2.3.2双曲线的几何性质

双曲线几何性质 (1)

百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质 学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境 类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？ 二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完） 问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？ 问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程 图象 范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3） 三、归纳反思 椭圆和双曲线几何性质的比较： 椭圆双曲线定义 标准方程 图形 (顶点坐 标) (焦点坐 标) 范围 轴 对称轴 (对称中 心) 离心率 及其范围 a,b,c关系 渐近线

双曲线的简单几何性质总结归纳

双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结,推荐文档

北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

《双曲线的简单几何性质》教学设计.

《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2

课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O

双曲线的几何性质(一)

双曲线的几何性质(一) 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2?能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程? 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1?范围: 双曲线在不等式x>a与x<- a所表示的区域内. 2对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时， 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中 心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心。 3.顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点A i(— a,0)、A2(a,0),它们叫做双曲线的顶点. 线段A i A2叫双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长;

线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长 4.渐近线 ①我们把两条直线y= ± -x叫做双曲线的渐近线; a 2 2 ②从图可以看出，双曲线笃爲1的各支向 a b 外延伸时，与直线y= ± - x逐渐接近. a ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 2 2 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即务 / 0 a b ⑵等轴双曲线一般可设为x2 y2 k 等轴双曲线的性质：①离心率为 2 ②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y=±x且互相垂直 ④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角 5.离心率:

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结

四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系

（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

双曲线的几何性质(一)

双曲线的几何性质（一） 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称， 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫 双曲线的中心。 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；

线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线y=± x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图可以看出，双曲线122 22=-b y a x 的各支向 外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近. ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即0b y a x 22 22=- ⑵等轴双曲线一般可设为k y x 22=- 等轴双曲线的性质：①离心率为2 ②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y ＝±x 且互相垂直 ④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 5.离心率：

双曲线的几何性质.

双曲线的几何性质 （4） 教学目标：能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题 的能力． 教学过程 例1 中心在原点，一个焦点为F （1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为 m ， 求双曲线标准方程． 例2 已知点A(3,2)，F(2,0)，在双曲线22 13y x -=上求一点 P ，使1||||2 PA PF +的值最小． 例3 已知双曲线2 2 12 y x -=，求过定点A （2，1）的弦的中点P 的轨迹方程. 例4 在双曲线22 11312 x y - =-的一支上有三个不同点A (x 1,y 1)、B (x 2,6)、C (x 3,y 3)与焦点F 1(0,5)的距离成等差数列，求y 1+y 3的值． 例5已知梯形ABCD 中，AB//CD,|AB|=2|CD|，点 E 满足 ，双曲线 过 C 、 D 、 E 三点，且以 A 、 B 为焦点，当23 34 λ≤≤时，求双曲线离心率 的取值范围． 课堂练习 1．设直线y =kx 与双曲线4x 2―y 2=16相交，则实数k 的取值范围是 （A ）―2

2-2-2 双曲线的简单几何性质

能力拓展提升 一、选择题 11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D [解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知b a <0，故方程表示 焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D. 12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±1 4x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案] C [解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，所以a 2 ＋b 2 ＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐 近线的方程为y ＝±1 2x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系． 13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2 a 2

＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3 2x B ．y ＝±1 2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x [答案] A [解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2 ＝4b 2 ，∴b a ＝3 2. ∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±3 2x . 14．中心在坐标原点，离心率为5 3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±5 4x B ．y ＝±4 5x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x [答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2 a 2＝259，∴ b 2a 2＝16 9， ∴b a ＝4 3，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±4 3y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题

高中数学双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质 【知识点1】双曲线22a x -2 2b y ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x ｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2 ＝a 2 +b 2 . (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b x ，或令双曲线标准方程22a x -2 2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c ＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2 (a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2. (7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2 2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注 意方程的表达形式. 注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2 2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2 -λ＞0时 为椭圆， b 2 ＜λ＜a 2 时为双曲线) （3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2 ，与椭圆相同. 1、写出双曲线方程125492 2 -=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4 3 ±=，求双曲线的离心率

