高中数学 3.2简单的三角恒等变换教案6 新人教A版必修4

简单的三角恒等变换（一）

一、主要知识：

1．同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：_______ （2）商数关系：_______

2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． 二、主要方法及注意事项：

1、利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；

2、诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,

2π??

????

内角的三角函数值，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；

3、利用商数关系能够完成切化弦；

4、涉及sin ,cos αα的二次齐次式（如2

2

sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；

5、涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-?的问题常采用平方法求解；

6、涉及sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αα

αα

++）的问题常采用分式的基本性质进行

变形．

三、例题分析：

例1 .(1)（陕西卷1）sin 330?等于（ ）

A ．2

-

B ．12

-

C ．

12

D ．

2

(2)（浙江卷12）若3

sin()25π

θ+=，则cos 2θ=_________。

例2．.cos cos sin 21

,2)4

tan(2的值求

已知α

αααπ+=+

变式1.已知40,sin 2

5

π

αα<<

=

（Ⅰ）求22

sin sin 2cos cos 2αα

αα

++的值； （Ⅱ）求5tan()4

π

α-的值。

例3．已知5

1cos sin ,02

=

+<<-

x x x π

. （I ）求sin x －cos x 的值；

（Ⅱ）求

x

x x x x x tan 1

tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322

+

+-的值.

变式1.若ABC ?的内角A 满足2

sin 23

A =

，则sin cos A A +=

A.

3 B

．3

- C ．53 D ．53-

变式2.已知sin α·cos α＝1

8

，且4

π

＜α＜

2

π

，则cos α－sin α的值为 .

四、课后作业： 1.sin 210=（ ）

A

．

2

B

．2

-

C ．

12

D ．12

-

2.cos330=（ ）

A ．

12

B ．12

-

C

．

2

D

．2

-

3.tan 690°的值为（ ）

Ａ．

Ｄ．

4.α是第四象限角，5

tan 12

α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513

-

5.（2009北京文）若4

sin ,tan 05

θθ=->，则cos θ= .

6.(重庆卷)已知sin α=

2π

απ≤≤，则tan α= 。 7.已知tan110°=a ，则tan50°=_________. 8.已知sin α+cos α=5

1

，那么角α是第_______象限的角. 9.已知tan （

4

π

+α）=2，求： （1）tan α的值；

（2）sin2α+sin 2

α+cos2α的值.

10.已知1sin cos 5θθ+=

，且324

θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．

11．已知：tan 3α=，求(()2122sin 3sin cos

ααα-的值。

12．已知1sin 24θ=，且4

2

ππ

θ

，求cos sin θθ-的值。

简单的三角恒等变换（一）（答案）

一、主要知识：

1．同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：_______ （2）商数关系：_______

2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． 二、主要方法及注意事项：

1、利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；

2、诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,

2π??

????

内角的三角函数值，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；

3、利用商数关系能够完成切化弦；

4、涉及sin ,cos αα的二次齐次式（如2

2

sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；

5、涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-?的问题常采用平方法求解；

6、涉及sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αα

αα

++）的问题常采用分式的基本性质进行

变形．

三、例题分析：

例1 .(1)（陕西卷1）sin 330?等于（ B ） A

．2

-

B ．12

-

C ．

12

D

．

2

(2)（浙江卷12）若3sin()25π

θ+=，则cos 2θ=_________。725

- 例2．.cos cos sin 21

,2)4

tan(

2

的值求

已知α

αααπ+=+ 解：由.3

1

tan ,

2tan 1tan 1)4

tan(

==-+=

+ααα

απ

得

于是.3213

121)31(1

tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122

2

222=+?+=++=++=+ααααααααααα 变式1.已知4

0,sin 25παα<<=

（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αα

αα

++的值；

（Ⅱ）求5tan()4

π

α-的值。 解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=，得3

cos 5α=，所以22

sin sin 2cos cos 2αααα

++＝22sin 2sin cos 203cos 1

ααα

α+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα=

=，∴5tan 11

tan()41tan 7

πααα--==+。

例3．已知5

1cos sin ,02

=

+<<-

x x x π

. （I ）求sin x －cos x 的值；

（Ⅱ）求

x

x x x x x tan 1

tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322

+

+-的值. 解法一：（Ⅰ）由,25

1cos cos sin 2sin ,51cos sin 2

2=

++=+x x x x x x 平方得 即 .25

49cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .5

7

cos sin -=-x x

（Ⅱ）x

x

x x x x x x x x x x sin cos cos sin 1

sin 2sin 2tan 1tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222+

+-=++-

125

108)512()2512()

sin cos 2(cos sin -

=-?-=--=x x x x

解法二：（Ⅰ）联立方程??

?

??

=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x

由①得,cos 5

1

sin x x -=

将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ???

???

?

=-=∴<<-=-=∴.

54cos ,53sin ,02.54cos 53cos x x x x x π 或 故

.57

cos sin -=-x x

（Ⅱ）

x

x x x x x tan 1

tan 2cos 2cos 2sin 2sin 32

2+

+- x

x

x x x x

sin cos cos sin 1

sin 2sin 22+

+-=

125

108)53542(54)53()

sin cos 2(cos sin -

=+-??-=--=x x x x

①②

变式1.若ABC ?的内角A 满足2

sin 23

A =

，则sin cos A A +=

．．53 D ．53-

解：由sin2A ＝2sinAcosA

0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA

0，又

25

(s i n c o s )1s i n 23

A A A +=+=，故选A

变式 2.已知sin α·cos α＝

1

8

，且

4

π＜α＜

2

π

，则cos α－sin α的值为

2

3

-

. 四、课后作业：

1.sin 210=（ D ）

A

B ．

C ．

12

D ．12

-

2.cos330=（ C ）

A ．

12

B ．12

-

C

D ．3.tan 690°的值为（ A ）

Ａ． Ｄ．4.α是第四象限角，5

tan 12

α=-，则sin α=（ D ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513

-

5.（2009北京文）若4

sin ,tan 05

θθ=->，则cos θ= .

【答案】3

5

-

6.(重庆卷)已知sin α=

2π

απ≤≤，则tan α= 。

解：由sin 5α=

，2π

απ≤≤?cos ＝－

5

，所以tan α=－2 7.已知tan110°=a ，则tan50°=_________.

解析：tan50°=tan （110°－60°）=

??+?-?60tan 110tan 160tan 110tan =a

a 313

+-.

答案：

a

a 313+-

8.已知sin α+cos α=

5

1

，那么角α是第_______象限的角. 解析：两边平方得1+2sin αcos α=

25

1

， ∴sin αcos α=－25

12

＜0. ∴α是第二或第四象限角. 答案：第二或第四 9.已知tan （

4

π

+α）=2，求： （1）tan α的值；

（2）sin2α+sin 2

α+cos2α的值.

（1）解：tan （

4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=3

1. （2）解：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2

α

=2sin αcos α+cos 2

α =1+ααα2cos cos sin 2=α

αααα222cos sin cos cos sin 2++

=

1+1+αα2

tan tan 2=2

3. 10.已知1sin cos 5θθ+=

，且324

θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ． 7

25

-

１１．⑴．2-910

，

１2．-