三角函数基本概念

三角函数基本概念 1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．

(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角

3．弧度与角度的互化

(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示．

(2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α|

＝ l r .

(3)角度与弧度的换算①1°＝π

180rad ；②1 rad ＝?π

180

(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为

S ＝12lr ＝12

|α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦

余弦

正切

定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么

y 叫做的正弦，记作sin

x 叫做的余弦，记作cos

x

y

叫做的正切，记作tan α 三角函数

正弦 余弦 正切 各象限符号

Ⅰ

正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ

负

正

负

各象限符号

口诀

一全正，二正弦，三正切，四余弦

5.三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

三角函数线

6．对任意角的理解

(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的 集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°<α

(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等． 例1：－870°的终边在第几象限 ( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四

解：因－870°＝－2×360°－150°，－150°是第三象限角．故选C 。 例2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是 ( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4

解：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝11

6

π.

例3．若sin α<0且tan α>0，则α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

解：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．选C 。

例4．若点P 在2π

3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．

解：因tan 2π

3

＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.

例5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

解：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝α·r 得r ＝l α＝3π34

π＝4，面积S ＝1

2

lr ＝6π.

例6：(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合．

解：(1)由α是第三象限的角得π＋2k π<α<3π2＋2k π?－3π2－2k π<－α<－π－2k π，即π

2＋2k π<－α<π＋2k π(k ∈Z)．

∴角－α的终边在第二象限；由π＋2k π<α<3π

2

＋2k π得2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z)．

∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．

(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π

3

＋k π，k ∈Z}．

例7：若角β的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°范围内，终边与角β

3

的终边相同的角为________．

解：∵β＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，∴β3＝k ·120°＋20°，k ∈Z.又0°≤β

3

＜360°，∴0°≤k ·120°＋20°<360°，k ∈Z ，

∴－16≤k ＜176，∴k ＝0,1,2.此时得β3分别为20°，140°，260°.故在0°～360°范围内，与角β3的终边相同的角为

20°，140°，260°.

1. 将分针拨慢15分钟，则分针转过的弧度数是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2. 若角α、β的终边相同，则αβ-的终边在（ ）

中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，

三角函数的基本概念与诱导公式

三角函数的概念、基本关系式及诱导公式 一、角的相关概念 1、按旋转方向的不同形成_________,___________,___________ 2、终边位置的不同形成__________,__________,____________ 例如：第一象限角的集合________________ 终边在y 轴上角的集合_________________ 终边在x 轴上角的集合_________________ 3、终边相同的角的集合________________ 4、注意第一象限角、锐角的不同，钝角与第二象限角的不同 5、已知α是第二象限的角，则 2 α是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制： 1、弧度制的定义：圆周上弧长等于_______的弧所对的圆心角的大小为1弧度（1rad ） 2、 3602=π 180=π _______1=rad rad _______1= 弧度制与角度制的换算_________________________________ 3、扇形的弧长、面积公式 ____________________________________________ 例1、已知一扇形周长为)0(>C C ，当扇形中心角为多少弧度时，它的面积最大？ 例2、扇形中心角为 120，则扇形面积与其内切圆的面积之比为_____________ 三、任意角的三角函数： 1、定义：设α是一个任意角，α的终边上任一点),(y x P O 为坐标原点，则 )(022y x r r OP +=>=则 r y = αsin r x =αcos x y =αtan y r =αcsc _____sec =α _____cot =α 实质是____________________ 2、三角函数的符号___________________________ 3、特殊角的三角函数值： ___________________________________________________________ 四、单位圆与三角函数线： 1、第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的角的三角函数线 2、三角函数线的应用——用来解决三角不等式

