矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用

王法辉

摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。

关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基

1 导言

在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。

因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。

目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。

2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵

由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij

（i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列

的数表

?

?

???

???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。

2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵

矩阵有行列之分，因此有如下定义

定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换

(1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?；

(2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +；

(3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；

矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。

定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式

(1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得

?

????

?

???

??

?

?????

????????????????

?=1101111011),( j i P ；

(2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

??

??

?????

???????????=111))(( c

c i P ；

(3)把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行，有

??

?

???

????

?

???????????=1111))(, k k j i P （。

定义3 如果B 可以由A 经过一系列初等变换得到，矩阵A 与B 称为等价的。 2.3 矩阵初等变换的若干性质

矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质 （1）对矩阵A 施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。

（2）对矩阵A 施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。

（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。

（4）初等变换不改变矩阵的秩。

3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用

矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。 3.1 求多项式的最大公因式

3.1.1 基本概念

以][x P 表示数域P 上的一元多项式环。

定义1（最大公因式） 设)()(x g x f ，是][x P 中两个多项式，][x P 中多项式

)(x d 称为)()(x g x f ，的一个最大公因式，如果它满足

(1) )(x d 是)()(x g x f ，的公因式；

(2) )()(x g x f ，的公因式全是)(x d 的因式。

定义2 以][x P 中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。 定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换 (1) 交换多项式矩阵的某两行；

(2) 用零次多项式(P 中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行； (3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。

且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。

3.1.2 主要结果

在高等代数中，求数域P 上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。考虑][x P 中的多项式

)

0()()0()(011

10111≠++++=≠++++=----m m m m

m n n n n n b b x b x

b x b x g a a x a x a x a x f

其中i a j b ∈P (0,1,2,

;0,1,2,

)i n j m ==,

引入如下记号

当m n =时,（)(x f ,)(x g ）???

?

?

??--01

1011b b b b a a a a n n

n n

；

当m n >时，（)(x f ,)(x g ）???

?

???+-01

01110

00

b b b a a a a a a

m m m n n

。 由于多项式的最大公因式具有以下基本性质 （1） （)(x f ,)(x g ）=（)(x g ,)(x f ）；

（2） 若（)(x f ,)(x h ）=1，则（)(x f ,)(x g ）=（)(x f ,)()(x h x g ）； （3）（)(x f ,)(x g ）=（)()(x kg x f +,)(x g ）, P k ∈； 因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实

（1）交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；

（2）二行矩阵某一行的k 倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。

上述事实意味着数域P 上多项式的最大公因式（)(x f ,)(x g ）可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。具体实施步骤为

（1）根据多项式的系数作出（)(x f ,)(x g ）对应的二行矩阵；

（2）利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；

（3）向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。这表明（)(x f ,)(x g ）的次数在降低。

反复利用（1）、（2）、（3）直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。

3.1.3 计算举例

例1 已知数域P 上的一元多项式

7787)(346+-+-=x x x x x f ，7373)(235-+-=x x x x g

求))(),((x g x f 。

解 构造二行矩阵A 并实施初等行变换

???

?

????----??→??

?????----=-070370373140731400070370377087012131

r r A ??→????????

?----?????????→?+1

2149070370300731407314r r 首项不为零

将第一行元素轮换使其 14

147070

0339

907

7022??--

??

??????????

→????

--????将第二行元素轮换使其首项不为零

12

2827

1414

7

77

07

00000003327

27

999970

70070

7

002

22

2

r r +????--

--????

???→??????

??

----????????

21

243

14

77

00

0027279970

7002

2

r r +??

--

???????????→????→?

?

??

--????将第一行元素轮换使其不为零

7

7000

0027270

70

700??

--

????????????→??

--??将第二行元素轮换使其首项不为零

12

12777000000000000272770070007007000r r

-??--???????→????--??

--??

700000001001000-????????→????

