历年高考数学压轴题集锦
高考数学压轴题集锦
1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若0OP OQ ?=u u u r u u u r
，求直线PQ 的方程；
（3）设AP AQ λ=u u u r u u u r
（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证
明FM FQ λ=-u u u u r u u u r
. (14分)
2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )
](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01
log )(4
=+x
x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。
3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2
2
=-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆
222
y a
x
+＝1顶点，5 已知，二次函数f （x ）（x ）＝－bx ，其中a 、b 、＝0.
（Ⅰ）求证：f （x ）及g （两点；
（Ⅱ）设f （x ）、g （x 的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=3
x （1） 求a 、b 的值；
（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；
（3） 令()()132
++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有
最大值1？
7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→
→
?PN PM 的等比中项。
（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的
方程。 8．已知数列{a n }满足a
a a
a b a a a a a a a n n
n n n n +-=+=>=+设,2),0(32211 （1）求数列{b n }的通项公式；
（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与
8
7
的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；
（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引2
1QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．
10. )(x f 对任意R x ∈都有.2
1)1()(=
-+x f x f （Ⅰ）求)21
(f 和)( )1
(
)1(N n n
n f n
f ?-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1
()2()1(f n
n f n f n f +-+++ΛΛ，数列}{n a 是
等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令.16
32,,1
442
232221n
S b b b b T a b n n n n n -
=++++=-=
ΛΛ 试比较n T 与n S 的大小．
11. ：如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2
＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB
→＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.(13分)
12.知函数f (x )＝log 3(x 2
－2mx ＋2m 2
＋9
m 2－3
)的定义域为R
(1)求实数m 的取值集合M ； (2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.
13.设关于x 的方程2x 2
-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=
.1
42
+-x t
x
(1). 求f()()βαf 和的值。
（2）。证明：f(x)在[],βα上是增函数。 （3）。对任意正数x 1、x 2,求证：βαα
ββα-<++-++2)()(
2
1212121x x x x f x x x x f
14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*
n N ∈，都有()2
41n n S a =+. I 、求数列{}n a 的通项公式.
II 、若2n n tS ≥对于任意的*
n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.
15.( 12分)已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，
且满足HP ·PM =0，PM =－2
3
， （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；
（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值.
16.（14分）设f 1(x )=
x
+12,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *
.
(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；
(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n =1
44422+++n n n n ,其中n ∈N *
,试比较9T 2n 与Q n 的大小.
17． 已知→
a =（x,0），→
b =（1，y ），（→
a +3→
b ）⊥（→
a –3→
b ）．
（I ） 求点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（II ） 若直线L ：y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，–1），且有 |AD|=|BD|，
试求m 的取值范围．
18．已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=?1
(1).3
f =且
（1）当n N +∈时，求)(n f 的表达式；
（2）设),()
(+∈=N n n nf a n 求证：1
3
;4n
k k a =<∑
（3）设1(1)
(),,()
n
n n k k nf n b n N S b f n +=+=
∈=∑试比较11
n
k k
S =∑
与6的大小． 19．已知函数),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列：),(),(,221a f a f …，
)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.
（1）求数列}{n a 的通项n a ；
（2）若}{,10n a a 数列<<的前n 项和为S n ，求n n S ∞
→lim ；
（3）若)(,2n n n a f a b a ?==令，对任意)(,1
t f
b N n n -*
>∈都有,求实数t 的取值范围.
20．已知△OFQ 的面积为.,62m FQ OF =?且
（1）设θ的夹角与求向量FQ OF m ,646<<正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2)14
6
(
,||c m c OF -==， 当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.
（3）设F 1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A 、B 分别为此双曲线渐近线l 1、l 2上的动
点，且2|AB|=5|F 1F|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
21、已知函数13)(2
++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满足
11211=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n
① 求{}n a 的通项公式；
②若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞
→lim .
22、直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝2
1
．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．
（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 2
1
=
AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．
23、．设函数,2
41
)(+=
x
x f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值； （2）记*),()1()1
()2()1()0(N n f n
n f n f n f f a n ∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.
24. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.当X ≥0时, )(x f =1
72
++-x x x
. (I) 求当X<0时, )(x f 的解析式;
(II)
试确定函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1的单调性，并证明你的结论.
(III)
若21≥x 且22≥x ，证明：|)(1x f －)(2x f |<2.
25、已知抛物线x y 42
=的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的垂直平分线与X 轴交于D (X 0,0) ⑴求X 0的取值范围。
⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出X 0的值，若不能，说明理由。 26、已知□ABCD ，A （-2，0），B （2，0），且∣AD ∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程。
⑵过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，且∣MN ∣=23
8
，MN 的中点到Y 轴的距离为
3
4
，求椭圆的方程。 ⑶与E 点轨迹相切的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，求∣PQ ∣的最大值及此时l 的方程。
27．（14分）
（t ＞0 （2）若t ∈[1 x
28．已知函数f (x )=
bx +c
x +1
的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称. （1）求函数f (x )的解析式；
（2）若数列{a n }（n ∈N*）满足：a n >0，a 1=1，a n +1= [f (a n )]2，求数列{a n
}的通项
公式a n ，并证明你的结论.