培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

锐角三角函数专题

如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人：王震宇 张洪林 一、选择题（30分） 1、如果∠A 是锐角，且A cos A sin =，那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α，那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A 的正切值（ ） A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，则sin A 的值等于（ ） A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角，下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α，那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α，那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中，∠C =90°，53 sin = A ，则BC ∶AC 等于（ ） A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5： 9、 如果α是锐角，且5 4 sin = α，那么)90cos(α-?=（ ） A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC =3，BD =6，CD =11，则tan α的值为（ ）

上海教材三角函数的概念、性质和图象

三角函数的概念、性质和图象 复习要求（以下内容摘自《考纲》） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算． 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义．会求y ＝A sin(ωx ＋?)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式． 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋?)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题． 4.正弦函数、余弦函数的对称轴，对称点的求法。 5．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。 6．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y cos sin cos sin ?++=的值域。 7．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x 4cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的 8 正弦定理：）R R C c swinB b A a 为三角形外接圆的半径(2sin sin === C B A c b a s i n :s i n :s i n ::= 余弦定理：A ab c b a cos 2222-+=，…ab a c b A 2cos 2 22-+= 可归纳为表9－1. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、

三角函数值的计算

第一章直角三角形的边角关系 2. 30°，45°，60°角的三角函数值 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：本节课前学生已经学习了正切、正弦、余弦的定义。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节课教学目标如下： 知识与技能： 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算 3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 过程与方法： 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。 情感态度与价值观： 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点： 能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小 教学难点：三角函数值的应用 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习巩固、活动探究、讲解新课、知识应用、

A C B b a c 小结与拓展、作业布置。 第一环节 复习巩固 活动内容：如图所示 在 Rt △ABC 中，∠C=90°。 （1）a 、b 、c 三者之间的关系是 ， ∠A+∠B= 。 （2）sinA= ，cosA= ， tanA= 。 sinB= ，cosB= ，tanB= 。 （3）若A=30°，则 c a = 。 活动目的：复习巩固上一节课的内容 第二环节 活动探究 活动内容： [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 我们组设计的方案如下： 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°

锐角三角函数专题训练

锐角三角函数与特殊角专题训练 【基础知识精讲】 一、 正弦与余弦： 1、 在ABC ?中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos . 斜边的邻边斜边的对边A A A A ∠=?∠=cos sin . 若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ， 则c a A =sin ，c b A =cos 。 2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<

)90sin(cos ),90cos(sin A A A A -?=-?=． 七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 即 ()A A -=ο90cot tan ， ()A A -=ο90tan cot ． 八、同角三角函数之间的关系： ⑴、平方关系：1cos sin 22=+A A ⑵商的关系A A A cos sin tan = A A A sin cos cot = ⑶倒数关系tana ·cota=1 【典型例题】 【1】 已知a 为锐角①若sina=3/5，求cosa 、tana 的值。②若tana=3/4，求 sina 、cosa 的值。③若tana=2，求（3sina+cosa ）/（4cosa-5sina ） 【2】 在△ABC 中，角A, 角B,角C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ：b ：c=9:40:41， 求tanA,1/tanA 的值. 【3】 求下列各式的锐角。 ①2sina=1，②,2tana ·cosa=根号3，③ tan 2 a+（1+根号3）tana+根号3=0 【4】 在△ABC 中AB=15，BC=14，S △ABC=84.求tanc ，sina 的值。 【5】 等腰三角形的面积为2，腰长为根号5，底角为a ，求tana 。 【6】 锐角a 满足cosa=3/4，则∠a 较确切的取值范围（） A.0°＜a ＜45° B. 45°＜a ＜90° C. 45°＜a ＜60° D. C. 30°＜a ＜45° 【7】计算：020*********sin 88sin 3sin 2sin 1sin +++++Λ 【基础练习】 一、填空题：

