质数 合数 分解质因数

质数合数分解质因数

在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．

偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数．

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数．

例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．

分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25．

例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？

分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数．

解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．

质数的推断方法是，当一个数比拟小时，用定义直接推断，但这个数比拟大时，通常采纳查质数表，最好记住100以内的全部质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数肯定是质数．

例如，推断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数肯定是质数，否则不是质数．推断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的全部的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就肯定不能被4，6，8，9，10等数〔分别为2，3，5的倍数〕整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97&247;11=8…9，97&247;13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此推断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．

推断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；推断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；推断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；推断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何推断？

例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．

分析：如果采纳观察、计算调整的方法是比拟麻烦的．要使两组数的乘积

相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，依据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．

解：将八个数分解成质因数：

40=23&215;5 44=22&215;11

45=32&215;5 63=32&215;7

65=5&215;13 78=2&215;3&215;13

99=32&215;11 105=3&215;5&215;7

这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．

例4 360有多少个约数？

分析：如果先求360的全部约数，再数出它们的个数，显然比拟麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23&215;32&215;5，360的任意一个约数均由假设干个2或3或5组成，我们将360的全部约数列成下面的数阵：

1 2 22 23

3 2&215;3 22&215;3 23&215;3

32 2&215;32 22&215;32 23&215;32

5 2&215;5 22&215;5 23&215;5

3&215;5 2&215;3&215;5 22&215;3&215;5 23&215;3&215;5

32&215;52&215;32&215;522&215;32&215;5 23&215;32&215;5

这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4&215;6=24个，而

24=〔3+1〕&215;〔2+1〕&215;〔1+1〕，这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：

如果A分解质因数为：

则A的全体约数的个数为：

〔r1+1〕&215;〔r2+1〕&215;…&215;〔rn+1〕

例5 有30个约数的最小自然数是多少？

分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为以下形式：

其中a1，a2，a3为互不相同的质数．

要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样

A=24&215;32&215;5=720

解：因为30=30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，而且题中要求

a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24&215;32&215;5=720．

例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．

分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按

照上述方法找出后，再依据质数的推断方法去筛选就可得出结果．

首先简单得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：

11，13，15，17，19；

41，43，45，47，49；

71，73，75，77，79；

101，103，105，107，109；

131，133，135，137，139；

161，163，165，167，169；

191，193，195，197，199；

依据质数的推断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．

解：200以内其它五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．

小学奥数质数合数分解质因数

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a <<

小学奥数质数合数分解质因数

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯L 其中为质数， 12k a a a <<

质数 合数 分解质因数

在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个．除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数．例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46÷2=23，所以2与23的和为25．例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数．解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，最好记住100以内的所有质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数．例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数．判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97÷11=8…9， 97÷13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；判断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；判断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何判断？例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．分析：如果采用观察、计算调整的方法是比较麻烦的．要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的．解：将八个数分解成质因数：40=23×5 44=22×1145=32×5 63=32×765=5×13 78=2×3×1399=32×11 105=3×5×7这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．例4 360有多少个约数？分析：如果先求360的所有约数，再数出它们的个数，显然比较麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2或3或5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：1 2 22 233 2×3 22×3 23×332 2×32 22×32 23×325 2×5 22×5 23×53×5 2×3×5 22×3×5 23×3×532×5 2×

第二节 质数、合数和分解

第二节质数、合数和分解质因数 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 判断一个数是质数还是合数的常用方法： 对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有 质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。 30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。 如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。 例题讲解 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 例7：有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？ 练习 1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？ 3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？ 4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？ 5、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数分别是多少 6、把 7、14、20、21、2 8、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。