30、已知点集},|),{(n m y y x L ?==其中),1,1(),1,2(+=-=b n b x m 点列),(n n n b a P 在L 中，1P 为L 与y 轴的交点，等差数列}{n a 的公差为1，+∈N n 。
（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）若),2(|
|5
1≥?=
n P P n c n n 求)(lim 21n n c c c +++∞→Λ；
（3）若),()
2()
12()(+∈??
?=-==N k k n b k n a n f n n 是否存在+∈N k 使得),(2)11(k f k f =+若存
在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
21．经过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点. (12分)
（1）若线段AB 的中点为(,)M x y ,直线的斜率为k ,试求点M 的坐标,并求点M 的轨迹方程
（2）若直线l 的斜率2k >,且点M 到直线340x y m ++=的距离为1
5
,试确定m 的取值范
围.
1（1
）解：由题意，可设椭圆的方程为(22
212x y a a +=。
由已知得,
().
222
22a c a c c c ?-=?
?=-??
解得2a c = 所以椭圆的方程为22162
x y +=
，离心率e =
。 （2）解：由（1）可得A （3，0）。 设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22
162
3x y y k x ?+
=???=-?
得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k ?=->
，得33
k -
<<
。 设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122276
31
k x x k -=+。 ②
由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是
()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。 ③ ∵0OP OQ ?=u u u r u u u r
，∴12120x x y y +=。 ④
由①②③④得251k =，从而(,)566533
k =±
∈-。 所以直线PQ 的方程为530x y --=或530x y +-=
（3，理工类考生做）证明：(,),(,)112233AP x y AQ x y =-=-u u u r u u u r
。由已知得方程组
注意1λ>，解得251
2x λλ
-=
因(,),(,)1120F M x y -，故
(,)((),)1121231FM x y x y λ=--=-+-u u u u r (,)(,)121122y y λλλλ
--=-=-。
而(,)(,)222122FQ x y y λλ
-=-=u u u r ，所以FM FQ λ=-u u u u r u u u r 。
2 ①f(x)=12--k x (2k ≦x ≦2k+2, k ∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根
3 ①x 2
=4y ②x 1x 2=-4 ⑶P(±2,1) S MIN =7
4 .解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）
设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0）
则AB ∶y ＝－
k
1
x ＋1 把BC 方程代入椭圆，
是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2
kx ＝0
∴|BC |＝2
222
121k a k a k ++，同理|AB |＝2
222
21a k a k ++ 由|AB |＝|BC |，得k 3
－a 2k 2
＋ka 2
－1＝0 （k －1）［k 2＋（1－a 2
）k ＋1］＝0
∴k ＝1或k 2＋（1－a 2
）k ＋1＝0
当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2
－4
由Δ＜0，得1＜a ＜3
由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1 故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解 由Δ＞0即a ＞3时有三解
5 解：依题意，知a 、b ≠0
∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0
（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ），
得ax 2
＋2bx ＋c ＝0.（*） Δ＝4（b 2－ac ）
∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0 ∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标
则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2
，由方程（*），知
|A 1B 1|2
＝2
2224)(444a
ac
c a a ac b -+=- ∵0
20a b c a c a b
++=??+>?
>?，而a ＞0，∴
2c
a
>- ∵020a b c a c c b
++=??+
12
c a <- ∴122c a -<
<- ∴4［（a c ）2＋a
c ＋1］∈（3，12）
∴|A 1B 1|∈（3，23） 6、解：（1）()x f
'
=ax x 232+
依题意得k=()1'f =3+2a=－3， ∴a=－3
()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f
∴a=－3，b=－1 （2）令()x f
'
=3x 2
－6x=0得x=0或x=2
∵f （0）=1，f （2）=23
－3×22
＋1=－3
f （－1）=－3，f （4）=17
∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17
要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。
（1） 已知g （x ）=－(
)
tx x tx x x x +-=++-+-3
22
31313 ∴()t x x g +-=2
'
3
∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2
＜0，
① 当t ＞3时，t －3x 2
＞0，()0'
>x g 即
∴g （x ）在]1.0(上为增函数，
g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2
'
3
令()x g '
=0,得x=
3
t
g （x ）在x=3t 处取最大值－3
3???
