周髀算经 新议成书

一、《周髀算经》的流传

1．关于《周髀算经》

（1）何谓周髀？

《周髀算经》是中国古代完整地流传至今最早的一部天算著作。大约从东汉末期开始，人们已经把这部书当成是专门论述中国古代三大宇宙学说之一——盖天说的理论著作。例如，东汉的蔡邕（132－192）就说：论天体者三家：宣夜之说绝无师法，《周髀》术数具存，考验天状，多所违失；惟浑天仅得其情。①

按理，《周髀算经》究竟是一部怎样的书，似乎应该是不成问题的问题。但是，有清以来数百年问，学者们对此却始终没有形成统一的看法。

那么，什么是周髀？在《周髀算经》卷上之二容方问“周髀者何”时，陈子答曰：

古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。

由此可知，周髀，就是周时使用的圭表，引申为阐述周人以圭表测量天体运动的理论与方法，这应该是比较权威的解释。然而，根据明代胡震亨（1569－1645）的说法：

《周髀》以周人志之，乃称《周髀》。而虞喜则谓天之体转四方，地体卑不动。天周其上，故云“周”。其解“周”字，又一义也。②

可以知道晋代的天文学家虞喜（28l－356）就不认同陈子的解释，他认为“周”是指天体周旋四方的意思，《周髀算经》与周人无关。清代的冯经也称：

周谓全体，髀谓股分。此经即割圆之法。③

与虞喜的看法类似。对“周髀”的解释，与到底什么是《周髀算经》的本文有关。在《周髀算经》卷上之二开篇“昔者容方问于陈子”之后，赵爽注释道：

容方、陈子是周公之后人。非《周髀》之本文。

赵爽的意思是，整个《周髀算经》的经文，只有卷上之一商高与周公的问答。陈子与荣方的问答及其以后的文字，都是对商高用矩之道的推衍。这个解释，在明末清初特别为一般的学者所认同，尤其是在西学中源说盛行的时期，许多数学家都仅仅将商高答周公问当做《周髀算经》的本文，并把它作为世界上各种文明之数学发达史的源头。例如梅文鼎（1633－1721）就说：周末，畴人子弟失官分散，嗣经秦火，中原之典章既多缺佚，而海外之支流反得真传。此西学之所以有本也。古算书存者，独有《周髀》，周公、商高问答，其本文也。容

方、陈子以下，所推衍也。

而汉张衡、蔡邕以为术数虽存，考验天状多所违失。按容方、陈子，始言晷度。衡、邕所疑，或在于是。若《周髀》之本文，辞简而意赅，理精而用博，实言数者所不能外。

然则商高一篇，诚成周六艺之遗文，而非后人所能假托也。④

梅文鼎将汉代张衡（78－139）等人对《周髀算经》盖天说的怀疑，归结为陈子学说带来的困扰，与《周髀算经》本文无涉。虽然梅文鼎并没有明确指出商高答周公问时已经证明了勾股定理，但把商高所述的用矩之道认定为《周髀算经》之数学基础，这一点也是不错的。他由此得到的推论是，一切几何学的应用，都可以在商高答周公问中找到源头。只不过这个源流一度在中国中断，反而传播到西方，并为西学发扬光大。因此，成为西学中源说的一个重要的证据。

为了将这个“源头”上溯的尽可能的久远，除了认定商高答周公问是“成周六艺之遗文”之外，就是根据赵爽的注释，将陈子之后的文字从《周髀算经》的本文中剥离出去。因此，清代一些学者在研究《周髀算经》时，都仅仅讨论商高与周公问答的部分，其余不论。如梅文鼎的《周髀经解》与冯经的《周髀算经述》等等，都是这样处理的。

注释：

①《宋书·天文志》。

②胡震亨：“《周髀算经》题词”，见《周髀算经》（明本）。

③冯经：《周髀算经述》。

④梅文鼎：《周髀经解》。

（2）《周髀算经》的成书年代

假设我们把《周髀算经》的本文限定为商高与周公的问答，似乎其成书年代也就不难断定了。可是，乾嘉以后，考据之学兴起，疑古之风日盛，到了现代，几乎所有的中外学者都不得不接受这样的推断：不仅商高是后人假托的，甚至陈子也是后人虚构出来的。于是，仅仅把商高问答看作《周髀算经》本文就不再有任何意义了。因此，许多学者都将陈子问答以后的文字作为《周髀算经》全文的一个部分，不再加以区分。

如此一来，人们开始根据《周髀算经》中的内容推断它的成书年代。通常的方法可以分成两类：天文学史专家，喜欢利用现代天文学手段，根据《周髀算经》中记录的一些特殊的天文现象或数据，推算其应该出现的年代，并以此来确定其成书时代。例如，日本学者能田忠亮便以《周髀算经》中的北极星（北极璇玑）到北天极的距离．归算出其成书年代大约在公元前5到7世纪之间。①

另一种方法则是根据《周髀算经》涉及的一些内容，与相对而言年代比较明确的其他历史典籍的比较，推断其成书年代。钱宝琮（1892－1974）在《周髀算经考》中对《周髀算经》的年代做出如下的考证：第一，《周髀算经》主要分为两个部分，前为商高问答，后为陈子模型；第二，由于怀疑商高是后人的伪托，因此，认为陈子以下的文字才是《周髀算经》的主体，通过与《淮南子·天文训》的比较，从六个方面论述了陈子以下的文字成书在

公元前100年左右；第三，“周髀”的意思以陈子之说为准，同时也提到其他一些解释；第四，比较24气名目及次序与《三统历》之异同，提到赵爽注称原节气长度15日与《淮南子》的粗略记法类似；第五，分数算法的繁复与《九章算术》类似。他的结论是，《周髀算经》成书在公元前100年左右。

在疑古思潮的影响下，还有一种倾向也值得人们的注意，那就是以《周髀算经》全书中所有内容的下限来判定它的成书年代，古克礼（C．Cullen）大约可以算是这个方面的一个代表。古克礼认为以前的学者大多错误地企图去发现《周髀算经》作为一个整体完成的年代，因此，它们的结论是在一种假象的幻觉中获得的。他认为，这部书是一些志同道合的研究者分别撰述的论文集。他的做法是，首先，调查《周髀算经》的内在结构，并将其划分为不同的章节，讨论节与节之间的关系；其次，讨论与各节内容有关的外部世界的资料与活动；第三，探讨可能产生与各节内容相关的历史环境。他将《周髀算经》的整体编排打乱，把它们划分为外篇与内篇两个部分。其中内篇以陈子模型为主展开，取其下限在公元1世纪。在有关外部环境的讨论中，指出作为皇家的藏书目录，班固（32－92）编写的《汉书·艺文志》中有《许商算术》与《杜忠算术》而无《周髀算经》；盖天说在公元l世纪已经为人所熟知，蔡邕在公元180年已经明确将其列为中圈古代的三家宇宙论之一。结论是，由于受到了浑天说的影响，《周髀算经》的成书时间不可能早于公元前l世纪，但也不会晚于公元200年。

笔者以为，判别中国古代科学典籍的完成年代，应该以书中主要的科学思想或知识水平所反映的年代为判别标准，而不应以书中夹杂的若干后代掺入的只言片语作为推断的条件。由于早期的科学典籍通常都是人类知识逐渐积累的结晶，因此，搞清楚其中科学思想的萌生时期与流传脉络，也许比单纯判定它的成书年代更有意义。

科学史已经反复地证明，今天看来是非常显然的科学真理，在人类认识它的初期往往经历了长期的怀疑，甚至抵制。例如，岁差现象在南北朝时期的存废之争，就是一个典型的事例。因此，试图通过以《周髀算经》中的内容的完整或正确性介于某两个古代文献之间，就认定其成书年代也必定介于两者之间的方法，是靠不住的。而利用一些重要数据的理论推算来判定其成书年代的方法，许多时候也是不太可行的。

有关《周髀算经》成书年代的讨论，冯礼贵曾经收集了14种不同的观点②。尽管在《周髀算经》成书年代的判断上有很大的区别，但几乎所有的研究者都有一个共识，那就是《周髀算经》并不是成书于一人一时，它经过了许多朝代的流传进化才得以完成目前我们所看到的篇幅与结构。

章鸿钊曾经明确地将《周髀算经》的形成划分为三个时期：第一期，商高问答；第二期，陈子问答；第三期，陈子以后的文字。这样的划分，是许多人都默认的一个事实。正如陈方正在总结前人对《周髀算经》成书过程的讨论时所说：

《周髀》不但不是个人的著作，甚至也未必是单一性质的著作，而可能是由多个在不同历史时期出现，相关、相类但并不相同的学说、理论，逐渐累积而成。因此，将《周髀》单纯视为表述盖天说的自洽体系，而忽视它的层积性质，是不甚恰当的。③

笔者也赞同将《周髀算经》的形成划分为三个时期。具体而言，上卷之一，商高与周公的问答，应该是《周髀算经》的原始文字，它反映了早期的

以商高为代表的中国古代数学家对数学以及数学之为用的认识。商高答周公问企图说明的问题是解决几何测量学的数学方法，这一点他做到了。这个方法包含勾股定理与用矩之道。按照商高的说法，这些数学内容在大禹治水的时候已经具备，应该是可信的。

第二个时期，陈子模型的提出，其内容为上卷之二陈子与容方的问答，这个部分大约在战国时期已经形成。这个时期，陈子将商高的用矩之道进一步发展成为测望日高的重差术。也是可以相信的。陈子问答中试图解决的问题是，利用影差原理与日高术，在商高的用矩之道的基础上，进一步完善更加宏大的测天量地的理论与实践。陈子模型的提出，事实上是在向着这样的目标迈出了关键的一步：把商高的《周髀》转化为盖天说的《周髀》，把一部比较单纯的数学著作转化为一部纯粹的数理天文学论著。

从上卷之三开始，是对盖天说理论的扩张与完善。首先是在陈子模型的基本假设下，建立七衡六间的宇宙模型，并以术文的形式给出每日太阳运行轨道的计算方法，使七衡图成为一个可以操作的真正的活动式星盘。在此基础上，进一步引入新的天地形状的模式，给出了地理五带的划分、寒暑成因的解释、日出日落的方位，并建立了盖天说的天体测量学，引入了去极度的概念，制作了比较完整的《四分历》等等。这些虽然大大地丰富了陈子模型的理论内涵，但同时也制造了盖天说系统内部的一些无法完全自洽的矛盾，成为后世学者不断批评的目标。这个部分的形成，意味着《周髀算经》作为一部论述盖天说理论的专著的完成。从《周髀算经》上卷之三开始，出现了大量的“术曰”，这一点与商高问答及陈子问答的行文风格形成明显的反差，从一个侧面反映出其形成时期应该是比前两个部分更加晚近的事实。

综上所述，《周髀算经》的第一部分商高问答，曾经作为《周髀算经》独立的本文，其完成时间应该在西周初期，约公元前11世纪。陈子问答中的数学理论与宇宙模型完成的时间，大约在公元前4、5世纪。作为一部阐释盖天说理论的数理天文学著作，《周髀算经》从上卷之三开始，是对陈子模型的完善和扩充，其中的一些基本数据与结构，如七衡图与去极度等，应该是在陈子模型提出后就已经确定了的，但是，陈子假设的平行平面的天地模型，则得到了一定的修正，并且加入了一些新的东西，如寒暑成因与历法等内容，总而言之，《周髀算经》第三部分的成型，按照钱宝琮与刘朝阳的考证，应该不会晚于公元前100年。

注释：

①能田忠亮：《周髀算经の研究》。

②冯礼贵：《〈周髀算经〉成书年代考》。

③陈方正：《有关〈周髀算经〉源流的看法和设想》。

2．版本流传

二十四史中最早收录《周髀算经》书目的是《隋书·经籍志》，其中记录了有关的三条书目：

《周髀》一卷（赵婴注）

《周髀》一卷

《周髀图》一卷

据考证，这里的赵婴就是赵爽。公元618年，唐朝建立时曾设立明算科。显庆元年（656），国子监添设算学馆，同年出版李淳风等人奉敕注释的《算经十书》，“高宗令国学行用”，《周髀》作为其中的一种教科书，从此被称为《周髀算经》。