-高中三角函数知识点复习总结

第四章 三角函数 一、三角函数的基本概念 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角:)(3600Z k k ∈+?=αβ (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 (2)换算关系:8157)180(1) (180'≈==οο ο π π弧度弧度 (3)弧长公式:r l ?=α 扇形面积公式:22 1 21r lr S α== 3.任意角的三角函数 y x x y x r r x y r r y = ===== ααααααcot tan sec cos csc sin 注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 （一） 诱导公式： α±? 2 k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“立变平不变，符号 看象限”。如： ()?? ? ??--??? ??+απαπαπ25sin ;5tan ,27cos 等。 （二） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1 cos sin 22 =+αα； α ααα22 22tan 11cos cos 1tan 1+=?= +②商式关系 α α α tan cos sin =；αααcot sin cos =③倒数关系1cot tan =αα；1sec cos ;1csc sin ==αααα。 （三） 关于公式1cos sin 22 =+αα的深化

() 2 cos sin sin 1ααα±=±； α ααcos sin sin 1±=±； 2 cos 2 sin sin 1α α α+=+ 如： 4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为ο0~ο90角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式。 三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()β αβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± （二）倍角公式 1、公式βαα cos sin 22sin = cos 2α= 2 2cos 1α + sin 2α= 2 2cos 1α - ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= α α ααα sin cos 1cos 1sin 2 tan -= += )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注： （1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型： （1）求值 ①“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ②“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

三角函数计算公式大全

三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③．

诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

锐角三角函数应用题专题

1、（09年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 2、（09年湖南怀化）如图，小明从 A 地沿北偏东 30方向走1003m 到 B 地，再从B 地向正南方向走 200m 到C 地，此时小明离A 地 m ． 3、（09年山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25 B ．253 C ．10033 D ．25253+ 4、（09年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点 A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =?∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米． 根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈） 5、（09年广东深圳、山东东营）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度． 6、（09年广东湛江）如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P 相距182海里．求： （1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？（2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号） 第6题图 N M P 北 A B C D 6米 52° 35° (第1题图) A D B E C 60° （第4题图） 第2题图 B C A D l 第3题图 A B C D 第5题图

5.2 三角函数的概念(解析版).docx

5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.

三角函数快速算法

三角函数快速算法(反正切，正余弦，开平方) 2010-09-08 09:14:27| 分类：| 标签：|字号订阅 #define REAL float #define TAN_MAP_RES 0.003921569 /* (smallest non-zero value in table) */ #define RAD_PER_DEG 0.017453293 #define TAN_MAP_SIZE 256 #define MY_PPPIII 3.14159 #define MY_PPPIII_HALF 1.570796 float fast_atan_table[257] = { 0.000000e+00, 3.921549e-03, 7.842976e-03, 1.176416e-02, 1.568499e-02, 1.960533e-02, 2.352507e-02, 2.744409e-02, 3.136226e-02, 3.527947e-02, 3.919560e-02, 4.311053e-02, 4.702413e-02, 5.093629e-02, 5.484690e-02, 5.875582e-02, 6.266295e-02, 6.656816e-02, 7.047134e-02, 7.437238e-02, 7.827114e-02, 8.216752e-02, 8.606141e-02, 8.995267e-02, 9.384121e-02, 9.772691e-02, 1.016096e-01, 1.054893e-01, 1.093658e-01, 1.132390e-01, 1.171087e-01, 1.209750e-01, 1.248376e-01, 1.286965e-01, 1.325515e-01, 1.364026e-01, 1.402496e-01, 1.440924e-01, 1.479310e-01, 1.517652e-01, 1.555948e-01, 1.594199e-01, 1.632403e-01, 1.670559e-01, 1.708665e-01, 1.746722e-01, 1.784728e-01, 1.822681e-01, 1.860582e-01, 1.898428e-01, 1.936220e-01, 1.973956e-01, 2.011634e-01, 2.049255e-01, 2.086818e-01, 2.124320e-01, 2.161762e-01, 2.199143e-01, 2.236461e-01, 2.273716e-01, 2.310907e-01, 2.348033e-01, 2.385093e-01, 2.422086e-01, 2.459012e-01, 2.495869e-01, 2.532658e-01, 2.569376e-01, 2.606024e-01, 2.642600e-01, 2.679104e-01, 2.715535e-01, 2.751892e-01, 2.788175e-01, 2.824383e-01, 2.860514e-01, 2.896569e-01, 2.932547e-01, 2.968447e-01, 3.004268e-01, 3.040009e-01, 3.075671e-01, 3.111252e-01, 3.146752e-01, 3.182170e-01, 3.217506e-01, 3.252758e-01, 3.287927e-01, 3.323012e-01, 3.358012e-01, 3.392926e-01, 3.427755e-01, 3.462497e-01, 3.497153e-01, 3.531721e-01, 3.566201e-01, 3.600593e-01, 3.634896e-01, 3.669110e-01, 3.703234e-01, 3.737268e-01, 3.771211e-01, 3.805064e-01, 3.838825e-01, 3.872494e-01, 3.906070e-01, 3.939555e-01, 3.972946e-01, 4.006244e-01, 4.039448e-01, 4.072558e-01, 4.105574e-01, 4.138496e-01, 4.171322e-01, 4.204054e-01, 4.236689e-01, 4.269229e-01, 4.301673e-01, 4.334021e-01, 4.366272e-01, 4.398426e-01, 4.430483e-01, 4.462443e-01, 4.494306e-01, 4.526070e-01, 4.557738e-01, 4.589307e-01, 4.620778e-01, 4.652150e-01, 4.683424e-01, 4.714600e-01, 4.745676e-01,4.776654e-01, 4.807532e-01, 4.838312e-01,