3.分解质因数

知识要点： 质因数：把合数用质数的形式表示出来，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 判断100以内的数是不是质数，只需用2,3,5,7这四个数去除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数；否则不是质数。 判断200以内的数是不是质数，只需用2,3,5,7,11,13这六个数去除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数；否则不是质数。 判断500以内的数是不是质数，只需用2,3,5,7,11,13,17,19,23这九个数去除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数；否则不是质数。 判断互质数的技巧：⑴两个质数互质；⑵两个连续自然数互质； ⑶1和任何自然数互质；⑷2和任何奇数互质；⑸自然数a和b，若a ＞b，且a是质数，则a和b互质；⑹自然数a和b，若a＞b，且b 是质数，a不是b的倍数，则a和b互质；⑺两个连续的奇数互质。 求约数个数的技巧：一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。 12=2×2×3，则12的约数的个数=（2+1）×（1+1）=6个 1,2,3,4,6,12都是12的约数。

例1.小东的文具店圆珠笔0.5元钱一支，由于无人买，只好降价卖，结果全部卖完时共卖得19.57元，一共卖了多少支圆珠笔？ 例2.甲、乙、丙三人玩猜牌游戏，一共有1,2,3,4,5,6,7,8,9这九张牌，每人发3张。甲说：“我三张牌的和是15.”乙说：“我三张牌的 积是63.”丙说：“我三张牌的积是48.”甲的三张牌各是什么？ 例3.一个体积是105cm 3的长方体，它的长、宽、高都是质数，求它的表面积。 例4.将下面8个数平均分成两组，应该怎样分才能保证两组数的乘积相等？6,10,14,15,18,21,33,44 例5.一位校长向几位爱好数学的朋友介绍本校的情况时说：“我校有三十多名老师（不包括领导），有十几个班级。如果将领导人数、教师人数和班级数相乘，再加上4，结果正好等于2002.”请问 这个学校的领导人数、教师人数和班级数各是多少？ 例6.60×69×95×155×161×，要使这个连乘积的最后三个

五年级奥数 质数合数分解质因数

一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要求的三个自然数分别是32、35和38。

第四讲 质数、合数、与分解质因数

第四讲：质数、合数、分解质因数 【知识概述】 1、一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。 2、由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。 3、两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。 4、质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。 5、把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。 【例题精讲】 例题1 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数? 解要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用． 有1、4、8、9可以组成质数、，而6可以与前面的一位质数中的组合成质数。所以这9个数字最多组成了这6个质数。 例题2 四个小孩，恰好一个比一个大一岁，其年龄之积是3024，这四个小孩中最大的一个是多少岁？解：将3024分解后再重新组合，看怎么才能组合成四个连续自然数相乘 3024= 重新组合后 3024= 所以这四个小朋友中最大的一个是。 例题3月明×中秋＝（月明和中秋分别代表不同的两位数，圆圆圆表示三位数）。则“月明”和“中秋”这两个两位数各是多少？ 解：因为圆圆圆=111×圆=3×37×圆 所以圆= 所以月明= 中秋= 例题4、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 解有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 其中第三个最简真分数为。 例题5、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙

奥数质数合数分解质因素讲义及答案

数的整除（2）质数、合数、分解质因数 教室姓名学号 【知识要点】 1、质数与合数 自然数按其因数的个数可以分成三类： （1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。 （2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。 （4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（5）因数个数定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（0 11+111） =7×13×6×12=6552 【典型例题】 例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？ 解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。

例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。 解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？ 解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。 因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170 例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。 【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。 【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样

质数合数分解质因数

１ 质数合数分解质因数 课本知识回顾： 在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____. 最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____. 两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____. 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数； 除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要 大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3. 部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、质数合数的认知 【例 1】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 【巩固】 两个质数的和是49，求这两个质数的乘积是多少？