北宋元丰七年（1084）秘书省根据唐代李淳风等人编辑注释的《算经十书》，重新刊刻，《周髀算经》为其中之一种。虽然元丰七年版的《算经十书》明末时期已经失传，但现今流传的各种版本的《周髀算经》的蓝本都可以追溯到这个版本，它大约产生了两个支系。

（1）南宋本支系

南宋嘉定六年（1213），鲍澣之根据元丰七年的版本重新刊刻《算经十书》，其中的《周髀算经》完整保存至今，人称南宋本。1980年北京文物出版社将南宋本《算经十书》中留存至今的六种算经影印再版，取名《宋刻算经六种》。南宋本《周髀算经》是目前传世的《周髀算经》中最古老的一个版本，后世各种再版的《周髀算经》大多以它为蓝本，因此，形成了北宋本衍生的一个最大的支系。

明代万历年间，海盐人胡震亨刊刻《秘册汇函》22种141卷，其中的《周髀算经》是赵开美根据南宋本校点完成的，书中夹杂了一些唐寅的注释。

明代崇祯年间，毛晋“既得胡震亨所刻《秘册汇函》残版”，编辑出版汲古阁《滓逮秘书》丛书144种752卷，其中的《周髀算经》即系《秘册汇函》旧版。据《四库总目》称：

版心书名在鱼尾下，用宋本旧式者，皆震亨之旧。书名在鱼尾上而下刻汲古阁者，皆晋所增。

1922年上海博古斋曾将《津逮秘书》影印再版。

清代嘉庆十年昭文张海鹏编辑出版《学津讨原》192种1048卷，“是书取毛晋汲古阁《津逮秘书》而损益之”，后为上海涵芬楼影印再版。

清代光绪年间朱记荣编辑《槐庐丛书》，收录的《周髀算经》系根据赵开美的版本排印，其后附录了顾观光的校勘记。

1927至1931年上海中华书局编辑的《四部备要》、1934至1936年商务印书馆出版的《四部丛刊》，都是根据赵开美的明本以铅字重排《周髀算经》。

1990年上海古籍出版社的《诸子百家丛书》影印收录了胡震亨的明本《周髀算经》。

雍正四年（1726）出版的《古今图书集成·历象典》也是根据赵开美的版本刊刻的。1934年，中华书局根据1726年的铜活字本影印再版。

南宋本《周髀算经》在明代末年已经比较罕见。清代康熙年间，毛晋之子毛扆获得了明末章丘李开先家藏的南宋本《周髀算经》一册，随即制作了一个副本，人称影宋抄本。此本后来流人清宫，收藏在天禄琳琅阁中。1931年故宫博物院出版《天禄琳琅丛书》时，影印收录了影宋本的《周髀算经》。毛扆的影宋本现存台湾故宫博物院，李开先的南宋本《周髀算经》现存上海图书馆。

明代陶宗仪编辑的《说郛》共100卷，其中包括《周髀算经》。1927年商务印书馆依据明抄本排印再版。

（2）《永乐大典》本支系

明代《永乐大典》中收录的《周髀算经》，是根据元丰年间秘书省刊刻的《算经十书》再版的。《永乐大典》中的《周髀算经》虽然已经佚失，但它却产生了北宋本的另一个支系。清代乾隆年间戴震为《四库全书》辑校《周髀算经》时，所依据的主要蓝本就是《永乐大典》本。

乾隆三十八年（1773）清高宗弘历敕刊《武英殿聚珍版丛书》138种2411卷，其中的《周髀算经》以戴震本为蓝本。《聚珍版丛书》出版后，“江苏、江西、浙江诸省先后翻刻，而福建所刻独多”，光绪二十五年（1899）“广雅书局重刻，亦沿其误”。

中华书局编辑的《丛书集成》也收录了《周髀算经》，在其出版说明中称：

初编所选《秘册汇函》及《津逮秘书》、《聚珍版丛书》及《学津讨原》，皆收有此书。聚珍版先于学津，盖据《永乐大典》详加校订，为秘册、唐宋、津逮三本所不及。故用聚珍版排印。

1992年河南大学出版社出版的《中国古代科学技术典籍通汇》中影印收录了武英殿本的《周髀算经》。

清代曲阜孔继涵微波榭本《算经十书》是根据戴震本排印的，刘铎的《古今算学丛书集成》以及商务印书馆的《万有文库》也都属于这个支系。

1963年，钱宝琮综合历代版本，详加校点，在中华书局出版了《算经十书》校点本，成为当时最为完善的一个版本。

根据以上陈述，可以得到《周髀算经》的版本流传图，如图1。

（3）关于《周髀算经》的校证

传世至今的《周髀算经》，从明末清初以来便不断有新的版本问世，可谓层出不穷，其中的许多版本在最近20年间也被影印再版。其中称得上精心校勘者，大约只有戴震的《武英殿聚珍版丛书》本与钱宝琮的校点本。

钱本校勘的特点是简单明了、比较谨慎，因此，许多“较小”的问题都略而不提，钱宝琮的校点更多的倚重戴震本，并大量参考了清代学者顾观光与孙诒让的研究成果。由于这个版本出版至今已近40年，没有再出现精审的校证本，所以最近20年间海内外有关《周髀算经》的研究成果都无法得到及时的反映。另外，由于《周髀算经》自北宋元丰七年之后，分裂为两个大的支系流传至今，衍生了大量的版本。这些版本之间的异同，也是前人没有全面考虑过的。所以，很有必要比较各种主要的版本，对《周髀算经》进行一次汇校。

对《周髀算经》重新校勘，首先应该选择一个善本作为工作底本。通过比较《周髀算经》传世至今的各家版本的异同，我们发现南宋本虽然有不少的误文夺字，但基本上仍数善本。由于它是现存最早的版本，并且后世大多数《周髀算经》的版本都是以它为蓝本的，因此，我们采用南宋本为工作底本。

另外，虽然明代以来，出版的《周髀算经》何止数十种之多，但大多数都是没有经过校勘的再版本。他们所依据的蓝本大体上归属南宋本与《永乐

大典》本两个支系。因此，对《周髀算经》进行汇校，没有必要比较每一种

现存版本的异同，只需挑选其中一些具有代表性的版本即可。

入选的原则是，这些版本应该有比较广泛的流传，其出版年代相对较早，在版本的承传过程中占据比较重要的地位。

根据这些条件，我们选择了五种《周髀算经》的版本进行汇校，依次为南宋嘉定六年本（简称南宋本）、南陵徐氏积学斋藏赵开美校点之明刊本（简称明本）、学津讨源本（简称仿宋本）、《武英殿聚珍版丛书》戴震辑录本（简称殿本），以及钱宝琮校点奉（简称钱本）。

由于我们选择南宋本为校勘的蓝本，因此，凡汇校过程中，如遇与南宋本有异者，若南宋本可通者，皆依南宋本。为了避免校勘记过于细碎烦琐，有许多明显的、无害文义的误文夺字，如“己”与“巳”、“一十六”与“十六”等等，皆径直改正，或以南宋本为准，而不加说明。

通过汇校可以更加清楚地看到，仿宋本显然是根据明本再版，其中许多问题都进退一致。这两个版本都是在南宋本的基础上稍加校点而来的，不过，校勘的质量并不高。殿本与南宋本的差异较大，可以证实戴震所选择的蓝本与南宋本是不同的，其中的一些校勘是很不错的，就正误率而言，殿本与南宋本当在伯仲之间。

我们对《周髀算经》总共给出了375条校勘记，其中上卷227条，下卷148条。每条校勘记都说明了各种版本的异同。但限于丛书的体例与篇幅，本书仅收录了《周髀算经》原文及赵爽、甄鸾与李淳风等人的部分注释。

3．章节划分

大约在唐代以前，《周髀算经》都是作为一个整体而不作进一步划分的。譬如《新唐书·艺文志》的记载是：

赵婴注《周髀》一卷

甄鸾注《周髀》一卷

李淳风注《周髀》二卷

唐高宗显庆元年（656）李淳风等人奉敕注释《算经十书》时，其中的《周髀》被划分为上、下两卷，同时更名为《周髀算经》。

清代戴震从《永乐大典》中辑校《周髀算经》时，又将其上、下卷各细分为三个单元：卷上之一为商高答周公问，之二为陈子答容方问，之三为七衡图；卷下之一为盖天模型与28宿距度测量，之二为去极度、24气晷影与月历，之三为太阳出入方位与历法。这就是《武英殿聚珍版丛书》中形成的格局。戴震的划分基本上是按篇幅的大小决定的，同时也考虑了《周髀算经》内容的构成单元。不过，这个划分并没有为新的版本所普遍采用，例如，钱宝琮校点的《算经十书》就仍然沿用南宋本的模式。

古克礼（C．Cullen）的《周髀算经》英文译本，按内容设置单元，将全书划分为11个部分。他将陈子答容方问中最后一段讨论“圆方图”的文字独立为一个单元，因此，卷上被分成了四个部分，基本上采用了戴震的划分。古克礼对《周髀算经》下卷的划分与戴震大不相同，依次为天地形状与昼夜成因、璇玑与地理五带、28宿测量与去极度、24气晷影、月历、太阳出入方位与四季、历法等7个专题。

陈方正也将《周髀算经》划分为11个单元，但与古克礼所不同者，他对上卷的划分较之下卷更细一些，并且对每个单元的字数都作了精确的统

计。按照陈方正的方案，上卷由6个单元组成，依次为：勾股定理（168字）、用矩之道（131字）、测日径与日高图（630字）、陈子模型（898字）、圆方图（54字）、七衡图（942字），共2823字。下卷由5个单元组成，次第为：宇宙构造（901字）、28宿测量（775字）、24气晷影（314字）、月历（829字）、太阳出入方位与历法（627字），共3446字。

比较以上三家对《周髀算经》的划分，可以发现，对于上卷的构成单元，大家的认识基本上是一致的，笔者赞同并沿用戴震的划分。古克礼与陈方正将“圆方图”一节从“陈子答容方问”中独立出来，似乎有些不妥，理由请参见本书第二章有关圆方图一节的讨论。

相对而言，对于《周髀算经》下卷的划分，分歧较大。戴震的方案基于篇幅大小之平衡的考虑，因此，不足以反映各单元的内容特点。古克礼与陈方正的划分，则比较好地弥补了这个缺点，但似乎有些失之过细。笔者认为，最理想的结构划分应该是兼具篇幅与内容两方面的平衡。因此，我们仍然将下卷划分成三个单元，依次为盖天模型与地理五带、天体与晷影测量、日月历法。以下，就根据这六个版块，次第概述《周髀算经》的大意。

（1）数学基础

上卷之一，商高答周公问。全文由两个部分组成，分别论述勾股定理与用矩之道。解决平面上多边形问题的方法，在刘徽注《九章算术》时提出了“出入相补”的概念，吴文俊由此提炼出了中国古代数学家普遍应用的“出入相补原理”。而在《周髀算经》中，商高发明并使用了与刘徽的出入相补方法完全等价的所谓“积矩法”。积矩法的提出与应用，说明中国古代数学家在更早的时期已经开始自觉使用面积拼补的方法进行数学论证，这是程贞一首先指出并特别强调的事实。无论是“积矩法”还是“出入相补”，都是现代数学中的面积拼补方法。只是由于出人相补原理听起来似乎更加直观，因此，比较更容易为人所接受。

勾股定理是几何学的基石之一。按照商高的观点，世间万物不圆则方，而利用方圆之率（即，π＝3）可以进行方与圆之度量的转换，也就是化圆为方，将曲边形化为多边形。由于任何多边形都可以分解为有限个勾股形，因此，掌握了勾股定理，是彻底解决一般的实用几何度量问题的关键。所以，商高一开始便以积矩法证明了勾股定理，并引发了周公“大哉言数”的感叹。接着，商高在回答周公“请问用矩之道”时，进一步阐述他的数学思想，将一般的实际测量学问题归类到可以操作的若于种几何模型。

