同济版 高等数学 课后习题解析

书后部分习题解答 P21页

3．（3）n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<

知识点：1）等比级数求和)1(1)1(1

2

≠--=++++-q q

q a aq

aq aq a n n （共n 项）

2）用P14例4的结论：当1

→n

n q

解：n

n

n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim

a

b

b

b a a n n n --=----=++∞→111111lim 11

5.（1）判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：

设a 为正常数，00>x ，)(211n

n n x a x x +=

+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n

n n n n =??≥+=

+221)(211（数列有下界） 又02)(212

1≤-=-+=-+n

n n n n n n x x a x x a

x x x （因a x n ≥+1）

（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞

→lim ，对)(211n

n n x a

x x +=

+两边取极限，

得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去）

，故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211)

1()1()]1(1[lim -++--++→x n

x n x n x 21

221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2

)

1(21+=

=+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211)

1()1(lim -++-+→x n

x n x n x 2

)

1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=

+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x

时，1cos ~1)1(3

12--+x ax ，求常数a .

知识点：1）等价无穷小的概念；

2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

解：由题意：1

322

31lim 1cos 1)1(lim 2

203

120=-=-=--+→→a x ax

x ax x x 得23-=a 或13

2]1)1()1[(2

1

1lim 1

cos 1)1(lim 31

232

22203

1

20=-

=++++?--+=--+→→a

ax ax x ax x ax x x （根式有理化）

P42页3（4） 关于间断点：

x

x x f 1sin 1)(=

0=x 为第二类间断点

说明：x

x x 1

sin 1lim 0→不存在（在0→x 的过程中，函数值不稳定，不趋向与∞）

P43页7（1）证明方程042

=-x x

在)2

1

,0(内必有一实根。

知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理

证明：设x x f x 42)(-=，易知，)(x f 在]2

1

,0[上连续； （注:设函数，闭区间）

01)0(>=f ，022)2

1

(<-=f ，

故由根的存在定理，至少在)21

,0(内存在一点ξ，使0)(=ξf ，

即方程042=-x x

在)2

1,0(内必有一实根.

P61页 3.设

)(0x f '存在，求：

（1）

x x x f x f x ??--→?)()(lim

000

（2）h h x f h x f h )

()(lim 000--+→

（3）t

x f t x f t )

()3(lim

000

-+→

分析：因

)(0x f '存在，则极限x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim

000

的值为)(0x f '。

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式 解：（1）

x x x f x f x ??--→?)()(lim

000

)()

()

())((lim 0000x f x x f x x f x '=?--?-+=→?

（2）h h x f h x f h )()(lim

000

--+→h

x f h x f x f h x f h )

()()()(lim 00000+---+=→ )

1)(()

())(()()(lim

00000

----+-

-+=→h x f h x f h x f h x f h )(2)()(000x f x f x f '='+'=

（3）t x f t x f t )()3(lim

000

-+→)(333)

()3(lim 0000x f t

x f t x f t '=?-+=→

8.用导数的定义求

?

?

?≥+<=0,)1ln(0,

)(x x x x x f 在0=x 处的导数.（可参看P51例1-2） 知识点：1）导数在一点0x 处的定义：

x

x f x x f x f x ?-?+='→?)

()(lim

)(000

0；

2）点0x 处的左右导数的定义与记号：

左导数

x x f x x f x f x ?-?+='-

→?-)

()(lim )(000

右导数

x

x f x x f x f x ?-?+='+

→?+)

()(lim )(000

3）分段函数在分界点（具体的点）处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。 解：因

0)0(=f （先写出0=x 处的函数值）

又

10

lim )0()0(lim )0(00=?-?=?-?+='--

→?→?-x

x x f x f f x x

（在0=x 处的左导数定义）

10

)1ln(lim )0()0(lim )0(00=?-?+=?-?+='-+→?→?+x

x x f x f f x x

（在0=x 处的右导数定义）

而

1)0()0()0(=''='+-f f f 故

10.设函数

???>+≤=1

,1,)(2x b ax x x x f ，为了使函数在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？

