三角函数的图像与性质
第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，
了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的
性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴
的交点等)，理解正切函数在区间????
－
π
2，
π
2内
的单调性.
1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的
单调性、周期性及对称性．如2012年新课标
全国T9等．
2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的
值域或最值问题．如2012年湖南T6等．
3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如
2012年北京T15等.
[归纳·知识整合]
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域R R?
?
?
x??x≠
π
2＋kπ，k
∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R
单调性
递增区间：
?
?
?
?
2kπ－
π
2，2kπ＋
π
2(k∈Z)
递减区间：
?
?
?
?
2kπ＋
π
2，2kπ＋
3
2
π(k∈Z)
递增区间：[2kπ－π，2kπ]
(k∈Z)
递减区间：[2kπ，2kπ＋π]
(k∈Z)
递增区间：
?
?
?
?
kπ－
π
2，kπ＋
π
2(k∈
Z)
[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？
提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π
2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．
2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？
提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π
2(k ∈Z )时是偶函
数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )时是奇函数．
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π
2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的偶函数
解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π
2)＝－cos 2x ，
∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．
2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B ．在????－π2，π2上是增函数，在????－π，－π2和????π
2，π上都是减函数 C
．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D ．在????π2，π∪????－π，－π2上是增函数，在???
?－π2，π
2上是减函数 解析：选B 由函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图象可知，该函数在????－π2，π
2上是增函数，在?
???－π，－π2和????π
2，π上是减函数． 3．函数y ＝ cos x －1
2
的定义域为( )
A.???
?－π3，π
3 B.?
???k π－π3，k π＋π
3，k ∈Z C.????2k π－π3，2k π＋π
3，k ∈Z D ．R
解析：选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π
3，k ∈Z .
4．(教材习题改编)函数f (x )＝3sin ????
x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________． 解析：函数f (x )＝3sin ????x 2－π4的最小正周期为 T ＝2π
12＝4π.
答案：4π
5．函数y ＝3－2cos ???
?x ＋π
4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ????x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．
答案：5 3π
4
＋2k π(k ∈Z )
三角函数的定义域和值域
[例1] (1)求函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域． [自主解答] (1)要使函数有意义，必须有
???
??
2sin x －1>0，
1－2cos x ≥0，即???
sin x >1
2
，
cos x ≤12
，
解得???
π6＋2k π 6 ＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π 3 ＋2k π，(k ∈Z )， 即π3＋2k π≤x ＜5π 6 ＋2k π(k ∈Z )． 故所求函数的定义域为????π3＋2k π，5π 6＋2k π(k ∈Z )． (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋9 8. 故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ————— —————————————— 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的求法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 1．(1)求函数y ＝ 2＋log 12 x ＋tan x 的定义域； (2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2????π2－x 满足f ??? ?－π 3＝f (0)，求函数f (x )在??? ?π4，11π24上的最大值和最小值． 解：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 12 x ≥0， x ＞0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，即????? 0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z ). 利用数轴可得： 所以函数的定义域是? ??? ?? x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4. (2)f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2???? π2－x ＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x . 由于f ??? ?－π 3＝f (0)， 所以a 2·sin ???? －2π3－cos ????－2π3＝－1， 即－ 34a ＋1 2 ＝－1，得a ＝2 3. 于是f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ????2x －π 6. 由于x ∈????π4，11π24，所以2x －π6∈???? π3，3π4， 因此当2x －π6＝π2即x ＝π 3时f (x )取得最大值f ????π3＝2， 当2x －π6＝3π4即x ＝11π 24 时f (x )取得最小值f ????11π24＝ 2. 三角函数的单调性 [例2] 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ????x －π4；(2)y ＝tan ??? ?π 3－2x . [自主解答] (1)由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π 2，k ∈Z ， 得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π 4，k ∈Z . 故函数y ＝2sin ??? ?x －π 4的单调减区间为 ? ???2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． (2)把函数y ＝tan ????π3－2x 变为y ＝－tan ????2x －π 3. 由k π－π2<2x －π3 2，k ∈Z ， 得k π－π6<2x 6，k ∈Z ， 即k π2－π12 12 ，k ∈Z . 故函数y ＝tan ????π3－2x 的单调减区间为 ??? ?k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 若将本例(1)改为“y ＝2??? ?sin ????x －π4”，如何求解？ 