商高与周公的问答，只有短短的300个字，虽然没有涉及任何具体问题，但却道出了处理一切实际测量问题的一般的数学方法。由于他抓住了几何学的核心，因此，就成为解决任何实际数学问题的基础。无论涉及的问题多么复杂，将要建立的体系多么庞大，都要从这个原点出发。这一点反映出中国古代早期经典作品（譬如《周易》）的共同特征：言简意赅、理精用博。

因此，我们说商高问答是《周髀算经》的数学基础，陈子模型及其以后的文字，都是在这个基础上演绎出来的理论体系。

（2）陈子模型

陈子答容方问，主要讨论影差原理与陈子模型的基本结构。作为论述盖天说理论模型的经典著作，陈子模型的建立，实际上可以算作《周髀算经》的核心内容。

陈子继承了商高的数学理念，因此，十分强调将实际问题转化为数学

模型的实践。他与容方的问答，反复要求容方“熟思之”，就是期望容方可以学会用矩之道，解决实际问题。待容方百思不得其解时，陈子以测日径为例，引出了日高术，推导出所谓的影差原理。

有些学者把影差原理看作一个未经证明的假说，也有一些学者将它当作一个定理，我们认为后者的观点是合理的（参见第二章的讨论）。作为一个定理，影差原理是根据天地为平行平面的假说与“实际”测量的周城南北各1000里处晷影的变化结果而推导出来的。影差原理是陈子建立其宇宙模型的一个基本数据。

在陈子问答的第二部分，从容方问“周髀者何”开始，陈子在影差原理的基础上，演绎出他的宇宙模型，其基本框架为：

第一，周城位置与冬、夏至太阳轨道。根据影差原理，由实测周城冬至与夏至正午时分晷影长度，确定这两个中气之日正午时分太阳到周城的距离，以及周城距离北极之下所在地的距离103000里。由此，确定太阳在冬至与夏至日的运行轨道半径，相当于推算出这两日太阳绕极旋转的周日平行圈，分别称之为外衡与内衡。其中外衡半径为238000里，内衡半径为119000里。而春秋分日太阳绕极旋转的周日平行圈，居于内、外衡中间，称为中衡，其半径为178500里。

第二，黄道。在外衡南端与内衡北端之间，有一条与中衡大小相同的圆，它内接于外衡，外切于内衡，这就是陈子模型中的黄道。由于《周髀算经》在这个地方没有明确地给出冬至点与夏至点的人宿度，因此，陈子是用这条圆在不同位置时的两条直径来表示黄道的位置的，具体的说明，参见第三章有关盖天说之黄道概念的讨论。

第三，日照范围。盖天说理论中阳光的照射范围是以167000里为半径的一个圆域。日照半径与内衡半径之差，给出了一个所谓的“璇玑半径”11500里。

第四，日出与日落时刻太阳到周城的距离。计算了盖天说模型中，夏至与冬至日太阳在周城的正东、西方时到周城的距离。由于此时太阳与北极、周城正好构成一个勾股形，因此，出现了勾股定理的一个非平凡的实例及应用。

第五，宇宙直径。在《周髀算经》中的盖天说里，太阳的光照是有一定范围的，由于太阳运动距离北极最远的轨道就是冬至日道——外衡，因此，盖天说的可视宇宙的直径便是外衡直径与日照直径的和810000里。此数被称为“四极径”。

因此，陈子模型，实际上给出了8个重要的基本数据：周城去极、外衡、内衡、中衡、日照、黄道、璇玑、四极。假定已知四极之径，那么所有这些数据，都是在陈子模型之框架的确立下的惟一选择。参见第三章的讨论。

以上就是陈子答容方问的主要内容，陈子通过他的描述，给我们构建了他的盖天说宇宙模型。《周髀算经》在这段问答结束之后，立即设计了“圆方图”与“方圆图”，讨论所谓的“方圆之法”。按照《周髀算经》的习惯，其术文往往出现在应用之后，方圆之法，相当于一个证明圆周率π＝3的定理，由于在陈子的答问中已经多次用到了这个常数，因此，在他的问答结束之后，就立刻给出一个证明，完全符合《周髀算经》的行文习惯。这就是为什么我们将“方圆之法”作为上卷之二陈子模型之结束的原因。

（3）七衡六间

在陈子模型中的外衡与内衡之间，等间距地插入了5条同心圆，分别表示12个中气日太阳的运动轨道，这就是所谓的七衡六间，这实际上是陈子模型中已经确定的结构。

在七衡六间的基础上，明确讨论了“七衡图”的设计方法与操作程式。七衡图由黄图画与青图画组成，前者在恒星背景上画出以天极为中心的七衡六间模型，后者画出一个以周城为圆心、日照距离为半径的圆。两者的结合，可以演示日出日落等天象。

特别值得注意的是，在本节的最后，出现了《周髀算经》中的第一个术文。这个术文，是按线性插值的方法，计算陈子模型中的太阳每一日绕极旋转的轨道半径。由于陈子模型中已经给出了恒星背景下的黄道位置。因此，这个算法所推算出来每日太阳视运动的平行圈与黄道的交点，就是当日太阳在黄道上的位置。这个结果，使得陈子模型作为一种宇宙理论具备了可操作性与实用性。作为一个演示天体运行的活动式星盘，七衡图的字宙图示是陈子模型的衍生物。

（4）盖天模型

陈子模型中虽然没有明确地讨论天与大地的形状，但根据日高术与影差原理的推算，可以导出一个显然的事实：陈子模型中的天地结构是彼此相距80000里的两个平面。然而，在《周髀算经》卷下之一，以“天象盖笠，地法覆盘”描述的盖天说天地模型，与平行平面的陈子模型显然有所差异，因此，成为后附学者们争论的一个焦点。虽然各种解释分歧较人，但恪守天地平行的假说，却是大家的一个共识。

在这个部分中，按照七衡图的理论模型解释了昼夜的成因：因日照有范围，而产生日、月、星光强弱的变化，并且指明月光系日光反射的结果；确定了北极星在北极与冬至点之间，而其到北极的距离正好是七衡图模型中的璇玑半径。

虽然原文是利用圭表测影的方式，根据对北极星的观测而计算出璇玑半径的，但事实上，这个数据却不是测出来的结果。而是陈子模型中推导出来的数据。因此，有学者试图根据这个北极星的去极度数来确定其测量年代，从而推断《周髀算经》的成书时代，恐怕是成问题的。

卷下中的第一个术文，给出了利用圭表测望确定方向的方法，这个问题，在第三章中有专门的讨论。盖天说理论中．个非常令人惊奇的地方，就是对寒暑五带的划分及其成因的解释。这些内容，与实际情况相当的契合，因而引起许多学者的关注。

（5）天体测量

《周髀算经》中的天体测量部分，主要包括三个内容，依次为：1）在地平坐标系中，以游仪测望天体；2）测算牛、角、娄、井四宿之去极度数；3）按线性插值法计算24气晷影。

在讨论盖天说的天体测量方法时，有一个问题值得特刖的说明一下，那就是对北极璇玑的定义。在《周髀算经》中，反复使用了极、北极、北极璇玑与天心、北极枢等术语。在定义28宿的去极度时，是以天体到“北极”的距离为准。有趣的是，这里的“北极”或“极”都不是真正的“天心”，而是在冬至点与天心的连线上距离天心11500里的那个点。“极”或“北极”绕天心旋转，其旋转半径就被称为“北极璇玑”。实际上，此处的“极”或“北极”相当于天心附近的一个“北极星”。《周髀算经》称天心为

“北极枢”，这是一个不动点。

《周髀算经》中，利用地平上的游仪装置，设计了测定28宿距度的方法，并给出了“牵牛八度”的距度值，此数与汉代28宿赤道所测结果相同。孙晓淳发现，后者为牵牛与须女宿之距星的赤经差，而按照《周髀算经》的测量方法，所得到的结果应该是地平方位角差，这两者有很大的差别。因此，他认为，《周髀算经》中记录的测量28宿距度的方法，根本没有进行实际的应用。

如图2所示，设Ｘ表示正南方（子午圈上）的须女宿的距星，Ｙ为牵牛宿的距星。Ｐ、Ｐ’为北、南赤极，圆ＥＷＳＮ为地平圈，圆ＥＷＱＱ’表示天赤道。过距星Ｙ的赤经圈与天赤道交于点Ａ、与地平圈交于点Ｂ。

假设已知牵牛与须女两宿距星的赤经差＝ＡＱ＝α＝8°，阳城的地理纬度φ＝ＰＮ＝34°。两宿的地平方位角之差＝ＢＳ。令ＷＢ＝β，则在△ＡＷＢ中，因为∠ＷＡＢ＝90°，根据球面三角之正弦定理，可以得到：

sinＡＢ＝cosφsinβ

又在ＡＰＷＢ中，因为∠ＰＷＢ＝90°＋（90°－φ），∠ＡＰＷ＝90°－α，因此．有：

cosＡＢ＝sintφsinβ／cosα

联立上面的两个等式，可以得到：

sinβ＝cosa／［√（cosαcosβ）∧2＋sin∧2φ］＝85°.5

由此即得牵牛与须女两宿距星Ｙ、Ｘ的地平方位角之差为4°.5。

（6）日月历法

《周髀算经》中的日月历法由四个部分组成，依次为：月历、太阳出入方位、历元周期及年月长度的来历。其中月历部分，给出月亮运动的各种周期，包括月亮的平均日行速13（7/19）度，小月、大月、经月，以及小岁、大岁、经岁的长度及月亮在周天上位移的度数。采用《四分历》的朔望月与回归年的长度，定义小月为29日，大月为30日，经月（即朔望月）为29（499/940）日；小岁为12月，大岁为13月，经岁（即回归年）为365(1/4)日。

从“冬至昼极短”到“左者往，右者来”，给出了太阳在冬至与夏至日太阳出入的方位，以及当日昼夜长度的比值。此数与实际情形相当吻合，特别是夏至的情形，几乎完全吻合，其数据可以根据七衡图计算出来。参见本书第三章的讨论。

从“月与日合为一月”到“天以更元作纪历”，给出了日、月、年与中气的定义，包括《四分历》的闰周，以及章、蔀、遂、首、极等各大周期：1章＝19岁＝235月

1蔀＝4章＝76岁＝27759日

l遂＝20蔀＝76章＝1520岁＝9253×60日

1首＝3遂＝60蔀＝228章＝4560岁＝76×60岁

l极＝7首＝21遂＝420蔀＝1596章＝31933岁＝27759×60×7日

由以上计算可以看出，l章之内，回归年与朔望月之间成整倍数关系，由此可以得出19年7闰的闰周。l0蔀之内，日数没有余分。l遂之内，积日回归甲子。l首之内，积年回归甲子。l极之内，积日为7的整倍数。

由于7日是一个星期的日数，因此，古克礼提出，《周髀算经》中的一极是为了蕴涵星期的意义而设计的一个周期。这个猜想如果能够被证实，当然是一个重要的发现。不过，目前还没有得到足够的证据来支持这个假说。

从“何以知天”到卷终，是日月历法的最后一个部分。赵爽在本段的开始注释到：

非《周髀》本文，盖人问师之辞。

此处所问者有两端：其一，《四分历》回归年长度的来历。按晷影最长为冬至日，连续若干年的测影结果表示，有三年冬至间隔365日，次年冬至在366日之后，这个周期反复出现，因此，有

回归年长度＝（3×365＋366）/4＝365（1/4）日

其二，《四分历》朔望月长度的来历。假设某年冬至日恰逢合朔，太阳与月亮均从建星出发，连续观测76年，发现太阳与月亮会合1016次之后，又一次在冬至日会合住建星。因此，有

朔望月长度＝（76×365.25）/（1016－76）＝29（499/940）日

按照太阳日行一度，则可以得到月亮的运行速度为：

1016/76＝13（7/9）[度/日]

（7）《周髀算经》中的“术”

我们知道，中国古代传统数学的文献中，通常都是采用“问、答、术”的次序与模式编排的，其原则基本上是针对某一大类的问题，设计一些题目，并给出答案，最后统一以术文的形式将解答过程用到的数学定理与算法表述出来。这个格局在汉代的《九章算术》中已经形成，而在1983年湖北江陵张家山出土的西汉初年（吕后至文帝初年）的竹简《算术书》中，已经可以看到这种数学著作所习惯采用的形式的雏形。①