第二行除以（） 第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为1)(3+=x x d 。

例2 求多项式3442)(234-+--=x x x x x f ，3452)(23+--=x x x x g ，

6116)(23-+-=x x x x h 的最大公因式。

解 构造三行矩阵A 并进行初等行变换

12r 12443109000254302543161160161160r A +----????

????=--???→--????

????----????0

1090025430161160-??

????????????→--??

??--??

对第二行进行轮换，使其首项不为 21312,1090010900051430514300062060620600r r r r ----????

????????→-???→-????

????----????轮换 ??

????

?

?

???

?????

---???→???

????

?????

????

?----???→?++??0010310000542

514000901001310100535141

009011

31221,6

1,51r r r r r r ??

???

???????→???????????---???→???0003-10006-2009-0100310006200090110

3

,7532轮换r r 12

1

2

039003900026000260001300013000r r ---????

???????→-???→-????

????--????

轮换

所以3))(),(),((-=x x h x g x f 。

3.2 求逆矩阵 解矩阵方程 3.2.1 可逆矩阵定义

若对n 级矩阵A 有n 级矩阵B 使

E BA AB ==

则称A 是可逆的，B 称为A 的可逆矩阵。其中E 为n 级单位矩阵。 3.2.2 初等变换求逆的原理和步骤

由于可逆矩阵A 可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由E A A =-1有

??

?==E

A P P E

A P P S s 11

因此有如下求逆步骤

（1）构造n n 2?的矩阵[]E A ｜；

（2）对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A 化为单位阵，则E 的位置变成A 的逆矩阵，即

[]E A ｜→ []1-A E ｜

需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。如果用列变换，则需把E 置于

A 的下方变成2n n ?矩阵且只能使用列变换把A 化为单位矩阵，同时E 化为A 的逆矩阵，即

??

????E A ???→?初等列变换???

???-1A E 利用与求逆矩阵相同的原理，矩阵初等变换可用于解矩阵方程。 3.2.2 计算举例

例1 求A=??

??

?

?????---032203120的逆矩阵。 解 构造矩阵，由

[]??

???

?????---???→???????????---=+?3204900102030011201000320102030011202

323r r E A ｜ ??

??

?

?????--???→???????????---??→?+??649100001120010203320490001120010203232

192r r r r []

13)

2(264910032401043600164910064802012918003123

132-÷-÷+-=????

?

???????????????----→→A E r r r r r r ｜ 得1-A =??

??

?

?????649324436 例2 设A =??????????---031221312，B =??

??

?

?????--520211，求X 使得B AX =

解 构造矩阵[]E A C ｜=并实施初等行变换

C =??

??

?

?????-----520310222111312??????→?+-?→←131221,2,r r r r r r ????

??????----500501313002

221 →

?→←+÷23323,5r r r

r r ??????????--231001*********???→?+-3

2122r r r ??

??

?

?????--231001*********=[]

B A E 1-｜ 得 X =1

-A B =????

?

?????--231024

3.3 求解线性方程组 3.3.1 有关概念与结论

考虑n 元线性方程组

??????

?=++=++=++n

n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a 112

212111111 并记

??????????=nn n n a a a a A 1111，??????????=n b b b 1，????

?

??

???=n nn

n n

b a a b a a A 11111 则得方程组的矩阵形式b Ax =。 称一下三种变换：

（1） 用一非零的数乘以某方程；

（2） 把一个方程的倍数加到另一个方程； （3） 互换两个方程的位置； 为线性方程组的初等变换。

利用方程组的初等变换求解线性方程组的过程的矩阵描述即为对系数矩阵

A 或者增广矩阵A 进行初等行变换的过程。

有关结论

（1）b Ax =有解?r A r A r ==)()(，且当n r =时，有唯一解；当n r <时，有无穷多解。

（2）0=Ax 恒有解?r A r =)(，当n r =时，有唯一零解；当n r <时，有非零解。 3.3.2 计算实例

例1 求解齐次线性方程组

??

?

??=-+=-+=++-+022 03 02 54354354321x x x x x x x x x x x 解对方程组的系数矩阵矩阵A 施行初等行变换

???→???????????--???→???????????---=++-+3

231232153

,2,050001310005011212001310012111r r r r r r r r A

??