解：画出函数y ＝2????sin ????x －π4的图象，易知其单调递减区间为? ???k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． ————— —————————————— 1．三角函数单调区间的求法 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω＞0)”视为一个“整体”； ②A ＞0(A ＜0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π |ω|，单调区间 利用ωx ＋φ∈? ???k π－π2，k π＋π 2，解出x 的取值范围，即为其单调区间． 2．复合函数单调区间的求法 对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性判定方法是：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数． 3．含绝对值的三角函数单调区间的求法 求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间????0，π3上单调递增，在区间????π3，π 2上单调递减，则ω等于( ) A ．3 B ．2 C.3 2 D.23 解析：选C ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π 2ω时． y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π 2ω时， y ＝sin ωx 是减函数． 由y ＝sin ωx (ω＞0)在????0，π 3上单调递增， 在????π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，故ω＝3 2. 三角函数的周期性、奇偶性与对称性 [例3] (1)(2012·福建高考)函数f (x )＝sin ????x －π 4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π 4 B ．x ＝π 2 C ．x ＝－π 4 D ．x ＝－π 2 (2)(2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π 4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图 象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( ) A.π 4 B.π3 C.π2 D.3π4 (3)(2012·大纲全国卷)若函数f (x )＝sin x ＋φ 3 (φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π 2 B.2π 3 C.3π 2 D.5π3 [自主解答] (1)法一：(图象特征) ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π 4. 法二：(验证法) x ＝π4时，y ＝sin ????π4－π4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin ????π2－π4＝2 2，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ????－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin ????－π2－π4＝－ 2 2 ，不合题意，故D 项也不正确． (2)由于直线x ＝π4和x ＝5π 4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数 f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )． 又0<φ<π，所以φ＝π 4 . (3)若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴φ＝3k π＋3π 2(k ∈Z )．只有C 项符合． [答案] (1)C (2)A (3)C 本例(1)中函数f (x )的对称中心是什么？ 提示：令x －π4＝k π，k ∈Z ，则x ＝π 4 ＋k π，k ∈Z . 故函数f (x )＝sin ????x －π4的对称中心为????π 4＋k π，0(k ∈Z )． ——————————————————— 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性及对称性 (1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. (2)对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断. 3．(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)????|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π 12，则φ＝________. (2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________. 解析：(1)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )，得φ＝k π ＋π 4 (k ∈Z )． 又|φ|＜π2，所以k ＝0，故φ＝π4 . (2)由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π 2，(k ∈Z )． 答案：(1)π4 (2)k π＋π 2 ，k ∈Z 2个性质——周期性与奇偶性 (1)周期性 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π |ω| ，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π |ω| . (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． 3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sin x 、cos x 的有界性； (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题 (1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象． (2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响． (3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x 系数的正负． (4)利用换元法求三角函数最值时要注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 创新交汇——与三角函数性质有关的交汇问题 1．高考对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、数列、函数与导数等考查三角函数的相关性质；解答题主要与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题． 2．解决此类交汇问题的关键有以下两点： (1)熟记三角函数的性质，主要为定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等及有关结论． (2)要善于利用函数图象的形象性和直观性分析解决问题． [典例] (2012·上海高考)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π 7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100 中，正数的个数是( ) A ．16 B ．72 C ．86 D ．100 [解析] ∵函数f (x )＝sin πx 7 的最小正周期为T ＝14， 又sin π7＞0，sin 27π＞0，…，sin 67π＞0，sin 77π＝0，sin 87π＜0，…，sin 137π＜0，sin 14 7π＝0， ∴在S 1，S 2，S 3，…，S 13，S 14中，只有S 13＝S 14＝0，其余均大于0. 由周期性可知，在S 1，S 2，…，S 100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数． [答案] C [名师点评] 1．本题具有以下创新点 (1)本题表面是考查数列求和问题，其实质考查了三角函数f (x )＝sin πx 7的周期性． (2)本题巧妙将三角函数值的符号、三角函数的诱导公式、三角函数的周期性及数列求和融为一体，考查了考生的数据处理能力、推理论证能力及转化与化归能力，难度较大． 2．解决本题的关键有以下两点 (1)正确构造函数f (x )＝sin πx 7 ，并求得其周期； (2)正确利用诱导公式求出一个周期内S 1，S 2，…，S 14中是0的个数． [变式训练] 1．