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高中数学第四章弧度制(2)教案

4.2弧度制（二）

教学目的：

1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．

2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．教学重点：运用弧度制解决具体的问题．教学难点：运用弧度制解决具体的问题．授课类型：新授课课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：

1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

探究：

⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）

⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r

α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同

⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算：

∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad

∴ 1?=

rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801ο

οο

=≈??

? ??=πrad

在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系

任意角的集合实数集R

5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180

n l π=；3602R n S π=扇

二、讲解新课：

1．弧长公式：α?=r l 由公式：?=

r l α α?=r l 比公式180

n l π=

简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21

= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径

证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221

R ππ

R S

弧长为l 的扇形圆心角为

rad R

∴lR R R l S 2

1212=??=

ππ 比较这与扇形面积公式 360

R n S π=扇要简单

三、讲解范例：

例1．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 3

60π=ο

∴ )(471514.3453

m R l ≈?≈?=

例2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角

是1弧度，求该扇形的面积

解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有

?==??????==+22162l r r

l l r ∴ 扇形的面积2

)(221cm rl S ==

例3 计算4

sin π

和5.1tan

解：∵

ο454

=π

∴ 2

245sin 4

sin

=οπ

'578595.855.130.571.5rad οο==?=?

∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==ο

例4 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式

⑴

π319

⑵ ο315- 解： ππ

π63

319+=

ππ

36045315-=

-=-οοο

例5 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3

4π ⑵ ο

165 解： cm r 10= ⑴ )(3

401034cm r l ππα=?=

?= ⑵ rad rad 1211)(165180165ππ=?=ο

∴)(6

55101211cm l ππ=?=

例6 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．

解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，

由题意：?????=?=+62

1102r l r l ?0652

=+-r r

∴ ??

?==62l r 或???==4

3l r ∴ r l =α=3 或34

四、课堂练习：

1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积增大到原来的2倍

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 2.时钟经过一小时，时针转过了( ) A.

6π rad B.－6

rad C. 12πrad D.－

rad 3.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )

2)1cos 1sin D.(1 2

.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 4.圆的半径变为原来的

，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的倍.

5.若α＝－216°，l ＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ).

6.在半径为π

的圆中，圆心角为周角的

的角所对圆弧的长为 .

参考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5.

6.40 五、小结：用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．六、课后作业：

1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶8

2.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角

α是( )

A.α＝3

B.α＜3

C.α＝

2π

D.α＝120 3.下列命题中正确的命题是( )

A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2

B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值

C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值

D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系

4.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了弧度.

5.已知扇形AOB 的面积是1 cm 2

，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长等于 cm.

6.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .

7.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积. 8.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?

9.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?

参考答案：1.C 2.C 3.D 4.－3

5.2sin1

6.12π－93

7.1

sin 12

8.2 9.－1124π

七、板书设计（略）

八、课后记：

一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.

分析：欲求∠AOB ，需要知AB 的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能

比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB 于M ，则

AB BM AM 2

=，在Rt △AMO 中求AM . 答案：∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2sin1 cm.

人教版高中数学必修四《弧度制》导学案

§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、新课导学 ※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合

__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度：（1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则（） A ．集合M 是集合N 的真子集

人教版高中数学必修四 1.1.2弧度制教案

1.1.2弧度制【学习目标】 1. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算. 2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用. 【新知自学】知识回顾： 1．角的概念一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。按__________方向旋转所形成的角叫正角；按_______方向旋转所形成的角叫负角；如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角. 2．象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 3．终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________, 新知梳理： 1. 角度制规定将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度，直角等于90度. 2. 弧度制的定义长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？ 3．弧度数的求法一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么角α的弧度数的绝对值是：α________.α的正负由__决定. =

正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是 . 4．角度与弧度的换算（1）3600=________rad ；（2）________=πrad ；度数0 180π?=弧度数；弧度数π 0180?=度数. 【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应. 对点练习1：填写下表 12 5. 扇形的公式: (1)l R α=; (2)212 S R α=; (3)12 S lR = . 对点练习2：若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 c m ，求扇形圆心角的弧度数．

人教版新课标高中数学必修四全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点 A O B

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？解：α 角属于第三象限，正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角

高中数学必修四学案 1.1.2 弧度制

1．1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．

知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ [答案]周角的1 360等于1度．思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ [答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示．思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．梳理(1)角度制和弧度制 (2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [答案]利用1°＝ π 180rad和1 rad＝? ? ? ? 180 π°进行弧度与角度的换算．梳理(1)角度与弧度的互化

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×) 提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π 180rad.