2.3.2 双曲线的几何性质

2.3.2双曲线的几何性质 班级__________姓名____________ ______年____月____日 【教学目标】了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等； 【教学重点】双曲线的几何性质及初步运用． 【教学难点】双曲线的渐近线方程的导出和论证． 【教学过程】 一、引入： 类比椭圆的几何性质来研究双曲线的几何性质． 1 2、备注： （1）渐近线：我们把两条直线___________________叫做双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的渐近线． 特别地：在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 中，如果b a =，那么方程可化为2 22a y x =-， 此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于a 2，且两条渐近线互相垂直. ____________________的双曲线叫做等轴双曲线． （2）离心率：焦距与实轴长的比 a c 叫做双曲线的离心率，记为e ，则a c e =． 离心率的范围：_______________． 特别地：双曲线的离心率反映了 的大小， ，双曲线的开口越大；

二、新授内容： 例1．求双曲线22 143 x y -=的实轴长和虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程． 例2．已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4 3 ，求双曲线的标准方程． 【变式拓展】 （1）已知双曲线 22 112x y n n -=- ，则n ＝ ． （2） 等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为(0F ，则等轴双曲线的方程为 ． （3）以椭圆19 162 2=+y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的方程是 ． 例3．求与双曲线 22 1916 x y -= 有公共的渐近线，且经过点(3,A -的双曲线标准方程． 反思：

高中数学双曲线的标准方程及其几何性质

双曲线的标准方程及其几何性质 一、双曲线的标准方程及其几何性质. 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。 (1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线. (3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：22 a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -2 2b x =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2 、y 2 的分母的大小，而是x 2 、y 2 的系数 的符号，焦点在系数正的那条轴上. 4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。 （1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式?，则有：?>?0直线与双曲线相交于两个点；?=?0直线与双曲线相交于一个点；?

(3)直线l 被双曲线截得的弦长2 212))(1(x x k AB -+=或2 212 ))(11(y y k -+ ，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且 212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出． 二、例题选讲 例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距 离为2，则双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2 D ．x 2－y 2＝1 2 解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ， ∴ |2a | 2 ＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且 ?=∠6021PF F ，31221=?F PF S ． 解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设122 22=-b y a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得 12 922 =-b a ．②， 又222c b a =+，由①、②得12=a ，4 1 2= b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19 222=-b a ， 222c b a =+．解之，得2 17 2- =b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为142 2 =-y x ． (2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义，得

双曲线的几何性质(习题)

双曲线的几何性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ — 一、选择题(共34题，题分合计170分) ） 1.双曲线9y 2－x 2 －2x －10＝0的渐近线方程是 ＝±3(x ＋1) ＝±3(x －1) ＝±31(x ＋1) ＝±31 (x －1) 2.若双曲线x 2－y 2 =1右支上一点P (a ,b )到直线y =x 的距离为2，则a ＋b 的值是 A.－21 B.21 C.－21或21 或－2 ( 3.过(0,3)作直线 L ,若L 与双曲线 342 2y x =1,只有一个公共点,则L 共有

条 条 条 条 4.双曲线2mx 2 -my 2 =2,有一条准线方程是y =1,则m 应等于 是 21 34 5.双曲线15)1(422=--y x ，经过第一象限内的点) 217 , (m P ，则P 点到双曲线右焦点的距离是__________. 6.双曲线11692 2=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 A.3 7.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 )0,7(F ，直线y =x -1与其相交于M ?N 两点,MN 中点的横坐标为, 32 -则此双曲线的方程是 … A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.1522 2=-y x 8.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F,F ,∠FMF =120°则双曲线的离心率为 A.3 B.26 C.36 D.33 9.双曲线的渐近线方程为y =±2(x -1),一焦点坐标为(1+25,0),则该双曲线的方程是 A.116)1(422=--y x B.1164)1(22=--y x C.1416)1(22=--y x D.116)1(42 2=--y x 10.过双曲线1 22 2 =-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ?B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有 条 条 条 条 11.以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 / A. 91022=+-+x y x B. 91022=--+x y x C. 091022=-++x y x

232双曲线的几何性质(2)