? ??t ＋t 3t =1 ∴t=3427=2233
＜3
t
3
∴x=
3
t ＜1 ③当t ＜0时，()t x x g +-=2
'
3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数， ∴g （x ）在]1.0(上为增函数，
∴存在一个a=2
2
33，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。
7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH -=→
,→
PM =（－2－x,－y ）
→
PN =（2－x,－y ）
∴→PM ·→
PN =（－2－x,－y ）·（2－x,－y ）=2
24y x +- 由题意得∣PH ∣2=2·→PM ·→
PN 即(
)2
22
42y
x x +-=
即14
82
2=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆
（2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”），此时，实轴长2a 最大为10
所以，双曲线C 的实半轴长a=2
10
又2
3,221222=-=∴==
a c
b NM
c Θ ∴双曲线C 的方程式为12
3252
2=-y x 8.（1）1
21-=
n n b
（2）08
12
11161
81)21212121161(81)212121(872441684=--=-+?+?+<-++++=-K K n
S
9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0
∵该直线与圆1)2(2
2
=-+y x 相切，
∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．…………………………………………2分
故设双曲线C 的方程为122
22=-a
y a x ．
又双曲线C 的一个焦点为 )0,2(
∴222=a ，12
=a ．
∴双曲线C 的方程为12
2
=-y x ．………………………………………………4分 （Ⅱ）由??
?=-+=1
1
2
2y x mx y 得022)1(2
2=---mx x m ．
令22)1()(2
2---=mx x m x f
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．
因此?????????
>--<->?012
01202
2
m m m 解得21< ,1( 2 2m m m --， ∴直线l 的方程为)2(2 21 2 +++-=x m m y ．………………………………6分 令x=0，得8 17)41(22 22222+ --=++-= m m m b ． ∵)2,1(∈m ， ∴)1,22(8 17 )41(22+-∈+ --m ∴),2()22,(+∞---∞∈Y b ．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =． 根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是 )0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ． 则??? ????=-=222T T y y x x ，即???=+=y y x x T T 222． 代入①并整理得点N 的轨迹方程为12 2=+y x ．)2 2 (- ≠x ………………12分 10 解：（Ⅰ）因为2 1)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以41 )21(=f ．……2分 令n x 1=，得21)11()1(=-+n f n f ，即2 1)1()1(=-+n n f n f ．……………4分 （Ⅱ）)1()1 ()1()0(f n n f n f f a n +-+++=Λ 又)0()1 ()1()1(f n f n n f f a n +++-+=Λ………………5分 两式相加 2 1 )]0()1([)]1()1([)]1()0([2+= +++-+++=n f f n n f n f f f a n Λ． 所以N n n a n ∈+=,4 1 ，………………7分 又41 414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分 （Ⅲ）n a b n n 4 144=-= ]) 1(1 3212111[16-++?+?+≤n n Λ………………10分 )]1 11()3121()211(1[16n n --++-+-+=Λ………………12分 所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分 11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0 则OA 的方程为y ＝kx 由???y ＝kx y 2＝2px 解得A (2p k 2，2p k ) ……4分 又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1 k x 由?????y ＝－1k x y 2＝2px 解得B (2pk 2，－2pk ) ……4分 从而OA 的中点为A '(p k 2，p k )，OB 的中点为B '(pk 2 ，－pk ) ……6分 所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为 x 2＋y 2－2px k 2－2py k ＝0 ……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……② ……10分 ∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0 由①－②并化简得y ＝(k －1 k )x ……③ 将③代入①，并化简得x (k 2 ＋1k 2－1)＝2p ……④ 由③④消去k ，有x 2＋y 2 －2px ＝0 ∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点). ……13分 12．(1)由题意，有x 2 －2mx ＋2m 2 ＋ 9 m 2 －3 ＞0对任意的x ∈R 恒成立 所以△＝4m 2 －4(2m 2 ＋9 m 2－3 )＜0 即－m 2 － 9 m 2 －3 ＜0 ∴(m 2 －32 )2＋27 m 2－3 ＞0 由于分子恒大于0，只需m 2 －3＞0即可 所以m ＜－3或m ＞ 3 ∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3} ……4分 (2)x 2 －2mx ＋2m 2 ＋9m 2－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2 ＋9m 2－3 当且仅当x ＝m 时等号成立. 所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2 ＋9 m 2 －3 ……7分 又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2 ＋ 9 m 2 －3 ) ∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2 ＋ 9 m 2 －3 ) ……10分 又当m ∈M 时，m 2 －3＞0 ∴m 2 ＋ 9m 2 －3＝m 2 －3＋9m 2－3 ＋3≥2(m 2 －3)· 9 m 2 －3 ＋3＝9 当且仅当m 2 －3＝ 9 m 2 －3 ，即m ＝±6时， log 3(m 2 ＋9m 2－3)有最小值log 3(6＋9 6－3)＝log 39＝2 ∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2. 13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，.1,2 -==+αββαt 同法得f().16(2 1 )2t t -+= β (2).证明：Θf / (x)= ,)1() 22(2)1(2)4()1(42 22222+---=+--+x tx x x x t x x 而当x ],[βα∈时， 2x 2 -tx-2=2(x-,0))(≤-βαx 故当x ],[βα∈时, f / (x)≥0, ∴ 函数f(x)在[],βα上是增函数。 （3）。证明： ,0) (,0)(2 1121212122121<+-=-++>+-=-++x x x x x x x x x x x x x x βαββααβαβα ββαα<++< ∴2121x x x x , 同理βα βα<++<2 121x x x x . 