高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须
400x x -≥??
≠? 即
40x x ≤??
≠?
所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U .
(2)要使函数有意义,必须
30lg(1)010x x x +≥??
-≠??->? 即
301x x x ≥-??
≠??
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U .
(4)要使函数有意义,必须
12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤
即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π
66k x k +≤≤+,(k 为整数).
也即ππππ
66k x k -+≤≤+ (k 为整数).
所以函数的定义域是ππ
[π,π]
66k k -++, k 为整数.
3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1
x 可以是不为零的任意实数,此
时,
1sin
x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-=
=+--1111().111x x f x x x --==++ 5.解: 1,
1101,01(1).
(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤
6.解: ()
ln (())2
2,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?
()2(())22,
(())()ln ()ln ln(ln ).x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ====
7. 证:由
3
21y x =-
解得x =
故函数3
()21f x x =-
的反函数是
)y x =
∈R ,
这与
()g x =数,所以
3
()21f x x =-
和()g x =
.
8. 解: (1)由
11x y x -=
+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x -=≠-+.
(2)由ln(2)1y x =++得1
e 2y x -=-,
所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为
1
e 2()x y x -=-∈ R . (3)由25
3x y +=解得31
(log 5)2x y =
-
所以,函数25
3x y +=的反函数为31
(log 5)(0)2y x x =-> .
(4)由
3
1cos y x =+
得cos x =又[0,π]x ∈,
故x =又由1cos 1x -≤≤得3
01cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3
1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函
数为(02)y x =≤≤.
9. 解
: (1)()()f x f x -===Q
()f x ∴=.
(2)
222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x
f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-Q ∴函数22e e sin x x
y x -=-+是奇函数.
10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2
01x
x ≤+,当0x >时,有
2
1
122x x x x ≤=+,
故(,),x ?∈-∞+∞有
12y ≤.即函数21x y x =
+有上界. 又因为函数
21x y x =
+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数
21x y x =
+有界.
又由
121212122222
1212()(1)
11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=
-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <.
故函数
21x
y x =
+在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
10,0M x ?>?>Q 且12;e 0M x M x >?>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>,
所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.
11. 解: (1)124
(1)y x =+是由12
4
,1y u u x ==+复合而成. (2)2sin (12)y x =+是由2
,sin ,12y u u v v x ===+复合而成.
(3)5
12(110
)x y -=+是由152
,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.
(4)
1
1arcsin 2y x =
+是由1
,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成. 12.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;
又每批有产品610x 件,库存数为6
102x 件,库存费为6100.052x ?元.
设总费用为,则63
100.05102y x x ?=+
. 14. 解: 当x 能被20整除,即[]20
20x x =时,邮资0.802025x x y =?=
; 当x 不能被20整除时,即[
]2020x x ≠
时,由题意知邮资0.80120x y ??=?+????.
综上所述有
,02000;2520
200.80,02000.
1202020x x
x x y x x x x ???<≤=??????=?
??????<≤≠+??????????且且
其中20x ??????,120x ??+????分别表示不超过20x ,120x +的最大整数.
15. 证: (1)由e e sinh 2x x
y x --==得
2e 2e 10x x
y --= 解方程2e 2e 10x x
y --=
得e x y =因为e 0x
>,
所以e x y =
ln(x y = 所以sinh y x =
的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==+-∞<<+∞
(2)由
e e tanh e e x x x x
y x ---==+得21e 1x y y +=-,得1112ln ,ln 121y y
x x y y ++==--; 又由10
1y
y +>-得11y -<<,
所以函数tanh y x =的反函数为
11arctan h ln (11).
21x
y x x x +==-<<-
16. 解: 011
()(2cot )(cot )
22S h AD BC h h BC BC h BC h ??=+=++=+ 从而 0cot S
BC h h ?
=-.
000()
2
2cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h
BC h h
S S h h h h ?????=++==+=+---=+=+ o
o
由0
0,cot 0S h BC h h ?>=
->
得定义域为.
17. 解:
1
(1),
1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1
(2)cos π
2n n x n -=,
当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.
21
(3)(1)21n
n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε?>,要使11π0sin 2n n x n n ε-=<<,只须
1n ε>.取1N ε??=??
??,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ??==????或大于1000的整数.
(2)lim 0
n n a x →∞
==,0ε?>,
要使
0n x ε
-==
<=<
1
ε>
即
21
n ε>
即可.
取
21N ε??
=??
??,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8
2110
0.0001N ??==????或大于108的整数.