题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。 解：由题意，函数在1=x

处连续，则1)1()01()01(==+=-f f f ，即

1lim )(lim )01(21

1

===--

-→→x x f f x x b a b ax x f f x x +=+==++

+→→)(lim )(lim )01(1

1

，得1=+b a

又函数在1=x

处可导，则)1()1(+-'='f f

而

21

)1(lim )1()1(lim )1(200=?-?+=?-?+='--→?→?-x

x x f x f f x x

a x

b x a x f x f f x x =?-+?+=?-?+='--

→?→?+1

)1(lim )1()1(lim )1(00

（用到了1=+b a ） 故1,2-==b a

书后部分习题解答3（关于隐函数求导）

P62页

14． 设032=+-y x e xy ，求

=x dx

dy .

分析：1）隐函数求导；2）由0=x 代入方程要求出y 的值。 解：方程两边对x 求导：

032)1(2=?+-?+?dx dy y x dx dy x y e xy

得：2

32y

xe ye x dx dy xy

xy +-= 又由0=x 代入方程，得1-=y ，所以：

3

10

=

=x dx

dy

20.已知0)sin(2

=-y xy π，求

)1,0(-dx

dy

，

)

1,0(2

2-dx y d .

要点：求隐函数二阶导数的方法。 解：方程两边对x 求导：

02)cos()1(2=??-?

+?dx

dy y y dx dy x y ππ （1） 把1,0-==y x 代入式（1），解得π

21

)

1,0(-=-dx dy （或由式（1）解得：

x y y y

dx dy -=

)cos(22ππ （2） 再把点代入得

π

21)

1,0(-

=-dx

dy ） （求隐函数二阶求导的方法）

方法1：式（1）两边对x 求导，（记y dx dy '=，y dx

y

d ''=22） 02)cos(2)cos(22)sin(222=''??-'?'?-'??'?+''?+'+'y y y y y y y y y y y y x y y πππππππ

把1,0-==y x ，

π21)

1,0(-=-dx

dy

代入，得

2

)

1,0(2

241π

-

=-dx y d

（代入：0)1(2)1(1)21

(2)1(0021212=''?-??-?--?--++--

y ππ

πππ） 方法2：式（2）对x 求导：

2

222222])cos(2[]

12)sin(2)cos(2[])cos(2[x y y y y y y y y y x y y y dx y d --'?-'--'=

πππππππππ， 点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有0处的值）即可.

P62页15题.利用对数求导法求导 （3）x

x

x

y +-=112

说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简. 解：取对数：)]1ln()1[ln(2

1

ln 2ln x x x y +--+=（化简） 两边对x 求导：

)1111(21121x

x x y y +---+='? 所以：)11

2(112

2

x x x x x

y --+-=' （y 代入） 书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限） P82页

1．检验罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 是否成立？ 分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件； 2）若符合，ξ是否存在？

解：易知)3)(2)(1()(---=x x x x f 在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且

0)3()2()1(===f f f ，故符合罗尔定理的条件。

又由011123)(2

=+-='x x x f ，得3

3

2±

=ξ，故有)2,1(;0)(11∈='ξξf )3,2(;0)(22∈='ξξf ，符合罗尔定理的结论.

故罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 成立。 4.(3)证：b a b a -≤-arctan arctan

证：设x x f arctan )(=，当b a =时，等式成立；

若b a <，则易知x x f arctan )(=在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则由拉格朗日定理 存在),(b a ∈ξ，使)(11

))(()()(2

a b a b f a f b f -+=

-'=-ξξ

取绝对值，得a b a b a b -≤-+=

-)(11

arctan arctan 2

ξ 同理b a >，可证b a b a -≤-arctan arctan 综合：有b a b a -≤-arctan arctan

6.设函数)(x f 在闭区间[1,2]上可微，证明：ξ

ξ2)

(3)1()2(f f f '=

-，其中21<<ξ. 提示：对)(x f ，2)(x x g =用柯西中值定理.

8.证明：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，其中2

1

≤x . 题型：证明函数为常数；

用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若0)(≡'x f ，则C x f ≡)(.()(0x f C =) 证明：设)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --=，则

)123()43(11)11(3)(22

32

x x x x x f ---+

--

='，

整理，当21<

x ，0)(='x f ，故C x f ≡)(，又ππ

π=-?=2

23)0(f 所以：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，当2

1

≤x .