质数合数分解质因数

（七）质数合数分解质因数 [知识要点] 若a能被b整除，b就是a的约数。 1．质数与合数 自然数按其约数的个数可以分成三类： ⑴单位1：只含有1这一个约数的自然数。 ⑵质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个约数的自然数。 （质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。100以内有25个质数。） ⑶合数：含有三个或三个以上约数的自然数。 2．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 如：12 = 2×2×3； 70 = 2×5×7；126 = 2×3×3×7；………… 若较大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。 练习：把216、1078、5040写成质因数连乘的形式： 例1：a、b、c是质数，c是一位数，且a×b+c＝1993。那么a+b+c=（）。 例2：用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成多少个质数？ 例3：1500的约数有（）个。这些约数的和是（）。 例4：有8个不同约数的自然数中，最小的一个是（）。

例5：504乘以一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 练习： 1．360的约数有个，这些约数的和是。 2．找出1992所有不同的的质因数，它们的和是。 3．若a、b、c、d是四个互不相等的自然数，且a×b×c×d = 1988，那么a+b+c+d 的最大值是。 4．3780乘以一个自然数的积是一个完全平方数，这个自然数最小是。5．在有12个约数的自然数中，最小的一个是。 6．四个小于10的自然数，它们的积是360。已知这四个数中只有一个是合数，那么这四个数分别是。 7．在下面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是。 1 9 9 2

质数合数分解质因数

质数合数分解质因数 1.质数和合数 （1）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。如7和11都是质数。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，如：9和12都是合数。 举例： 注意：①1既不是质数，也不是合数。 ②自然数除了1，其他的数不是质数就是合数。 ③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的。 ○42是最小的质数，也是质数中唯一的一个偶数。 （3）判断一个数是合数还是质数的方法。 先找各数的约数，再根据质数和合数的意义去判断。判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数。 2.分解质因数 （1）质因数的意义。 每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 比如:60=2X2X5X3中的2、2、5、3都叫做60的质因数

（2）分解质因数的意义。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如：6=2×3，24=2×2×2×3。 （3）分解质因数的方法。 ①分解质因数时，通常用短除法。短除法是除法的简化。如： ②用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。如： 用短除法把180分解质因数： 名师点拨 【典型范例剖析】 例1 一个正方形的面积是1225平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？ 分析：因为正方形的面积是“边长乘以边长”，将1225分解质因数，再把质因数分成相同的两组，就可以求出这个正方形的边长。 解：把1225分解质因数： 1225＝5×5×7×7 变形为：1225＝(5×7)×(5×7)＝35×35 因此，这个正方形的边长为：35厘米。 答：这个正方形的边长为35厘米。 例2 在10—150中找出两个自然数，使它们的积等于77与195的积。这两个数是多少？ 分析：根据题意，先把77与195分解质因数，再分别找出其中几个质因数相乘的积在100—150之间的两个自然

第二节 质数、合数和分解(1)

第二节质数、合数和分解质因数 第1课时 教学内容：质数、合数和分解质因数 教学目标：1、掌握质数、合数和分解质因数的基本知识，会判断一个数是质数还是合数； 2、能对一个合数进行质因数分解并用标准式表示； 3、能解决一些实际问题。 教学重难点：质数的判定方法和解决实际问题。 教学过程： 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 判断一个数是质数还是合数的常用方法： 对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。 30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。 如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。 二、例题讲解 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。

例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。 解：设a=2×3×4×…×10×11，则2～11的任意自然数都能整除a，根据整除的和差性质，a＋2, a＋3, a＋4,…, a＋11能分别被2、3、4、…、11整除。即a＋2, a＋3, a＋4,…, a＋11为10个连续自然数，且个个是合数。 三、练习 1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？ 3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？ 4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？

质数合数 分解质因数

质数合数分解质因数 一、质数与合数的概念 自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类： ①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等 ②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个，除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8等等 ③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自然数只有1 注意： 1不能质数也不是合数 2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数 4是最小的合数 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 二、质数与合数的应用 例1．3个质数的和是80，这3个质数的积最大是多少？ 解析：由于3个数的和是偶数，所以这3个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以3个数中一定有2。 另两个质数的和是78，要使乘积最大，这两个质数应该相差尽可能小，显然，和是78的两个质数，41和37的差最小，即这两个数的积是最大。 2×37×41=3034 这3个质数乘积最大是3034。 例2．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称这样的两位质数为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于多少？ 解析：设“无暇质数”为ab，那么ba也是质数

