初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵

授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵

授课时数：4课时

教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵

教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵

教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵

教学过程：

用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。

一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义

定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；

3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法

分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+

例1

[][]

????

? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵

（1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵

ij j i n P j i I =????

?

??

?

?????

???

?

? ????→?行行

1101111011]

,[

[]

)(1111)(,k D i k I i j i n =?

????????

?? ????→?行

[]

)(1111)(k T j i k I ij k itj n =?

????

?????

?

????→?行行

列i

列j

[])(111

1)(k T j i k j i I ij k itj n =?

????

????

?

? ????→?行行列

列 ij P 、)(k D i 、)(k T ij 分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。

* )(k T ij 是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。

二．初等变换与初等矩阵的关系

1、问题

能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。 2、初等变换与初等矩阵的关系

定理2.3.1 对一个n m ?矩阵A 作一次初等行变换,就相当于在A 的左边乘上相应的m 阶初等矩阵；对A 作一次初等列变换,就相当于在A 的右边乘上相应的n 阶初等矩阵。

（结合分块矩阵，直接相乘，就可证出）

证 我们只对初等行变换给出证明，列变换的情况可以同样证明。设

11121n 121222n 2n1n2

nn m a a a A a a a A A a a a A ????

? ? ? ?

== ? ?

? ?????

其中12m A ,A ,

,A 分别代表矩阵A 的第1行，第2行，一直到第m 行。

用m 阶初等矩阵ij P 左乘A 得

1j ij i m A A i P A A A ?? ? ? ? ?= ?

? ? ? ???

行j 列 这相当与把A 的第i 行与第j 列交换

用m 阶初等矩阵i D (k)左乘A 得

1i i A D (k)A kA i A ?? ? ?

?= ? ? ???

行

这相当用k 乘A 的第i 行、

用m 阶初等矩阵ij T (k)左乘A 得

1i j ij j m A A kA i T (k)A A A ?? ? ? ?+ ?

= ?

? ? ? ???

行j 列 这相当与把A 的第j 行的k 倍加到第i 行上。

三、矩阵的等价标准形 1、矩阵的等价关系

等价是矩阵的一种关系，它具有如下性质： 1）反身性，即A A ?；

2）对称性，即若B A ?，则A B ?；

3）传递性，即若B A ?，且C B ?，则C A ?。 这些性质对研究矩阵的关系很有用。 2、矩阵的等价标准形

定理2.3.2 任意一个n m ?矩阵A ,都与形式为

???

?

??=----))(()()()(000r n r m r r m r n r r r mn

I E

的矩阵等价。我们称)

(r mn E 为矩阵的等价标准形。

证 设A=0，那么A 已经是标准形了。以下设A 0≠。A 至少有一个不为零的元素， 通过行，列的交换总可以把这个元素调到（1，1）位置上去。不妨设11a 0≠，把A 的其余行

减去第一行的111i1a a (i 1,2,

,m)-=倍，

把A 的其余列减去第一列的1

111j a a (j 1,2,,n)-=倍。

再用111a -乘A 的第一行，A 就化成110

00A 0?? ? ? ? ???

， 1A (?是（m -1)n-1)矩阵，对1A 重复以上步骤，总可以化成(r)mn E 的形式。

让学生记住定理2.3.2的5种形式：

)

(1r m n E A → ； )(2r m n E A ? ；

)(113r m n t s E Q AQ P P =

； )(4r m n E PAQ = ； Q PE A r m n )(5=

。

例2 设

???

?

?

??---=201212012110A 求A 的等价标准形。

解 [1,2]

1021A 01122100-?? ????

→- ? ?

??[31(2)]102101120140+--??

?????→- ? ?-?? [31(2)],[41(1)]

100001120140+-+?? ???????→- ? ?-??[32(1)]100001120032+-??

?

????→- ? ?-?? [32(1)],[42(2)]100001000032++-?? ???????→ ? ?-??1[3()]3100001000012?? ?

???→ ? ?

-??

[43(2)]

100001000010+?? ?

????→ ? ???