作为流传至今最古老的一部“算经”，很有必要探讨一下“术”在《周髀算经》中的给出方式。

《周髀算经》原文在陈子模型之前，没有出现一条“术文”。但从卷上之三开始，以“术曰”的形式接连给出了13条术文。

其实在卷上之一与之二两个部分，很有一些东西是需要以“术曰”的形式表达的，譬如勾股定理、日高术、影差原理、圆周率π＝3等等，因为这些内容都是《周髀算经》中反复应用的基本知识或数据。但是，在商高或陈子的问答之中，它们均没有以术文的形式明确地表达出来。特别值得注意的是，在卷上之二陈子给出的影差原理，无论其形式还是内容。显然都可以算作一个术文，但原文却以“法曰”的方式陈述之。

这些差别，似乎可以说明一个问题，即从行文的风格上看。商高、陈子的问答与陈子之后的文字是有很大的不同，它们应该是不同时代的产物。

在《周髀算经》中以“术曰”的形式给出的13条术文中有一个共同的特点，作为算法或测量方法，这些术文都是在计算结果或观测结果陈述之后给出的。

例如，卷上惟一的术文是按线性插值法推算每日太阳运动轨道之直径的算法，就是在七衡图各项基本数据陈述完毕后给出的。卷下的第一条术文（术曰：立正勾定之……），在求璇玑半径时已经用到。第二条术文（术曰：倍正南方……），讲述“立周天历度”的测量方法。第三至五条术文，则是在已经给出牵牛、角与娄、井等宿的去极度数据之后，分别列出的求解算法。第六条术文（术曰：置冬至晷影……），则给出了前面刚刚得到的24气之晷影长度的计算方法。第七至十二条术文，根据月亮行速13（7/9）度/日，计算小岁、大岁、经岁与小月、大月、经月之内月亮在周天中位移的度数，计算方法仍然在计算结果之后。

《周髀算经》中的全部13条术文的分布是：上卷之三，1条；下卷之一，1条；下卷之二，5条；下卷之三，6条。所设计的算法或观测方法，都是在应用结果之后陈述出来的，因此，相当于一种总结。

有趣的是，影差原理出现的地方正好在日高术之后，盖天说各种数据的计算基本上都是根据日高术建立起来的。虽然没有采用“术曰”的形式表述，但一样地具备“总结”式地给出一般结果的意义。

在陈子答容方问的最后，《周髀算经》中突然插入了一段文字与两幅插图，称之为“方圆之法”，显然是有所指的。陈方正认为这段文字是在证明方圆之率π＝3，这个猜想是有道理的。因为，我们已经看到，在陈子所述的宇宙模型中，反复地用到了这个方圆之率，根据《周髀算经》的体例与风格，在这个地方，给方圆之率π＝3一个证明是很适时的，也是很必要的。实际上，这个“方圆之法”，与前面提到的影差原理是类似的，也可以看成是“术”的一种形式。只不过可能因为陈子模型的创作年代尚未时兴以“术曰”的方式明确地表达定理或算法，因此，才采用了这样“隐晦”的陈述形式。

注释：

①有关《算术书》的全文及其释文，已经发表在《文物》2000年第9 期。

4．注释与研究

现传各本《周髀算经》基本上都附有赵爽、甄鸾、李淳风等人的注释，在赵开美校点的明本中，还夹杂了明代唐寅的注释。后者的注释数量不多，质量也不高，可以不予考虑。但赵、甄、李三人的注释，则几乎已经成为《周髀算经》的一个组成部分。

在上述注释者中，功劳最大者首推赵爽。赵爽，字君卿，生卒年代与生平事迹均不可考。他是现传《周髀算经》最早的注释者，由于他在《周髀算经》的注释中，两次引用了东汉刘洪的《乾象历》（206年），而此历只在三国时期的吴国颁行，人们因此推断赵爽应该是三国吴人。

赵爽在注释《周髀算经》时的主要创作与贡献有“勾股圆方图说”、“日高图注”、“七衡图注”以及24气晷影算法的重构等。他已经深刻地认识到商高关于勾股定理的证明，并在这个基础上构造了自己的“弦图”，研究了

勾股形的各种关系；他对“日高图”与“七衡图”的复原，使得后世学者更容易地理解盖天说的理论构造。

甄鸾，字叔遵，北周著名的历算家，曾经编制《天和历》（566年）。甄鸾的注释文字虽然不少，但基本上是用具体的数字验算经文或赵爽的注释，乏善可陈。更糟糕的是，还有一些因误解经文而产生的错误的诠释。他对日高图的注释，记录了一些有意思的东西，或许稍微有一点可取之处。

唐代李淳风等人奉敕编辑注释《算经十书》，对《周髀算经》中的一些问题提出批评和修正意见，其注释虽然只有三处，但都比较长，也比较有见地。其一，指出甄鸾对赵爽勾股圆方图说的误解；其二，指出《周髀算经》之盖天说模型前后矛盾、“语术相违”的毛病，并提出“盖天六术”的修正方案；其三，指出赵爽按等差数列构造24气晷影长度算法，与实际天象不符。这些批评都十分中肯。

明代赵开美校点的《周髀算经》，基本上沿袭了南宋本的原貌．在校勘上没有太大的成就。据《四库全书提要》称：戴震对《永乐大典》本《周髀算经》的校勘，“补脱文一百四十七字，改讹舛者一百十三字，删其衍复十八字”。清代道光年间，顾观光对《周髀算经》中一些难解之处校勘了28条。光绪年间，孙诒让又校勘16条。戴、顾、孙三人的校勘是在仔细研究的基础上作出的，其中不乏真知灼见。1963年，钱宝琮综合前人的校勘成果，经过他自己的深入研究，共得校勘140余条，形成了《周髀算经》迄今为止最为完备的版本。

关于《周髀算经》的研究，明代以来吸引了众多学者，如朱载堉、梅文鼎、吴娘、冯经、邹伯奇、郑复光等人均有著述行世。近代系统研究《周髀算经》的学者也有多人，如钱宝琮、陈遵妫、金祖孟、唐如川，以及日本学者能田忠亮等。特别是20世纪80年代之后美国的程贞一、台湾的陈良佐、傅大为与中国大陆的李志超、江晓原等人的研究工作更加引人注目，形成了一个研究热点。

20世纪，在国际科学史界，也有许多学者对《周髀算经》进行了广泛深入的研究。作为中国古代流传至今最早的一部天算典籍，《周髀算经》已经被完整地翻译成日文（桥本敬造）与英文（C．Cullen），在西方出版发行。

二《周髀算经》的数学

1．弦图与勾股定理

勾股定理是几何学中最基本的定理之一。在人类的各种早期文明中，人们通常采用面积移补的方法，通过构造一种特殊的图形，来证明勾股定理。由于这种几何图形的构造过程，是将勾方与股方转化为等积的弦方，因此，

这种用来证明勾股定理的图形就被称之为弦图。

目前可以看到的最早的一幅弦图，出现在现传各本《周髀算经》之中，不过这幅弦图是三国时候赵爽为之作注时设计的。

《周髀算经》开篇记录了周公与商高的两次问答：首先，“问数安从出”；其次，“问用矩之道”。后者的意义似乎比较明确，但更加古奥简约的前一段文字，其内涵则成为科学史家们争论的一个焦点。这个引人注目的问题就是，商高是否给出了勾股定理的一个普适的证明？

在讨论这个问题之前，让我们先分析一下赵爽对其“弦图”的构造。（1）从赵爽的弦图说起

在《周髀算经》商高关于“数安从出”的答辞之后，赵爽立即插入了他的“勾股圆方图注”。在这篇著名论文的第一部分，赵爽写道：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。

案：弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。

显而易见，第一段文字是勾股定理的一个准确的命题。对照现传各本《周髀算经》的“弦图”，则可以很清楚地看出，“案”以下的文字，给出了这个命题一个严格的证明。这一点是没有异议的。

有趣的是，在赵爽的证明过程中有两个特别的字引起了我们的注意：弦图又可以……

加差实亦成弦实……

第一句话中的“又”字表示，在赵爽的弦图之前应该还有一幅弦图，而由于赵爽的“勾股圆方图注”就是对《周髀算经》开篇第一段商高答周公问的注释与补充，因此，合理的推断只能是，在商高的答辞中一定隐含了一幅弦图，并且此图与传本赵爽的弦图应该有所不同。第二句话中的“亦”字证明，无论是赵爽的弦图还是商高的弦图，皆在推求弦实，换句话说，它们都在证明勾股定理！

因此，至少从赵爽的角度来看，商高对于周公之“数安从出”的答复是在证明并且显然已经证明了勾股定理。

那么，商高是否证明了勾股定理呢？如果答案是肯定的话，他的证明与赵爽的弦图又是怎样的关系呢？

（2）商高关于勾股定理的证明

周公与商高的第一次问答，周公所问包牺氏创设“周天历度”的方法，实际上是指中国上古文明时期探索宇宙奥秘的最基本的数学方法。在商高看来，这个方法的核心就是勾股定理。这是一个合乎情理的推断，也是近年来为众多学者所反复论证的事实。但是，由于商高的答辞不仅极其简奥，而且以勾三股四弦五的特例来说明问题，因此，也不断地有学者对“商高已证明了勾股定理”的观点予以驳斥。

商高的答辞究竟是否蕴涵了对勾股定理的一个普适的证明？自有清以来，争论就不绝如缕。究其根本，导致对原文的理解产生分歧的关键，主要集中在以下两点：

首先，原文中的“矩”、“其一矩”与“两矩”各指什么？

其次，“既方之”到底是如何操作的？

商高的答辞，可以划分为两个部分：第一部分到“九九八十一”为止，讨论圆方关系；第二部分从“故折矩”开始，论证勾股定理。以下对照赵爽的注释，对这段文字逐句分析，以期辨明是非，重张《周髀算经》本义。

所谓“数之法出于圆方”，是对周公“数安从出”的一般性回答。在中国古代的哲学中，宇宙万物之形态或测度的数学抽象，不外乎两类基本元素：圆与方。如刘徽在《九章算术》“圆田术注”中便称：

凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。①

因此，对于古人而言，掌握了测算圆与方的方法，似乎就找到了开启宇宙之门的钥匙。由于方形规矩易度，而圆体变化难测，因而，通过“方圆之率”（即圆周率π）而“化圆为方”，便成为人们解决这个难题的基本方法。所以，商高说：“圆出于方”。

由于方是矩（长方形）之特例，因此，商高说：“方出于矩”，意思是，对于正方形的度量可以按长方形的情形来处理②。赵爽注称：“矩，广长也。”正是在说明矩的形状乃是由广与长两条彼此垂直的边所构成的长方形。因矩形的面积＝长×宽，须以乘法计算，因此商高说：“矩出于九九八十一。”

到此为止，商高的答辞还没有触及勾股定理。他所告诉周公的是，宇宙万物的基本数学形态——圆与方是可以通过乘法来实现其度量的，解决这个问题的关键，是将圆的度量转化为方的度量。

那么，圆方转换是如何实现的呢？这就不能不引出了圆周率。我们知道，在汉代以前，人们认为圆周率π＝3。在此条件下，对于正方形与其内切圆而言，无论是周长还是面积的比值，都有：

圆：方＝3：4

更为奇妙的是，假令取勾三股四，则必得弦五，是为勾股定理的最简明的特例。由于

3∧2＋4∧2＝5∧2

2、3、4、5的这种神奇的数字组合，事实上成为了整个中国传统数学的一个无可替代的原点。商高就是由此出发，开始对勾股定理的证明。

“故折矩，以为勾广三，股惨四，径隅五。”这句话可以看作是商高对勾股定理之命题的陈述。根据赵爽的注释：“应圆之周，横者谓之广，勾亦广，广，短也”；“应方之匝，从者谓之修，股亦修，修，长也。”勾三、股四对应着圆、方之率，“折矩”就是将其折合成“勾方之矩”与“股方之矩”，其位置是前者在右下，后者居左上。

