高中数学基础知识与基本技能
高中数学基础知识与基本技能
数学（3） 第二章 统计（续）
五、基础知识和基本技能评估试题
第二章 统计 测试卷
（本卷用时100分钟）
（一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）： 1、下列几项调查，适合作普查的是（ ）
（A ）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标 （B ）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率 （C ）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况 （D ）调查本市小学生每人每天的零花钱
2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ）
（A ）平均数 （B ）方差 （C ）中位数 （D ）众数
3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ）
（A ）5000名学生成绩的全体是总体 （B ）每个学生的成绩是个体 （C ）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D ）样本的容量是5000
4、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则n 的值为（ ）
（A ）800 （B ）1250 （C ）1000 （D ）640
5、如果一组数据的方差是2
s ，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( ) （A ）2
5.0s （B ）2
4s （C ）2
2s （D ）2
s 6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ） （A ）每层等可能抽样 （B ）每层抽取同样的样本容量 （C ）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D ）不同的层用不同的方法抽样 7、若b a ,是常数，下列有关连加符号
∑
=n
k 1
的运算
①
∑==n
k na a 1
，②∑∑===n
k n
k k f b k bf 1
1
)()(，③[]∑∑∑===+=+n
k n k n k k g k f k g k f 1
1
1
)()()()(
其中错误的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
（Ａ）角度和它的余弦值 （Ｂ）正方形边长和面积 （Ｃ）正ｎ边形的边数和它的内角和 （Ｄ）人的年龄和身高
9、若样本,,21x x …，n x 的平均数、方差分别为x 、2
s ，则样本531+x ，532+x ，…，53+n x 的平均数、方差分别为（ ）
（A ）x 、2
s （B ）53+x 、2
s （C ）53+x 、2
9s （D ）53+x 、2)53(+s
10、“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归。根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归方程
bx a y +=∧
中，b 的取值范围是（ ）
（A ）),1[+∞ （B ）)1,0( （C ）]1,(--∞ （D ）)0,1(-
（二）、填空题（共40分，每小题4分）：
11、在一些比赛中经常采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”再取平均分的做法，这个方法的好处是 ，其不足之处则是 。 12、某住宅小区有老年人280人，中年人400人，青年人320人，为了调查他们身体状况的某项指标，现采取分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，那么老年人、中年人、青年人各应抽取的人数是 。
13、在一次射击练习中，甲、乙两人5次射击的环数分别为 甲：10，8，10，10，7 ；乙：7，10，9，9，10，则在这次练习中， 的成绩较为稳定。
14、在频率分布直方图中，数据落在各组的频率是由图中小长方形的 来表示的。
15、宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位居中国大陆第二，世界排名第五，成功跻身于国际大港行列，下图是宁波港1994年至2004年货物吞吐量统计图。