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O

（3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

专题14 锐角三角函数(原卷版)

专题14 锐角三角函数 一．选择题（共4小题） 1．（2020?无锡）如图，在四边形ABCD 中()AB CD >，90ABC BCD ∠=∠=?，3AB =， BC Rt ABC ?沿着AC 翻折得到Rt AEC ?，若tan AED ∠=，则线段DE 的长度( ) A B C D 2．（2020?苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=； （2）量得测角仪的高度CD a =； （3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =． 利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( ) A ．tan a b α+ B ．sin a b α+ C ．tan b a α+ D ．sin b a α + 3．（2020?扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )

A B C ．23 D ．32 4．（2020?镇江）如图①，5AB =，射线//AM BN ，点C 在射线BN 上，将ABC ?沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，//PQ AB ．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②)经过点(9,2)E ，则cos B 的值等于( ) A ．25 B ．12 C ．35 D ．710 二．填空题（共4小题） 5．（2020?苏州）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12 AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作//AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠= ． 6．（2020?泰州）如图，点P 在反比例函数3y x =的图象上，且横坐标为1，过点P 作两条坐

三角函数知识点汇总

1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数

考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.

初中锐角三角函数专题

第1页 锐角三角函数 目录 课题：锐角三角函数课件 ........................................................................................................................................ 1 解直角三角形应用题 ................................................................................................................................................ 5 解直角三角形的方法技巧 ...................................................................................................................................... 10 锐角三角函数考点 .................................................................................................................................................. 15 锐角三角函数 课后检测 . (18) 课题：锐角三角函数课件 【引题】 例题1：操作与探究 （1）度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （2）度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边，计算它们的比值，发现什么规律？ （3）猜想：当∠A 取其它一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比值是否定值？为什么？ （4）用同样的方法探讨∠A 的邻边与斜边、∠A 的对边与邻边的比有什么规律？为什么？ 45? 45? 45? C 2 B 2 A 2 A 1 B 1 C 1C A B ★【归纳与总结】 三角函数的定义：如图，在RtΔABC 中,∠C=90°， 例题2：如图：利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。 （1）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，求30°角、60°角的三角函数，并填出表格。 （2）已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，求45°角的三角函数，并填出表格。 （3）分析上面特殊角的三角函数，你能从表格中发现什么规律？