两矩相交的两条边所对应的斜边，即“径

隅五”，如图3。③

命题之后便是证明。第一步，在图3

的基础上做一个大的正方形，此谓“既方

之”。按赵爽的注释：

勾股之法，先知二数，然后推一。见勾股，然后

求弦。先各自乘，成其实，实成势化，尔乃变通，

故曰：“既方”。

意思是，按勾股定理，若已知勾、股，即可求弦。通过“折矩”，先令勾股各自乘，而得到勾方与股方，欲将这两个矩方的面积之和转化为弦方，就须对其进行变通。因此，首先把它们纳入一个大的正方形之中，这就是“既方之”的用意。

第二步，“外半其一矩”。按赵爽的解释：

其外，或并勾股之实以求弦，实之中乃求勾股之分并。实不正等，更相取与，互有所得，故曰：“半其一矩”。

“其外”，即图4中勾方与股方之外的两个矩形，称为“其一矩”，为了求得弦方，即需要拼合勾方与股方，但因其形态不悉相似，所以要重新分割，按出入相补，进行组合。“外半其一矩”。就是从外侧剪下某个“其一矩”的一半，无妨取其左下，如图5所示。

最后一步，“环而共盘，得成三四五。两矩共长，二十有五。是谓积矩。”按赵爽的注释：

盘，读如盘桓之盘。言取而并减之积，环屈而共盘之。谓开方除之，得其一面，故日：得成三四五也。

两矩者，勾股各自乘之实。共长者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。所谓“并减之积”，就是两个“其一矩”的面积之和。将第二步中裁下的半个“其一矩”，绕图5中的大正方形周边盘而裁之，如图6所示，裁下的四个三角形正好是“并减之积”。由此证明。图6中弦方的面积，等于勾方与股方面积之和。经文中的“两矩”，按赵爽的理解，是勾方与股方，与我们前面的诠释正相吻合。④

从图4到图6，整个过程与勾股弦三边的具体设定数值是没有关系的。毫无疑问，这是勾股定理的一个严格的证明。而商高以勾三股四弦五为例，演示这个构造性证明的程序，正好符合中算家一贯采用的“寓理于算”的传统风格，所以说，商高给出的决不仅仅是一则勾股形的特例，事实上，商高已经成功地完成了对勾股定理的一般性证明。

注释：

①李继闵：《九章算术校证》，西安：陕西科技出版社，1993，150页。

②孟子说：“不以规矩，不能成方圆。夫规所以成圆，而矩所以成方也。”矩在古代最通常的意义是矩尺，一种可用来画方的工具。因此，大多数研究者都认为，“方出于矩”中的“矩”字与《周髀算经》原文中所谓的“合矩以为方”中的“矩”的意思是一样的，此处的“矩”不是矩形，而是用来度量的矩尺。这样的解释也是可通的。

在赵爽的“勾股圆方图说”与《九章算术》刘徽注的文字中，所提到的弦方之中的“勾实之矩”或“股实之矩”分别是以股弦差或勾弦差为宽的曲尺形，不过在计算其面积时，则分别按下面的文字表述：

勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤。

股实之矩，以勾弦差为广，勾弦并为袤。

由此可见，“矩”就是以广和袤为边长的直角四边形，这分明是将曲尺形转化成了长方形。所以，“矩”本应指长方形，所谓“勾实之矩”或“股实之矩”实因其可以直接化为长方形，故

得此称谓。

我们在此将“矩”字作“矩形”解，其目的乃是为了将商高答同中的五个“矩”字的意义统一起来。

③按《周髀》之法，髀，即表，即股；勾，即表端投射的影长。所以斜径是一条虚的直线。对于实在的勾股形，古人常以“勾广、股修、径斜”表述．这里称“径斜”为“径隅”，显然并未真正画出一个三角形，因此我们将此弦用虚线表示。大部分的学者都认为，“故折矩”就是将以勾三股四为边长的矩形沿对角线折成两半。这个解释更加简明，并且通过对其“既方之”的过程．也可以得到边长为“勾3＋股4”的大正方形，如图4所示。但是，如此以来，下文中的“两矩共长”的两个矩形便失去了根据，因此，我们采用了图3这个看起来似乎稍微复杂一些的诠释。

④将两矩面积之和称为“共长”，曾令许多学者迷惑不解。李继闵先生很精辟地道出了个中原委。原来，中国古代数学中无量纲的概念．传统数学中没有“平方尺”或“立方丈”之类的单位，中算家测度面积，总是将其化为某一边长为单位量的矩形，体积则化为某一面为单位正方形的长方体，如此一来，这个等积的矩形或长方体的另一条边长或高度，即用来表示其面积或体积的大小。参见：李继闵之“商高定理辨证”及《九章算术导读与译注》，西安：陕西科技出版社，1998年，附录2。

（3）赵爽的弦图是如何构造的

现传本《周髀算经》中的弦图，是赵爽绘制的。这个弦图是如何得来的？为什么赵爽在商高的答辞之后

“又”构造一个弦图？它与商高的

弦图有何不同，又有何关系呢？我们

现在来回答这些问题。

由前面的分析可以看出，商高构

造的弦图应如图6所示。这个弦图是

通过以下三个步骤完成的：

既方之（图4）→外半之（图5）

→环而共盘（图6）

赵爽弦图中的弦实由两个部分

组成：一为中黄方，即以勾股差为边

长的正方形；一为四个朱实，即两个

以勾股为边的矩形分割成的四个全

等的直角三角形。

在商高的弦图中，没有中黄方，

但在其第一个构造步骤中（图4），可

以看到四个朱实。设想一下，如果将后两个步骤的次序颠倒一下会有怎样的结果呢？

将图7中左下角的矩形裁下，沿着大正方形的周边“环而共盘”，于是在图8中可以看到所谓的“中黄方”。将图8中盘居于中黄方周围的四个全等的矩形皆“外半之”，则立即得到赵爽的弦图，如图9所示。

由此可见，赵爽弦图的三个构造步骤次第为

既方之（图7）→环而共盘（图8）→外半之（图9）

我们据此可能得出的结论是，赵爽不仅坚信商高的答辞是在证明并且已经证明了勾股定理，而且通过对商高之证明方法的研究，创设出自己的弦图。将赵爽的注释与商高的答辞贯通分析，以上就商高与赵爽关于勾股定理之证明的疏解，应该呈现出一条清晰的逻辑链了吧。

（4）关于商高定理的争论

在许多数学史著作中，都习惯地将勾股定理的发现与证明誉为是数学发展史上的第一个里程碑，因而总是不惜笔墨，津津乐道有关它的最初的发现与传说。

大约在公元前5、6世纪，古希腊出现了以毕达哥拉斯（Pythagoras，约前560－前480）为领袖的一个著名的数学团体，史称毕达哥拉斯学派。据说勾股定理在西方就是由这个学派所最先发现的，因此，西方数学史家一直称此定理为毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）。传说毕达哥拉斯学派的学者为了表达他们发现勾股定理的兴奋之情，特意宰杀了一百头牲畜来酬祭缪斯（Muses）女神。不过，毕氏学派究竟是如何证明勾股定理的，却并没有流传下来。现存古希腊人对勾股定理最早的证明，出现在欧几里得的《几何原本》。

20世纪50年代，程纶、章鸿钊与章元龙等学者曾就勾股定理的发明权问题展开讨论①。程纶认为，商高论述的内容与毕达哥拉斯相同；根据赵爽的注释，可见商高所言也有面积的意义；商高约在公元前1120年，早毕达哥拉斯（约前500）600多年。根据这样三条，程纶提出，毕达哥拉斯定理“应改称商高定理”。

不过按照程纶的论述，并没有说明商高是怎样严格地证明了勾股定理。一般的学者当时还是认为，商高对勾股定理的认识似乎仅仅限于勾三股四弦五的特例。而《周髀算经》对勾股定理普遍形式的明确陈述，则在陈子对容方的答词中才开始出现。

因此，在程纶提出“商高定理”之倡议的同时，章鸿钊也提出了“陈子定理”的建议。后者认为，商高对周公的答辞是“说明勾三股四弦五的初步勾股术”，而“陈子应用的勾股术是一个勾股普遍定理，完全把3，4，5这三个数字的束缚解放了。要是我们不能证明陈子以前还有发明这个勾股普遍定理的人，只得承认这个定理在中国是陈子发明的了”，据章鸿钊考证，陈子最晚应是公元前6、7世纪的学者，至少不晚于毕达哥拉斯。因此，他建议“这个勾股普遍定理在中国应改称‘陈子定理”’。

不久，章元龙对这个定理的命名问题的判别提出了两条标准：首先，发明者仅仅提出特例是不够的，他必须“把这个数理关系推衍到普遍化”；其次，发明者必须“证明”了这个普遍的定理。

就当时的学术界对《周髀算经》的研究状况而言，无论是商高还是陈子，似乎都没有满足这样两个条件。因此，钱宝琮建议在中国不必用人名来命名这个定理，而直接称之为勾股定理。②

清代学者冯经曾著《周髀算经述》一篇，对《周髀算经》经文商高答周公问一章详细解说。冯经认为，商高在这段文字中，已经证明了勾股定理。他对原文“环而共盘”等句的解释是：

以版方七寸为盘，七七乘积四十九。于角边照前句三股四，斜划四句股而共盘焉。中方即弦五自乘二十五。

《周髀算经》与《九章算术》介绍

[键入文字] 《周髀算经》与《九章算术》介绍 《周髀算经》是我国最早的一部数学及天文算学着作。髀即股，在周朝时立八尺之杆（立柱）为表（表即股），表的影子为勾，故合称之为勾股。可想而知，这是一部有关勾股定理方面的数学着作。该书成书于公元前一世纪。在天文算学方面，主要阐明当时关于宇宙见解的“盖天说”和“四分历法”。这在当时都是相当先进的。该书最引人注目的是最早阐述了勾股定理。 《周髀算经》一开始就记载了公元前1100 年西周时周公与商高的一段对话，商高说；“……折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”也就是说，把一根直尺折成直角，直立的一边长四，横躺的一边为三，则直尺的两端距离必然是五。因为是商高讲的，有的书也把勾股定理叫做“商高定理”。据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550 年首先证明了这个定理时，他十分高兴，杀了一百头牛，以示庆贺。国外称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。其实，他要比我国商高晚了五百五十多年。 《周髀算经》还记载了公元前六七世纪荣方和陈子的对话。在这些对话中，他们提到了进行各种数据计算的方法，其中包括测量太阳高度的方法。其方法大致如下： 夏至时（太阳直射北回归线），观测者在北方立一八尺高杆，其日影长度刚好是六尺。标杆每向南移动一千里，在同一时刻的日影长度就减少一寸。也就是说，当日影减少六尺（即没有日影）时，标竽就向南移动了：60×1000=60000里 这时标杆在太阳的正下方。根据平面几何的相似原理可知，若勾为六万里，则股为八万里。再由勾股定理即可算出测量者与太阳间的距离为10 万里。这种推理，从数学角度是正确的，当然与实际情况相差不少。至少，他没有考虑地球是圆的这个因素。但与号称西方“测量之祖”的希腊学者塔利斯相比，陈子的水平要高多了。塔利斯在公元前六世纪，利用日影测量了埃及金字塔的高度，但金字塔只有一百多尺高，并且人可以接近它，而陈子测的却是地球与太阳之间的距离。 1