从此图你能发现哪些信息，请说出两条： （1） ，（2） 。
16、将一副已洗好的扑克牌（52张）随机确定一张为起始牌，然后按次序发牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，这种抽样方法是 。 17、若样本1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差等于64，且
5005
1
2=∑=i i
x
，则=∑=5
1
i i x 。
年份
18、某公司工人的月工资与生产效率挂钩，若工人的月工资y （元）关于生产效率x （千元/
月）变化的回归直线方程是x y
32060?+=，现生产效率每月提高500元，则工人的月工资增加 元。
19、抽取高二某班其中20名同学，记录 5 8 6
各位同学一分钟脉搏次数，其茎叶图如右， 6 4 0 1 7 左端的数字表示脉搏次数的十位数，则这 7 2 2 3 6 8 2 5 6 些同学一分钟脉搏次数的平均数、众数、 8 1 4 6 2 0 中位数分别是 、 、 。 9 0
这组样本的方差是 。
（三）、解答题（共60分，解答应有必要的文字说明）： 21、（本题满分12分）
改革开放以来，我国的劳动者结构比例发生了显著变化。1952年第一（农业）、第二（工业）、第三（其他各业）产业劳动者构成比例为83.5%，7.4%，9.1%；1994年第一、第二、第三产业劳动者构成比例分别为54.3%，22.7%，23.0%，试绘制1952年、1994年我国劳动者构成比例的统计表和圆形统计图。
22、（本题满分12分）
． 为检测某种电子产品的质量，抽取了一个容量为60的样本，检测结果为一级品10件，二级品16件，三级品26件，次品8件． ⑴列出样本频率分布表；
⑵画出表示样本频率分布的条形图；
⑶根据上述结果，估计此种商品为二级品或三级品的概率约是多少？ 23、（本题满分12分）
某人有40万元，有两种投资方案：一是购买房产，期望房产增值获取收益，二是存入银行获取利息。买房产的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要亏损2万元。如果存入银行，一年定期的年利率为2.25%．又设经济形势好、中、差的概率分别为30%，50%，20%，已知投资效益的期望值=成功的概率?成功所产生的利润+失败的概率?失败所造成的亏损．若以一年为期，试问应选择哪一种投资方案？
24、（本题满分12分）
全班有52位同学，现要从中选取7人，若采用系统抽样方法来选取，请写出抽样过程，并用概率知识说明每位同学被选取的机会是相等的。
25（本题满分12分）、
下表是对某种产品进行表面腐蚀线试验时，得到的腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对
应的一组数据：
(1)画出散点图，根据散点图分析两个变量是正相关还是负相关；
(2)假设变量y与t存在线性相关关系，试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程。
关于试卷的几点说明
（一）、本卷命题意图
1、本卷涉及的基础知识：
（1）抽样方法及其特点．如第1、6、12、16、24题；
（2）样本的数字特征．如第2、5、9、11、13、19题；
（3）样本情况的有关概念．如第3题；
（4）样本频率分布的有关概念．如第4、14、19、22题；
（5）统计表、统计图．如第15、21题；
（6）变量之间的两类关系．如第8、25题；
（7）期望的概念．如第23题；
（8）线性相关、散点图、回归直线．如第25题。
2、本卷涉及的基本技能：
（1）用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样从总体中抽取样本，并对三种抽样方法进行比较和判断．如第6、16、24题；
(2) 样本频率的计算．如第4、22题；
(3) 用样本的频率分布和数字特征估计总体分布．如第13、19、22题；
(4) 用多种方法绘制统计表和统计图．如第15、21题；
(5) 根据方差的有关性质计算方差．如第5、9、13、17、20题；
(6) 利用计算器计算平均数、标准差、方差、回归系数等．如13、19、20、25题；
(7) 作出数据较少的两个变量的散点图，根据散点图的特点判断正相关、负相关．如第
25题；
(8) 连加符号的简单运算．如第7、25题；
(9) 利用计算器和计算机有关软件求回归直线方程．如第25题；
(10) 用统计初步知识分析、解决简单的实际问题．如第1、2、10、11、12、13、23、25
题。
（二）本卷达标要求：