19. 证: (1)0ε?>,要使22
110n n ε=<-,
只要n >
取
N =,则当n>N 时,恒有210n ε<-.故21lim 0n n →∞=.
(2) 0ε?>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要
5n ε>
,取5N ε??=????,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故
313lim 212n n n →∞-=
+. (3) 0ε?>,要
使
2221a n ε=<<,只
要
n >
,
取n =,则当n>N 时,
1ε<,
从而lim 1
n n →∞=.
(4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-64748L 个,故0ε?>,不防设1ε<,要使
1,0.999110n n ε=<-678L 个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-??=????则当n N >时,恒有
,0.9991n ε<-678L 个
故lim 0.9991n n →∞=678L 个.
20.证:
lim 0
n n x →∞
=Q ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n
x a ε-<.
而
n n x x a a ε
-<-<
0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,
由极限的定义知lim .
n n x a →∞
=
但这个结论的逆不成立.如
(1),lim 1,
n n n n x x →∞
=-=但lim n
n x →∞
不存在.
21. 解:
1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k k
k k n n n n n n n -??
??
<+-=<=+-+-????????Q
而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim 0k n n -→∞=
lim[(1)]0
k k n n n →∞
∴+-=.
(2)记12max{,,,}m a a a a =L
则有
<即
1n
a m a
而 1lim , lim ,
n
n n a a m a a →∞
→∞
=?=
故
n a =
即
12lim max{,,,}m n a a a =L .
(3)111(3)(123)(33)n n
n n n
n n
<++
13(123)3n n
n n
n
+<++< 而 1lim33,lim3
3
n n
n n +→∞
→∞==
故
1lim(123)3
n
n n
n →∞
++=.
(4)
111n <<+Q
而 1
lim10,lim(1)1
n n n →∞→∞=+=
故
1n =.
22. 证
: (1)12x Q ,不妨设2k x <,则
12k x +<=.
故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.
又
1n n n x x x +-=
0>,又由2n x <
从而10n n x x +->即1n n x x +>,
即数列{}n x 是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限.
设lim n n x a
→∞
=,
则a =
于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.
(2) 因为1
10x =>,且111n
n n x
x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界
又
111111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---????
++-=-=
? ?++++???? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，
从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而
122113
1,1,022x x x x ==+
=->
故10n n x x +->, 即1n n x x +>
所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a
→∞
=, 则
11a a a =+
+，
解得
a a =
=(不合题意，舍去).
所以
1lim 2n n x →∞
+=
23. 证：(1)0ε?>,要使
1sin sin 0x x
x x x ε=
≤<-,
只须
1
x ε>
,取
1
X ε>
，则当x X >时，必有
sin 0x
x ε<-,
故sin lim
x x
x →+∞=. (2)0ε?>,要使 2222
131331
3||44x x x x ε-=<<-++,
只须
x >
取
X =
X x >时，必有
2231
34x x ε-<-+,
故2231
lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε?>,要使
24
(4)22x x x ε-=<--++,
只要取δε=，则
当02x δ<<+时，必有24
(4)2x x ε
-<--+,
故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε?>,要使
2
1142221221x x x x ε
-==<+-++,
只须
122x ε<+
，取2εδ=
，则 当1
02x δ<<+时，必有214221x x ε
-<-+ 故
212
14lim 221x x x →-
-=+.
(5) 0ε?>,要使
11
sin
0sin x x x x x ε=≤<-,
只要取δε=，则 当00x δ<<-时，必有
1
sin
0x x ε<-,
故 01lim sin
x x x →=.
24. 解：
()()223
2233
lim 33933(1)lim 1lim 915
1x x x x x x x →→→---===+++.
2221
42424211
2
2
22
333422424lim()11(2)lim 2.31lim(31)1311
1111
(3)lim
lim .
11212
21111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-?+-
-==----??-- ?-??===-+??-+-+ ???222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞??++ ?
+??===+??
++ ???
Q
由无穷大与无穷小的关系知， 21lim 21x x x →∞+=∞+.
3(1)(2)(3)1123(6)lim
lim 1115511123lim lim lim .11155n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++??????
=+++ ?????????????????=??=+++ ? ? ???????
(7)因为221(1)()(1)
11x a x a b x b ax b x x +--++---=
++ 由已知21
1lim 21x x ax b x →∞
??+=-- ?+??知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之
比为1
2，于是
10a -= 且 ()1
12a b -+=
解得
3
1,2a b ==-
. 25.解：
22123(1)(1)11
1(1)lim
lim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--??===- ???L
1
22
1112244411112(2)lim lim 2.11
2212
21(1)(3)lim lim lim(1)0.11
68(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→??- ?