??

??????-??→???????????---?010001010000011050001010000011)

5

1

(3r 同解的方程组???

??==-=04

532

1x x x x x 其中2x ，5x 为自由未知量，设2512,C x C x ==（21,C C 为

任意实数）则通解为

????????????????+????????????????-=???????

?????????10100000212154321C C x x x x x 。 例2 求解非齐次线性方程组

??????

?=+-+=-+-=+-+=+--97963422644 2 2 24

321432143214

321x x x x x x x x x x x x x x x x

解 对增广矩阵A 施行初等行变换

A =???????

??

???------97963422644121121112?→??→? ?

?

???

?

??????---00000310003011040

101 43)()(<==A r A r ，所以方程组有无穷多解。同解方程组???

??-=+=+=3 344

3231x x x x x ， 3x 为自

由未知量，方程组的通解

????????????4321x x x x =?????

?

??????-3034+k ????

?

???????0111， k 为任意实数。

3.4 判定向量组的线性关系 求向量组的极大无关组 3.

4.1 基本概念

定义1（线性相关和线性无关）设有向量组s αααα 321,,，如果有不全为0的一组数s k k k ,,,21 ，使

011=++s s k k αα

称向量组线性相关，否则称为线性无关。

定义2（线性组合和线性表出）设有向量组s αααα 321,,及向量β，若有数

s k k k ,,,21 ，使

s s k k ααβ++= 11

称向量β为向量组s αααα 321,,的线性组合，也称β可由s αααα,,,321 线性表出。

定义3（向量组等价） 设有向量组s αααα,,,321 （Ⅰ）及t ββββ 321,,，（Ⅱ）如果（Ⅰ）中的每一个向量i α),,2,1(s i =都可以有向量组（Ⅱ）线性表出，那么称向量组s αααα,,,321 可由向量组t ββββ 321,,线性表出；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）

可以互相线性表出，称他们为等价。

定义4（极大无关组） 如果一个向量组的部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的向量组都线性相关，则向量组的这个部分组称为一个极大线性无关组。 3.4.2 有关结论

（1）向量组s αααα,,,321 线性相关?线性方程组011=++s s x x αα 有非零解；

向量组s αααα,,,321 线性无关?线性方程组011=++s s x x αα 只有零 解。

（2）β可由s αααα 321,,线性表出?βαα=++s s x x 11有解。

因此，可以利用初等变换解决向量组的线性相关性判定、求极大无关组的问题。

3.4.3 计算举例

例 求向量组T 1)2,4,2(=α，T )0,1,1(2=α，T )1,3,2(3=α，T )2,5,3(4=α的极大无关组及秩，并把其余向量用极大无关组线性表示。

解 令），，，（4321αααα=A ，对A 施行矩阵初等行变换，得

A =?????

?????210253143212???→?--1

312,2r r r r ??

??

??????------11101110321

2??→?+2

3r r ????

??????000011103212??→?÷21r ??????

????????0000111012101

故1α，2α是1α，2α，3α，4α的一个极大无关组，且3α=

2

1

1α+2α，4α=1α+2α。

3.5 化二次型为标准型

3.5.1 基本概念

定义1（二次型及其标准型） 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的

n x x x 21,的二次齐次多项式

),(21n x x x f =22222221121122111222n nn n n n n x a x x a x a x x a x x a x a ++++++++

称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。仅含平方项的二次型

2

222211n n x d x d x d +++

称为标准型。

定义2（二次型的矩阵表示）记A =??

??????????nn n n n n a a a a a a

a a a 2

1

22221

11211

，?

????

?