又f().()( )2 121ββ ααf x x x x f <++<两式相加得: 即).()()()( 2 1212121αβα ββαf f x x x x f x x x x f -<++-++ 而由（1），f(αββα2)(,2)-=-=f 且f()()()()αβαβf f f -=-, ∴ βαα ββα-<++-++2)()( 2 1212121x x x x f x x x x f . 14(I)2 111144(1), 1.S a a a ==+∴=Q 当2n ≥时,()()2 2 1144411n n n n n a S S a a --=-=+-+, ()22112n n n n a a a a --∴+=-,又{a n }各项均为正数,12n n a a -∴-=.数列{}n a 是等差数列, 2 1.n a n ∴=- (II) 2 n S n =,若2n n tS ≥对于任意的* n N ∈恒成立,则22min n t n ??≤???? .令22n n b n =,.当3 n ≥时, 221222(1)1(1)21 n n b n n n n n b n n n ++-+==>+++.又 1238 2,1,9 b b b === ， ∴{}228min min 9 n n b n ??==????.∴ t 的最大值是8 9. 15.（1）设点M 的坐标为(x ,y )，由PM =－23MQ ,得P (0,－2 y ),Q (3x ,0), 2分 由HP ·PM =0，得（3，－ 2y ）(x ,2 3y )=0,又得y 2 =4x , 5分 由点Q 在x 轴的正半轴上，得x ＞0, 所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点. 6分 （2）设直线l :y =k (x +1),其中k ≠0,代入y 2=4x ,得k 2x 2+2(k 2－2)x +k 2 =0,① 7分 设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－2 ) 2(2k k 2-,x 1x 2=1, 所以，线段AB 的中点坐标为(2 2 2k k -,k 2 ), 8分 线段AB 的垂直平分线方程为y －k 2=－k 1 (x －2 22k k -), 9分 令y =0,x 0=22k +1,所以点E 的坐标为(22 k +1,0) 因为△ABE 为正三角形，所以点E （ 2 2 k +1,0）到直线AB 的距离等于23｜AB ｜, 而｜AB ｜=2 212 21)()(y y x x -+-=2 2 14k k -·21k +, 10分 所以，24132k k -=k k 2 12+, 11分 解得k =± 23,得x 0=3 11. 12分 16.（1）f 1(0)=2,a 1= 2212+-=4 1 ,f n +1(0)=f 1［f n (0)］=)0(12n f +, a n +1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2 ) 0(121 )0(11 ++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-=－212)0(1)0(+-n n f f =－2 1a n , 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为41,公比为－21的等比数列，∴a n =41(－2 1)n －1 . 6分 （2）T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+(2n －1)a 2n －1+2na 2n , － 21T 2n =(－21a 1)+(－21)2a 2+(－21)3a 3+…+(－21)(2n －1)a 2n －1+(－21 )·2na 2n =a 2+2a 3+…+(2n －1)a 2n －na 2n , 8分 两式相减得 23 T 2n =a 1+a 2+a 3+…+a 2n +na 2n , 所以，23T 2n =2 11)21(1412+ ? ???? ?--n +n ×41(－21)2n －1=61－61(－21)2n +4n (－21)2n －1, 10分 T 2n =91－91(－21)2n +6n (－21)2n －1=91(1－n n 2213+). ∴9T 2n =1－n n 22 13+, Q n =1－ 2 )12(1 3++n n , 12分 当n =1时，22n =4,(2n +1)2 =9,∴9T 2n ＜Q n ; 当n =2时，22n =16,(2n +1)2 =25,∴9T 2n ＜Q n ; 13分 当n ≥3时，22n =［（1+1）n ］2 =(C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n )2 ＞(2n +1)2 ,∴9T 2n ＞Q n . 14分 17．解（I ）→a +3→ b =（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y), → a –3→ b =（x, 0）-3(1,y)= (x -3,–3 y).Θ(→a +3→b )⊥(→a -3→ b ), ∴(→ a +3→ b )·(→ a -3→ b )=0, ∴(x+3)( x -3)+3y ·(-3y)=0, 故P 点的轨迹方程为2 213 x y -=． （６分） （II ）考虑方程组22 ,1,3 y kx m x y =+?? ?-=?? 消去y ，得（1–3k 2）x 2-6kmx-3m 2 -3=0 (*) 显然1-3k 2≠0, ?=(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2 )>0. 设x 1,x 2为方程*的两根，则x 1+x 2=2316k km -，x 0=2 213132 k km x x -=+, y 0=kx 0+m= 2 31k m -, 故AB 中点M 的坐标为（2 313k km -， 2 31k m -）, ∴线段AB 的垂直平分线方程为y - 2 13m k -=（-k 1）23()13km x k --, 将D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2 -1, 故m 、k 满足222 130,431,m k m k ?+->?=-? 消去k 2得 m 2 -4m>0, 解得 m<0或m>4. 又Θ4m=3k 2 -1>-1, ∴ 1,4 m >- 故m ∈(-41 ,0)Y (4,+∞)． （１２分） 18．(1)解 由已知得2 11()(1)(1)(1)()(2)33 f n f n f f n f n =-?=?-=?-=L 111 ()(1)()33 n n f -=?=． (4分) (2)证明 由(1)可 知 1(),3 n n a n =?设n T = 1 n k k a =∑ 则2 11112()().33 3 n n T n =?+?++?L ()231111111()2()1()33333n n n T n n +?? ∴=?+?++-+? ??? L ． 两式相减得232111()()3333n T = +++…+111()()33 n n n +-? 1 1111()(),233 n n n +??=--?∴???? n T = 11 31113 ()()443234 n n n k k n a -== --?<∑． （9分） （3）解 由（1）可知1 11(1) .(12),336n n n k k n n b n S b n =+=∴==+++= ∑L 则 16(1)n S n n =+ =11 6(),1 n n -+ 故有 11n k k S =∑111116(1)2231n n =-+-++-+L =61 (1)61n -<+． （１４分） 19．（1）22,222)11(2)(,2,)12(242+=∴+=?-++=∴=∴-++=+n n n a a n n a f d d n n （2）.11)1(lim lim 2 4 224a a a a a S n n n n -=--=∞→∞→ （3）.2)1(2)22()22()(32222 2+++?+=?+=+=?=n n n n n n n n a n a f a b }{n b ∴为递增数列 n b ∴中最小项为.6,22,2)(,22261 651<∴>∴==?=-t t f b t t 20．（1）?? ???=?=-??m FQ OF FQ OF θθπcos ||||62)sin(||||21 646,64tan <<∴=∴m m θ .4tan 1<<∴θ （2）设所求的双曲线方程为),(),,(),0,0(1111122 22y c x y x Q b a b y a x -=>>=-则 c y y S OFQ 6 4,62||||2111±=∴=?= ∴? 又由=-?