因此，a、b无为奇数，容易检验，“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个 所以，它们的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429 例3．正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两数之和都相等。若18对面所写的质数是a，14对面所写的质数是b，35对面所写的质数是c，那么a+b+c=？ 解析：由题意可知18+a=14+b=35+c，要想等式成立，a、b、c的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。而a、b、c均为质数，所以只有c=2成立，此时b=23，a=19，所以a+b+c=44 例4．一个质数的2倍与另一个质数的3倍之和是100，这两个质数的积是多少？ 解析：一个质数的2倍是一个偶数，由于和是100，也是偶数，所以另一个质数的3倍应该是偶数，即另一个质数是偶数，即是2，我们可以把剩余的那个质数求出来，是47， 两个质数之积是2×47=94 三、分解质因数的应用 质因数：如果一个数的约数（即因数）是质数，这个约数（即因数）就叫做这个数的质因数。 分解质因数：就是把一个数表示成质因数乘积的形式，如：12=2×2×3 例1．四个连续自然数的积是360，求这四个自然数 解析：360=2×2×2×3×3×5 =3×（2×2）×5×（2×3） =3×4×5×6 例2．把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组里四个数的乘积相等 解析：把八个数平均分成两组，每组四个数，要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数应该完全相同。因此，我们可以先把这八个数分解质因数，然后根据这些质因数进行分组。 9=3×3 15=3×5 28=2×2×7 30=2×3×5 34=2×17 55=5×11 77=7×11 85=5×17

四年级上册100以内的分解质因数。

四年级上册100以内的分解质因数。 每个数都可以被1和本身整除 100以内合数分解质因数：4=2*2、6=2*3 、8=2*2*2 、9=3*3 、10=2*5 、12=2*3*2 、14=2*7 、15=3*5 、16=2*2*2*2、18=2*3*3 、20=2*2*5、21=3*7、22=11*2 、24=3*2*2*2*2、25=5*5、26=13*2、27=3*3*3 、28=2*2*7、30=2*3*5 、32=2*2*2*2*2 33=11*3 、34=2*17 、35=5*7 、36=2*2*3*3 、38=2*19 、39=3*13、40=2*2*2*5 、42=2*3*7 、44=2*2*11 、45=3*3*5 、46=2*23 、48=2*2*2*2*3、49=7*7 、50=2*5*5 51=3*17 、52=2*2*13 、54=2*3*3*3、55=5*11 、56=2*2*2*7 、57=3*19 、58=2*29 60=2*2*15、62=2*31 、63=3*3*7 、64=2*2*2*2*2*2、65=5*13、66=2*3*11 68=2*2*17 、69=3*23 、70=2*5*7、72=2*2*2*3*3、74=2*37 、75=3*5*5 、76=2*2*19 77=7*11 、78=2*3*13、80=2*2*2*2*5 、81=3*3*3*3 、82=2*41 、84=2*2*3*7、85=5*17 、86=2*43、87=3*29 、88=2*2*2*11 、90=3*3*2*5 、91=7*13、92=2*2*23 93=3*31 、94=2*47、95=5*19、96=2*2*2*2*2*3 、98=2*7*7、99=3*3*11

二讲质数合数和分解质因数

第二讲质数、合数和分解质因数 一．根本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数〔如：1~9中有4个质数2、3、5、7〕。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14〔=2×7〕放在第一组，那么7和6〔=2×3〕只能放在第二组，继而15〔=3×5〕只能放在第一组，那么5必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。