普通高中课程标准实验教科书—数学选修1-1[人教版B] 2.3.2 双曲线的几何性质 （第二课时） 教学目标： １．熟悉双曲线的几何性质； 2．了解双曲线的简单应用． 教学重点： 双曲线的几何性质的应用 教学过程 一、复习： 1、双曲线定义、双曲线的标准方程 2、双曲线的几何性质 二、引入新课 例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ， 高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上， 圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13 ×2 (m)，B B '=25×2 (m). 设双曲线的方程为 12 2 22=-b y a x （a >0,b >0） 令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以 ,1)55(12252 2 22=--b y .1121322 22=-b y

解方程组???????=-=--(2) 112 13(1) 1)55(1225222222 22b y b y 由方程（2）得 b y 12 5= （负值舍去）. 代入方程（1）得 ,1)5512 5( 12252222=--b b 化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m). 所以所求双曲线方程为： .1625 1442 2=-y x 说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 例 3 点M （x ,y ）与定点F (c ,o )的距离和它到定直线l :x =c a 2 的距离的比是常数),0(>>a c a c 求点M 的轨迹. 解：设 d 是点M 到直线l 的距离.根据题意，所求轨迹是集合 p =?? ????????=a c d MF M , 由此得 a c c a x y c x =-+-2 2 2)(. 化简得 (c 2－a 2)x 2-a 2y 2=a 2(c 2－a 2). 设c 2－a 2=b 2，就可化为： 0).b 0,(a 122 22>>=-b y a x

双曲线简单几何性质知识点总结

双曲线简单几何性质知 识点总结 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系

（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间 没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范 围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围： ___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜 率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心 率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义：

双曲线的简单几何性质(优秀教案)

教案 普通高中课程标准选修2-1 2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时） 教材的地位与作用 本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。 二、教案目标 （一）知识与技能 1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。 2、理解双曲线的渐近线。 （二）过程与方法 通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。 （三）情感态度与价值观 让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 三、 教案重点难点 双曲线的渐近线既是重点也是难点。 四、 教案过程 (一)课题引入 1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。 【板书】：双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的性质 2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。） 3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）

（二）双曲线的性质 1、范围： 把双曲线方程12222=-b y a x 变形为22 221b y a x +=。 因为022≥b y ，因此122≥a x ，即2 2a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。 又因为022 ≥b y ，故R y ∈。 【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。 2、对称性： 下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线122 22=-b y a x 的标准方程， 判断它的对称性？ 在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。 【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、y 轴，原点是它的对称中心。 3、顶点： 提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？ 在标准方程122 22=-b y a x 中，令0=y 得a x ±=；令0=x ，则y 无解。 这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21a A a A -。 （2）如图，对称轴上位于两顶点间的线 12 2 22=-b y a x 的实轴，其段21A A 叫做双曲线长度为a 2。尽管此双曲线与y 轴无公共 点，但y 轴上的两 个特殊的点 ),0(),,0(21b B b B -。 我们称线段21B B 为双曲线的虚轴，其长 度为b 2。 【板书】：3、顶点：)0,(),0,(21a A a A -，称21A A 为实轴，21B B 为虚轴，其中),0(),,0(21b B b B -。

双曲线的简单几何性质优秀教案

2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案) 一、 教学目标 1. 知识与技能 （1）理解并掌握双曲线的简单几何性质； （2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。 2. 过程与方法 （1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质； （2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。 3. 情感、态度与价值观 （1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力； （2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。 二、 教学重难点 1、教学重点：双曲线的几何性质 2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题 三、 教学过程 结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线 的相关几何性质。 1. 取值范围 (1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈ (2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈ 2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形 3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例） (1) 实轴——线段12A A 。122,A A a a =为半实轴长； (2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。122,B B b b =为半虚轴长。 (3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。 一般可设为：22,(0)x y m m -=≠ 4. 离心率：c e a = (1) 范围：1e >； (2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.

5. 渐近线 (1) 若22 221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a =±， (2) 若)0,0(122 22>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b =±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22 220y x a b -=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：22 22(0)x y a b λλ-=≠ 题型一：求双曲线的标准方程 例 求满足下列条件的双曲线标准方程 （1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e = ； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43 e =； （3） 以椭圆22 185 x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线. 题型二：有关渐近线的计算 例1 已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，求双曲线的离心率为. 例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为) ，求双曲线的方程. 例3 求与双曲线22 1916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程. 作业：P61 A 组 《导报》第8课时