=?),()0,(11y c x c FQ OF 当且仅当c =4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标为)6,6()6,6(-或 ∴?????==∴?? ? ??=+=-∴12 4161662 2222 2b a b a b a 所求方程为 .112 42 2=-y x （3）设),(),,(2211y x B y x A 1l 的方程为2,3l x y =的方程为x y 3-= 则有113x y =① 223x y -= ② ||5||21FF AB =Θ 4025)()(2221221=?=-+-∴c y y x x 20)()(221221=-+-∴y y x x ③ 设),(y x M 由①②得)(32121x x y y -=+ )(32121x x y y +=-x y y x x y 32),(322121=--=∴ 3 221y x x = -∴， x y y 3221=-代入③得400)32()3 2(2 2 =+x y M x y ∴=+∴.13 1003002 2的轨迹为 焦点在y 轴上的椭圆. 21、解：（1）)(x f Θ为偶函数 )()(x f x f =-∴ 0=∴b 13)(2+=x x f )(x g Θ为奇函数 )()(x g x g -=-∴ 0=∴c x x g 5)(= }a {n ∴是以1=n a 为首项，公比为 32的等比数列. 1 )3 2(-=n n a （2）∞ →n lim 33 2 11=-= n s 22、解析：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，?A （-1，0），B （1，0） 设椭圆方程为：122 22=+b y a x 令c b y C x 20=?= ∴?? ?==??? ???= =32231 2 b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13 422=+y x （2）0(2 1E AB EC ?= ，)21 ，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0） 由 01248)43(134 22222=-+++???? ??=++=m kmx x k y x m kx y M 、N 存在? 0)124()43(46402222>-+-?>?m k m k 2234m k ≥+? 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 2 2104342k km x x x +-=+= ，20 0433k m m kx y +=+= ∴2 22 )2 43(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤ 1 ． 23、（1）)6(.214 244241241241)1()(1'=?+++=+++=-+-x x x x x x f x f 24、（1）当X<0时, = )(x f 1 72 +-x x x （3分） （2）函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1是增函数；（证明略） （9分） （3）因为函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1是增函数，由x 2≥得2)2()(-=≥f x f ； 又因为07,012 <->++x x x ，所以01 72 <++- x x x ，所以0)(2<≤-x f ； 因为0,21>x x ，所以0)(21<≤-x f ，且0)(22<≤-x f ，即2)(02≤ 设过点M 的直线方程为)0)(1(≠+=k x k y 代入x y 42 =得 0)42(2222=+-+k x k x k ………………………………………（１） 再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２） 则ｘ１＋x 2=2 224k k -，ｘ１·x 2=１ y １＋y 2=k(x 1+1)+k(x 2+1)=k(ｘ１＋x 2)+2k = k 4 ∴ＡＢ的中点坐标为（k k k 2 ,22 2-） 那么线段ＡＢ的垂直平分线方程为)2(122 2 k k x k k y ---=-，令0=y 得 222k k x +=，即2 220 2 12k k k x +=+= 又方程（１）中△＝3,22 ,10,04)42(02 2422>∴>∴ <<∴>--x k k k k ⑵若△ABD 是正三角形，则需点D 到AB 的距离等于 AB 2 3 点到AB 的距离d= k k k k k k k k k k 22 22 2 21212212+=++= +++? 据2 2 4 3AB d =得：4422)1(1643)1(4k k k k -?=+ ∴0)34)(1(,0342 224=-+=-+k k k k ，∴4 3 2=k ，满足102< 110= x 26、解：⑴设E （x ，y ），D （x 0，y 0） ∵ABCD 是平行四边形，∴AE AD AB 2=+， ∴（4，0）+（x 0+2，y 0）=2（x+2，y ）∴（x 0+6，y 0）=(2x+4，2y) ∴???=-=????=+=+y y x x y y x x 22 224260 000 又4)2()222(,4)2(,22 2 2 02 0=++-∴=++∴=y x y x AD 即：12 2 =+y x ∴□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程为12 2 =+y x ⑵设过A 的直线方程为)2(+=x k y 以A 、B 为焦点的椭圆的焦距2C =4，则C =2 设椭圆方程为12222=+b y a x ， 即142 2 22=-+a y a x …………………（*） 将)2(+=x k y 代入（*）得 14 )2(2 2 222=-++a x k a x 即 0444)4(2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 =+-++-+a a k a x k a x k a a 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）则 ∵MN 中点到Y 轴的距离为3 4 ，且MN 过点A ，而点A 在Y 轴的左侧，∴MN 中点也在Y 轴的左侧。 ∴82,3 4422 222 2222-=∴=-+a k a k a a k a ，∴38,3822121a x x x x -=?-=+ ∴)8(3 4 )38 (4)()(2221221221a x x x x x x --=-+=- ∵238= MN ∴2381212=-+x x k ∴9 128 )34332964)(1(22= +-+a k 即 1603212122222=-+k k a a ∴16032)82(12122 2 2 =--+k a a ∴8 64 922 -=a k ∴828 64 9222 -=-? a a a ， 06480924=+-a a 0)89)(8(22=--a a ，∵2=>c a ，∴82=a ∴4482 22=-=-=c a b ∴所求椭圆方程为14 82 2=+y x ⑶由⑴可知点E 的轨迹是圆12 2 =+y x 设),(00y x 是圆上的任一点，则过),(00y x 点的切线方程是100=+y y x x 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科） （试卷总分150分 考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =（ ） A ．(0,2) B ．),2(+∞ C ．),0[+∞ D ．),2()0,(+∞?-∞ 2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ） 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ） A ．2 B ．3 C ．—3 D ．—2 6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下 罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以 上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上 2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8 历年中考数学压轴题及答案（精选） 1.（2011年四川省宜宾市） 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. 