??????=321x x x x ， 则

),(21n x x x f =T x Ax

A 称为二次型的矩阵（T A A =）。

定义3（合同矩阵） 对数域P 上有n n ?矩阵A 、B ，若有数域P 上可逆矩阵C ，使

AC C B T =，

称矩阵A 与B 合同。 3.5.2 有关结论

（1）数域P 上任意一个n 元二次型Ax x x x x f T n =),,(21 都可以经过非退化的线性替换Cy x =化为标准型。

（2） 任意一个对称矩阵合同于对角矩阵。 3.5.3 初等变换化二次型为标准型的原理

用初等变换法把二次型化为标准型，是对n n ?2矩阵A E ??

????施行初等列变换的

同时对A 施以相应的行变换，当矩阵A 化为对角阵时，单位矩阵E 就化为所要求的非退化变换矩阵C 。即

A E ????

??????????????→???

????施行相同的列变换

施行初等行变换，对对E A A ??

????C AC C T →??????C Λ

3.5.4 计算举例

例 用初等变换法化二次型3231216

3

613216422),,(x x x x x x x x x x x f +-++=为规范标准型，并写出相应的非退化线性变换。

解 二次型的矩阵A =??

??

?

?????--132301212，由

??????E A =???

?????????????????--100

010001132

301212

??

?→?++1313,r r c c ???

????

??

?

???????

???-100

010101

140

401012

11

22,22

c r c r --????

→ ?????????????

???????-

--1000101211140421000

2????→?++23238,8r r c c ?????????

?

???

?????

?

?--

-10081

032113100021000

2 得 ),,(321x x x f 的标准型为2

3

2221312

12y y y +-

，所用的非退化线性变换为Cy x =，其中C =??????

?

???

????--1008103211。 3.6 求空间的基 3.6.1 基本概念

定义1（线性空间） 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。

对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ和它们对应，称为α和β的和，记为γ=α+β，这种代数运算，叫做加法；对于任意数域P 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称为k 与

α的数量乘积，记为δ=k α，这种代数运算，叫做数量乘法。如果加法与数量

乘法满足以下规则 （1）α+β=β+α

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）

（3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有α+0=α（这个元素称为V 的零元素）

（4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素β，使得α+β=0（β称为α的负元素） （5）1α=α

（6）k （l α）=（k l ）α （7）（k +l ）α=k α+l α （8）k （α+β）=k α+k β 称V 为数域P 上的线性空间。

定义2（基与维数） 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量,没有更多数目的线性无关的向量,那么就称V 是n 维的。

在n 维线性空间V 中，n 个线性无关的向量称为V 的一组基。

易知，如果在线性空间V 中有n 个向量n ααα,,,21 线性无关,且V 中任一向量都可以由它们线性表出,那么V 是n 维的, n ααα,,,21 就是V 的一组基；在线性空间V 中, 如果向量组n ααα,,,21 线性无关, 而n ααα,,,21 ，β线性相关, 则向量β可以由n ααα,,,21 线性表出,且表示法唯一。

定义3（生成子空间）设n ααα,,,21 是线性空间V 中的一组向量，则这组向量所有可能的线性组合所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，叫做V 的生成子空间，记为),,,(21n L ααα 。

定义4（子空间的交与和） 设1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，所谓1

V 与2V 的交，是指所有同时存在与1V 和2V 的元素，记为1V ?2V ；所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+，（ ∈1α 1V ，∈2α 2V ）的向量组合的子集合，记

为1V +2V 。

如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么他们的交1V ?2V 与和1V +2

V 也是V 的子空间，分别称为交子空间与和子空间。

定义5（正交补空间） 设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的α属于1V ，β属于2V 恒有（α，β）=0则称1V ，2V 为正交的，记为1V ⊥2V 。

如果1V ⊥2V ，并且1V +2V =V ，子空间2V 称为1V 的一个正交补。 定义6（特征子空间） 设σ是V 的线性变换， F ∈λ，则

=λV {}λαασαα=∈)(,V ｜

是V 的子空间，称为V 的特征子空间。 λV 是σ的不变子空间。

定义7（线性变换的值域和核） 设σ是线性空间V 的一个线性变换，集合

})({)(V V ∈=αασσ｜

称为线性变换α的值域也记做σIm 或者V σ；集合

}0{)0(1=∈=-）（，｜ασαασV

称为线性变换α的核，也记作σker 。 3.6.2 计算举例

例 已知?