周髀算经 新议成书

一、《周髀算经》的流传 1．关于《周髀算经》 （1）何谓周髀？ 《周髀算经》是中国古代完整地流传至今最早的一部天算著作。大约从东汉末期开始，人们已经把这部书当成是专门论述中国古代三大宇宙学说之一——盖天说的理论著作。例如，东汉的蔡邕（132－192）就说：论天体者三家：宣夜之说绝无师法，《周髀》术数具存，考验天状，多所违失；惟浑天仅得其情。① 按理，《周髀算经》究竟是一部怎样的书，似乎应该是不成问题的问题。但是，有清以来数百年问，学者们对此却始终没有形成统一的看法。 那么，什么是周髀？在《周髀算经》卷上之二容方问“周髀者何”时，陈子答曰： 古时天子治周，此数望之从周，故曰周髀。髀者，表也。 由此可知，周髀，就是周时使用的圭表，引申为阐述周人以圭表测量天体运动的理论与方法，这应该是比较权威的解释。然而，根据明代胡震亨（1569－1645）的说法： 《周髀》以周人志之，乃称《周髀》。而虞喜则谓天之体转四方，地体卑不动。天周其上，故云“周”。其解“周”字，又一义也。② 可以知道晋代的天文学家虞喜（28l－356）就不认同陈子的解释，他认为“周”是指天体周旋四方的意思，《周髀算经》与周人无关。清代的冯经也称： 周谓全体，髀谓股分。此经即割圆之法。③ 与虞喜的看法类似。对“周髀”的解释，与到底什么是《周髀算经》的本文有关。在《周髀算经》卷上之二开篇“昔者容方问于陈子”之后，赵爽注释道： 容方、陈子是周公之后人。非《周髀》之本文。 赵爽的意思是，整个《周髀算经》的经文，只有卷上之一商高与周公的问答。陈子与荣方的问答及其以后的文字，都是对商高用矩之道的推衍。这个解释，在明末清初特别为一般的学者所认同，尤其是在西学中源说盛行的时期，许多数学家都仅仅将商高答周公问当做《周髀算经》的本文，并把它作为世界上各种文明之数学发达史的源头。例如梅文鼎（1633－1721）就说：周末，畴人子弟失官分散，嗣经秦火，中原之典章既多缺佚，而海外之支流反得真传。此西学之所以有本也。古算书存者，独有《周髀》，周公、商高问答，其本文也。容

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形…矩?得到的一条直角边…勾?等于3，另一条直角边…股?等于4的时候，那么它的斜边…弦?就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们 图1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得： 勾2+股2=弦2 亦即： a2+b2=c2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即：

我所理解的《周脾算经》和注释

我所理解的《周髀算经》和注释 作者：金灿1248 引子： 【在我看来，《周脾算经》从春秋战国成书到2013年的今天，还从来没有人这样解释过。要理解《周脾算经》首先，要熟练掌握、灵活使用远古天文和数学里的十一个测量工具，才会体会到远古天文、数学的高深莫测地深奥境界！再去熟读中国古典经史子集和家训，就能感受到远古中国，是上一次人类文明的中心地区！那个时代的中国人叫黄帝统治地球的五帝时代，地理坐标为：“四海之内．东西二万八千里．南北二万六千里”．是现代中国国土面积的37倍。《山海经》就是根据这两个数据的文字描述，所以，《山海经》就是9000年前的地球地图的正反两方面！我想信最终一定会得到中国人的肯定，地球人的认可。不会使用十一个古代天文、数学测量工具的人请您不要否定远古高科技的存在！ 玛雅人记述的历史，在9000年前到12000年前人类处于文明时期；中国历史上正是大禹到舜、尧和黄帝时代，中国的经史子集和家训有大量的文字记载和如今的考古发掘(汉代之前的古墓)的证明，天文学、数学、哲学理验、军事思想、宫廷管理体系、音乐理论和器乐、中医学和针灸技术、防病和养生、丝绸纺织技术、活字印刷术、绘画和书法艺术……都是来自黄帝统治地球时代的延续和变迁，就连明朝的郑和远洋出海都是看望海外“子民”，说明中国人的记忆里地球过去是统一的，《圣经》中记载的史前史，其中就有巴别塔时人类分散之说。也说明人类以前统一过。只不过在基督人眼里这段历史变得有点儿模糊不清。地球人请把这三段历史联系起来看世界吧！玛雅人和中国人记述的人类历史合并起来才是正确的地球人类历史！古代中国就是上一次人类文明的中心地区，西方认为的“无中心论”将会被否定！ 我相信“天地人合一”的认知体系，孔子倡导的大同世界，现代人倡导的和谐世界，地球人类期待的和平一定能够实现！请记住，过去12000年前的帝国时代与第一次世界大战以来的帝国主义国家有着本质的区别！西方人把地球人类划分成资本主义和社会主义阵营，制造当今不和谐因素，如果地球人都是你的兄弟姐妹的观念得到普遍认同，还会有那么多的杀戮，失业吗？还会有不是有你死，就是我活的战争吗？ 由于九千年前的三次全球性的大洪灾的爆发，到中国夏、商、周朝时，纸张已经严重缺乏，人们普遍使用兽骨、人骨、或竹简、石刻来记载文字、历史，随着时间的流逝和变迁，现代人只能从古墓中去发现它们，研究它们！才有了人们对《周髀算经》的再认识。周髀算经不是一个孤立事件，与多学科知识密切相关联。我在这里抛砖引玉，引起更多的志士仁人去了解它、发掘它，纠正西方社会对太空和地球的错误解读。以正视听。还原远古科学技术历史，让断

周髀算经 (1)

周髀算经 ---神奇的宇宙与勾股定理 数学与软件科学学院 2013级1班王李俊、

前言 数学是中国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌。中国数学起源于仰韶文化，距今有五千余年历史，在周公时代，数乃是六艺之一。而勾股定理作为“人类最伟大的十个科学发现之一”，则在很久以前就已被发现，甚至比毕达哥拉斯还早。 天文学是最古老的自然科学学科之一，它的起源可以追溯到人类文化的萌芽时代。远古时候，人们为了指示方向，确定时间和季节，就自然会观察太阳、月亮和星星在天空中的位置，找出它的随时间变化的规律，并在此基础上编制历法，用于生活和农牧业生产活动。早期天文学的内容就其本质来说就是天体测量学。 《周髀算经》是中国流传至今的一部最早的数学著作，同时也是一部天文学著作。在数学上的主要成就是介绍了勾股定理的公式与证明及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。 中国古代，按所提出的宇宙模式的不同，天文学共有3家学说，“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。书中还介绍了矩(一种量直角、画矩形的工具)的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。在《周髀算经》中还有开平方的问题，等差级数的问题,使用了相当繁复的分数算法和开平方法,以及应用于古代的“四分历”计算的相当复杂的分数运算．还有相当繁杂的数字计算和勾股定理的应用。 总的来说，这是一本能很好地帮助了解中国的数学和天文学的发展的书籍。 本文我将从它的历史、基本简介、天文历法和勾股定理介绍整本书籍。

周髀算经

《周髀算經》 〈周髀算經卷上之一〉 昔者周公問于商高曰．竊聞乎大夫善數也． 請問古者包犧立周天歷度． 夫天不可階而升．地不可得尺寸而度． 請問數安從出． 商高曰．數之法．出于圓方． 圓出于方．方出于矩． 矩出于九九八十一． 故折矩． 以為句．廣三． 股修四． 徑隅五． 既方其外．半之一矩． 環而共盤．得成三四五． 兩矩共長二十有五．是謂積矩． 故禹之所以治天下者．此數之所生也． 周公曰．大哉言數． 請問用矩之道． 商高曰．平矩以正繩． 偃矩以望高．覆矩以測深．臥矩以知遠． 環矩以為圓．合矩以為方． 方屬地．圓屬天．天圓地方． 方數為典．以方出圓． 笠以寫天． 天青黑．地黃赤．天數之為笠也．青黑為表．丹黃為裏．以象天地之位．是故．知地者智．知天者聖． 智出于句． 句出于矩． 夫矩之于數．其裁制萬物．惟所為耳． 周公曰．善哉．

〈周髀算經卷上之二〉 昔者．榮方問于陳子． 曰．今者竊聞夫子之道． 知日之高大． 光之所照． 一日所行． 遠近之數． 人所望見． 四極之窮． 列星之宿． 天地之廣袤． 夫子之道．皆能知之．其信有之乎． 陳子曰．然． 榮方曰．方雖不省．願夫子幸而說之． 今若方者．可教此道耶． 陳子曰．然． 此皆算術之所及． 子之于算．足以知此矣．若誠累思之． 于是榮方歸而思之．數日不能得． 復見陳子曰．方、思之不能得．敢請問之．陳子曰．思之未熟． 此亦望遠起高之術．而子不能得．則子之於數．未能通類． 是智有所不及．而神有所窮． 夫道術、言約而用博者．智類之明． 問一類而以萬事達者．謂之知道． 今子所學． 算數之術．是用智矣．而尚有所難．是子之智類單． 夫道術所以難通者．既學矣．患其不博． 既博矣．患其不習． 既習矣．患其不能知． 故同術相學． 同事相觀． 此列士之愚智． 賢不肖之所分． 是故能類以合類．此賢者業精習智之質也． 夫學同業而不能入神者．此不肖無智．而業不能精習． 是故算不能精習．吾豈以道隱子哉．固復熟思之． 榮方復歸思之．數日不能得．復見陳子曰．方思之以精熟矣．智有所不及．而神有所窮．知不能得．願終請說之． 陳子曰．復坐．吾語汝．于是榮方復坐而請陳子之說．曰夏至南萬六千里．冬至南十三萬五千里． 日中立竿測影．

周髀算经

周髀算经 《周髀算经》是中国流传至今的最早的一部数学著作，同时也是一部天文学著作。 中国古代按所提出的宇宙模式的不同，在天文学上曾有三种学说。“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是“盖天说”的代表。这派学说主张：天象盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。 据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前一世纪）。南宋时的传刻本（1213）是目前传世的最早刻本。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。 从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等。 周髀算经正文 周髀算经卷上之一昔者周公问于商高曰。窃闻乎大夫善数也。 请问古者包牺立周天历度。 夫天不可阶而升。地不可得尺寸而度。 请问数安从出。 商高曰。数之法。出于圆方。 圆出于方。方出于矩。 矩出于九九八十一。 故折矩。 以为句。广三。 股修四。 径隅五。 既方其外。半之一矩。 环而共盘。得成三四五。 两矩共长二十有五。是谓积矩。 故禹之所以治天下者。此数之所生也。

周公曰。大哉言数。 请问用矩之道。 商高曰。平矩以正绳。 偃矩以望高。覆矩以测深。卧矩以知远。 环矩以为圆。合矩以为方。 方属地。圆属天。天圆地方。 方数为典。以方出圆。 笠以写天。 天青黑。地黄赤。天数之为笠也。青黑为表。丹黄为里。以象天地之位。是故。知地者智。知天者圣。 智出于句。 句出于矩。 夫矩之于数。其裁制万物。惟所为耳。 周公曰。善哉。 周髀算经卷上之二昔者。荣方问于陈子。 曰。今者窃闻夫子之道。 知日之高大。 光之所照。一日所行。远近之数。 人所望见。 四极之穷。 列星之宿。 天地之广袤。

《周髀算经》上是怎样记载勾股定理的

《周髀算经》上是怎样记载勾股定理的 我国古代把直角三角形中较短的一条直线叫做“勾”，把较长的一条直线叫做“股”，把斜边叫做“弦”，《周髀算经》（成书于公元1世纪）中指出：“昔者周公（注：公元前11世纪周武王的大臣）问于商高（注：学者）曰：‘窃闻科大夫善数也，请问古者包牺立周历度．夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？’商高曰：‘数之法，出于方圆．圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一．故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五’”这就是“勾三、股四、弦五”的由来．书中还介绍了公元前7世纪我国已应用了直角三角形中勾平方加上股平方等于弦平方的性质，所以我们把这一定理叫做“勾股定理”．国外把这一定理叫做毕达哥拉斯定理，毕氏是公元前6世纪的希腊人，他自称发现并证明了这一定理，可惜至今无人看到过他的证明．