1、本卷如得分在88分以下，则该同学还没有掌握本章的基础知识和基本技能，因为我们认为：选择题中，第1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、8等题；填空题中，第12、13、14、15、16、18等题；解答题中，第21、22等题，均属基本题，应该熟练掌握，因此，该同学还需要进一步努力；
2、本卷如得分在89—117分之间，则该同学基本掌握了本章的基础知识和基本技能，如选择题的第9题；填空题的第11、19题；解答题的第23题、第25（1）题，都涉及到一定的基础知识和基本技能；
3、本卷如得分在118—133分之间，则该同学较好地掌握了本章的基础知识和基本技能，如填空题的第17、20题，解答题的第25（2）题，均对方差计算、线性回归方程等有较高要求。
4、本卷如得分在133分以上，则该同学已很好地掌握了本章的基础知识和基本技能；
六、发展与提高
在掌握了基础知识和基本技能的前提下，本章在能力方面还可作如下发展和提高： 1、总体期望值：总体期望值就是总体中所有观察值的总和除以个体总数所得的商，也称总体算术平均数。
总体期望值能反映总体分布中大量数据向某一点集中的情况，利用总体期望值可以对两个总体的差异进行比较。
2、总体期望值的估计：在实际操作过程中，有些总体的算术平均数难以求得，这就需要抽取样本，用样本的算术平均数来推断总体的算术平均数。样本的算术平均数公式是
++=
21(1
x x n
x …)n x + 其中n 是样本容量，,,21x x …,n x 分别是样本中个体的观察值。
值得注意的是，通过样本估计总体多少都有偏差，有时还会出现错误，减少偏差、避免出错的最有效办法就是扩大样本容量。但是，有些调查或者试验具有破坏性，如关于获取灯泡的使用寿命的试验，都是一次性的试验，具有破坏性，所以我们只能在条件许可的情况下，适当增加样本容量，并在取样的过程中尽可能提高取样的代表性。 3、算术平均数的计算简化方法：
（1）若每一个原始数据同时乘(或者同时除)以一个数，那么算术平均数的变化也同样是乘(或者除)以这个常数；
（2）若每一个原始数据同时加上(或者减去)一个常数，那么算术平均数的变化也同样是加上(或者减去)这个常数。
利用算术平均数的以上两条性质有时可以简化计算。 4、样本方差的简便计算：
使用样本方差公式+-+-=
22212
)()[(1
x x x x n
s …])(2x x n -+，需要求样本数据的算术平均数，并需要求各个数据与算术平均数的差，而算术平均数本身往往是一个小数，计算起来显得很麻烦，利用公式++=
2
2212
(1x x n
s …22)x x n -+（推导参见本章典型例题之例5），就避免了这些计算，所以能有效地减少运算量。 5、样本方差的估计值：
我们常用样本方差+-+-=22212
)()[(1
x x x x n
s …])(2x x n -+来估计总体的方差，还可以用+-+--=
*22212
)()[(1
1
x x x x n s
…])(2x x n -+来估计总体的方差。当n 很大时，两者实际上并无多大区别，并且有∑=*-=-?-=n n i s n n x x n n n s
1222
1
)(11，在一些常见的科学计算器上，同时设有这两种估计量的计算键。
6、总体密度曲线的性质：总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示
),(,21)(22)(+∞-∞∈=
--
x e
x f x σμσ
π
式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，其分布叫做正态分布，函数)(x f 称为正态函数，)(x f 的图象称为正态曲线．
分析函数解析式，不难发现正态曲线具有以下的性质： （1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； （2）曲线关于直线μ=x 对称；
（3）当μ=x 时，曲线位于最高点 ； （4）当μ
（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中．
综上，它的图象具有“两头低，中间高，左右对称”的特征（下图为1=μ时的简图）．
正态分布是自然界中最常见的一种分布，具有许多良好的性质，很多分布都可以用正态分布来近似描述或通过它导出，因此，正态分布在概率统计的理论研究中十分重要，我们将在后续学习中看到这一点.
统计教材为我们提供了许多丰富多彩的案例，这是整个中学统计的一个指导思想。提出问题，收集数据，整理数据，解释数据，研究数据特征，作出统计判断，正是本章所学的基本内容。为此我们建议：
1、不死背公式和概念，不单纯记忆图表的制作、数字特征的计算，不机械地套用公式。而应该从提取信息的角度比较各种方法的优劣，了解它们的适用范围，体会用统计方法处理问题的全过程。