100以内的合数分解质因数

100以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 9＝3×3 10＝2×5 12＝2×2×3 14＝2×7 15＝3×5 16＝2×2×2×2 18＝2×3×3 20＝2×2×5 21＝3×7 22＝2×11 24＝2×2×2×3 25＝5×5 26＝2×13 27＝3×3×3 28＝2×2×7 30＝2×3×5 32＝2×2×2×2×2 33＝3×11 34＝2×17 35＝5×7 36＝2×2×3×3 38＝2×19 39＝3×13 40＝2×2×2×5 42＝2×3×7 44＝2×2×11 45＝3×3×5 46＝2×23 48＝2×2×2×2×3 49＝7×7 50＝2×5×5 51＝3×17 52＝2×2×13 54＝2×3×3×3 55＝5×11

56＝2×2×2×7 57＝3×19 58＝2×29 60＝2×2×3×5 62＝2×31 63＝3×3×7 64＝26 65＝5×13 66＝2×3×11 68＝2×2×17 69＝3×23 70＝2×5×10 72＝2×2×2×3×3 74＝2×37 76＝2×2×19 78＝2×3×13 80＝2×2×2×2×5 81＝3×3×3×3 82＝2×41 84＝2×2×3×7 85＝5×17 86＝2×43 87＝3×29 88＝2×2×2×11 90＝2×3×3×5 91＝7×13 92＝2×2×23 93＝3×31 94＝2×47 95＝5×19 96＝25×3 98＝2×7×7 99＝3×3×11 100＝2×2×5×5

质数,分解质因数

质数、合数、分解质因数1 1、把1112111分解质因数。 解：用短除法，先从最小的质数开始，1112111=7×11×11×13×101 2、126共有几个约数？504共有几个约数？ 约数的个数等于各个质数的指数加1的乘积 解：126分解质因数得126=2×3×3×7=21×32×71 126的约数=（1+1）×（2+1）×（1+1）=12 504分解质因数得504=2×2×2×3×3×7=23×32×71 504的约数=（3+1）×（2+1）×（1+1）=24 3、某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和本身在内共有10个约数，这个自然数是几？ 解：因为约数的个数等于各个质数的指数加1的乘积，所以因数只能大于1，因此10只能分成2和5的乘积，即10=2×5=（1+1）×（4+1）这个自然数一定等于a1×b4,又因为a与b一定互质，还是3和4的公倍数，4是2的倍数，所以这个自然数=31×24=48 4、写出全部除109后余数是4的两位数。 解：说明109减去4就能被这些两位数整除，这些两位数一定是109-4的因数，列式为

109-4=105,105=3×5×73×5=153×7=215×7=35这些两位数是15、21、35 5、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，这两个质数的积是多少？ 解：任何一个数的2倍一定是偶数，那么另一个质数的3倍一定也是偶数，所以第一个质数一定是偶数，既是偶数又是质数的数只有2，所以第一个数是2.列式为：3×2=6 100-6=94 94÷2=47 两个质数分别为2和47，它们的乘积是 2×47=94 6、三个连续的自然数的积是2730，这三个数分别是多少？ 解：因为是自然数的积，所以三个自然数一定是2730的因数，只要把2730分解质因数， 再重新组合2730=2×3×5×7×13=13×14×15三个自然数分别是13、14、15 7、有三个质数a、b、c，已知3a+2b+c=20，求a+b+c=? 解：2b一定是偶数，所以3a和c要么全为偶数，要么全为奇数。而3a和c 全为偶数的话，a和c都只能为2，不符合题意。b取最小质数2,则3a+c=20- 4=16,3a的取值范围在4至13之间，其中只有9是3的倍数，所以a=3，则c=7，它们的和就是12 列式为：2×2=4 20-4=16 9÷3=3 16-9=7 3+2+7=12 8、写出两个合数，使它们的和是质数，并且使这个和最小。 解：和是质数，也一定是个奇数，所以这两个合数是一奇一偶，和要最小，加数也要最小，那么最小的偶数合数是4，最小的奇数合数是9,4+9=13,13是质数，所以这两个数是4和9.