????==+++ ???--+-==-=---+---===-+---L
322
000(5)lim lim lim
2.
lim(1 2.x x x x x x x →+∞→→→====
=-+=-
5555x x x x →→→→====
=
3333ππ
4
4
22π
4
22π4
1cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )
(1cot )(1cot cot )
lim (1cot )(11cot cot )
1cot cot 3lim .
2cot cot 4x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x →→→→
--=---+--++=-+++++==++
1
22222(9)lim(1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)
lim 111lim .11n
n
n x x x x x x x x x x x x x
+→∞
→∞
→∞+++<-+++=--==- L L
1
11
1
1
(1(1(10)lim
(1)11
.
234!
n x n x x x n n -→-→→-====???? L L 2222311122
111321
3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)
lim lim 1.
(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-??==- ?-++-++--??
-+-+===--++++
2
2
12211
22
1lim(1)(1)(12)lim 0
1lim(1)
1lim .
(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞- Q
1log (1)
(13)log (1)a x
a x x x +=+Q
而10
lim(1).
x
x x e →+= 而1limlog log ln a a u e
u e a →==
0log (1)1
lim
.
ln a x x x a →+∴=
(14)令
1,x
u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →. 所以00011lim lim ln log (1)log (1)lim
x x u a a u a u a u x u u →→→-===++(利用(13)题的结果).
1
1
220
00
33
6ln(12)ln(12)
sin sin 2sin 0
lim 6ln(12)6lim
limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)
lim e
lim e
e e
e e .
x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x x
x
x x x
x x →→→++→→→?
?+??+??+======
(16)令sin x u x =
， 则00sin lim lim 1x x x
u x →→==
而1limln 0u u →= 所以0sin limln 0.x x x →=
26. 解：232
200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--Q
∴当0x →时，23x x -是比2
2x x -高阶的无穷小量.
27.解：
211111
(1)lim lim 112x x x x x →→-==
-+Q ∴当1x →时，1x -是与2
1x -同阶的无穷小.
2111
(1)
12(2)lim lim 1
12x x x x
x →→-+==-Q
∴当1x →时，1x -是与21
(1)
2x -等价的无穷小. 28. 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx
所以
00sin lim
lim .
sin x x mx mx m
nx nx n →→== 0
00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x →→→→→→→→=?===-===
(4)因为当0x →
时，
222
1ln(1e sin )~e sin 1~
2x x x x x
+,所以
2
2200002
e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x →→→→??
==?= ???
(5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以
00arctan 33lim
lim 3
x x x x
x x →→==. sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .2
22n n
n n n n n n n x x x x x x x x →∞→∞→∞=?
==
(7)因为当
12x →
时，arcsin(12)~12x x --,所以
2211112
2
2
2
4141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→
---+===-+=----
(8)因为当0x →时，
22arctan ~,sin
~,arcsin ~,22x x
x x x x 所以
22
00arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x x
x x x →→==?.
(9)因为当0x →时，233
1
sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以
2
33300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11
lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x x
x x x →→→→?--==?== (10)因为当0x →时，sin ~,sin ~2222x x x x
αβαβαβαβ++--，所以
22
0020222sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1
().2x x x x x
x x x x x x
x
αβαβαβαβαββα→→→+---=+--??==- (11)因为当0x →
时，arcsin ~)~,
x x --所以
000 1.
x x x →→→==-=-
(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以
222220022220020
1cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )
2(2)8
lim lim (2sec )2sec 8
4.lim(2sec )
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x →→→→→-=++?==++==+
(13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→
故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+--
又当x →0进，
222211
1cos ~
,1cos ~,22ax a x bx b x --所以
22
220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a x
ax ax ax a bx bx bx b b x
→→→→--====--
(14)因为当0x →时，222sin 0,0e e x x
x x
→→
故 22
2222sin sin ln ~,ln ~,11e e e e x
x x x x x x x ????++ ? ??
??? 所以
2222222220002222
2000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x →→→→→→→??
+ ?
+-+-??==+-+-??
+ ???
????==?=? ? ?????
=?=
29.
解：111
2
2
2
2111(1)lim lim e 1lim 11x
x
x
x x x x x x →∞→∞→∞??????
????====+++ ????? ? ???????????
10
221
21
5
53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞??+???
?????==?++?? ? ? ?+ ?---??
??
????-????10
25
5
10510
55lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞?
???????=?=?=+?? ?+?? ?
-??????-??
