高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧

一、常规七大题型：

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为

，

，代入方程，然

后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02

020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122

22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02

020=-k b y a x

（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点

及

，求线段

的中点

P 的轨迹方程。

（2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

，为焦点，，。

（1 （2）求

的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题

（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

最值问题的处理思路：

1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；

2、数形结合，用化曲为直的转化思想；

3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；

4、借助均值不等式求最值。

典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，

|AB|≤2p

（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

典型例题

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与

（6）存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使

这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

典型例题已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。

典型例题已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的

交点（如图）。

（1）求的取值范围；

（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

四、解题的技巧方面：

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

（1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

（3）充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆

和0的交点，且圆心在直线：

上的圆的方程。

（4）充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

典型例题 P 为椭圆22

221x y a b

+=上一动点，A 为长轴的右端点，B 为短轴的上端点，求四边形OAPB 面积的最大

值及此时点P 的坐标。

（5）线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程

的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则

|

|a △·，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线

被椭圆

所截得的线段AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例 、

是椭圆

的两个焦点，AB 是经过

的弦，若

，求值||||22B F A F +

③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线的焦点，点P 在抛物线

上移动，若

取

得最小值，求点P 的坐标。

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121

tan 1k k k k α-=

+

（3）弦长公式

直线

y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

= 或12AB y =- （4）两条直线的位置关系

①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

2a = (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：22

1(0)x y m n m n

+=?<

距离式方程：

2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22

222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知21F F 、是椭圆13

42

2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则

动点M 的轨迹是（ ）

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D 、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式：1

2

2tan 2

F PF P b θ

?=在椭圆上时，S

1

2

2cot 2

F PF P b θ

?=在双曲线上时，S

（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?u u u

r u u u u r u u u r u u u u r ）

(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左

加右减，上加下减”。

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

（3）11||,||22

p

p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题） 中点则有

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？

如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

使用判别式0?≥，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点

1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消

元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b =+，就意味着k 存在。 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC ，从而得

016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；

解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有116

20,116202

2

222121=+=+y x y x

两式作差有

16)

)((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04

500=+k

y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由2321=+x x ，得30=x ，由03

4

21=++y y 得20-=y ，代入（1）得5

6

=k

直线BC 的方程为02856=--y x

2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2）

设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入，得080510)54(222=-+++b bkx x k

2

215410k kb

x x +-=

+，222154805k b x x +-= 2

2

22122154804,548k

k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292

2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94

-

=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494

-=-?+

x

y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9

20

()916(222≠=-+y y x 。

4、设而不求法

成例2、如图，已知梯形ABCD 中CD

AB

2=，点E 分有向线段AC 所

时，

的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当4

33

2≤≤λ求双曲线离心率e 的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运

算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy ，如图，若设C ??

?

??h c , 2

，

代入

12

2

22=-b y a x ，求得h =L ，进而求得,,E E x y ==L L 再代入

12

2

22=-b y a x ，建立目标函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=，此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解

题策略,

建立目标函数(,,,)0f a b c λ=，整理(,)0f e λ=,化繁为简.

解法一：如图，以AB 为垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称

依题意，记A ()0 ,c -，C ??

? ??h c , 2

，E ()00 ,y x ，其中||2

1

AB c =为双

曲线的半焦距，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得

()()122120+-=++-=λλλλ

c c

c x ， λ

λ+=10h y

设双曲线的方程为22

22=-b

y a x ，则离心率a c

e =

由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和a

c e =代入双曲线方程得 1422

2=-b h e ， ①

11124

22

2=??? ??+-??? ??+-b

h e λλλλ ②

由①式得

1422

2-=e b h ， ③

将③式代入②式，整理得

()λλ21444

2

+=-e ，

故 1

312+-=e λ

由题设4332≤≤λ得，4

3231322≤+-≤e

解得 107≤≤e

所以双曲线的离心率的取值范围为[]10

, 7

分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示，回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．

解法二：建系同解法一，(),E C AE a ex AC a ex =-+=+，

()()22121E c

c c x λλλλ-+-==++，又1AE AC λλ

=

+，代入整理1312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得，4

3

231322≤+-≤e 解得 107≤≤e

所以双曲线的离心率的取值范围为[]10

, 7

5例3，当10<

的值及此时点B 的坐标。

分析：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l 平行的直线，必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=?. 由此出发，可设计如下解题思路：

()10)

2(:

<<-=k x k y l

k

kx y l 2:'-+=

的值解得k

解题过程略.

l ’的方程代入双曲线方程，消去y ，令判别式0=?

直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为

2

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：

简解上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为： )1<

的方程. 由于，从而有

.222222k x kx k x kx +++-=-+-

于是关于x 的方程()*

?)1(22222+=+++-k k x kx

?()

????

?>+-++-+=+0

2)1(2,

)2)1(2(22

2222kx k k kx k k x ?()

()()

????

?>+-+=--++

-++-.