推论1 对两个n m ?矩阵A 和B ，A 与B 等价的充分必要条件是存在m 阶初等矩阵

P 1，P 2，…，P S 和n 阶初等矩阵Q 1，Q 2，…，Q t ,使得P 1P 2…P S A Q 1Q 2…Q t =B 。

推论2 对每个n m ?矩阵A , 总存在m 阶初等矩阵 P 1，P 2，…，P S 和Q 1，Q 2，…，

Q t ,使得P 1P 2…P S A Q 1Q 2…Q t =)

(r mn E

四、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵

1、阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵的定义 定义4 若矩阵A 具有以下特点：

1）元素全为零的行（简称零行）在矩阵下方（如果有的话）；

2）元素不全为零的行（简称为非零行）的第一个不为零的元素（简称首非零元）的列标随着行标的增加而严格增加，则称矩阵A 为阶梯形矩阵。

定义5 首非零元为1，且首非零元所在列的其余元素全为零的阶梯矩阵称为简化阶梯形矩阵。 2、基本定理

定理 2.3.3 任意一个m n ?矩阵A (0)≠总可经过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵，进而化为行简化阶梯形矩阵。

证 设ij mn A (a )=中第1列不全为零，总可以交换两行使左上角元素不为零。不妨设

11a 0,i(i 1,2,

,m)1≠=i 1

11

a 第行加上第行的-a 倍，A 化成形如

1112131n 22232n 132333n m1

m2

mn a a a a 0b b b A 0

b b b 0b b b ?? ? ? ?= ? ? ??

?

的矩阵。如A 的第1列元素全为零，则考虑第2列，做法相同。不妨设

12

2222

b b 0,i(i 1,2,

,m)2b ≠=-

1第行加上第行的倍，A 化成形如 1112131n 22232n 2333n m3

mn a a a a 0b b b A 0

0c c 00

c c ?? ? ? ?= ? ? ??

?

的矩阵。如此继续下去，总可以将A 经初等变换化为阶梯形矩阵。进而化成简化阶梯形矩阵。

例3 设

02413

27351342

4103A ??

?

-

?

= ?

--- ?

-??

，

用初等行变换化A 为阶梯形矩阵，进而化成行简化阶梯形矩阵。

[1,2]

32730241513424103-?? ?

????→ ?--- ?-??A [14(1)]12300241513424103+---??

?

?

????→

?--- ?

-??

[31(5)],[41(2)]123002410918408163++---?? ? ???????→ ?--- ?-??[32(5)],[42(4)]1230024101210001++---??

? ???????→ ? ???

[3,2]

123

001210241000

1--??

?

????→ ?

???[32(2)]1230012100010001+---?? ? ?

????→

?- ???

[4\3(1)]11230012100010000+--??

? ?????→= ?- ???

A 1A A 便是的阶梯形矩阵。 [3(1)]

11230012100010000---??

?

????→ ?

???A [23(1)]123001200001000

0+---??

? ?????→ ? ???

[12(2)]

21010012000010

00

0+?? ?

?

???→= ? ???

A 2A 就是A 的行简化阶梯形矩阵。

易知，阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵的非零行数不超过它的行数和列数。

矩阵的初等变换及其应用

线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结

导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A

与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组 问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？ 答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。 问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？ 答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解： 当n A r =)(时，只有零解； 当n A r <)(时，有非零解。 非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。 其中),(~ b A A = 为增广矩阵。 问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。 证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

工程数学教案25矩阵的初等行变换和矩阵的秩

教案头 教学详案 一、回顾导入（10分钟） ——复习线性方程组的消元解法引入新课。 二、主要教学过程（70分钟，其中学生练习20分钟） 一：矩阵的初等行变换 对矩阵实施下列三种变换，称为初等行变换： （1） 互换矩阵两行的位置（交换第i,j 两行，记作j i r r ?）； （2） 以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素（k 乘第i 行记作i kr ）； （3） 把矩阵某一行的元素的k 倍加到另一行的对应得元素上（第i 行的k 倍加到第j 行上记作i j kr r +） 练习1：设矩阵?????? ? ??-----=324751122413A ，将矩阵进行下列初等行变换： （1） 交换矩阵A 的第1行与第3行的位置； （2） 用数3乘矩阵A 的第2行； （3） 将矩阵A 的第3行的（-4）倍加到第4行上。 注意：对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接。 练习2：用矩阵的初等行变换将矩阵A ???? ? ??--=121011322化为简化阶梯形矩阵。 将矩阵化为简化阶梯型矩阵的程序为：