母亲的眼神是那么的慈爱，自打儿女呱呱坠地起，那一抹温柔的眼眸，就有如一道无形的细线，系在儿女的身上，儿女走到哪里，母亲的牵挂就延伸到哪里。冬天怕儿女冻着了，夏天怕儿女热着了；晴天怕儿女晒着了，雨天怕儿女淋着了…… 担忧似乎就是母亲的专利，操心好像就是母亲的代名词。俗话说得好“儿行千里母担忧”,若想让母亲不为儿女担忧，不为儿女操心，那似乎是毫不可能的事。所以，母亲就习惯性地用她那无言的牵挂，默默地守护着自己的儿女，寸步不离。 无论什么时候，母亲都不会嫌弃自己的儿女，不会置自己的儿女于不顾。母亲像蜡烛，燃烧自己，只为照亮儿女的人生路；母亲像雨伞，挡住狂风暴雨的吹打，只为给儿女一份温暖；母亲像孺子牛，用自己的血汗，哺育儿女茁壮成长。 母亲是山，总能包容儿女的过错；母亲是水，总能涤尽儿女心灵的污垢；母亲是树，总想为儿女洒下一片阴凉；母亲是路，总是尽力为儿女铺就一条阳光大道。 儿女的生日唯有母亲不会忘记，儿女打个喷嚏唯有母亲会在意，儿女的喜好唯有母亲能铭记在心，儿女的点点滴滴就是母亲的整个世界。 母亲的一辈子好像就是为儿女而生，为儿女而活。一天天、一月月、一年年、一辈子，母亲不停歇地为儿女操劳，用她那无声的母爱，缔结母子情缘，生生不息。 母亲是世界上最平凡的女人，她却倾尽自己一生的心血来书写那份最伟大、最无私的母爱；母亲是世界上最柔弱的女人，她却用自己瘦弱的双肩诠释出一份最坚强、最刚毅的不屈精神。 母亲是平凡的，母爱却是伟大的；母亲是平实的，母爱却是绵长的。天底下的母亲，高矮、胖瘦、容貌不一，但为子女奉献的精神却是一样的可贵，期盼子女成龙成凤的心愿却尽皆相同。 母亲如和煦的春风，不仅孕育了我们，还用她的爱滋润着我们成长；母亲如坚实的路，默默无闻地为我们构建人生；母亲如奔腾不息的长江，用她的青春铸成绵绵不绝的爱来哺育我们；母亲如沉稳的高山，用她的血与肉来维护我们的幸福。 世界上任何的语言都无法来歌颂母爱的伟大，因为母爱的力量，总是在无形中，“大音希声，大象无形”.母爱，是一首不需歌颂，却静静流淌在每个人内心深处的不老赞歌。

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] —— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。 “故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。 “两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下

《周髀算经》

周髀算经 夫高而大者，莫大於天；厚而廣者，莫廣於地。體恢洪而廓落，形脩廣而幽清，可以玄象課其進退，然而宏遠不可指掌也。可以晷儀驗其長短，然其巨闊不可度量也。雖窮神知化不能極其妙，探索隱不能盡其微，是以詭異之說出，則兩端之理生，遂有渾天、蓋天，兼而並之。故能彌綸天地之道，有以見天地之，則渾天有靈憲之文，蓋天有周髀之法，累代存之，官司是掌，所以欽若昊天，恭授民時。爽以暗蔽，才學淺昧，隣高山之仰止，慕景行之軌轍，負薪餘日，聊觀《周髀》。其旨約而遠，其言曲而中，將恐廢替，濡滯不通，使談天者無所取則，輒依經為圖，誠冀頹毀重仞之墻，披露堂室之奧，庶博物君子，時逈思焉。 卷上 昔者周公問於商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天曆度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數安從出？” 商高曰：“數之法，出於圓方。圓出於方，方出於矩。矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方之外，半其一矩。環而共盤，得成三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。” 句股圓方圖：

周公曰：“大哉言數！請問用矩之道？” 商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。方屬地，圓屬天，天圓地方。方數為典，以方出圓。笠以寫天。天青黑，地黃赤。天數之為笠也，青黑為表，丹黃為裏，以象天地之位。是故知地者智，知天者聖。智出於句，句出於矩。夫矩之於數，其裁制萬物，唯所為耳。”周公曰：“善哉！” 昔者榮方問於陳子，曰：“今者竊聞夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數，人所望見，四極之窮，列星之宿，天地之廣袤，夫子之道皆能知之。其信有之乎？”陳子曰：“然。”榮方曰：“方雖不省，願夫子幸而說之。今若方者可教此道邪？”陳子曰：“然。此皆算術之所及。子之於算，足以知此矣。若誠累思之。” 於是榮方歸而思之，數日不能得。復見陳子曰：“方思之不能得，敢請問之。”陳子曰：“思之未熟。此亦望遠起高之術，而子不能得，則子之於數，未能通類。是智有所不及，而神有所窮。夫道術，言約而用愽者，智類之明。問一類而以萬事達者，謂之知道。今子所學，算數之術，是用智矣，而尚有所難，是子之智類單。夫道術所以難通者，既學矣，患其不博。既博矣，患其不習。既習矣，患其不能知。故同術相學，同事相觀。此列士之愚智，賢不肖之所分。是故能類以合類，此賢者業精習智之質也。夫學同業而不能入神者，此不肖無智而業不能精習。是故算不能精習，吾豈以道隱子哉？固復熟思之。” 榮方復歸，思之，數日不能得。復見陳子曰：“方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所窮，知不能得。願終請說之。”陳子曰：“復坐，吾語汝。”於是榮方復坐而請。陳子說之曰：“夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿測影。此一者天道之數。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，句也。正南千里，句一尺五寸。正北千里，句一尺七寸。日益表南，晷日益長。候句六尺，即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以句為首，以髀為股。從髀至日下六萬里，而髀無影。從此以上至日，則八萬里。若求邪至日者，以日下為句，日高為股。句、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，從髀所旁至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰，日晷徑千二百五十里。”

《周髀算经》与古代域外天学-2019年精选学习文档

《周髀算经》与古代域外天学 作者：江晓原 根据现代学者认为比较可信的结论，《周髀算经》约成书于公元前100年。自古至今，它一直被毫无疑问地视为最纯粹的中国国粹之一。讨论《周髀算经》中有无域外天学成分，似乎是一个异想天开的问题。然而，如果我们先将眼界从中国古代天文学扩展到其它古代文明的天文学，再来仔细研读《周髀算经》原文，就会惊奇地发现，上述问题不仅不是那么异想天开，而且还有很深刻的科学史和科学哲学意义。 1盖天宇宙与古印度宇宙之惊人相似 根据《周髀算经》原文中的明确交待，以及笔者在文献[1]和[2]中对几个关键问题的详细论证，我们已经知道《周髀算经》中的盖天宇宙有如下特征∶ 一、大地与天为相距80,000里的平行圆形平面。 二、大地中央有高大柱形物（高60,000里的“璇玑”，其底面直径为23,000里）。 三、该宇宙模型的构造者在圆形大地上为自己的居息之处确定了位置，并且这位置不在中央而是偏南。 四、大地中央的柱形延伸至天处为北极。 五、日月星辰在天上环绕北极作平面圆周运动。 六、太阳在这种圆周运动中有着多重同心轨道，并且以半年为周期作规律性的轨道迁移(一年往返一遍)。

七、太阳的上述运行模式可以在相当程度上说明昼夜成因和太阳周年视运动中的一些天象。 令人极为惊讶的是，笔者发现上述七项特征竟与古代印度的宇宙模型全都吻合！这样的现象恐非偶然，值得加以注意和研究。下面先报道笔者初步比较的结果，更深入的研究或当俟诸异日。 关于古代印度宇宙模型的记载，主要保存在一些《往世书》（Puranas）中。《往世书》是印度教的圣典，同时又是古代史籍，带有百科全书性质。它们的确切成书年代难以判定，但其中关于宇宙模式的一套概念，学者们相信可以追溯到吠陀时代----约公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世书》中的宇宙模式可以概述如下∶[3] 大地象平底的圆盘，在大地中央耸立着巍峨的高山，名为迷卢(Meru，也即汉译佛经中的“须弥山”，或作Sumeru，译成“苏迷卢”)。迷卢山外围绕着环形陆地，此陆地又为环形大海所围绕，……如此递相环绕向外延展，共有七圈大陆和七圈海洋。 印度在迷卢山的南方。 与大地平行的天上有着一系列天轮，这些天轮的共同轴心就是迷卢山；迷卢山的顶端就是北极星(Dhruva)所在之处，诸天轮携带着各种天体绕之旋转；这些天体包括日、月、恒星、……以及五大行星----依次为水星、金星、火星、木星

《周髀算经》

《周髀算经》 周髀算经 西汉时期，约在公元前一世纪时，出现了一本有关天文学和数学的著作，名叫《周髀》。由于它最先记载许多高水平的数学成果，被后人当作数学经典，称为《周髀算经》。 在天文学方面，《周髀》主要阐述盖天说和四分历法。中国古代天文学按照提出的宇宙模式不同可分为三家学说，《周髀》是其中盖天说的代表。 在数学方面，《周髀》代表了当时的最高水平，记载了汉代最新数学成就，在许多领域具有创新。 先秦典籍中广泛出现的分数都较简单，《周髀》中则出现了许多复杂的分数运算，如在计算小岁、大岁、经岁、小月、大月等时用到一些复杂的运算;为推算木、金、土、火、水五大行星会合周期时也用到一种“通其率”算法，这对中国古代不定分析的发展产生了深远影响。 《周髀》中出现了严格的等差数列。卷上的“七衡图”是“盖天图”上以北极为心的七个等距同心圆，由内而外分别称为“内一衡”、“次一衡”……“次七衡”，其衡间距、衡直径、周长都是等差数列。 《周髀》开篇记载了西周初年周公与商高的一次对话，商高认为数学原理出于方圆，并总结了使用矩的方法，还绘出圆周长的计算公式。规矩是用以验证图形是否规范的工具，后成为最基本的作图工具，方圆则是古代几何学的最基本图形，它们在很大程度上决定了中国古代几何学的性质、内容和方法，深刻地影响了整个传统数学。

《周髀》还率先提出了几何学上重要的勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出了勾股定理的一般公式。对几何学中其他图形的比例，《周髀》也进行了一些探讨，在推测日地距离时，虽然由于假设大地是平面而导致计算错误，但运用的原理是完全正确的。 重差术是盖天说中推求太阳高度的一种方法，《周髀》中出现了运用重差术绘出的日高图，但未详述方法，三国时赵爽、刘徽进一步研究，使之成为中国古代测望理论的核心内容。 另外，《周髀》还给出了平行线的做法，全过程即使按欧几里得几何的严格要求也是正确的。 《周髀算经》的作者不详。从它的成书时间来看，它并非一人一时之作，而是对先秦数学成就的总结，是集体智慧的结晶。《周髀算经》是中国流传至今的最早的数学著作，是后世数学的源头，其算术化倾向决定了中国数学的性质，被历代数学家奉为经典。

《周髀算经》作者：战国佚名

谢谢您下载我们的书籍，祝您看的愉快~ 请记住我们的网址：https://www.sodocs.net/doc/0d4781254.html, 周髀算經 卷上之一 卷上之二 卷上之三 卷下之一 卷下之二 卷下之三 周髀算經卷上之一 昔者周公問于商高曰．竊聞乎大夫善數也． 請問古者包犧立周天歷度． 夫天不可階而升．地不可得尺寸而度． 請問數安從出． 商高曰．數之法．出于圓方． 圓出于方．方出于矩． 矩出于九九八十一． 故折矩． 以為句．廣三． 股修四． 徑隅五． 既方其外．半之一矩． 環而共盤．得成三四五． 兩矩共長二十有五．是謂積矩． 故禹之所以治天下者．此數之所生也． 周公曰．大哉言數． 請問用矩之道． 商高曰．平矩以正繩． 偃矩以望高．覆矩以測深．臥矩以知遠． 環矩以為圓．合矩以為方． 方屬地．圓屬天．天圓地方． 方數為典．以方出圓． 笠以寫天． 天青黑．地黃赤．天數之為笠也．青黑為表．丹黃為裏．以象天地之位． 是故．知地者智．知天者聖． 智出于句．

