………………12分 10．)(x f 对任意R x ∈都有.2

1)1()(=

-+x f x f （Ⅰ）求)21(f 和)( )1

(

)1(N n n

n f n f ?-+的值．（Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1

()2()1(f n

n f n

f n

f +-+++ ，数列}{n a 是等差数列吗请给予证明；试比较n T 与n S 的大小．

10 解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21

+=-+f f f f ．所以4

)21(=f ．……2分令n x 1=

，得21)11()1(=-+n f n f ，即2

)1()1(=-+n n f n f ．……………4分（Ⅱ）)1()1

()1

()0(f n

n f n

f f a n +-+++= 又)0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+= ………………5分两式相加

)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=

+++-+++=n f f n n f n f f f a n ．所以N n n a n ∈+=

，………………7分又4

414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分（Ⅲ）n

a b n n 4

=-=

2221n n b b b T +++=

31211(16222n ++++

= ])1(1

3212111[16-++?+?+≤n n ………………10分

)]1

11()3121()211(1[16n

n --++-+-+= ………………12分

n S n

n =-=-=16

32)12(16

所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分

11．如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2

＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →＝0，求以OA 、OB

为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.

11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0 则OA 的方程为y ＝kx

由???y ＝kx y 2＝2px

解得A (2p k 2，2p k )

……4分

又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1

由?????y ＝－1k x

y 2＝2px

解得B (2pk 2，－2pk ) ……4分

从而OA 的中点为A '(p

k 2，p k

)，OB 的中点为B '(pk 2

，－pk ) ……6分

所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为

x 2＋y 2－

2px k 2－

2py

＝0 ……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……②

……10分

∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0 由①－②并化简得y ＝(k －1

)x ……③

将③代入①，并化简得x (k 2

＋1k

2－1)＝2p ……④

由③④消去k ，有x 2＋y 2

－2px ＝0

∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点). ……13分

12.知函数f (x )＝log 3(x 2

－2mx ＋2m 2

＋9

m 2

－3

)的定义域为R (1)求实数m 的取值集合M ；

(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值. 12．(1)由题意，有x 2

－2mx ＋2m 2

＋9

m 2

－3

＞0对任意的x ∈R 恒成立所以△＝4m 2

－4(2m 2

＋

m 2

－3

)＜0

即－m 2

－

m 2

－3

＜0 ∴(m 2

－32

)2＋27

m 2－3

＞0

由于分子恒大于0，只需m 2

－3＞0即可所以m ＜－3或m ＞ 3 ∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3} ……4分

(2)x 2

－2mx ＋2m 2

＋

9m 2

－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2

＋9m 2－3

当且仅当x ＝m 时等号成立.

所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2

＋9

m 2

－3

……7分

又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2

＋

9m 2

－3

) ∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2

＋9m 2－3

) ……10分

又当m ∈M 时，m 2

－3＞0 ∴m 2

＋

9m 2

－3＝m 2

－3＋9m 2－3

＋3≥2(m 2

－3)·

m 2

－3

＋3＝9 当且仅当m 2

－3＝

m 2

－3

，即m ＝±6时， log 3(m 2＋9

m 2－3)有最小值log 3(6＋9

6－3

)＝log 39＝2

∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2.

13.设关于x 的方程2x 2

-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=.1

+-x t

x (1) ．求f()()βαf 和的值。

（2）．证明：f(x)在[],βα上是增函数。（3）．对任意正数x 1、x 2,求证：βαα

ββα-<++-++2)()(

1212121x x x x f x x x x f

13．解析：（1）．由根与系数的关系得，.1,2

-==+αββαt

).16(2

1682)(2414)(222

2++-=+-==-+-=+-=

∴t t t t t f ααβαβααααα 同法得f().16(2

)2t t -+=

β (2).证明： f /

(x)=,)

1()

22(2)1(2)4()1(42

22222+---=+--+x tx x x x t x x 而当x ],[βα∈时， 2x 2

-tx-2=2(x-,0))(≤-βαx 故当x ],[βα∈时, f /

(x)≥0, ∴ 函数f(x)在[],βα上是增函数。（3）。证明：

,0)(,0)(2

1121212122121<+-=-++>+-=-++x x x x x x x x x x x x x x βαββααβαβα

ββαα<++<

∴2121x x x x , 同理βα

βα<++<2

121x x x x .

).()()(),()(

)(21212121αα

βββαβαf x x x x f f f x x x x f f -<++-<-<++<∴故

又f().()(

121ββ

ααf x x x x f <++<两式相加得:

),()()()(

)]()([2

1212121αβα

ββααβf f x x x x f x x x x f f f -<++-++<--

即).()()()(

1212121αβα

ββαf f x x x x f x x x x f -<++-++

而由（1），f(αββα2)(,2)-=-=f 且f()()()()αβαβf f f -=-,

∴ βαα

ββα-<++-++2)()(

1212121x x x x f x x x x f .