?

?????

??

???----=3333

201262

420121A ，并记11223α?? ?- ?= ? ???，22413α-?? ? ?= ?- ???，3

1203α-??

?

?= ? ???

，

406

23α??

? ?= ? ???

，），，，（01211--=β，），，，（62422-=β，），，，（20123-=β，），，，（33334=β，

即[]?????

???????==432143

21ββββααααA 。

（1）求0=Ax 的解空间的基；

（2）求A 的零特征值00=λ的特征子空间0λV 的基； （3）设()43

21

(ββββL V =，求V ⊥的基；

（4）求4321,,,αααα的极大无关组；

（5）定义线性变换Ax x =σ，求1

0σ-（）

的基； （6）求（5）中线性变换σ的值域V σ（）的基。 解（1）空间的基即为0=Ax 的基础解系。由

???????

?????----=

3333

2012624201

21A →??????

???

???--369

022********

21→??????

??????

??--3690223032032100121→ ??????????????--3690100032032100121→

????????????????

36

9010

0032032103403101→???????

?

???????

?

000010

0032032103403101 得0=Ax 的基础解系为????????????--=0321ξ，所求基为????

?

?

??????--=0321ξ；

（2）当00=λ的时候，0λV =},0

{n p x x Ax ∈=｜，即所求空间的基为0=Ax 的基础解系，所以基为????

?

???????--=0321ξ；

（3）由题意由(),i x β=0=x i β，（i =1，2，3，4），即????

??

? ??4321ββββx =0，即0=Ax ，

所以V ⊥

的基为????

?

???????--=0321ξ；

（4）由?????

??

??????

??

?→00

010*********

3403101A 可得，4321,,,αααα的极大无关组为421,ααα，； （5）由核的定义知，)0(,001

0==-λσλV ）（，所求基为????

?

?

??????--=0321ξ；

（6）=)(V σ))(),(),(),((4321εσεσεσεσL ，而

))(),(),(),((4321εσεσεσεσ=A ），，，（4321εεεε

所以)(V σ的基为A 的列向量组的极大无关组对应的)(),(),(),(4321εσεσεσεσ的极大无关组,即基为)(),(),(421εσεσεσ。其中，43211322)(εεεεεσ++-=，

43212342)(εεεεεσ+-+-=，4324326)(εεεεσ++=。

4 矩阵初等变换在实际问题中的应用

矩阵初等变换不仅可以用于解决高等代数计算问题，在现实生活中，也有许许多多的问题可以用矩阵初等变换来解决。

例 现有一个木工、一个电工、一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议

（1） 每人总共只工作10天（包括给自己家干活在内）; （2） 每人的工资根据一般的市价在60—80之间; （3） 每人的日工资数似的每人的总收入与总支出相等。

表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算他们应得的工资？

表1 各工种工作天数

天数

木工 电工 油漆工

在木工家工作天数 2 1 6 在电工家工作天数 4 5 1 在油漆工家工作天数 4

4

3

解 设木工、电工、油漆工的工资分别为123,,x x x ，由题意得

123112321

2332610451044310x x x x x x x x x x x x

++=??

++=??++=? 即 1231231

23860

4504470

x x x x x x x x x -++=??

-+=??+-=? 对系数矩阵A 作初等行变换,得

??

??

??????--??→???????????---???→???????????---=--+74489000

07448908907441546182

13221,2r r r r r r A 其同解方程组为

??

?=-+=-0

744089

32132x x x x x 得

132********x x x x x k ?=??

?

=??

=???

即

??????????321x x x =313689k k k ??

????

????

??

??????

（[]60,80k ∈）

， 当72=k 时，????

