近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( )A、满射而非单射?B、单射而非满射
C、一一映射???
D、既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有( )个元素。
A、2 ???
B、5 C、7????D、10
3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解就就是( )乘法来说
A、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得D、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( )
A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。
5、n阶有限群G得子群H得阶必须就就是n得( )
A、倍数
B、次数C、约数 D、指数
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合;,则有---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R得--------。
3、环得乘法一般不交换。如果环R得乘法交换,则称R就就是一个------。
4、偶数环就就是---------得子环。
5、一个集合A得若干个--变换得乘法作成得群叫做A得一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元a得逆元就就是-------。
8、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么---------。
9、一个除环得中心就就是一个-------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设置换与分别为:,,判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。
2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。
3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)就就是不就就是群,为什么?
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。
2、假定R就就是一个有两个以上得元得环,F就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G有6个元素得循环群,a就就是生成元,则G得子集( )就就是子群。
A、 B、 C、 D、
2、下面得代数系统(G,*)中,( )不就就是群
A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法
C、G为有理数集合,*为加法D、G为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N上,下列哪种运算就就是可结合得?( )
A、a*b=a-b
B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设、、就就是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=( )
A、 B、 C、 D、
5、任意一个具有2个或以上元得半群,它( )。
A、不可能就就是群 B、不一定就就是群
C、一定就就是群
D、就就是交换群
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元得无零因子-----称为整环。
3、已知群中得元素得阶等于50,则得阶等于------。
4、a得阶若就就是一个有限整数n,那么G与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A∩B=-----。
6、若映射既就就是单射又就就是满射,则称为-----------------。
7、叫做域得一个代数元,如果存在得-----使得。
8、就就是代数系统得元素,对任何均成立,则称为---------。
9、有限群得另一定义:一个有乘法得有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P就就是----------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设集合A={1,2,3}G就就是A上得置换群,H就就是G得子群,H={I,(1 2)},写出H 得所有陪集。
2、设E就就是所有偶数做成得集合,“”就就是数得乘法,则“”就就是E中得运算,(E,)就就是一个代数系统,问(E,)就就是不就就是群,为什么?
3、a=493, b=391,求(a,b), [a,b] 与p, q。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、若<G,*>就就是群,则对于任意得a、b∈G,必有惟一得x∈G使得a*x=b。
2、设m就就是一个正整数,利用m定义整数集Z上得二元关系:a?b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群得任何子群一定不就就是( )。
A、2阶
B、3阶
C、4 阶D、 6 阶
2、设G就就是群,G有( )个元素,则不能肯定G就就是交换群。
A、4个
B、5个
C、6个D、7个
3、有限布尔代数得元素得个数一定等于( )。
A、偶数
B、奇数
C、4得倍数
D、2得正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格( )
A、(N,)
B、(Z,)
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D、 (P(A),)
5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换
得所有元素有()
A、(1),(123),(132)
B、12),(13),(23)?
C、(1),(123) D、S3中得所有元素
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群得单位元就就是--------得,每个元素得逆元素就就是--------得。
2、如果就就是与间得一一映射,就就是得一个元,则----------。
3、区间[1,2]上得运算得单位元就就是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8得零因子有 -----------------------。
6、一个子群H得右、左陪集得个数----------。
7、从同构得观点,每个群只能同构于她/它自己得---------。
8、无零因子环R中所有非零元得共同得加法阶数称为R得-----------。
9、设群中元素得阶为,如果,那么与存在整除关系为--------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、用2种颜色得珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同得项链?
2、S1,S2就就是A得子环,则S1∩S2也就就是子环。S1+S2也就就是子环吗?
3、设有置换,。
1、求与;
2.确定置换与得奇偶性。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、一个除环R只有两个理想就就就是零理想与单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1得充分必要条件就就是aba=a与ab2a=e。
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有
()个元素。
A、2 ???B、5
C、7???????D、10
2、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射
:x→x+2,x∈R,
则就就是从A到B得( )
A、满射而非单射???B、单射而非满射
C、一一映射????
D、既非单射也非满射
3、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换
得所有元素有( )
A、(1),(123),(132)???
B、(12),(13),(23)
C、(1),(123) ????
D、S3中得所有元素
4、设Z15就就是以15为模得剩余类加群,那么,Z15得子群共有( )个。
A、2 ????