（1） 首先使第一行第一个非零元为1，然后将其下方的元素全部化为零；在将第二行第一个非零元的下 方元素全部化为零；以此类推，直到将矩阵化为阶梯型矩阵。 （2） 从非零行的最后一行起，将该行第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零：再将倒数第 二个非零行的第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零；直到矩阵化为阶梯型矩阵。 注:1）实际解题的时候，两步骤不用分开。 2）矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的。 练习3：用矩阵的初等行变换将矩阵A ?????? ? ??-------=11370030311111014321化为简化阶梯形矩阵 二：矩阵的秩 矩阵秩是矩阵本身的属性，是矩阵部分的一个重要概念。需认真把握。 1） 矩阵秩的概念： 将一矩阵化为阶梯型矩阵后，阶梯型矩阵中非零行的行数，成为矩阵的秩，记作)(A r 例 求方程组的系数矩阵 的秩 练习4：求矩阵A ?????? ? ??-------=111204244024023171033的秩。 注：矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。 三、归纳总结（10分钟） 对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接； 矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的； 矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。 四、课后作业 ???? ? ??--→????? ??---????? ??--=---→00055012155055012113431 212123121324r r r r r r A 所以 2)(=A R ????? ??--=134312121A

初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代 数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：

⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化 为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

用矩阵初等变换逆矩阵

用矩阵初等变换逆矩阵

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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

矩阵的初等变换及应用的总结

… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16

2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4

所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3

矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:

矩阵初等行变换矩阵秩

矩阵初等行变换矩阵秩

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矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。 二、阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；

2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。 例如 重要定理一 任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。 例题 注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如： 三、矩阵的秩 矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4

????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题 求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解

??????? ? ?----=35 222232111201107033A ()?????? ? ? ?----??→?35 2222321107033120 11,②① ??????? ? ?--????→?-+-+-+11200112003100012011) 2() 1()3(①④①③①② ????? ?? ? ?--???→?-+00000112003100012 011) 1(③④

矩阵的初等变换及其应用

线性代数 第一次讨论课 1;要求 2;正文 3;个人总结 丁俊成00101209 第一部分：要求 线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。 讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。 第一次讨论课内容 矩阵初等变换及其应用 请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。 第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。

1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 第二部分：正文 矩阵的初等变换及其应用 矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。 一．两个矩阵的等价 矩阵等价的定义为： 若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。 根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质 （1）反身性任一矩阵A与自身等价；

矩阵初等变换的性质及其应用

摘要 本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。 关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式

Abstract This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application. Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix; System of linear equations;Greatest common factor

目录 1 引言 ............................ 错误！未定义书签。 2 矩阵的初等变换及其性质 (1) 2.1 矩阵初等变换的定义 (1) 2.2 矩阵初等变换相关性质 (2) 3 矩阵初等变换的若干应用 (2) 3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1) 3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5) 3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7) 3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11) 3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13) 参考文献 (16)

证明初等变换不改变矩阵的秩

证明初等变换不改变矩阵的秩 证:设A 为m n ?矩阵经过初等行变换变为m n ?矩阵B,且 1()R A r =，2()R B r = 1.初等对换变换：i j r r A B ????→（交换矩阵的第i 行与第j 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的积。 2.初等倍法变换：i kr A B ??→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行） 因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积。 3.初等消法变换：i j r kr A B +???→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B ()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则 111 r B D +=， 11r D +为A 的任意11r +阶子式； ()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则 11111r r B D k C ++=+ 这里的1111,r r D C ++均为A 的11r +阶子式。因为A 的任意11r +阶子式均为零，所以 10B = 综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的11r +阶子式全为零，所以 21r r ≤ 由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有 12r r ≤

所以 12,()() r r R A R B == 同理可证初等列变换。

矩阵初等变换及其应用毕业论文

矩阵初等变换及其应用毕业论文 矩阵初等变换及其应用毕业论文 摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。 关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵 在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。 定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）； （2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ； （3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。 初等行、列变换统称为初等变换。 定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有 ij R =ij C =1011 1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

矩阵的初等变换及应用

目录 摘要 (1) 1 矩阵的初等变换 (2) 1.1矩阵的初等变换 (2) 1.2阶梯矩阵与最简化阶梯矩阵 (3) 1.3初等矩阵与初等变换关系 (4) 2 矩阵初等变换的应用 (5) 2.1齐次线性方程组的解空间 (5) 2.2求解线性方程组 (6) 2.3求可逆矩阵 (8) 2.4求极大线性无关组 (9) 2.5对称矩阵A的对角化 (10) 参考文献 (13) 致谢 (13)