??????=??????????726462321x x x 。

5 结语

本文主要对矩阵初等变换的作用作了简单的介绍。通过对一些概念的表述和部分原理的推导，用矩阵的初等变换解决了高等代数计算中的多种问题以及现实生活中的一些问题，并通过解决这些问题进一步说明了矩阵初等变换的作用。

本文的突出点是对矩阵初等变换解决问题的方法进行了详细的阐述，简单明了，并将能解决的各种问题加以分类和归纳，比各种代数书籍更为具体。

参考文献

[1] 高吉全.矩阵初等变换的方法和应用研究[M].北京: 中国工人出版社,2000:96-108

[2] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版).北京: 高等教育出版社,2003:12-18

[3] 张文博等译.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2007:66-76

[4] 李志斌.线性代数[M]. 北京:机械工业出版社,2006:80-96

[5] 蔡若松,张莉.初等变换浅议[J].辽宁工学院学报.2002. (22):63-65

[6] 凌征求.矩阵初等变换的几个应用[J].玉林师范学院学报.2001. (22):37-40

[7] 邓建松等译.Mathematica使用指南[M].科学出版社,2002

[8]刘水强，王绍恒.利用矩阵行变换求解方程组[J].重庆三峡学院学报.2001.(05):42-45

[9]杨民生.矩阵初等变换的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）.1995.(03):55-58

[10]王玲.初等变换与可逆矩阵[J]. 锦州师范学院（自然科学版）.2000.(02):39-42

[11]欧启通. 矩阵初等变换的应用[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版）.2007.(03):55-60

[12]谢芳.矩阵初等变换的若干应用[J].绍通师范专科学院学报.2004.(02）:21-25

[13]谭军. 矩阵初等变换的一些性质和应用[J]. 郑州航空工业管理学院学报.2002.（24）:50-54

[14]FENG Tian-xiang,TAN Ming-shu.Applications of elementary transformation in matrix computation[J].黑龙江大学自然科学报.2004.(04):23-27

[15]XIONG Hui-jun.A Criterion for the Positive definiteness of a Block-Matrix and Its Applications[J] .湖南文理学院学报（自然科学版）2006.（04）:33-36

矩阵的初等变换及其应用

线性代数 第一次讨论课 1.导语 2.讨论内容目录 3.正文 4.个人总结

导语: 矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。 讨论内容目录 矩阵的初等变换及其应用 1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 10.二次型化为标准形 正文 一、矩阵的等价 1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A

与B 行等价；若矩阵A 经过一系列初等列变换化为B 矩阵,则称A 与B 列等价；若矩阵A 经过一系列初等变换化为B 矩阵,则称A 与B 等价（相抵）。 2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。 3. 矩阵等价具有下列性质 （1）反身性 任一矩阵A 与自身等价； （2）对称性 若A 与B 等价，则B 与A 等价； （3）传递性 若A 与B 等价，B 与C 等价，则A 与C 等价； 注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。 下面举例说明矩阵等价及等价变换： 13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-?? 13 r r +???→

矩阵的初等变换在线性代数中的应用[文献综述]

毕业论文文献综述 信息与计算科学 矩阵的初等变换在线性代数中的应用 一、前言部分 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、主题部分 2.1矩阵和线性代数的概念介绍 2.1.1 线性代数的概念介绍

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组 问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？ 答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。 问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？ 答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解： 当n A r =)(时，只有零解； 当n A r <)(时，有非零解。 非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。 其中),(~ b A A = 为增广矩阵。 问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。 证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

矩阵的初等变换及应用的总结

矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代 数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m x n 个数aij (i=1 , 2,….,m; j=1 , 2,…., n)排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m x n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1. 初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴交换矩阵的两行佼换一两行,记作.); (2) 以一个非零的数 '乘矩阵的某一行(第.行乘数卜，记作…); (3) 把矩阵的某一行的，倍加到另一行(第一行乘 '加到.行, 记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3，如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：

⑴反身性； (2) 对称性若小丄,，则； (3) 传递性若丄丄,/,则」. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m x n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 ■ 4■ ■ 1 F行二0 ■ ■ < 泓1 2. 利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n x 2n矩阵(A| E)施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A A(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|AA(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化 为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

分块矩阵的初等变换及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]