??
2223
3
1
1
2
cot 323tan 23tan 0
00(3)lim(13tan )
lim e .lim(13tan )(13tan )x
x x x x x x x x →→→????+===+??+?????? [][]
[]
cos 21
1cos 2122
2
1cos 21
2
1cos 21
20
22
03
3
3ln ln cos21(cos21)0
3(cos21)
ln 1(cos21)0
cos213lim
lim ln 1(cos21)2sin 3lim
ln lim (4)lim(cos 2)
lim e
lim e
lim e
e e x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→????
??+-????
→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212
2
01(cos21)sin 6ln e lim 6116e
e e .
x x x x x -→?????
?+-??????
-?? ?-??-??
===
2
2
222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x x
x
x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+??
+-=??=+ ???
??????==?+ ? ?+ ? ??????
?==
(6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.
1110001111lim lim 1.ln ln(1)ln e ln lim ln(1)lim(1)x t t
t t t x t x t t t →→→→-=-=-=-=-=-+??++????
30. 解：(1)令1
(e )x x
y x =+，则1ln ln(e )x y x x =+
于是：
()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim
1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??
++ ?????===++ ???
e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x
x x
x x x x x x x x x x →→→???
???==+?+?++ ? ????????
?=+?=
即
()
lim ln 2x y →= 即2
lim e
x y →= 即
()120
lim e e x
x
x x →=+.
(2)令1
3x
x
x
x
a b c y ??++= ?
??，则1ln ln 3x x x
a b c y x ++=
于是
003
3
3
303
3
00001lim(ln )lim ln 3
13lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x x
x
x x x x
x x a b c x x x a b c x x
x
x
x
x
x
a b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=??
+ ???????
++-??++-=?+ ???
??---++=?++ ?+?
?3
3331
(ln ln ln )ln e ln 3x x x a b c a b c ++-????-?? ???????=++?=
即0
lim(ln )x y →= 即
(
)
lim ln ln x y →=
故0lim x y →=即
1
lim 3x x x
x
x a b c →??
++= ???.
(3)令
11sin cos x
y x x ??=+ ?
??，则11ln ln sin cos y x x x ??=+ ??? 于是
1
1sin cos 11
11sin cos 11
11sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x
x x x x x x x
x x y x x x x x x x x x x x x ??+- ?
??+-→∞→∞+-→∞→∞????????=??++- ???????????
???
???=?++-+- ? ?????????
??- ?=-? ? ???
111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞??????????++- ???????????
2
111
sin 2ln e (10)ln e 1lim
lim 1
1x x x x x x →∞→∞???? ?
???=?=-?= ?- ? ?
??
即limln 1x y →∞
= 从而
(
)
lim ln 1
x y →∞
= 故lim e x y →∞
=
即 1
1lim e sin cos x
x x x →∞??=+ ???.
(4)令
211x
y x ??=+ ?
??，则21ln ln 1y x x ??=+ ??? 于是：
2
2
22
1
222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞??????==+?? ?+ ???????
???
?==?++ ? ?????=?=
即
()
lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞
→∞
==
lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x
x x →∞??=+ ???.
31.解：000(1)lim ()lim lim 1,x x x x x f x x x +++→→→=== 000lim ()lim lim 1x x x x x
f x x x ---
→→→-===-
因为 0
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→≠
所以0lim ()
x f x →不存在.
(2)2
2
221
lim ()lim ,lim ()lim(2)4
2x x x x f x f x x x ++
--→→→→==+∞=+=-
因为
2lim ()
x f x +
→不存在，所以2
lim ()
x f x →不存在.
32. 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又
21
1
1
1
lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--
→→→→=-=== Q
1
lim ()1,
x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，
又，由2
lim ()lim 0(0)x x f x x f ++
→→===，知()f x 在0x =处右连续，
综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：
图1-2
(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由
11
1
1
lim ()lim 11,lim ()lim 1,
x x x x f x f x x -
-++→-→-→-→-====-
知
1lim ()
x f x -
→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.
又由11
1
1
lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x -
-++
→→→→====
及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，
综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：
图1-3
(3)∵当x <0时，221
()lim lim 1,
1x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00
00
()lim 0,
n n n f x n n →∞-==+
当x >0时，22221
11()lim lim lim 11
11x
x
x
x x x x n n n x
n n n n f x n n n n --→∞→∞→∞-
--====+++
1,0,()lim 0,0,1,0.x x
x x
n x n n f x x n n x --→∞-
∴===?+?>?