2．用弧度来表示的角都是正角．( × ) 提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．类型一角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π 5. [考点] 弧度制 [题点] 角度与弧度的互化解 (1)20°＝20π180＝π 9. (2)－15°＝－15π180＝－π 12. (3)7π12＝7 12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11 5 ×180°＝－396°. 反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以????180π°即可．跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：

高中数学第四章弧度制(2)教案

4.2弧度制（二）教学目的： 1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．教学重点：运用弧度制解决具体的问题．教学难点：运用弧度制解决具体的问题．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ） ⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r l = α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同 ⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360?=2π rad ∴180?=π rad

∴ 1?= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801ο οο =≈?? ? ??=πrad 在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系任意角的集合实数集R 5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180 r n l π=；3602R n S π=扇二、讲解新课： 1．弧长公式：α?=r l 由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π= 简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221 R ππ o R S l

高中数学必修四《弧度制》名师教学设计

课题：1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标知识与技能 1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数； 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算； 3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系； 4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式. 过程与方法 1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想. 2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力. 情感态度与价值观 1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美. 2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点 1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化. 2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算. 三、教学方法与教学手段 1.教学方法：问题教学法、合作学习法. 2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件. 四、教学过程（一）创设情境 1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?

【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助. 2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一. 【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制. 3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义. 提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析. 【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键. （二）探究新知，得到概念 1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ?π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关. A

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

人教版高中数学必修四任意角和弧度制

任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α??+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α?+?+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α?+?+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α?+?+∈Z } ②写出图中所表示的区间角：由α的终边所在的象限，来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限 (二)弧度制 1 弧度角的规定.

高中数学教案全套word

高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... １ 1.2集合的运算 ................................................ ...... ３ 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ ６ 1.4一元二次不等式的解法.......................................... ９1.5简易逻辑 ................................................ ...... １２ 1.6充要条件 ................................................ ...... １５ 1.7数学巩固练习.............................................. １８.1函数的概念 ................................................ .... ２１.2函数的解析式及定义域 ........................................ ２４.3函数的值域 ................................................ .... ２８.4函数的奇偶

性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. ３７.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误！未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误！未定义书签。.3等差数列、

北师大版高中数学必修四§3 弧度制

§3 弧度制课时目标

1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____． 2．角度制与弧度制的换算

3设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则一、选择题 1．集合A ＝??????α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝???? ??α|α＝2k π±π 2，k ∈Z 的关系是 ( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C ．2 sin 1 D ．2sin1 3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 ，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或5 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 5．把－11 4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34 π 6．扇形圆心角为π 3 ，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )

高中数学必修4112弧度制和弧度制与角度制的换算

人大附中分校高一数学导学学案一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题： ① 角的弧度制是如何引入的？ ② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？ ④ 角度制与弧度制的区别与联系。 1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 2．平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad 3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角的弧度数的绝对值 r l =α（l 为弧长，r 为半径）二．角度制与弧度制的换算： 1．∵ 360 =2 rad ∴180= rad ； ∴ 1= rad rad 01745.0180 ≈π '185730.571801 =≈?? ? ??=πrad 2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α?=r l ，由公式：?= r l α α?=r l 比公式180 r n l π=简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。 ②扇形面积公式 lR S 2 1 =，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 o R S l

1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案例题例1：（1）把11230'化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230'化成弧度（用π表示）解：（1）α=1.969 rad （2）58 π；例2：把3 rad 5 π化成度解：33 rad 18010855 π= ?= 例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3 ⑵ 165 解： cm r 10= ⑴ )(3 401034cm r l ππα=?=?=; ⑵ rad rad 12 11)(165180 165π π = ?= 例5：已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2 ，求扇形中心角的弧度数．解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，由题意：?????=?=+62 1102r l r l ?0652 =+-r r ∴ ???==62l r 或?? ?==4 3l r ∴ r l =α=3 或34 随堂练习 1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题． 2．把－8π 3 化成角度是( ) A ．－960° B ．－480° C ．－120° D ．－60° 解析：选B.－8π3＝－8 3 ×180°＝－480°. 3．把－300°化为弧度是( ) A ．－4π3 B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－7π6 解析：选B.－300°＝－300×π180＝－5 3π. 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π 12 的扇形面积是________ cm 2. 解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π. 答案：3 2π

高中数学必修四《弧度制》优秀教学设计

1.1.2弧度制一、教学目标： 1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ，自行解决上述问题.

人教版高中数学_全册教案

第一章空间几何体第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积知识结构：一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。几种常凸多面体间的关系名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面底面是正多边形，且顶点在底用一个平行于棱锥底面的平由正棱锥截得的棱台

高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总(教师版)

任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45）（180,270） 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3 π． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角 585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}

③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ 2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ），当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2 α＜n ·360°+90°；当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜ 2α＜n ·360°+270°. ∴2 α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3 α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜ 3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜ 3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3 α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第四象限.

高中数学必修1全套教案

人教版高中数学必修1 全册教案目录第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）

§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3）

第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培

高中数学必修4三角函数常考题型：弧度制

弧度制【知识梳理】 1．角度制与弧度制 (1)角度制． ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的 1 360作为一个单位． (2)弧度制． ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 4．弧度与角度的互化设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则

【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π 9. [解] (1)72°＝72×π180＝2π 5； (2)－300°＝－300×π180＝－5π 3； (3)2＝2×????180π°＝???? 360π°； (4)－ 2π 9 ＝－????2π9×180π°＝－40°. 【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π 180＝弧度数，弧度数×180 π ＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝ 3π5，β2＝－π 3 . (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π 6， α2＝750°＝750π180＝25π 6. ∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π 6， α2＝ 25π6＝2×2π＋π6 ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝3 5 ×180°＝108°，

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