2、理解统计中重要概念的实际意义，通过实际问题的解决去理解统计基本思想，加强统计知识的实践性，建议真正动手去做，深刻感受统计知识的广泛应用，使数学知识更直接地服务于各项工作和生活之中。
3、梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力。 由于抽样方法、总体分布的估计、线性回归等这些内容与现实生活联系密切，日后必将逐渐成为高考的热点。
例1我们来看课本“阅读与思考”中提到的著名案例：
1936年，美国总统选举前，一份颇有名气的杂志《文学摘要》的工作人员做了一次民意测验，调查共和党的兰登（当时任堪萨斯州州长）和民主党的罗斯福（当时的总统）谁将当选下一届总统。为了了解公众意向，调查者从电话号码簿和俱乐部会员名单上选取了1000万人调查，收回240万份调查问卷。通过分析收回的调查表，显示兰登非常受欢迎（两者之比57%∶43%），于是该杂志预测兰登将在选举中胜出，并大力进行宣传。最后结果却是罗斯福以62%∶38%的巨大优势获胜连任总统，预测失败使杂志社威信扫地，不久只得关门停刊，被称作抽样中的泰坦尼克事件。请你分析失败的原因，并谈谈你的体会。
解：预测失败主要有两方面原因，原因之一是抽取的样本不具代表性。在1936年，美国家庭电话尚未普及，大约仅有100万部左右，有条件参加社会俱乐部的人，多数为经济上富有、政治上保守的选民，当时经济萧条期刚过，贫困与失业人数较多。“罗斯福新政”动用行政手段干预市场经济，损害了部分富人的利益，但广大的美国人民从中得到了好处。该杂志抽取的样本没有很好地反映出各阶层的利益需要，有失公平性。原因之二是问卷回收率较小，一半以上的问卷意见没有得到真实反映。因此，预测失败也就不足为奇了。
评注: 以上事例说明，在抽样调查中，样本的选择至关重要，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性。再如，一些心理学实验是由志愿人员完成的，可能缺乏代表性。一些医疗广告中的数据可能只来自某个医院，并非随机抽样，也有可能产生误导。
例2 某养鱼场对放养一年的某种鱼的生长状况进行调查，现随机捞取该类鱼40尾称量出它们的体重作为样本，获得的数据如下(单位：g)：
10201130 1200 980 1010 1310 1200 1200 1080 1290 1290 1100
1170 1160 1080 1050 1000 1040 1150 1150 1100 1210 1180 1020
1090 1070 1160 1110 1300 1030 1000 1200 1210 1280 1040 1060
1090 1130 1170 1170
估计总体的算术平均数，并尝试对算术平均数的计算加以简化。
解显然我们无法直接获得总体的算术平均数，所以只有求得样本的算术平均数来推断总体，将上述数据代入算术平均数公式，得x=1130.75，所以该类鱼的体重平均约1130.75g。
我们注意到其中的40个数据的个位数字都是0，所以可以直接计算去掉个位数字0以后的数据的算术平均数为113.075，然后将结果乘以10，就得所求的算术平均数为1130.75g。
我们还可将除掉尾数后的数据都减去100得如下数据：
213 20 -2 1 31 20 20 8 29 29 10 17 16 8 5 0 4 15 15
10 21 18 2 9 7 16 11 30 3 0 20 21 28 4 6 9 13 17 17
求得其算术平均数为13.075，然后加上100得到113.075，再乘以10得到所求的算术平均数为1130.75 g。
评注：通过“同乘除”、“同加减”原理减少计算位数，从而简化计算。另外，统计计算较复杂，要求充分运用科学计算器，以提高解决问题的效率。
例3 对某批电子元件进行寿命追踪调查，抽取一个容量为200的样本，情况如下：
(1) 列出频率分布表；
(2) 画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3) 估计电子元件寿命在100ｈ～400ｈ以内的概率； (4) 估计这批电子元件的平均寿命
(2) 频率分布直方图和频率分布折线图：
(3) 从频率分布表和频率分布图可以看出，寿命在100ｈ～400ｈ的电子元件出现的频率为0.1+0.15+0.40=0.65，所以我们估计电子元件寿命在100ｈ～400ｈ的概率为0.65 . (4) 取各组的中值，可近似估计总体的平均值为
20.02500
40040.024*******.02
30020010.02200100?++?++?++?+3655.82901405.371515.02
600500=++++=?++.