由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，
又由 00
lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x +
+--
→→→→===-=-
知0
lim ()
x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内
连续，在0x =处间断.图形如下：
图1-4
(4)当|x |=1时，221()lim 0,
1n
n
n x f x x x →∞-==+
当|x |<1时，221()lim ,
1n
n
n x f x x x x →∞-==+
当|x |>1时，
2222111()lim
lim 111n
n
n n
n n x x f x x x x x x →∞→∞
??- ?
-??==?=-+??+ ???
即
,1,
()0,1,
,
1.x x f x x x x ? 由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由
11
1
1
lim ()lim ()1,lim ()lim 1
x x x x f x x f x x -
-++→-→-→-→-=-===-
知1
lim ()
x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.
又由 11
1
1
lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x +
+--
→→→→=-=-==
知
1
lim ()
x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.
综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断.
图形如下：
图1-5
33. 解：22111(1)(1)
(1)lim lim 2
32(1)(2)
x x x x x x x x x →→--+==--+--Q
2221lim 32x x x x →-=∞-+
1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函
数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.
π0π2
(2)lim
1,lim 0
tan tan x x k x x x x
→→+== Q
当0k ≠时，πlim
tan x k x
x →=∞
. π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±L 为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π
(π)0
2f k +=，
可使函数在x =0,及ππ
2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±L );
π,0,1,2,x k k k =≠=±±L 为无穷间断点
(3)∵当0x →时，
21
cos
x 呈振荡无极限，
∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (4)
1
1
lim lim(3) 2.x x y x ++
→→=-=Q
11
lim lim(1)0x x y x -
-
→→=-=
∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)
34.
解：
0003(1)lim ()2x x x f x →→→===
Q ∴补充定义
3(0),
2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.
x x x x x
f x x x →→→===Q
∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续.
01(3)limsin sin
x x x →=Q
∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.
10
(4)lim ()lim(1)e
x
x x f x x →→=+=Q
∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.
35. 解：(1)()f x Q 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而00lim ()lim(),
x x f x a x a ++→→=+=
lim ()lim e 1,x
x x f x --
→→== 且(0)f a =,
∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在
(,)-∞+∞上连续.
(2)()f x Q 在ππ
(,),(,)
22-∞+∞内显然连续.而
ππ2
2
ππ2
2
lim ()lim (sin )1,
π
lim ()lim (1)1,2
π
()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→
→
→
→
=+=+=+=
+=+
∴当π112b a +=+，即
π2b a =时，()f x 在π2x =
处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续. 36. 证：令
()21x
f x x =?-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ?∈使()0f ξ=即210ξ
ξ?-= 即方程21x
x ?=有一个小于1的正根.
37.证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，
且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.
(0,)a b ξ?∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程
sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.
38. 证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且
(0)(0)(),
()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-
若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，
若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ?∈,使()0F ξ=,
即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，
综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.
39.证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ?<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.
综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.
. 12()()()
()n f x f x f x f n ξ+++=
L .
40证:已知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是 12()()()
n f x f x f x m M
n +++≤
≤L ,
由介值定理知，必有
1[,]n x x ξ∈，使
12()()()
()n f x f x f x f n ξ+++=
L .
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0; 在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0; y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1 ）s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M （0，0，14 9）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v - 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 河北工程大学高等数学同步练习 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1. 求定义域 (1){(x,y ) 1 xy e e ≤≤}； (2)2k Z k k y x ∈,1+2≤+≤22； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}. 2.求极限 (1)00 1)2x y →→+=; (2)0 ; (3)22 2 2200 2sin 2lim 0()xy x y x y x y e →→+=+; (4)20 sin cos lim .2x y xy xy x xy →→=. 3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值 (1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222 2222 01lim 1x x k x k x k x k →--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y ,极限为0，不存在 ; (3)2222222211 00x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≤+≤+=+→+++.极限为0 . 4.因当220x y +≠时， 22 2 2220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0 lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续. 第二节 偏导数 1. 求下列函数的偏导数 (1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2 2() 1()x y x y --+-. 2. 6 π. 3.11(11x y =+-==. 4. 1 2 2222 2222222222 2222222222 2222 1 ln() ln(), 2 12.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y - =+=-+?=-=-?++?+--=-=?++?-=?+ 5. 22 2202 01 0sin , lim (,)0(0,0),1sin 00lim 1 0sin 0 0(0,0)lim 0x y x y x x x y f x y f x f x x x f y y y →→?→?→≤≤+==?-??+=??-?+?==??因为所以连续. （0，0），不存在， . 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:高等数学课后习题及解答
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