2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ； (1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围； (3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由. 3. （11浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 4.（11山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=x k (k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在 高考数学压轴题集锦 1．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为(,)0F c （0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ ?=，求直线PQ 的方程； （3）设AP AQ λ=（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证 明FM FQ λ=-. (14分) 2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。 （1） )](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。 （2） 证明)(x f 是偶函数。 （3） 试问方程01 log )(4=+x x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。 3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(2 2 =-+y x 。 （1） 若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； （2） 过点F 的直线g （3） 过轨迹E 上一点P 点P 的坐标及S 4.以椭圆2 22y a x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2 ＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0. （Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点； （Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围. 6 已知过函数f （x ）=12 3++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。 （1） 求a 、b 的值； （2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132 ++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有 最大值1？ 7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→ → ?PN PM 的等比中项。 （1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8．已知数列{a n }满足a a a a b a a a a a a a n n n n n n +-=+=>=+设,2),0(322 11 （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围； （Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10. )(x f 对任意R x ∈都有.2 1)1()(= -+x f x f 2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0） 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 历年高考数学压轴题题选 （2012文） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =） （3）设100m =，常数1,12a ?? ∈ ??? ，若(1)22 (1) n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列， 求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +- （2012理） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{} (,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ?=，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x = （3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式 中考数学压轴题解题技巧 竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定 义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（五） 46.已知函数f ( x)x2ax 4 （ aＲ）的两个零点为x1, x2 , 设 x1 x2. （Ⅰ）当 a0 时，证明：2x1 0． （Ⅱ）若函数g (x)x2| f ( x) |在区间 (, 2)和(2,) 上均单调递增，求 a 的取值范围. 47.设函数 f ( x)2 R ）．x ax ln x （a （Ⅰ）若 a 1时,求函数 f (x)的单调区间； （Ⅱ）设函数 f ( x) 在[1 , ] 有两个零点，求实数 a 的取值范围． e e 48.已知函数 f ( x) ln( ax b) x ，g (x)x2ax ln x ． （Ⅰ）若 b 1,F ( x) f ( x) g (x) ，问：是否存在这样的负实数 a ，使得 F ( x) 在x1处存在切线且该切线与直线y 1 x 1平行，若存在，求a的值；若不存在，请说明理 23 由． （Ⅱ）已知 a 0 ，若在定义域内恒有 f (x) ln( ax b) x 0 ，求 a(a b) 的最大值． 49.设函数 f ( x) x ln x b(x 1 )2(b R)，曲线y f x在1,0处的切线与直线 2 y3x 平行．证明： （Ⅰ）函数 f ( x) 在 [1,) 上单调递增； （Ⅱ）当 0 x 1 时， f x1. 50.已知 f（ x） =a（ x-ln x）+2 x 1 ， a∈ R. x 2（I ）讨论 f（ x）的单调性； （II ）当 a=1 时，证明f（ x）＞ f’（ x） + 3 对于任意的x∈ [1,2] 恒成立。 2 2 51.已知函数f（x） =x +ax﹣ lnx， a∈ R． （1）若函数f（x）在 [1， 2]上是减函数，求实数 a 的取值范围； （2）令 g（ x） =f（ x）﹣ x2，是否存在实数a，当 x∈（ 0， e] （ e 是自然常数）时，函数g （x）的最小值是 3，若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由； （3）当 x∈（ 0， e]时，证明： e2x2－5 x＞ (x+1)ln x．2 【最新】中考数学压轴题大全 （安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间； （Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。 （1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝1 2 时，这种变换满足上述两个要求； （2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程） 【解】（1）当P=1 2时，y=x＋() 1 100 2 x -,即 y=150 2 x+。 ∴y 随着x 的增大而增大，即P=12 时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y= 1 100502 ?+=100。而原数据都在20～ 100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12 时，这种变换满足要求；……6分 （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a ）h≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。 