估计这批电子元件的平均寿命为365小时
评注: 本例在频率分布表、频率分布直方图和频率分布折线图等知识基础上，要求学生深入体会统计的基本思想，熟练地利用样本的分布，近似地估计总体的分布，利用样本在某一范围的频率，近似地估计总体在这一范围的概率，利用样本的平均值，近似地估计总体的平均值，利用样本的方差，近似地估计总体的方差。
频率分布直方图 寿命 300 200 100 500 400 600 频率分布折线图 寿命 300 200 100 500 400 600
例 4 投资总是有风险的，可能成功，也可能失败。人们常把按以下公式算得的值作为决策时的重要依据：成功的概率?成功所产生的利润+失败的概率?失败所造成的亏损，这样算得的值叫做投资的期望值。在许多情况下，人们总是投资期望值较高的项目。
现有B A ,两种新产品，各需要投资50万元，某公司准备选择其中一种进行生产。在确定选哪一种新产品之前，分别对两种新产品进行了50次小型的试制实验，其中A 产品试制成功次数为40次，B 产品试制成功次数30次。A 产品如果生产成功，当年可盈利75万元，如果失败将亏损40万元；B 产品如果生产成功，当年可盈利100万元，如果失败，将亏损全部投资。试问该公司应该选择生产哪一种产品，可使投资的期望值更高？ 解：由已知得，
生产A 产品成功的概率约为40÷50=
54，则失败的概率约为51541=-； 生产B 产品成功的概率约为535030=÷，则失败的概率约为52
531=-，
所以，投资生产A 产品的期望值()524051
7554=-?+?=(万元)；
投资生产B 产品的期望值()40505
2
10053=-?+?=(万元)。
投资生产A 产品的期望值为52万元，投资生产B 产品的期望值为40万元。因此，该公司应该选择生产A 产品，可使投资的期望值更高。
评注：概率论与数理统计的联系十分紧密，这些知识在气象预报、商业活动、经济普查、投资决策等实际问题中应用非常广泛。本例涉及概率统计中离散型随机变量的数学期望，又称随机变量的平均数、概率平均值，将在统计的后续学习中详细介绍，读者可结合概率初步知识，与样本平均数进行比较，体味它们的联系和区别。
例5 已知一个样本共有n 2个数据，其中前n 个数据的平均数为1x ，方差为2
1s ；后n 个数据的平均数为2x ，方差为2
2s ．设该总体样本的平均数为x ，方差为2
s ． 求证：（１）)(2
1
21x x x +=
； （２）2
212
22
1
2
)2
(2x x s s s -++=． 证明：(1) 设n 2个数据分别为,,21x x …，n x ，1+n x ，2+n x ，…，n x 2，
则++=
211(1x x n x …)n x +，++=++212(1
n n x x n x …)2n x +， ∴++=21(21
x x n x …++++++21n n n x x x …)2n x + ++=21(1[21x x n …++++++21(1
)n n n x x n x …)]2n x +
)(2
1
21x x +=.
(2) ∵++=2
2212
1(1x x n
s …212)x x n -+,
++=++2
22122(1n n x x n
s …2222)x x n -+,
∴++=22212
(21x x n
s …++++212n n x x …222)x x n -+ )2(4
1)(2122212122
2121x x x x x s x s ++-+++=
2212
221)2
(2x x s s -++=.
评注:样本平均数、方差、标准差作为描述总体波动大小的特征量，本身具有许多性质，对这
些性质要从本质上去理解和把握，而不要停留在机械地套用公式的层面上。
发展与提高练习题
1、以下统计量中可以描述总体稳定性的是（ ）
A ．样本均值
B ．样本中位数
C ．样本方差
D ．样本最大数 2、总体期望值的估计是（ ）
A ．样本均值∑==n
i i x n x 11 B ．样本极差),,,min(),,,max(2121n n x x x x x x R -=
C ．样本方差∑=-=n i i x x n s 12
2
)(1 D ．样本平均差∑=-=n i i x x n A 1
1
3、已知一个容量为10的样本的方差是6.32=s ，则样本方差的估计值=*
s 。 4、一次测量活动中，7名同学测得某建筑物高如下(单位：m)
29.8 30.0 30.0 30.0 30.0 30.2 44.0 你认为此建筑物的实际高度大约是多少？
5、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下。
甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50。 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。
（1）将上述的数据可以用茎叶图来表示，要求中间数字表示得分的十位数，两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个位数；
（2）根据茎叶图对两名运动员的成绩进行比较。
6
（1）将上表中的数据制成散点图。
（2）你能从散点图中发现气温与饮料杯数近似成什么关系吗？
（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。 （4）如果某天的气温是-5 ℃，预测这天小卖部卖出热茶的杯数。
第二章 统计（参考答案）
基础知识和基本技能训练题（参考答案） （一）、选择题
1． D 2．A ３．B ４．D ５．A 6．D ７．A ８．C ９．C 10．B (二)、填空题
11．频率分布，容量越大 12．78 13．相应各组的频率 14．55% 15．18% 16．0.9 17． h a b )(- 18．系统抽样 19．81.5 20．67.5 21．5700 22．76 (三)、解答题
23．用分层抽样方法抽取样本，大、中、小型商店各抽3家、5家、12家，抽样过程略. 24．(1) 相同点：两段台阶路台阶高度的平均数相同，均为15cm ；
不同点：两段台阶路台阶高度的众数、中位数、方差和极差均不相同． (2) 甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差较小． (3) 建议尽可能使每个台阶高度接近15cm ，使得方差尽可能小．
25．第1组频数为1100)3.44.4(1.0=?-?，第2组频数为3，前4组人数依此为1，3，9，27，后6组总人数为100—（1+3+9）=87人，故等差数列的公差为5-，后6组的人数依此为27，22，17，12，7，2，所以第3组的频率27.0100
27
=为最大，视力在４.6到5.0之间的学生数为27+22+17+12=78.