(2013·郑州模拟)已知曲线y ＝2sin ????x ＋π4cos ????π4－x 与直线y ＝1 2 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15PP u u u r |等于( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 解析：选B 注意到y ＝2sin ????x ＋π4cos ????π4－x ＝2sin 2????x ＋π4＝1－cos 2????x ＋π 4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π 2 ＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知， |15 PP u u u r |＝2π. 2．若三角函数f (x )的部分图象如图，则函数f (x )的解析式，以及S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)的值分别为( ) A ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012 B ．f (x )＝12cos πx 2＋1，S ＝2 012 C ．f (x )＝12sin πx 2＋1，S ＝2 012.5 D ．f (x )＝12cos πx 2 ＋1，S ＝2 012.5 解析：选A 根据已知图象，可设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1(ω＞0，A ＞0)．∵由T ＝4得2π ω＝ 4，∴ω＝π 2.A ＝f (x )最大值－f (x )最小值2＝1.5－0.52＝12 ， 又f (0)＝1 2 sin φ＋1＝1， ∴sin φ＝0得，φ＝0，∴f (x )＝12sin πx 2＋1. 又f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4， ∴S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝503×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝503×4＝2 012. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2＝( ) A ．0 B.22 C ．－1 D ．1 解析：选D 不妨设a ＝－π2，b ＝π 2，则cos a ＋b 2＝cos 0＝1. 2．(2013·银川模拟)已知函数f (x )＝sin ????2x ＋3π 2 (x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π 4对称 D ．函数f (x )在区间??? ?0，π 2上是增函数 解析：选C f (x )＝sin ????2x ＋3π 2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝π 4不 对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在??? ?0，π 2上是增函数，D 正确． 3．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)? ???ω＞0，|φ|＜π 2，且其图象 相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π 2 ，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在????0，π 2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在????0，π 2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数 解析：选B 由已知可得f (x )＝2cos ????ωx ＋φ＋π3，T 2＝π 2，得T ＝π，ω＝2.又x ＝0是对称轴，故cos ????φ＋π3＝±1，由|φ|＜π2得φ＝－π3 ，此时f (x )＝2cos 2x 在????0，π2上为减函数． 4．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为????－1，1 2，则b －a 的值不可能是( ) A.π 3 B.2π 3 C ．π D.4π3 解析：选A 画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为???? 2π3，4π3. 5．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列 四个函数中，同时具有性质①②的是( ) A ．y ＝sin ???? x 2＋π6 B ．y ＝sin ????2x －π 6 C ．y ＝sin ? ???2x ＋π 6 D ．y ＝sin|x | 解析：选B 注意到函数y ＝sin ????2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π 3时，y ＝sin ??? ?2×π3－π 6＝1，因此该函数同时具有性质①②. 6．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ????ωx ＋π4在????π 2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.???? 12，54 B.???? 12，34 C.??? ?0，12 D ．(0,2] 解析：选A 取ω＝54，f (x )＝sin ????54x ＋π4，其减区间为????85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然????π2，π?????85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ? ???2x ＋π 4，其减区间为????k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然????π2，π?? ???k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝1tan x －3的定义域为________． 解析：由已知得????? x ≠k π＋π2，k ∈Z ， tan x ≠3，即??? x ≠k π＋π 2，x ≠k π＋π3 ，k ∈Z . 故所求函数定义域为? ??? ??x ? ? x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π 3，k ∈Z . 答案：???? ??x ?? x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π 3，k ∈Z 8．函数y ＝2sin ????2x ＋π3－1，x ∈????0，π 3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________． 解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π 3≤π， ∴0≤sin ? ???2x ＋π 3≤1， ∴－1≤2sin ????2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]，且当sin ????2x ＋π3＝1，即x ＝π 12时，y 取最大值． 答案：[－1,1] π 12 9．已知函数f (x )＝cos ????ωx ＋π 6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π 2 ，则函数在[0,2π]上的零点个数为________． 解析：∵由已知f (x )＝cos ????ωx ＋π 6的周期为π， ∴2π ω ＝π，ω＝2，∴f (x )＝cos ????2x ＋π6. 当f (x )＝0时，2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π2＋π 6，则当x ∈[0,2π]时f (x )有4个零点． 答案：4 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin ????ωx －π 6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π 2 . (1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈????0，π2，f ??? ?α 2＝2，求α的值． 解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π 2， ∴最小正周期T ＝π， ∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为 y ＝2sin ? ???2x －π 6＋1. (2)∵f ????α2＝2sin ????α－π6＋1＝2， ∴sin ????α－π6＝12 . ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3 . 11．设a ＝????sin 2π＋2x 4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x －sin x )，f (x )＝a · b . (1)求函数f (x )的解析式； (2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间????－π2，2π 3上是增函数，求ω的取值范围； 解：(1)f (x )＝sin 2π＋2x 4·4sin x ＋(cos x ＋sin x )· (cos x －sin x ) ＝4sin x ·1－cos ??? ?π2＋x 2 ＋cos 2x ＝2sin x (1＋sin x )＋1－2sin 2x ＝2sin x ＋1， 故函数解析式为f (x )＝2sin x ＋1. (2)f (ωx )＝2sin ωx ＋1，ω>0. 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π 2 ， 得f (ωx )的增区间是???? 2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . ∵f (ωx )在????－π2，2π 3上是增函数， ∴????－π2，2π3?????－π2ω，π 2ω. ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω， ∴ω∈??? ?0，34. 12．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈???? 12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点????π4，0，求函数f (x )在区间????0，3π 5上的取值范围． 解：(1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ? ???2ωx －π 6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin ? ???2ωπ－π 6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋1 3(k ∈Z )． 又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝5 6. 所以f (x )的最小正周期是6π 5 . (2)由y ＝f (x )的图象过点????π4，0，得f ????π 4＝0， 即λ＝－2sin ????56×π2－π6＝－2sin π 4＝－2， 即λ＝－ 2. 故f (x )＝2sin ???? 53x －π6－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－1 2 ≤sin ????53x －π6≤1， 得－1－2≤2sin ????53x －π6－2≤2－2， 故函数f (x )在? ???0，3π 5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]． 1．求下列函数的定义域： (1)y ＝lg sin(cos x )；(2)y ＝sin x －cos x . 解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1. 利用单位圆中的余弦线OM ， 依题意知0＜OM ≤1，∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为 ???? ??x ?? －π2＋2k π＜x ＜π 2＋2k π，k ∈Z . (2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0. 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π 4，再结合正弦、余弦函数 的周期是2π，所以定义域为 ???? ??x ?? π4＋2k π≤x ≤5π 4＋2k π，k ∈Z . 2．写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ????－2x ＋π 3；(2)y ＝|tan x |. 解：(1)y ＝－sin ? ???2x －π 3， 它的增区间是y ＝sin ? ???2x －π 3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ????2x －π 3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π 2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π 12 ，k ∈Z . 故所给函数的减区间为????k π－π12，k π＋5π 12，k ∈Z ； 增区间为????k π＋5π12，k π＋11π 12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是????k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是????k π－π 2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π. 3．求下列函数的值域： (1)y ＝cos x ＋5 2－cos x ； (2)y ＝sin 2x －4sin x ＋5. 解：(1)由y ＝cos x ＋52－cos x ，得cos x ＝2y －5 y ＋1. 因为－1≤cos x ≤1， 所以－1≤2y －5y ＋1≤1，解得4 3≤y ≤6. 因此，原函数的值域为???? 43，6. (2)y ＝sin 2x －4sin x ＋5＝(sin x －2)2＋1. 因为－1≤sin x ≤1，所以2≤y ≤10. 因此，原函数的值域为[2,10]． 4．设函数f (x )＝3sin ????ωx ＋π6，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π 2为最小正周期． (1)求f (0)； (2)求f (x )的解析式； (3)已知f ????α4＋π12＝9 5，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f (0)＝3sin π6＝32. (2)∵f (x )的最小正周期为π 2， ∴ω＝2π π 2 ＝4.∴f (x )＝3sin ????4x ＋π6. (3)∵f ????α4＋π12＝3sin ????α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±1－cos 2α＝±4 5 . 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 三角函数性质与图像 备注： 以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．． . 函数sin()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,222 k k ππππ??-++?? ? ? ???→变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω）的周期ω π 2=T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2 π k ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1π2sin()2 3 y x =+的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是]65,3[π π 5．函数2 2cos()()363 y x x πππ=-≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)62sin(π -=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象 上所有点向左平移3π 个单位，所得图象的解析式是y=sin(21x+6 π). 8． 函数sin y x x =+在区间[0,2π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x + 32 5 （x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3 π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12ππ-,k π+125π], [k 125ππ+,k π+12 11π ]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,(0,6 2π π+k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()32 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ?????? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)23 y x π π=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2π，2k π＋2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知?? ? ???∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域y=2sin （x+6π）?? ? ?? 2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π-x ) 1．函数 f (x )＝sin 2x ＋3?图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝ B ．x ＝ C ．x ＝ D ．x ＝ 2．函数 y ＝sin x ＋3?cos 6－x ?的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π B. ，π C ．1， D ．1,2π 3.函数 y ＝2sin x －4?cos 4－x ?是( C ) A ．[－1,1] B ．[－ ，－1] C ．[－ ，1] D ．[－1， ] A ．f(x)在( ， )上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 A ．k π (k ∈Z) B ．k π ＋π (k ∈Z)C ．k π ＋ (k ∈Z) D ．k π － (k ∈Z) [2k π + ,2k π + ](k ∈ z ) __________________. 高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质） ? π? ? ? 5π π π π 12 3 6 12 ? π? ?π ? ? ? ? ? 1 π 2 2 ? π? ?π ? ? ? ? ? A ．周期为 2π 的奇函数 B ．周期为 π 的奇函数 C ．周期为 π 的偶函数 D ．周期为 π 的非奇非偶函数 4．函数 y ＝sin2x ＋sinx －1 的值域为(C ) 5 5 5 4 4 4 5．对于函数 f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B ) π π 4 2 C ．f(x)的最小正周期为 2π D ．f(x)的最大值为 2 6．函数 f(x)＝ 3cos(3x －θ )－sin(3x －θ )是奇函数，则 θ 等于( D ) π π 6 3 3 7. 若 f (sin x )＝3－cos2x ，则 f (cos x )＝（ C ） A 、3－cos2x 8.函数 f ( x ) = x sin( x - 5 π 2 B 、3－sin2x C 、3＋cos2x D 、3＋sin2x ) 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 9. 在 (-π , π ) 内是增函数, 且是奇函数的是( A ) . x x x A. y = sin B. y = cos C. y = - sin D. y = sin 2 x 2 2 4 1 ． 函 数 y = 2s x i - 1 n 的 定 义 域 是 _______ π 5π 6 6 2.函数 y = a + b sin x (b > 0) 的最大值是 3 ，最小值是- 1 ，则a ＝_____ 1 ， 2 2 2 1 / 2 三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象： 值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】 例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角函数的图像和性质 1．函数） 6 2sin(21π += x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈?? ? ?? ?+ - 6,3 πππ π 2．函数y ＝cos 24x π? ? - ?? ? 的单调递增区间是________． 【答案】388k k ππππ?? ???? - ＋，＋(k ∈Z) 3．函数3sin(2)3 y x π =+图象的对称中心是_______． 【答案】(,0)32 k π π - + 4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5 π ，则ω=_________。 【答案】10 5．函数)4 tan()(π +=x x f 单调增区间为（ ） A ．Z k k k ∈+ - ),2,2(π πππ B ．Z k k k ∈+),,(πππ C ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππ D ．Z k k k ∈+-),4 3,4(π πππ 【答案】C 6．下列函数中周期为π且为偶函数的是 （ ） A ．)22sin(π -=x y B. )22cos(π -=x y C. )2 sin(π +=x y D. )2 cos(π + =x y 【答案】A 7．设函数()sin(2)3 f x x π =+ ，则下列结论正确的是 A ．()f x 的图像关于直线3 x π =对称 B ．()f x 的图像关于点( ,0)4 π 对称 C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在[0,]12 π 上为增函数 【答案】D 8．如果函数)4 cos(ax y +=π 的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( ) A ．41= a B ．21=a C ．4 3 =a D ．1=a 三角函数的图像和性质 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()32f x x ππ ??=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相?=__________． 2. 三角方程2sin(2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数 sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ω?+形式． 解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2 +-=+= )4 2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π ππ -+=-?+=x x x ． 列表，取点，描图： 6π {2,}3 x x k k Z π π=±∈ )48sin(4π+π-=x y 第3题 三角函数图像与性质练习题 姓名： 班级： 分数： 1、函数522y sin x π?? =- ??? 是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数 D 、以上都不对 2、y ＝sin 2x 是（ ） A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为π的奇函数 3、函数y ＝sin （x ＋ 2 π）（x ∈［－ 2 π ， 2 π］）是（ ） A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数 4、在下列各区间中，函数y =sin （x ＋ 4 π）的单调递增区间是（ ） A.［ 2π，π］ B.［0， 4 π］ C.［－π，0］ D.［ 4 π， 2 π］ 5、在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.（ 4 π， 2 π ）∪（π， 45π） B.（ 4 π ，π） C.（ 4 π， 45π）D.（4π，π）∪（45π，2 3π） 6、下列函数中，周期是2 π 的偶函数是（ ） A.y ＝sin4x B.y ＝cos 2 2x －sin 2 2x C.y ＝tan2x D.y ＝cos2x 7、函数y ＝sin （ 3 π－2x ）＋cos2x 的最小正周期是（ ） A. 2 π B.π C.2π D.4π 8、若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x 9、函数y ＝cos 2 x －3cos x ＋2的最小值为（ ） A.2 B.0 C.－ 4 1 D.6 10如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－ 8 π对称，那么a 等于（ ） A. 2 B.－ 2 C.1 D.－1 11、在［0，2π］上满足sin x ≥21 的x 的取值范围是 （ ） A ．［0， 6 π ］ B ．［6π，65π］ C ．［6π，3 2π］ D ．［ 6 5π ，π］三角函数的图像与性质
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