如取h=20,y=()220a x k -+,……8分 ∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ② 由①②解得116060 a k ? = ???=?， ∴()2 12060160 y x = -+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -， 与(2B m +，是反 比例函数k y x =图象上的两个点． （1）求k 的值； （2）若点(10)C -， ，则在反比例函数k y x =图 2015年10月18日姚杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x 轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?福建）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共 点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理 由． 7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C 外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）． （1）若点D（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值； （3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P （0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B． 2019年高考数学压轴题的解题思路 高考数学压轴题的解题思路。高考数学对于很多同学来说都是较难的一个科目，特别是对于文科生来说，简直是一个磨人的小妖精，历年高考数学结束后都会有人对数学怨声载道。一方面数学没有考好直接拉低了整体的高考分数，另外一方面数学的得分会明显拉大考生间的差距，小则几十分，大则百分。要知道在高考的战场上一分是可以压死千万人的，所以数学在高考中显得格外的重要。 在高考数学题中，最难的应该就是最后的一道压轴题，有一部分同学因为时间问题会直接错失答题机会，也有一部分同学会在解题过程中百思不得其解。那么关于压轴题怎么应用小技巧去解答？具体题目还是要具体分析，不能一一而谈，总体来说，思路如下： 一、复杂的问题简单化 就是把一个复杂的问题，分解为一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，慢慢求解，高考是分步得分的，这种思考方式尤为重要，即使你最后没有算出结果，但是如果步骤正确，还是会得相应的步骤分的。在高考数学的答题过程中我们需要秉承一个理念，那就是不放过任何一个得分步骤。 二、运动的问题静止化 对于动态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有 始终相等的线段，始终全等的图形，始终相似的图形，所有的运算都基于它们，在找到变化线段之间的联系，用代数式慢慢求解。 三、一般的问题特殊化 一有些一般的结论，找不到一般解法，先看特殊情况，比如动点问题，看看运动到中点怎样，运动到垂直又怎样，变成等腰三角形又会怎样，先找出结论，再慢慢求解。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?” 2014中考数学压轴题精选精析（21-30例） 21．（2011?湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－94 ，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过．．．． 点C ． （1）求∠ACB 的度数； （2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解题思路】：(1) ∵以AB 为直径的圆恰好经过．．．．点C ∴∠ACB =0 90 (2) ∵△AOC ∽△ABC ∴OB AO OC ?=2 ∵A (－94，0)，点C (0，3)，∴4 9=AO 3=OC ∴OB 4 932= ∴ 4=OB ∴B(4,0) 把 A 、B 、C 三点坐标代入得 3127312++-=x x y (3) 1）OD=OB , D 在OB 的中垂线上，过D 作DH ⊥OB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH=OC 21 OB OH 2 1= ∴D )23,2( 2) BD=BO 过D 作DG ⊥OB,垂足是G ∴OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 ∴ OG:4=1:5 DG:3=1:5 ∴OG= 54 DG=53 ∴D(54,53) 【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等 24、（2011?湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1． （1）求B点坐标； （2）求证：ME是⊙P的切线； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点， ①求△ACQ周长的最小值； ②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标； （2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得△PEF∽△EMF，则可证得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切线； （3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长，利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值； ②分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求 上海历年高考数学压轴题题选 (2012 文) 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m的有穷数列a n，记b k max印?,…?（k 1,2,..., m），即b k为a i,a2,...,a k中的最大值， 并称数列b n是a n的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列a n的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的a n （2）设b n是a n的控制数列，满足3k b m k 1 C（C 为常数，k 1,2,..., m），求证：b k a k（k 1,2,..., m） (3)设m100，常数a 1 n(n 1) ,1 ，若a n an? ( 1) 2n，b n是a n的控制数列, 求(b1aj(b2a2)... (b j00 a100) （2012 理） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 r r 对于数集X 1,x1,x2,...,x n，其中0 X1 X2 ... x n，n 2，定义向量集Y a a （s,t）,s X,t X ， ir uu ir m 若对任意a1Y，存在a2Y，使得Q& 0，则称X具有性质P，例如1,1,2具有性质P （1）若x 2，且1,1,2, x具有性质P，求x的值 （3）若X具有性质P，且为1、x2 q （q为常数），求有穷数列x1, x2,..., x n的通项公式 （2）若X具有性质P，求证：1 X，且当冷1时，为1 （3）若X具有性质P，且为1、x2 q （q为常数），求有穷数列x1, x2,..., x n的通项公式 20XX 年全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市20XX 年）（本小题满分9分）已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，点1 O 在⊙2O 上，C 为⊙2O 上一点（不与A ，B ，1O 重合） ，直线CB 与⊙1O 交于另一点D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙2O 的直径，求证：AC CD =； （2）如图(9)，若C 是⊙1O 外一点，求证：1O C AD ⊥； （3）如图（10），若C 是⊙1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市20XX 年）（本小题满分10分）已知二次函数 2248y x mx m =-+- （1）当2x ≤时，函数值 y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围。 （2）以抛物线 2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （M ，N 两点在抛物线上） ，请问：△AMN 的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2248y x mx m =-+-与x 轴交点的横坐标均为整数，求整数m 的值。 3、（20XX 年广东茂名市）如图，⊙P 与y 轴相切于坐标原点O （0，0） ，与x 轴相交于点A （5，0），过点A 的直线AB 与 y 轴的正半轴交于点B ，与⊙P 交于点C ． （1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a , D 是O Ｂ的中点．问：点O 、P 、C 、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O ，函数 x k y = 的图象经过点1O ，求k 的值（用含a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县20XX 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物 线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的 垂线 交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 第3题图 χ y 2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四） 23.已知函数()32 23log 32 a f x x x x = -+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()3 24ln 63 g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求 证：122x x +≥ 24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x ； (2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10< 26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若1x ?>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值. 27.已知函数()()()()2 21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值； （2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围. 28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式； （2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值. 2015年高考数学压轴题大全 高考数学压轴题大全 1.(本小题满分14分) 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明PFA=PFB. 解：(1)设切点A、B坐标分别为， 切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： (2)方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 同理有 AFP=PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得AFP=PFB. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. 2.(本小题满分12分) 设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由. (此题不要求在答题卡上画图) 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. (Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得① 设是方程①的两个不同的根， ② 且由N(1，3)是线段AB的中点，得 解得k=-1，代入②得，的取值范围是(12，+). 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意， ∵N(1，3)是AB的中点， 上海历年高考数学压轴题题选 （2012文） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =） （3）设100m =，常数1,12a ??∈ ???，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列， 求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +- （2012理） 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{} (,),,Y a a s t s X t X ==∈∈r r ，若对任意1a Y ∈u r ，存在2a Y ∈u u r ，使得120a a ?=u r u u r ，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P （1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x = （3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式 （2012春） 23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. （2011文） 23、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合 **{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。 ⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； ⑵ 12340,,,,c c c c L 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由； ⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S （* n N ∈）。 广州中考压轴题汇总 选择题 （2014·广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 （2015·广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 （2016·广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 （2017·广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可 能是（） A．B．C．D． （2017·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到A n．则△OA2A2018的面积是（） A．504m2B．m2 C．m2 D．1009m2 填空题 （2014·广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2， 则x1（x2+x1）+x22的最小值为． （2015·广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为． （2016·广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB 绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 其中正确的结论是．[数学]数学高考压轴题大全
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