26． (1) 3.99=甲x 瓦，6.99=乙x 瓦；
（2）根据抽样数据，两厂合格品的比例分别是95%，90%； （3）31.52=甲
S
，64.82=乙S ，故甲厂的生产情况比较稳定。
27． 频数自上至下空格为8，16，14，50，频率自上至下空格为0.2，0.32；频率分布直方图
中第二组、第四组小矩形的高分别是第一组小矩形高的4倍、8倍（图略）． 28．（1）略；（2）略；（3）不及格人数约为
90600609=?，优秀人数约为22060060
22
=?. 29．（1）60件；（2）第四组上交的作品数量最多，有18件；（3）第六组获奖率较高.
30．(1) 略；(2)正相关，55268.2116403.0?-=l t
基础知识和基本技能评估试题（参考答案） （一）、选择题
1、C
2、B
3、D
4、D
5、B
6、A
7、A
8、D
9、C 10、B
（二）、填空题
11、防止个别偏差大的数据造成的影响；损失了两个数据； 12、14，20，16； 13、乙； 14、面积； 15、货物吞吐量逐年递增；2004货物吞吐量为22000万吨； 16、系统抽样； 17、30±； 18、160； 19、73.15，72，74； 20、3.4； （三）、解答题
21
……(4分)
1952年我国劳动者 1994年我国劳动者 构成比例圆形统计图 构成比例圆形统计图
……(8分)
……(12分)
22、解：⑴样本的频率分布表为
第二 产业
……(4分)
⑵样本频率分布的条形图如右： ……(10分)
⑶此种产品为二级品或三级品的概率为0.27+0.43=0.7 . ……(12分)
23、解：如果投资购买房产，
收益的期望值=40000×0.3+10000×0.5+(-20000) ×0.2=13000元, ……(4分) 如果存入银行，即可获利息400000×2.25%=9000元， ……(8分)
因此，投资购买房产收益较高，但风险较大；存入银行比较保险，但收益相对较低。 ……(12分)
24、解：首先，将全班52位同学用随机方式编号，因为
7
52
不是整数，用随机数表法从总体中剔除3个， ……(4分) 再将余下的49人，按00，01，02，…，47，48重新编号并分成7段，每段7人，在第一段的7个编号00，01，02，…，06中，随机定一起始号0i ，则0i ，
70+i ，140+i ，…，420+i 就是所抽取的一个样本。 ……(8分)
在52人中剔除3人的概率为523，即不被剔除的概率为52
49，再将49人随机分成7组，然后从每个小组的7人中选取1人，其概率为7
1
，由此可见，每位同学被选取的概率均是
52
7715249=?。 ……(12分)
25、解：(1)散点图略，呈直线形。 这些点散布在从左下角到右上角的区域，因此两个变量
呈正相关。 ……(4分) (2)经计算可得
45.19,36.46==
∑∑∑======111
11
1
2
11
1
213910,5442,36750i i i i i i i
y t y t
……(8分)
∴∑∑==-?-=
111
2
2
11
11111i i i i
i t
t y
t y
t b ,3.036.46113675045
.1936.4611139102
≈?-??-=
542.536.463.045.19≈?-=-=t b y a ，
故所求的回归直线方程为542.53.0?+=t y
……(12分) （说明：有条件的读者可用Excel 软件验证上述回归直线方程）
发展与提高练习题（参考答案） 1、C 2、A 3、2
4、由于其中有一个特别大的数据44.0，估计是由于操作不正确或仪器故障造成的，因此
它们的平均数32.0 m 不能正确地反映该建筑物的实际高度，用中位数或众数来代表该建筑物的高比较合理，上面的7个数据中的中位数、众数均是30.0，因此我们有理由认为此建筑物的实际高度大约是30.0 m 。 5、（1）
（2）从这个茎叶图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是26。因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好。
6、 提示：当运用直线近似表示温度与杯数的关系时，可选择能反映直线变化的两个点，例如（4，50），（18，24）确定一条直线；也可以取一条直线，使得直线一侧和另一侧点的个数基本相同；还可能多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距，答案略。
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
数学基础知识大全
数学基础知识大全 常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半 径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高
高一数学上册基础知识点总结
数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
高中数学基本知识必背清单手册
高中数学 知识必背手册 目录 复数 ............................................................................................................................................. - 1 -集合与逻辑.................................................................................................................................. - 2 -三角学部分.................................................................................................................................. - 4 -数列部分...................................................................................................................................... - 8 -立体几何部分............................................................................................................................ - 11 -统计与概率................................................................................................................................ - 24 -解析几何必背公式.................................................................................................................... - 26 -导数必背知识清单.................................................................................................................... - 29 -平面向量.................................................................................................................................... - 30 -