P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算） 2（3）x

x

x 3tan tan lim

2

π

→

解：x x x x x x x x cos 3sin 3cos sin lim 3tan tan lim

2

2

ππ

→→

=x

x

x cos )1(3cos 1lim

2

?-?=→π （用到连续性与极限的运算，相当于2

π

=

x 代入）

3sin 3sin 3lim

2

=-=→

x

x

x π

（5）)0(sin ln sin ln lim 0

>+

→m x

mx

x

解：x

x

m

mx mx

x mx x x sin cos sin cos lim sin ln sin ln lim 00?=+

+→→ 1cos cos lim cos sin sin cos lim

00=??=??=++→→x

mx x

mx m x mx x mx m x x （整理，等价无穷小的代换）

3.（2）)1

(cot lim 0x

x x -→ （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）

解：)1(cot lim 0x x x -→=x x x x x x sin sin cos lim 0-→20sin cos lim x

x

x x x -=→ （用了等价无穷小的代换） 02sin lim 2cos )sin (cos lim

00=-=--+=→→x

x

x x x x x x x x

4.（3）x

x x

)]1

[ln(lim 0

+

→ （幂指函数的极限） 解：x x x

)]1[ln(lim 0+→=)]1

ln[ln(lim 0x x x e +

→ 先求0)ln (lim 1)

1

(ln 1lim

1)ln ln(lim )]1ln[ln(lim 02

000=-=---=-=++++→→→→x

x x

x x x x x x x x x x （用到x x ln )1ln(-=，+

→0x 时，-∞→x ln ，无穷大量的倒数为无穷小）

故1)]1[ln(lim 00==+→e x

x x （4）x

x x )arctan 2(lim π

+∞→

解：)

arctan 2

ln(lim )arctan 2

(

lim x x x

x x e

x π

π

+∞

→=+∞

→

而22

1

11

arctan 1lim 1)

ln(arctan )2

ln(lim

)arctan 2

ln(lim x

x x x

x x x x x x -+?=+=+∞→+∞

→+∞

→π

π

π2arctan )1(lim 22-=+-=+∞→x x x x (用到1)

1(lim 22

-=+-+∞→x x x ，2arctan lim π=+∞→x x ) 故π

π

2

)arctan 2

(

lim -

+∞

→=e

x x

x

7.试确定常数b a ,，使得2)

()1ln(lim

2

20=+-+→x bx ax x x .

解：因=+-+→220)

()1ln(lim x bx ax x x x

bx a x x 2)

2(11

lim 0+-+→， 又0→x ，上式分母02→x ，且极限存在，则必须分子

0211

→--+bx a x

得1=a ；则

x

bx a x x 2)2(11lim 0+-+→=222122)1(1lim

2

0=--=-+-→b b x x ，得25-=b 书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）

P82页

1．检验罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 是否成立？ 分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件； 2）若符合，ξ是否存在？

解：易知)3)(2)(1()(---=x x x x f 在[1,2],[2,3]上连续，（1,2），（2,3）内可导，且

0)3()2()1(===f f f ，故符合罗尔定理的条件。

又由011123)(2=+-='x x x f ，得3

3

2±

=ξ，故有)2,1(;0)(11∈='ξξf )3,2(;0)(22∈='ξξf ，符合罗尔定理的结论.

故罗尔定理对函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 成立。 4.(3)证：b a b a -≤-arctan arctan

证：设x x f arctan )(=，当b a =时，等式成立；

若b a <，则易知x x f arctan )(=在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则由拉格朗日定理 存在),(b a ∈ξ，使)(11

))(()()(2

a b a b f a f b f -+=

-'=-ξ

ξ 取绝对值，得a b a b a b -≤-+=

-)(11

arctan arctan 2

ξ

同理b a >，可证b a b a -≤-arctan arctan 综合：有b a b a -≤-arctan arctan

6.设函数)(x f 在闭区间[1,2]上可微，证明：ξ

ξ2)

(3)1()2(f f f '=

-，其中21<<ξ.