句出于矩． 夫矩之于數．其裁制萬物．惟所為耳． 周公曰．善哉． 周髀算經卷上之二 昔者．榮方問于陳子． 曰．今者竊聞夫子之道． 知日之高大． 光之所照． 一日所行． 遠近之數． 人所望見． 四極之窮． 列星之宿． 天地之廣袤． 夫子之道．皆能知之．其信有之乎． 陳子曰．然． 榮方曰．方雖不省．願夫子幸而說之． 今若方者．可教此道耶． 陳子曰．然． 此皆算術之所及． 子之于算．足以知此矣．若誠累思之． 于是榮方歸而思之．數日不能得． 復見陳子曰．方、思之不能得．敢請問之．陳子曰．思之未熟．此亦望遠起高之術．而子不能得．則子之於數．未能通類． 是智有所不及．而神有所窮． 夫道術、言約而用博者．智類之明． 問一類而以萬事達者．謂之知道． 今子所學． 算數之術．是用智矣．而尚有所難．是子之智類單． 夫道術所以難通者．既學矣．患其不博． 既博矣．患其不習． 既習矣．患其不能知． 故同術相學． 同事相觀． 此列士之愚智． 賢不肖之所分． 是故能類以合類．此賢者業精習智之質也． 夫學同業而不能入神者．此不肖無智．而業不能精習． 是故算不能精習．吾豈以道隱子哉．固復熟思之． 榮方復歸思之．數日不能得．復見陳子曰．方思之以精熟矣．智有所不及．而神有所窮．知不能得．願終請說之．

周髀算经

周髀算经 作者：赵爽(汉) 甄鸾(北周)注 《周髀算经》是中国流传至今的最早的一部数学著作，同时也是一部天文学著作。 中国古代按所提出的宇宙模式的不同，在天文学上曾有三种学说。“盖天说”是其中之一，而《周髀算经》是 “盖天说”的代表。这派学说主张：天象盖笠，地法覆盆（天空如斗笠，大地像翻扣的盆）。 据考证，现传本《周髀算经》大约成书于西汉时期（公元前一世纪）。南宋时的传刻本（1213）是目前传世的 最早刻本。历代许多数学家都曾为此书作注，其中最著名的是唐李淳风等人所作的注。《周髀算经》还曾传入朝鲜和日本，在那里也有不少翻刻注释本行世。 从所包含的数学内容来看，书中主要讲述了学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计 算等。

周髀算經卷上之一昔者周公問于商高曰。竊聞乎大夫善數也。請問古者包犧立周天歷度。 夫天不可階而升。地不可得尺寸而度。 請問數安從出。 商高曰。數之法。出于圓方。 圓出于方。方出于矩。 矩出于九九八十一。 故折矩。 以為句。廣三。

股修四。 徑隅五。 既方其外。半之一矩。 環而共盤。得成三四五。 兩矩共長二十有五。是謂積矩。 故禹之所以治天下者。此數之所生也。周公曰。大哉言數。 請問用矩之道。 商高曰。平矩以正繩。 偃矩以望高。覆矩以測深。臥矩以知遠。環矩以為圓。合矩以為方。

方屬地。圓屬天。天圓地方。 方數為典。以方出圓。 笠以寫天。 天青黑。地黃赤。天數之為笠也。青黑為表。丹黃為裏。以象天地之位。 是故。知地者智。知天者聖。 智出于句。 句出于矩。 夫矩之于數。其裁制萬物。惟所為耳。 周公曰。善哉。 周髀算經卷上之二昔者。榮方問于陳子。 曰。今者竊聞夫子之道。

周髀算经

周髀算经 卷上之一 卷上之二 卷上之三 卷下之一 卷下之二 卷下之三 周髀算经卷上之一 昔者周公问于商高曰．窃闻乎大夫善数也． 请问古者包牺立周天历度． 夫天不可阶而升．地不可得尺寸而度． 请问数安从出． 商高曰．数之法．出于圆方． 圆出于方．方出于矩． 矩出于九九八十一． 故折矩． 以为句．广三． 股修四． 径隅五． 既方其外．半之一矩． 环而共盘．得成三四五． 两矩共长二十有五．是谓积矩． 故禹之所以治天下者．此数之所生也． 周公曰．大哉言数． 请问用矩之道． 商高曰．平矩以正绳． 偃矩以望高．覆矩以测深．卧矩以知远． 环矩以为圆．合矩以为方． 方属地．圆属天．天圆地方． 方数为典．以方出圆． 笠以写天． 天青黑．地黄赤．天数之为笠也．青黑为表．丹黄为里．以象天地之位．是故．知地者智．知天者圣． 智出于句． 句出于矩． 夫矩之于数．其裁制万物．惟所为耳． 周公曰．善哉．

周髀算经卷上之二 昔者．荣方问于陈子． 曰．今者窃闻夫子之道． 知日之高大． 光之所照． 一日所行． 远近之数． 人所望见． 四极之穷． 列星之宿． 天地之广袤． 夫子之道．皆能知之．其信有之乎． 陈子曰．然． 荣方曰．方虽不省．愿夫子幸而说之． 今若方者．可教此道耶． 陈子曰．然． 此皆算术之所及． 子之于算．足以知此矣．若诚累思之． 于是荣方归而思之．数日不能得． 复见陈子曰．方、思之不能得．敢请问之．陈子曰．思之未熟． 此亦望远起高之术．而子不能得．则子之于数．未能通类． 是智有所不及．而神有所穷． 夫道术、言约而用博者．智类之明． 问一类而以万事达者．谓之知道． 今子所学． 算数之术．是用智矣．而尚有所难．是子之智类单． 夫道术所以难通者．既学矣．患其不博． 既博矣．患其不习． 既习矣．患其不能知． 故同术相学． 同事相观． 此列士之愚智． 贤不肖之所分． 是故能类以合类．此贤者业精习智之质也． 夫学同业而不能入神者．此不肖无智．而业不能精习． 是故算不能精习．吾岂以道隐子哉．固复熟思之． 荣方复归思之．数日不能得．复见陈子曰．方思之以精熟矣．智有所不及．而神有所穷．知不能得．愿终请说之． 陈子曰．复坐．吾语汝．于是荣方复坐而请陈子之说．曰夏至南万六千里．冬至南十三万五千里． 日中立竿测影． 此一者．天道之数． 周髀长八尺．夏至之日晷一尺六寸．

中国数学古籍《周髀算经》与古代发达的天算

中国数学古籍《周髀算经》与古代发达的天算西周时期的数学水平怎么样，我们今天已无法看到，从古代典籍中所留下来的一些记载来看，数学并不是学习中的主要内容，与礼、乐、射、御相比，其所占的比例十分小，不仅此时如此，即在整个知识体系和学术思想中，像数学这样的自然科学也没有清晰的面目，它们通常被划归于“数术类”。“数术类”是个很庞杂的门类，它包括很多我们今天归为自然科学的知识，如数学、地理、天文等，也包括一些巫术的内容，比如占卜、符瑞、天象、风水等。二者是混合在一起的，有些分类在今天看来是十分荒谬的。举个例子来说，比如“符瑞”这个门类，其中往往记载日蚀、月食、彗星、陨星等天文现象，在古人那里这属于灾异，是凶兆，而不是天文学知识。这是我们知识体系上的差别造成的，而不是知识本身的不同。 虽然数学在古时，其内容和水平有限，但这并不意味着，这一门知识不重要，不发达，相反，数学的运用十分广泛，在某些方面的成就甚至超出了我们的想象，几乎可以用超级早熟来形容，这就是天算。按照周礼的规定，周天子要在新年伊始颁发日历，以确立农时。历法的制定除了天文观测积累经验外，更多的要靠数学运算。而这个运算过程相当复杂。在古代流传下来一本书，叫做《周髀算经》，它是一部以盖天说为中心的天文学著作，年代无法准确估算，其上限甚至

可以追溯到西周初年，其下限或许可以定在西汉初期，即公元前二世纪前期。这本书中涉及到很多数学知识，大体上保留了先秦时代的知识。 这本书开篇就讨论直三角形，演说勾股定理。这里我们不妨引用一段书中的内容。（采自李约瑟《中国科学技术史》第三卷“数学”，中译本。） 从前，周公问商高说：“我听说，大夫（指商高）很精通数的艺术。是不是可请您谈谈，古代伏羲是怎样确定天球的度数的？天是没有一种梯子能登攀得上的，地也无法用尺子来测量。因此我很想问问您，这些数字是从哪里来的？” 商高回答说：“数的艺术是从圆形和方形开始的。圆形出自方形，而方形则出自矩形（字面上即指丁字尺或木工用的曲尺）。矩形出自9×9＝81这个事实（即乘法表或数的诸如此类的性质）。设把一个矩形沿对角线切开，让宽等于3个单位，长等于4个单位。这样，两个对角之间的对角线的长度就等于5单位。现在用这条对角线作为边长画一个正方形，再用几个同外面那个半矩形相似的半矩形把这个这个正方 形围起来，形成一个方形盘。这样，外面那四个宽为3、长为4、对角线为5的半矩形，合在一起便构成两个矩形，总面积等于24；然后从方形盘的总面积49减去24，便得到余数25。这种方法成为’积矩’。大禹所用的治天下的方法，就是从这些数字发展出来的。”

中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话

勾服薨理韵发现和证蹈中国最早的一部数学著作一一《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形矩'得到的一条直角边勾'等于3,另一条直角边股'等于4的时候，那么它的斜边弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们 弦(c) 图1直角三角形用勾（a）和股（b）分别表示直角二角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：

勾2+股2二弦2 亦即： 2 2 2 a +b=c 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦二（勾2+股2）（1/2）亦即:

破译《周髀算经》的密钥 千里一寸

破译《周髀算经》的密钥千里一寸 一、问题的由来。 《周髀算经》是中国闻名世界的最古老的天算著作之一，从它现世的两千 多年以来，一直有人在解读、注释、研究，以致著书立说；同时，也不断地有 人提出质疑。其中"千里一寸"的理论，从后汉开始就倍受诟病，到唐朝，又有 著名的天文学家南宫说和僧一行通过实地测量，彻底否定了《周髀算经》关于"千里一寸"的说法。自此以后的一千三百多年以来，人们一直认为"千里一寸"是一个谬误或仅仅是著作者们的一个假设而已。近几年以来，我一直致力于关于 上古圭表技术在天文、地理测量方面的考证，在此之前，我也曾认为古人"千里一寸"的理论是大谬不然，然而，随着探究的深入，我逐渐的发现，"千里一寸"不仅是成立的，是一个前无古人的创造，而且，这里面还秘藏着关于中国上古 天文地理的重大发现与成果。--"千里一寸"是破译《周髀算经》的密钥！ 二、"千里一寸"与北回归线 《周髀算经》这样表述："周髀长八尺.夏至之日晷一尺六寸. "髀者.股也.正晷者.句也. "正南千里.句一尺五寸. "正北千里.句一尺七寸". "法曰.…句之损益.寸千里." 但是，大概从唐代僧一行与南宫说以后，就没有人再相信"千里一寸"了。 但是，这"千里一寸"到唐朝毕竟流传了至少一千多年。"周髀"之术有几千年的 历史，难道在唐朝之前的一千年甚至是更长的时间里没人发现过这是一个错误吗?郑玄们睡着了，难道张衡们、落下闳们这些古代天文学的实践者都睡着了吗? 不会！但是，秦汉时期的人们又为什么坚信"千里一寸"呢?！

千里一寸，为什么?没人能告诉我。 后来，我沉下心来仔细地想：既然《周髀》说南戴日下一万六千里，日中无影，这是必须要有实际的观测经验才能得出的结论，而不应该是无中生有的瞎猜。但是，这"千里一寸"实在有违我们的常识与实际。 一万六千里、千里一寸，…是不是度量单位出了问题呢? 但是，查了几个月的资料，也不见有关上古"里"的记载。 我就根据史料的提示，慢慢地试着还原一下这"千里一寸"的真实面目： 一、现代天文技术对南北"一寸"的测算 1.日晷"一尺六寸"的地方； 以东经113.15°附近的告成一线为例： 在此线上，"夏至之日晷一尺六寸"的地点是： --如果满足"尺有六寸"，那么，其时其地的夏至太阳高度角的正切为 8/1.6；这个角度为78.7°。那么，此地的维度为： 90°23.439°-78.7°=34.74°；(其中的23.439°为今天的北回归线的维度。) 东经113.15°线上北纬34.74°的点在巩义市竹林镇佛山沟附近 2.北"一寸"的地方； 如果满足"尺有七寸"，那么，其时其地的夏至太阳高度角为78°，该地为北纬35.44° 该地点在泽州县柳树口镇张角村附近 此地与"尺有六寸"的巩义市竹林镇佛山沟相距约78-80km 3.南"一寸"的地方；