高中数学 基础知识汇总
第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④| |2:)cos(),sin(ωπ ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论 )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； 8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02 =++c bx ax ； ⑻其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y ； 9．二次函数： ⑴解析式： ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(；②顶点式：k h x a x f +-=2 )()(，),(k h 为顶点；
高考文科数学的答题技巧总结
高考文科数学的答题技巧总结 适当多做题,养成良好的解题习惯 要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路.刚开始要从基础题入手,以课本上的习题为准,反复练习打好基础,再找一些课外的习题,以帮助开拓思路,提高自己的分析、解决能力,掌握一般的解题规律.对于一些易错题,可备有错题集,写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在,以便及时更正.在平时要养成良好的解题习惯.让自己的精力高度集中,使大脑兴奋,思维敏捷,能够进入最佳状态,在考试中能运用自如.实践证明：越到关键时候,你所表现的解题习惯与平时练习无异.如果平时解题时随便、粗心、大意等,往往在大考中充分暴露,故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的. 合理分配时间 1、文科数学就是和时间的斗争。高考文科数学试卷一发下来后，首先把全部问题看一遍。找出其中看上去最容易解答的题，然后假定步骤，思考怎么样的顺序解题才最好。 2、切忌不看题目盲目背题，要仔细审题，清楚题目要求你解决什么问题，然后有条不紊迅速解题，提高准确率。 3、解题格式要规范，重点步骤要突出。 4、选择题时间控制在35分中以内。小题小做、巧做、简单做，选择题和填空题要多用数形结合、特殊值验证法等技巧，节约时间。 5、保持心静，以不变应万变。切莫因旁人的翻卷或其他行为干扰自己的解决思路。这些都是高考文科数学应试答题高分技巧。 浏览试卷，确定考试策略 一般提前5分钟发卷，涂卡、填密封线内部分和座号后浏览试卷：试卷发下后，先利用23分钟时间迅速把试卷浏览一遍，检查试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、分值等概况以及试题的数目、类型、结构、占分比例、哪些是难题，同时根据考试时间分配做题时间，做到心中有数，把握全局，做题时心绪平定，得心应手。 巧妙制定答题顺序 在浏览完试卷后，对答题顺序基本上做到心中有数，然后尽快做出答题顺序，排序要注意以下几点： 1.根据自己对考试内容所掌握的程度和试题分值来确定答题顺序。
高中数学基础知识与基本技能
高中数学基础知识与基本技能 数学（3） 第二章 统计（续） 五、基础知识和基本技能评估试题 第二章 统计 测试卷 （本卷用时100分钟） （一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）： 1、下列几项调查，适合作普查的是（ ） （A ）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标 （B ）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率 （C ）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况 （D ）调查本市小学生每人每天的零花钱 2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ） （A ）平均数 （B ）方差 （C ）中位数 （D ）众数 3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ） （A ）5000名学生成绩的全体是总体 （B ）每个学生的成绩是个体 （C ）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D ）样本的容量是5000 4、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则n 的值为（ ） （A ）800 （B ）1250 （C ）1000 （D ）640 5、如果一组数据的方差是2 s ，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( ) （A ）2 5.0s （B ）2 4s （C ）2 2s （D ）2 s 6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ） （A ）每层等可能抽样 （B ）每层抽取同样的样本容量 （C ）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D ）不同的层用不同的方法抽样 7、若b a ,是常数，下列有关连加符号 ∑ =n k 1 的运算 ① ∑==n k na a 1 ，②∑∑===n k n k k f b k bf 1 1 )()(，③[]∑∑∑===+=+n k n k n k k g k f k g k f 1 1 1 )()()()( 其中错误的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
高中数学必修1-5知识点归纳与公式大全