02)1(2,022)1(22)1(2212

2

2

222

kx k k k k

x k k k x k

由10<

方程()()()

022)1(22)1(2212

2

2

2

2

=--++-++-k k x k k k x k 的二根同正，故

02)1(22>+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于

()

(

)()

022)1(22)1(2212

2

2

2

2

=--++

-++-k k

x k k k x k

.

由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0=

?，就可解得

55

2

=

k.

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点),(y x

Q的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将y

x,与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB

目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到

x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

在得到()k f x =之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于y x ,的方程（不含k ），则可由1)4(+-=x k y 解得4

1

--=x y k ，直接代入()k f x =即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由QB

AQ

PB

AP

-

=可得：x

x x x x x --=

--21

21

4

4， 解之得：)

(82)(4212121x x x x x x x +--+= （1）

设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程：

()

08)41(2)41(412222

=--+-++k x k k x k

（2）

∴

?????

--=+-=+.8)41(2,12)14(422

221k x x k k k x x = 与y -在（可求得

910216<-x 故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （9

10

2169

10216+<

<-x ）.

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22

94

1+=顺次交于

A 、

B 两点，试求的取值

范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB

=B

A x x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根

源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想

实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手，

=B

A

x x -

已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得045544922=+++kx x k

解之得

.4

95

9627222

,1+-±-=k k k x

因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.

当0>k 时，4

95

9627221+-+-=

k k k x ，4

95962722

2+---=

k k k x ， 所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2

5

929181k -+-

.

由 ()049180)54(22≥+--=?k k , 解得 9

52≥k ，

所以 5

15

92918112

-

<-+-

≤-k ， 综上 5

1

1-≤≤

-PB AP .

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的

根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于

2

1x x PB AP

-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.

简解，代入椭圆方程，消去y 得

）

则

???

?

+=.4945221k x x 令

λ=21

x x ，则，.

20

453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥?可得 9

5

2≥k ， 从而有

536

20

45324422≤+≤k k ，所以 53621

4≤

++≤λ

λ，解得 55

1

≤≤λ. 结合10≤<λ得15

1

≤≤λ. 综上，5

1

1-≤≤

-PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为B A ,，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1=?FB AF

，

1=．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于Q P ,两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ?的垂心？若存在，求出直线l 的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程：

（Ⅱ）

消元

解题过程：

（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,则1c =

又∵1=?FB AF 即 22()()1a c a c a c +?-==-，∴22a =

故椭圆方程为2

212

x y +=

（Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于Q P ,两点，且F 恰为PQM ?的垂心，则

设1122(,),(,)P x y Q x y ，∵(0,1),(1,0)M F ，故1=PQ k ， 于是设直线l 为 y x m =+，由22

22

y x m x y =+??

+=?得，22

34220x mx m ++-= ∵12210(1)(1)MP FQ x x y y ?==-+-u u u r u u u r

又(1,2)i i y x m i =+=

得1221(1)()(1)0x x x m x m -+++-= 即

220m -= 由韦达定理得220m m -=

（舍） 经检验m =点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、

31,2C ??

???

三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程：

（Ⅱ）若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点，(1,0),(1,0)F H -，当ΔDFH 内切圆的面积最大时，求ΔDFH 内心的坐标；

（Ⅱ）

解题过程：（Ⅰ）设椭圆方程为1

2

2=

+ny

mx()0

,0>

>n

m，将(2,0)

A-、(2,0)

B、3

(1,)

2

C代入椭圆E的方程，得

41,

9

1

4

m

m n

=

?

?

?

+=

??

解得11

,

43

m n

==.∴椭圆E的方程

22

1

43

x y

+=．

（Ⅱ）|边上的高为S=1

当点D

设Δ6?

所以R

点石成金：

的内切圆

的内切圆

的周长

?

?

?

?

?

=r

S

2

1

例8、已知定点)01

(，

-

C及椭圆5

32

2=

+y

x，过点C的动直线与椭圆相交于A B

，两点.

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是1

2

-，求直线AB的方程；

（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MB

MA?为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

思维流程：

（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为(1)

y k x

=+，

将(1)

y k x

=+代入5

32

2=

+y

x，消去y整理得2222

(31)6350.

k x k x k

+++-=

设

1122

()()

A x y

B x y

，，，，

则4222

122364(31)(35)0 (1) 6. (2)

31k k k k x x k ??=-+->??+=-?+?

， 由线段AB 中点的横坐标是1

2-， 得2122312312x x k k +=-=-+

，解得k =，符合题意。 所以直线AB 的方程为

10x +=，或

10x ++=. （Ⅱ）解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使MB MA ?为常数.

① 当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知 22121222635

. (3)3131

k k x x x x k k -+=-=++，

所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ?=--+=--+++u u u r u u u r

22221212(1)()().

k x x k m x x k m =++-+++将

(3)

代入，整理得

2

2

2222114(2)(31)2(61)533

31

m k m m k MA MB m m k -+----?=+=

++u u u r u u u r 2216142.m m m +=+-- 无关的常数， 从而有

② 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为7

3-时， 亦有u u 综上，在x 轴上存在定点703

M ??- ???，，使MB MA ?为常数.