提示：对)(x f ，2)(x x g =用柯西中值定理.

8.证明：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，其中2

1

≤x . 题型：证明函数为常数；

用到的知识：书78页定理3.4（3）的结论，若0)(≡'x f ，则C x f ≡)(.()(0x f C =) 证明：设)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --=，则

)123()43(11)11(3)(22

32

x x x x x f ---+

--

='，

整理，当21<

x ，0)(='x f ，故C x f ≡)(，又ππ

π=-?=2

23)0(f 所以：π=--)43arccos(arccos 33x x x ，当2

1

≤x .

P89页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算） 2（3）x

x

x 3tan tan lim

2

π

→

解：x x x x x x x x cos 3sin 3cos sin lim 3tan tan lim

2

2

ππ

→→

=x

x

x cos )1(3cos 1lim

2

?-?=→π （用到连续性与极限的运算，相当于2

π

=

x 代入）

3sin 3sin 3lim

2

=-=→

x

x

x π

（5）)0(sin ln sin ln lim 0>+

→m x

mx

x

解：x

x

m

mx mx

x mx x x sin cos sin cos lim sin ln sin ln lim 00?=++→→ 1cos cos lim cos sin sin cos lim

00=??=??=++→→x

mx x

mx m x mx x mx m x x （整理，等价无穷小的代换）

3.（2）)1

(cot lim 0x

x x -

→ （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限）

解：)1(cot lim 0x x x -→=x x x x x x sin sin cos lim 0-→20sin cos lim x

x

x x x -=→ （用了等价无穷小的代换）

02sin lim 2cos )sin (cos lim 00=-=--+=→→x

x

x x x x x x x x

4.（3）x

x x

)]1

[ln(lim 0

+

→ （幂指函数的极限） 解：x x x

)]1[ln(lim 0+

→=)]1

ln[ln(lim 0x x x e +

→ 先求0)ln (lim 1)

1

(ln 1lim

1)ln ln(lim )]1ln[ln(lim 02

000=-=---=-=++++→→→→x

x x

x x x x x x x x x x （用到x x ln )1ln(-=，+

→0x 时，-∞→x ln ，无穷大量的倒数为无穷小）

故1)]1[ln(lim 00==+

→e x

x x （4）x

x x )arctan 2(lim π

+∞→

解：)

arctan 2

ln(lim )arctan 2

(

lim x x x x x e x π

π

+∞

→=+∞

→

而22

1

11

arctan 1lim 1)

ln(arctan )2

ln(lim

)arctan 2

ln(lim x

x x x

x x x x x x -+?=+=+∞→+∞

→+∞

→π

π

π

2arctan )1(lim 22-=+-=+∞→x x x x (用到1

)1(lim 22

-=+-+∞→x x x ，2arctan lim π=+∞→x x ) 故π

π

2

)arctan 2

(

lim -

+∞

→=e

x x

x

7.试确定常数b a ,，使得2)

()1ln(lim 220=+-+→x

bx ax x x . 解：因=+-+→220)

()1ln(lim x bx ax x x x

bx a x x 2)

2(11

lim 0+-+→， 又0→x ，上式分母02→x ，且极限存在，则必须分子

0211

→--+bx a x

得1=a ；则

x

bx a x x 2)2(11lim 0+-+→=222122)1(1lim

2

0=--=-+-→b b x x ，得25-=b

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解

同济大学2009高数B期末考试题

同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 填空题(4'416'?=) 1. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0, 'dx y dy y ≠=, 则223 " 'd x y dy y =- . 2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1) t x f t y f e π =-?? =-?所确定的函数的 导数 32 t dy dx ==. 3. 极限111lim( )ln 2 12 n n n n n →∞ +++ =+++. 4. 微分方程22"5'6sin x y y y xe x -++=+的特解形式为(不需确定系数) 2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E -++++. 二． 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x f x a e = +在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足: [D ]. ()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><; ()0,0C a b ≤>; ()0,0D a b ≥< 6. 曲线1 ln(1)x y e x -= ++, [D ] ()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线; ()C 没有水平和铅直渐近线; ()D 有水平和铅直渐近线 7. 将0x + →时的无穷小量2 sin ,,(1)x x t tdt tdt e dt αβγ= ==-? ?排列起来, 使 得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ] (),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ; (),,D γβα 8. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20 () (0)0,lim 2x f x f x →==-, 则在该点处 ()f x : [C ] ()A 不可导; ()B 可导且'(0)0f ≠; ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.