必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 § 1.1.1 、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法 . § 1.1.2 、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A是集合 B的 子集。记作 A B . 2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集 . § 1.1.3 、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 .记作：A B . 2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集.记作：A B . 3、全集、补集？C U A { x | x U , 且 x U } § 1.2.1 、函数的概念 1、设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f: A B 为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x , x A . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等 . § 1.2.2 、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. § 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性证明的一般格式： 解：设 x1 , x2a, b 且 x1x2，则： f x1 f x2=, §1.3.2 、奇偶性 1 、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） § 2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、一般地，如果x n a ，那么x叫做a的n次方根。其中n 1, n N . 2、当n为奇数时，n a n a ； n n a n
高中数学必修系列函数基础知识
高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 高考数学总复习基础知识手册 一、 集合与简易逻辑 基本考点 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．子集个数 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 非空的真子集有2n –2个. 6. 7. 8. 9.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 常用结论 1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性. 2.对集合A B 、，A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.? 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B =”；“并的补等于补的交，即 ()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”. 7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”. 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果. 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?. 8.充要条件 条件推结论为充分，结论反推条件为必要 二、 函 数 基础考点 1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 原命题若p 则q 否命题 若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为 逆否 互逆否 互为逆否互互逆否 互第一章 集合与简易逻辑 一、集合知识 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质: ①U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C ②C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 6. 设集合A 中有n 个元素,则①A 的子集个数为n 2； ②A 的真子集个数为12-n ； ③A 的非空子集个数为12-n ；④A 的非空真子集个数为22-n . 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集 二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式的解集b ax >（)00<>a a 或分 ②一元二次不等式的解集)0(02>>++a c bx ax ：（大于取两边，小于取中间） ③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法 ???≠≥?≥>?>0 )(0 )()(0)() (; 0)()(0) ()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f （移项通分，不能去分母） 3.含绝对值不等式的解法 c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （将x 的系数化为正,大于取两边，小于取中间） 三．简易逻辑 1．构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )(一真则真)； p 且q(记作“p ∧q ” )（一假则假）；非p(记作“┑q ” )（真假相反） 。 2．四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 (原命题?逆否命题) 3、充要条件： 4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 根据高分考生笔记整理，助你30分钟熟记高考数学必考知识点 快速提高高考成绩 高分考生的经验： 对于以下知识点不必死记硬背，打印出来夹在笔记本中就可以。在练习中遇上不懂，先不要看答案，看看以下知识点，尝试解题，这样留下的印象最深刻，思考过程最重要。往往是每道题到牵涉其中几个考点，一道题就巩固几个考点，一直坚持练习做题，可以快速提高成绩。一般在几天左右就可以见效果，明显感觉到思路通畅，速度明显提高。另外，题海战术不可取，泛泛做100道题，不如认认真真理解好1道典型例题。 一、集合 （1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 二、函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数高中数学必修一集合知识点总结大全34337
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