设计 （20 届）分块矩阵的初等变换及其应用 所在学院 专业班级信息与计算科学 学生姓名学号 指导教师职称 完成日期年月

摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22 分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。 关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用

Elementary block matrix transform and its application Abstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22 elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra. Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

矩阵的初等变换及应用的总结

… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

矩阵初等变换的一些性质及应用

矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16

2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4

所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3

矩阵的初等变换及其应用

线性代数 第一次讨论课 1;要求 2;正文 3;个人总结 丁俊成00101209 第一部分：要求 线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。 讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。 第一次讨论课内容 矩阵初等变换及其应用 请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。要求做成word或PPT文档。同学们自荐或推荐上讲台讲课。希望同学们踊跃参与。 第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。

1.两个矩阵的等价 2.两个矩阵的乘积 3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型 4.求矩阵的秩 5.求可逆矩阵的逆矩阵 6.求线性方程组的解 7.判断向量组的线性相关性 8.求向量组的秩与极大无关组 9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 第二部分：正文 矩阵的初等变换及其应用 矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。 一．两个矩阵的等价 矩阵等价的定义为： 若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。 根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换； 2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元； 3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去； 即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。矩阵等价具有下列性质 （1）反身性任一矩阵A与自身等价；

开题报告-矩阵初等变换在线性代数中的应用

毕业论文开题报告 信息与计算科学 矩阵初等变换在线性代数中的应用 一、选题的背景、意义 1、选题的背景 线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意 义 , 并且数学上用它能立刻写出物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造 性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 2、选题的意义 矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念，也是研究矩阵的一个非常重要的工具。矩阵作为线性代数中最基本的一个概念，在数学的各方面的有重要的意义。最基本的应用当然是在线性方程方面。但是，矩阵的意义其实可以说就是线性代数的意义，因为线性代数的每一个概念都与矩阵有着密切关系。而线性代数是整个高等数学的基础之一，可以应用到整个数学的方方面面，而其本身在物理学、生物学、经济学、密码学等方面发挥着重要作用。[1] 矩阵的初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。文章就详细地总结了矩阵的初等换在求逆矩阵、求矩阵的秩、求过渡矩阵、求向量组的秩及向量组的极大线性无关组、解方程组、化二次型为标准型以及求标准正交基等问题中的应用。本文就讨论应用矩阵初等变换的一些性质解决有限维向量空间中这些问题。[2] 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

线性代数矩阵的性质及应用举例

华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年11月7日

关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨 摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。 关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵 矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。 定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。 定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1 -A 。 定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。 逆矩阵的基本性质： 性质1 当A 为可逆阵，则A A 1 1 = -. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1 -为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--1 1)( )0(1)(1 1≠= --k A k kA . 性质3 111 ) (---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11 '=--A . 由性质3有 定理2 若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A 下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法 利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1 。 方法二 伴随矩阵法 定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，

矩阵初等变换的性质及其应用

摘要 本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。 关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式

Abstract This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application. Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix; System of linear equations;Greatest common factor

目录 1 引言 ............................ 错误！未定义书签。 2 矩阵的初等变换及其性质 (1) 2.1 矩阵初等变换的定义 (1) 2.2 矩阵初等变换相关性质 (2) 3 矩阵初等变换的若干应用 (2) 3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1) 3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5) 3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7) 3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11) 3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13) 参考文献 (16)

矩阵初等变换及其应用毕业论文

矩阵初等变换及其应用毕业论文 矩阵初等变换及其应用毕业论文 摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。 关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵 在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。 定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）； （2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ； （3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。 初等行、列变换统称为初等变换。 定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有 ij R =ij C =1011 1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

矩阵的初等变换及应用

目录 摘要 (1) 1 矩阵的初等变换 (2) 1.1矩阵的初等变换 (2) 1.2阶梯矩阵与最简化阶梯矩阵 (3) 1.3初等矩阵与初等变换关系 (4) 2 矩阵初等变换的应用 (5) 2.1齐次线性方程组的解空间 (5) 2.2求解线性方程组 (6) 2.3求可逆矩阵 (8) 2.4求极大线性无关组 (9) 2.5对称矩阵A的对角化 (10) 参考文献 (13) 致谢 (13)