14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*

n N ∈，都有

()2

41n n S a =+.

I 、求数列{}n a 的通项公式.

II 、若2n n tS ≥对于任意的*

n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.

14．(I)

2111144(1), 1.S a a a ==+∴=当2n ≥

时,()()2

1144411n n n n n a S S a a --=-=+-+,

()22112n n n n a a a a --∴+=-,又{a n }各项均为正数,12n n a a -∴-=.数列{}n a 是等差数列,

2 1.n a n ∴=-

(II) 2

n S n =,若2n

n tS ≥对于任意的*

n N ∈恒成立,则22min n t n ??≤????

.令22n

n b n =,.当

3n ≥时,

221222(1)1(1)21

n n b n n n n n

b n n n ++-+==>+++.又123

82,1,9b b b ===，

∴{}228min min 9

n n b n ??==????.∴ t 的最大值是8

15.已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ·PM =0，PM =－

MQ ，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；

（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），

使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值. 15.（1）设点M 的坐标为(x ,y )，由PM =－

23,得P (0,－2

y ),Q (3x

,0), 2分由·PM =0，得（3，－

2y ）(x ,2

3y )=0,又得y 2

=4x ,

5分

由点Q 在x 轴的正半轴上，得x ＞0,

所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.

（2）设直线l :y =k (x +1),其中k ≠0,代入y 2=4x ,得k 2x 2+2(k 2－2)x +k 2

=0,① 7

分

设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),

则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－2

)

2(2k

k 2-,x 1x 2=1, 所以，线段AB 的中点坐标为(2

2k k -,k 2

8分线段AB 的垂直平分线方程为y －k 2=－k 1

(x －2

22k k -),

9分

令y =0,x 0=22k +1,所以点E 的坐标为(22

+1,0)

因为△ABE 为正三角形，所以点E （

+1,0）到直线AB 的距离等于23

｜AB ｜, 而｜AB ｜=2

212

21)()(y y x x -+-=2

14k

k -·21k +,

10分

所以，24132k k -=k

k 2

12+,

11分解得k =±23,得x 0=3

. 12分

16.设f 1(x )=

+12,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *

(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； 16.（1）f 1(0)=2,a 1=

2212+-=4

,f n +1(0)=f 1［f n (0)］=)0(12n f +,

a n +1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2

)

0(121

)0(11

++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-=－212)0(1)0(+-n n f f =－2

1a n ,

4分

∴数列｛a n ｝是首项为41,公比为－21的等比数列，∴a n =41(－2

1)n －1

. 6

分

17．已知→a =（x,0），→b =（1，y ），（→a +3→b ）⊥（→a –3→

b ）．

（I ）求点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；

（II ）若直线L ：y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，–1），且有|AD|=|BD|，

试求m 的取值范围．

17．解（I ）→

a +3→

b =（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),

→

a –

→

b =（x, 0）-

3(1,y)= (x -3,–3

y). (→

a +3→

b )⊥(→

a -

3→

b ),

∴(→

a +3→

b )·(→

a -3→

b )=0, ∴(x+3)( x -3)+3y·(-3y)=0,

故P 点的轨迹方程为2

213

x y -=．（６分）（II ）考虑方程组2

,1,3

y kx m x y =+??

?-=?? 消去y ，得（1–3k 2）x 2-6kmx-3m 2

-3=0 (*) 显然1-3k 2≠0, ?=(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2

)>0.

设x 1,x 2为方程*的两根，则x 1+x 2=2316k

km -，x 0=2

213132

k km x x -=+, y 0=kx 0+m=

31k m -,

故AB 中点M 的坐标为（2

313k km -，

31k m

-）,

∴线段AB 的垂直平分线方程为y -

13m k -=（-k 1）23()13km x k --,

将D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2

-1,

故m 、k 满足222

130,431,

m k m k ?+->?=-? 消去k 2得 m 2

-4m>0, 解得 m<0或m>4. 又 4m=3k 2

-1>-1, ∴ 1,4

m >-

故m ∈(-41

,0) (4,+∞)．（１２分）

18．已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=?1

(1).3

f =且

（1）当n N +∈时，求)(n f 的表达式；

（2）设),()

(+∈=N n n nf a n 求证：1

;4n

k k a =<∑

（3）设1(1)

(),,()

n n k k nf n b n N S b f n +=+=

∈=∑试比较11

k k

S =∑

与6的大小． 18．(1)解由已知得211

()(1)(1)(1)()(2)33

f n f n f f n f n =-?=

?-=?-

111

()(1)()33

n n f -=?=． (4分) (2)证明由(1)可知 1(),3

n a n =?设n T =

k a

=∑

则2

11112()().33

n n T n =?+?+

()231111

111()2()1()333

33n

n n T n n +??