矩阵的初等变换及应用 【摘要】本文主要讲矩阵的初等变换与初等变换的广泛应用，初等变换包括行变换与列变换，主要以行变换为例，通过行变换将一个矩阵化成与之等价的简化阶梯矩阵用于求其次线性方程组的解空间，解方程组，判断矩阵是否可逆，若可逆求逆矩阵以及用初等变换法在n R中求极大线性无关组和对称矩阵A的对角化等等。 【关键词】矩阵初等变换应用 【ABSTRACT】this paper about the elementary transformation matrix with primary transpositions is widely, elementary transformation and transform matrix included, mainly transformation of line as an example, through the transformation of line into A matrix and the equivalent for the next step matrix simplify the solution of linear equations, the solution of equations, the space is reversible, if the judgement matrix inverse matrix and reversible elemtntary transformation in the maximal linear irrelevant for bisymmetric matrices and A group of diagonalization etc. 【KEY-WORDS】matrix ; elementary ; transformation

第3讲 矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、 矩阵的秩 定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义 矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A 的秩，记为 秩（A ）或)(A r 。 例 求下述矩阵的秩 ???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A 解

???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A ???? ????? ???---------????→?-+-+-+8232104396 3011222121301 21 2131 4)1()2()1(R R R R R R ????????????---------???→ ??8232104396 3021301211222112R R ???? ????????----------????→ ?-+8232104396 304374501122 2112)2(R R ???? ? ???????----------???→ ??4374504396 308232101122 2142R R

????????? ???-------????→?+-+44138600203000 08232101122212 32 43)5(R R R R ????? ???????-------???→ ??20300004413860 08232101122 2143R R 所以 秩(A ) = 4。▌ 性质 (1) 秩(A ) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩(n m A ?) ≤ min{m , n } (3) 初等行变换不改变矩阵的秩。 定义 设A 是n 阶方阵。若 秩(A ) = n ，则称A 是满秩方阵；若 秩(A ) < n ，则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。

矩阵的初等变换及其应用(Elementary transformation of matrix and its application)

矩阵的初等变换及其应用（Elementary transformation of matrix and its application） Elementary transformation of matrix and its application Wang Dan Elementary transformation of matrix and its application Abstract Elementary transformation of matrix is an important method of studying matrix, and it is the core of application in linear algebra. This paper introduces some concepts and properties associated with the matrix, on the basis of matrix rank, the basis for judgment matrix is invertible, after inverse matrix equations, eigenvalues and eigenvectors, two types of standard form, and illustrate the application of elementary transformation of matrix in the above is how to play the role of. Keywords: matrix, elementary transformation, application The, elementary, transformation, of, matrix, and, its, applications Abstract Elementary transformation matrix is an important means of Matrix is the core linear algebra applications. This article briefly describes some of the concepts and properties

高斯消去法与矩阵的初等变换

高斯消去法与矩阵的初等行变换 刘智永 一、教学目标： 1）使学生会用高斯消去法求解线性方程组 2）使学生熟练矩阵的初等行变换、会化阶梯型矩阵 3）使学生明白高斯消去法与矩阵初等行变换之间的内在联系 二、教学方法：板书讲授 三、教学用时：20分钟 四、教学过程： 1.高斯消去法 求解下面线性方程组 注：1）求解阶线性方程组，高斯消去法的工作量是。 例如求解一个100万阶的方程组，高斯消去法的工作量为， 在一台每秒进行次浮点运算的计算机上，需要>3年的时间。 2）虽然高斯消去法有很大工作量，但今天仍得到广泛使用，例如它是超级计算机性能测评的一个重要基准(benchmark)。在这个测评基准下中 国的天河2号超级计算机连续3次排名全球第一，2014年12月的测 评基准已改变为共轭梯度法。 2.矩阵的初等行变换 在高斯消去法中，加减乘除运算只与系数和右端项有关，与未知数无关。简单地，我们可以将线性方程组写成下面增广矩阵(augmented matrix)的形式 当把线性方程组写成增广矩阵的形式以后，高斯消去法就表现为对增广矩阵进行的初等行变换：将某一行的非零常数倍加到别的行；给某一行乘上非零常数倍；交换两行的位置。 注：1）上面最右端的矩阵被称为阶梯型(echelon form)矩阵。 这里详细解说阶梯型矩阵的特征（零元在下、行首元非零、下行缩进）！ 2）上面的箭头不能写成或者等。（学生书写容易出错处！）。 五、教学总结： 1）用高斯消去法求解线性方程组，以及对增广矩阵做初等行变换是两个完

全一致的过程。但后者的出现，大大减少了高斯消去法书写上的困难。 2）这些内容也是后面学习矩阵的秩和逆矩阵的重要基础。