点石成金：2

2

2222114(2)(31)2(61)5333131

m k m m k MA MB m m k k -+----?=+=

+++u u u r u u u r 221614

2.33(31)

m m m k +=+--

+

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：

解：（1）设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

则?????==?????=+=28

11422222

b a b a

b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x

（Ⅱ）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =21

m x y l +=∴2

1的方程为：

由0422128

212222=-++∴????

???=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，

,22,0)42(4)2(22≠<<->--=?∴m m m m 且解得

（Ⅲ）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2(2212-=-=+m x x m x A 则1k 由可得2x

41+x

而)

2)(2()

2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=

+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)

2)(2()

1(4))(2()2)(2()

2)(121

()2)(12

1(212212*********------+-=

----+++=

----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x

)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形?021=+k k

例10、已知双曲线122

22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是

.2

3

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 思维流程： 解：∵（1）

,3

32=a c 原点到直线AB ：

1=-b

y a x 的距离.

3,1.2322==∴==+=a b c ab

b a ab d .

故所求双曲线方程为

.1

22

=-y x

（2）把07830=--kx .

设

0k x ,000=++∴k ky x 即

7,0,0315311522

2=∴≠=+-+-k k k k

k k k 又 故所求k=±7.

点石成金: C ，D 都在以B 为圆心的圆上?BC=BD ?BE ⊥CD;

例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（II ）若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以

AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐

标．

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

历年圆锥曲线高考题附答案

数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。

高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案2圆锥曲线形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__(答:b。如 (1)短轴长为，于双曲线5S,1.圆锥曲线的两定义: ) 22,tan第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中，22xy2(2)双曲线(以()为,,1ab,,0,02a与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常22122aby2练习:点P是双曲线上上一点，为 x,,1F,F2a数一定要大于，当常数等于时，轨迹FFFF例):?范围:或;?焦点:两个xayR,,,12xa,,121212;?对称性:两条对称轴，一焦点(,0),cxy,,0,0F，当常数小于时，无轨迹;双曲线是线段FFF=24，求的周双曲线的两个焦点，且 PFPF1212,PFF1212个对称中心(0,0)，两个顶点，其中实轴长为(,0),a中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数长。 12b2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等a8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)2a2a，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝12时，称为等轴双曲线，其方程可设为以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦2a2a对值”与,|FF|不可忽视。若,|FF|，则21212a点弦， M为准线与x轴的交点，则?AMF,?BMF;(3)22;?准线:两条准线; ?x,,xykk,,,,02a轨迹是以F，F为端点的两条射线，若，|FF|，1212设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，c11则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双c若P为AB的中点，则PA?PB;(4)若AO的延长线11e,1离心率:e,，双曲线，等轴双曲线,曲线的一支。 a，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行交准线于C2222如方程表示的(6)(6)8xyxy,，,，，,于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。，越小，开口越小，越大，开口越 大;e,2ee,曲线是_____(答:双曲线的左支) b ?两条渐近线:。 yx,,9、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两ykxb,，a2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心

圆锥曲线解题技巧教案

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1

(完整版)圆锥曲线高考题及答案

数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

高考数学圆锥曲线历年高考真题

浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B ,

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

2019届高考数学理总复习微专题5 高考中的圆锥曲线问题

微专题5高考中的圆锥曲线问题 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(,),其实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是() A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 2.设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,若∠F1PF2=90°,c=2,=3,则双曲线的两条渐近线的夹角为() A. B. C. D. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是() A.[,1) B.(0,] C.[,1) D.(0,] 4.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的两点, P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是[,2],则直线PN的斜率的取值范围是() A.(,) B.[-,-] C.[,] D.[-,-]∪[,] 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知离心率为的椭圆C:+=1(0

7.(12分)如图5-1,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(2,-1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ 平分∠APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值. 图5-1 8.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(-,0), 且过点T(,). (1)求椭圆C的方程; (2)设P(0,-1),直线l与椭圆C交于A,B两点,且|PA|=|PB|.求△OAB(O为坐标原点)的面积S的取值范围. 9.(12分)如图5-2,AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦,且以AB为直径的圆恒过原点O(A,B均不与O重合),△AOB 面积的最小值为16. (1)求抛物线的方程; (2)设过点A,B的切线的交点为M,试问点M是否在某定直线上?若在,求出该直线的方程;若不在,请说明理由. 图5-2 10.(12分)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为B,A(2,0),C为圆上任意一点,线段AC的垂直平分线l与线段CB的交点为P. (1)求点P的轨迹Γ的方程; (2)已知Q为曲线Γ上一动点,M(3,0),过O(O为坐标原点)作线段QM的垂线交曲线Γ于E,D两点,求的取值范围. 答案