高等数学 课后习题答案第九章

习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解：{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312 cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是 tan sin ??==

∵ 22 22 ,, z z x y x a y b ?? =-=- ?? ∴ 22 22 z l a b ? ? =--= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y); (3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2) 22 () e x y -+ ; (5)z=xy(a－x－y),a≠0. 解：（1）解方程组 2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=? ? =-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6 在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. (2)解方程组 22 2 e(2241)0 2e(1)0 x x x y z x y y z y ?=+++=? ? =+= ?? 得驻点为 1 ,1 2 ?? - ? ??. 22 2 2 4e(21) 4e(1) 2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++ =+ = 在点 1 ,1 2 ?? - ? ??处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值 e 1 ,1 2 2 z??=- - ? ??. (3) 解方程组 2 2 (62)(4)0 (6)(42)0 x y z x y y z x x y ?=--=? ? =--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx=－2(4y-y2), Z xy=4(3－x)(2－y) Z yy=－2(6x－x2) 在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点. (4)解方程组 22 22 ()22 ()22 2e(1)0 2e(1)0 x y x y x x y y x y -+ -+ ?--=? ? --=?? 得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1， 在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0. 再讨论函数z=u e-u

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 x3+ 3x2 _x _3 1.求函数f(x)= ----- 2------- 的连续区间，并求极限lim f (x), lim f (x)及lim f (x). X2+ X—6 T —」7解讪；宁2 _X—S-W3)丫Of函数在(严七6内除点xrn和Xi外是连续 X2+x—6 的，所以函数f(x)的连续区间为(=,」)、(」,2)、(2,讼). 1 在函数的连续点 x=O处，lim f(X)=f (O)=-. T 2 在函数的间断点x=2和xi 处， lim f(x)=lim Tx”)lim 以一1 )")款 X_32 '，X T (x+3)(x-2) ' 丿—J3 x-2 5 2.设函数f(x)与g(x)在点x o连续，证明函数 '^x^max{ f(x), g(x)},屮(x)=mi n{f(x), g(x)} 在点X o也连续. 证明已知 lim f(x)=f(X0), lim g(x)=g(X0). X—J Xo 可以验证 1 ?(x) =2[f(x) +g(x)+|f(x)—g(x)|] , 1 叫寸 (X)+g(X)T f(x)—g(x川. 因此?(X o) =—[f (x o) +g(x o)+| f (x o) -g(x o) 1 ], 2 1 屮(X o)=-[f (X o)+g(X o)—|f(X o)—g(X o)|]. 2 因为 1 X iV ( x)划。尹以血⑴+心-回］ 1 NU噪f(x)+xm^g(x)F xm?(X)—s^g(x)|] 1 石[f(x o)中g(X o)+|f(X o) —g(X o)|] =9x0), 所以W(x)在点X o也连续. 同理可证明屮(X)在点x o也连续. (x+3)(x—2)

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

同济大学高等数学2

同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.

同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ΛΛ2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1） （数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12 --+x ax ，求常数a .

高数课后习题及答案 第二章 2.3

2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

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同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

同济版-高等数学-课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x +=+ 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+=+221)(211（数列有下界） 又02)(2121≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞→lim ，对)(211n n n x a x x +=+两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 2 1221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 )1(21+==+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 )1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

(完整word版)同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

同济第六版高数课后习题1

习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ?B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明(2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒 等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f (A ))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A . 证明 (1)因为x ∈A ? f (x )=y ∈f (A ) ? f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))?A . (2)由(1)知f -1(f (A ))?A . 另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))?存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ?f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))?A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1) 23+=x y ; 解 由3x +2≥0得32- >x . 函数的定义域为) ,3 2[∞+-.

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A