∴=?+?+

+-+? ???

．

两式相减得232

111()()3333n T =

+++…+111()()33

n n n +-? 1

1111()(),233

n n n +??=--?∴???? n T =

31113

()()443234

n n k k n a -==

--?<∑．（9分）（3）解由（1）可知1

(1)

.(12),336

n n k k n n b n S b n =+=∴==++

∑

则

16(1)n S n n =+ =116(),1

n n -+ 故有11n

k k

S =∑111

116(1)2231n n =-+-++-+ =61

(1)61

n -<+．（１４分）

19．已知函数),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列：),(),(,221a f a f …，

)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.

（1）求数列}{n a 的通项n a ；

（2）若}{,10n a a 数列<<的前n 项和为S n ，求n n S ∞

→lim ；

（3）若)(,2n n n a f a b a ?==令，对任意)(,1

t f

b N n n -*

>∈都有,求实数t 的取值

范围.

19．（1）22,222)11(2)(,2,)12(242+=∴+=?-++=∴=∴-++=+n n n a a n n a f d d n n

（2）.11)1(lim lim 24

224a

a a a a S n n n n -=--=∞→∞→ （3）.2)1(2)22()22()(32222

2+++?+=?+=+=?=n n n n n n n n a

n a f a b .1412

11n n n n b b n n b b >∴>?++=++

}

{n b ∴为

递

增

数

列

b ∴中最小项为

.6,22,2)(,22261

651<∴>∴==

?=-t t f

b t t

20．已知△OFQ 的面积为.OF FQ m ?=且

（1）设θ的夹角与求向量m ,646<<正切值的取值范围；（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2)14

(

,||c m c -==，

当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.

（3）设F 1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A 、B 分别为此双曲线渐近线l 1、l 2上的

动点，且2|AB|=5|F 1F|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

20．（1）1

||||sin()262||||cos OF FQ OF FQ m

πθθ???-=????=?

646,64tan <<∴=∴m m θ .4tan 1<<∴θ .4arctan 4

<<∴

θπ

（2）设所求的双曲线方程为22

1111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b

-=>>=-则

11146

||||26,2OFQ S OF y y c

?∴=

?=∴=± 由=-?=?),()0,(11y c x c FQ OF .128396||,46,)146()(22

121121≥+=+=∴=∴-=?-c c y x OQ c x c c c x

当且仅当c =4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为)6,6()6,6(-或

∴?????==∴??

??=+=-∴12

416166

2222

2b a b a b a 所求方程为

.112

2=-y x （3）设),(),,(2211y x B y x A 1l 的方程为2,3l x y =的方程为x y 3-= 则有113x y =①

223x y -= ② ||5||21FF AB = 4025)()(2221221=?=-+-∴c y y x x

20)()(221221=-+-∴y y x x ③ 设),(y x M 由①②得)(32121x x y y -=+

)(32121x x y y +=-x y y x x y 32),(322121=--=∴ 3

221y x x =

-∴，

x y y 3221=-代入③得400)32()3

2(2

=+x y

M x y ∴=+∴.13

1003002

2的轨迹为

焦点在y 轴上的椭圆.

21、已知函数13)(2

++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满

足112

11=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n

① 求{}n a 的通项公式；

②若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞

→lim .

21、解：（1）)(x f 为偶函数 )()(x f x f =-∴ 0=∴b 13)(2

+=x x f

)(x g 为奇函数 )()(x g x g -=-∴ 0=∴c x x g 5)(=

1)(51)(3)()(2

121211=+?-++=+?-+∴++++n n n n n n n n n n a a a a a a a a g a a f

0232

121=-?+∴++n n n n a a a a 0)23)((11=-+∴++n n n n a a a a 3

1=∴

+n n a a }a {n ∴是以1=n a 为首项，公比为

32的等比数列. 1

2(-=n n a （2）∞

→n lim 33

11=-=

n s

22．直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝

23，BC ＝2

．椭圆C 以A 、 B 为焦点且经过点D ．

（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

2018年高考数学(理科)I卷

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，，，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3

2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2

2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束是否

高考数学选择题之压轴题

高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭

2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析

2018年高考理科全国三卷一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( )

A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则三．解答题

17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过第一种生产方式第二种生产方式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点

2018年高三数学试卷

2018年高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞） 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，） 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞）D．[1，+∞） 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（） A．B．C．D．

9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3 10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（） A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为． 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a 的值为． 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为． 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，