矩阵的初等变换及应用 【摘要】本文主要讲矩阵的初等变换与初等变换的广泛应用，初等变换包括行变换与列变换，主要以行变换为例，通过行变换将一个矩阵化成与之等价的简化阶梯矩阵用于求其次线性方程组的解空间，解方程组，判断矩阵是否可逆，若可逆求逆矩阵以及用初等变换法在n R中求极大线性无关组和对称矩阵A的对角化等等。 【关键词】矩阵初等变换应用 【ABSTRACT】this paper about the elementary transformation matrix with primary transpositions is widely, elementary transformation and transform matrix included, mainly transformation of line as an example, through the transformation of line into A matrix and the equivalent for the next step matrix simplify the solution of linear equations, the solution of equations, the space is reversible, if the judgement matrix inverse matrix and reversible elemtntary transformation in the maximal linear irrelevant for bisymmetric matrices and A group of diagonalization etc. 【KEY-WORDS】matrix ; elementary ; transformation

矩阵初等变换的应用

摘要 矩阵是线性代数中的重要内容，也是高等数学研究问题的工具。在线性代数及其许多的领域中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。本文首先介绍了矩阵的化简和分块矩阵的初等变换以及利用矩阵初等变换求逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩和特征向量，其次阐述了矩阵初等变换在解线性方程组、解矩阵方程、判断向量组的线性相关性、求极大线性无关组问题中的应用，最后对矩阵在数论中的应用进行了一些说明。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。 关键词：矩阵，初等变换，逆矩阵，秩

The application of elementary transformation of matrix ABSTRACT .Matrix is an important content in linear algebra, is a problem of higher mathematics research tools. In linear algebra and matrix can be seen in many areas, it can turn abstract problems expressed in matrix, based on the matrix to calculate the results. This article first introduces the elementary transformation of matrix of reduction and partitioned matrix and the matrix elementary transformation and adjoint matrix inverse matrix, rank of matrix and characteristic vector, then expounds the matrix elementary transformation in solving linear equations, the solution of matrix equation, judge linear correlation, as well as the application of maximum linearly independent group, finally the application of matrix in number theory with some instructions. As the foundation of the matrix and core, the elementary transformation of matrix and its application is very important, it is able to convert all kinds of complex matrix to matrix form, we need to make the calculation more simple. Key words: Matrix, Elementary transformation, inverse matrix, rank

#矩阵的初等变换在向量空间中的应用

矩阵的初等变换在向量空间中的使用 摘 要：向量贯穿了整个高等代数的学习。本文主要谈论了向量空间的一些核心问题，辅以不同的解法，通过对比，显示出矩阵的初等变换在向量空间中的重要作用，体现出用矩阵解向量空间中问题的优越性。 关键词：矩阵的初等变换；线性相关；线性无关 Abstract ：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space, combined with a different solution, by contrast, shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority. Key words ：Elementary transformation matrix; linear correlation; linearly independent 1 相关定理及问题的引出 设12,,...,n n p αααβ∈ 定义1.11?? ?? n 维向量：数域p 中n 个数组成的有序数组12(,,...)n a a a 定义1.21?? ?? n 维向量空间：以数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域p 上的n 维向量空间。 n 维向量空间表面上看是一个非常陌生的概念，其实质只不过是由很多个n 维向量作为小单元，并且这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性，即若12,n P αα?∈，12n P αα+∈,,n k P k P α?∈∈具有这样性质的向量构成的向量组。 故对于向量空间有关问题的讨论，应该从向量组出发。之所以向量空间让我们感觉变化多端，关键在于这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性。 向量空间的理论的核心问题是向量间的线性关系,其主要内容有向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组、两个向量组的等价、向量空间的基和维数、一个基到另一个基的过渡矩阵和线性变换等。在向量空间中主要