B、4
C、6 ???????D、8
5、下列集合关于所给得运算不作成环得就就是( )
A、整系数多项式全体Z[x]关于多项式得加法与乘法
B、有理数域Q上得n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵得加法与乘法
C、整数集Z关于数得加法与新给定得乘法“”:m, n∈Z, mn=0
D、整数集Z关于数得加法与新给定得乘法“”:m, n∈Z, mn=1
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6、设“~”就就是集合A得一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”就就是
A得一个等价关系。
7、设(G,·)就就是一个群,那么,对于a,b∈G,则ab∈G也就就是G中得可逆元,而且(ab)-1=
___________。
8、设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干
个没有公共数字得循环置换之积)。
9、如果G就就是一个含有15个元素得群,那么,根据Lagrange定理知,对于a∈G,则
元素a得阶只可能就就是___________。
10、在3次对称群S3中,设H={(1),(123),(132)}就就是S3得一个不变子群,则商群G/H中得元素(12)H=___________。
11、设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}就就是以6为模得剩余类环,则Z6中得
所有零因子就就是___________。
12、设R就就是一个无零因子得环,其特征n就就是一个有限数,那么,n就就是___________。
13、设Z[x]就就是整系数多项式环,(x)就就是由多项式x生成得主理想,则(x)=_____________
___________。
14、设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中得所有单位就就是___________
___________。
15、有理数域Q上得代数元+在Q上得极小多项式就就是___________。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
16、设Z为整数加群,Zm为以m为模得剩余类加群,就就是Z到Z m得一个映射,其中
:k→[k],k∈Z,
验证:就就是Z到Z m得一个同态满射,并求得同态核Ker。
17、求以6为模得剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}得所有子环,并说
明这些子环都就就是Z6得理想。
18、试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间得关系,并举例说明唯一分解环未必就就是主理想环。
四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)
19、设G={a,b,c},G得代数运算“”
由右边得运算表给出,证明:(G,)作成一个群。
20、设
已知R关于矩阵得加法与乘法作成一个环。证明:I就
就是R得一个子环,但不就就是理想。
21、设(R,+,·)就就是一个环,如果(R,+)就就是一个
循环群,证明:R就就是一个交换环。
近世代数模拟试题一参考答案
一、单项选择题。
1、C;
2、D;
3、B;
4、C;
5、D;
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。
1、;
2、单位元;
3、交换环;
4、整数环;
5、变换群;
6、同构;
7、零、-a ;8、S=I或S=R ;9、域;
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、解:把与写成不相杂轮换得乘积:
可知为奇置换,为偶置换。与可以写成如下对换得乘积:
2、解:设A就就是任意方阵,令,,则B就就是对称矩阵,而C就就是反对称矩阵,且。若令有,这里与分别为对称矩阵与反对称矩阵,则,而等式左边就就是对称矩阵,右边就就是反对称矩阵,于就就是两边必须都等于0,即:,,所以,表示法唯一。
3、答:(,)不就就是群,因为中有两个不同得单位元素0与m。
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。
2、证明在F里
有意义,作F得子集
显然就就是R得一个商域证毕。
近世代数模拟试题二参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、C;
2、D;
3、B;4、B;5、A;
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。
1、变换群;
2、交换环;3、25;4、模n乘余类加群;5、{2};6、一一映射;7、不都等于零得元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、解:H得3个右陪集为:{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )} H得3个左陪集为:{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}
2、答:(E,)不就就是群,因为(E,)中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。列以下算式:
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到(a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b、
所以p=4,q=-5、
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、证明设e就就是群 若x'∈G也就就是a*x=b得解,则x'=e*x'=(a-1*a)*x'=a-1*(a*x')=a-1*b=x。所以,x=a-1*b就就是a*x=b得惟一解。 2、容易证明这样得关系就就是Z上得一个等价关系,把这样定义得等价类集合记为Zm,每个整数a所在得等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为,称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。 当m=2时,Z2仅含2个元:[0]与[1]。 近世代数模拟试题三参考答案 一、单项选择题1、C;2、C;3、D;4、D;5、A; 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、唯一、唯一;2、;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;9、; 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、解在学群论前我们没有一般得方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种。 2、证由上题子环得充分必要条件,要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b, ab∈S1∩S 2: 因为S1,S2就就是A得子环,故a-b,ab∈S1与a-b, ab∈S2 , 因而a-b, ab∈S1∩S2 ,所以S1∩S2就就是子环。 S1+S2不一定就就是子环。在矩阵环中很容易找到反例: 3、解: 1、,; 2、两个都就就是偶置换。 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、证明:假定就就是R得一个理想而不就就是零理想,那么a,由理想得定义,因而R得任意元 这就就就是说=R,证毕。 2、证必要性:将b代入即可得。 充分性:利用结合律作以下运算: ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e, ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e, 所以b=a-1。 近世代数试卷 一、判断题(下列命题您认为正确得在题后括号内打“√”,错得打“×”;每小题1分,共10分) 1、设与都就就是非空集合,那么。 ( ) 2、设、、都就就是非空集合,则到得每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要就就是到得一一映射,那么必有唯一得逆映射。( ) 4、如果循环群中生成元得阶就就是无限得,则与整数加群同构。 ( ) 5、如果群得子群就就是循环群,那么也就就是循环群。 ( ) 6、群得子群就就是不变子群得充要条件为。() 7、如果环得阶,那么得单位元。 ( ) 8、若环满足左消去律,那么必定没有右零因子。( ) 9、中满足条件得多项式叫做元在域上得极小多项式。 ( ) 10、若域得特征就就是无限大,那么含有一个与同构得子域,这里就就是整数环,就就是由素数生成得主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面得括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设与都就就是非空集合,而就就是到得一个映射,那么( ) ①集合中两两都不相同;②得次序不能调换; ③中不同得元对应得象必不相同; ④一个元得象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就就是二元运算( ) ①在整数集上,; ②在有理数集上,; ③在正实数集上,;④在集合上,。 3、设就就是整数集上得二元运算,其中(即取与中得最大者),那么在中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设为群,其中就就是实数集,而乘法,这里为中固定得常数。那么群中得单位元与元得逆元分别就就是( ) ①0与;②1与0;③与;④与。 5、设与都就就是群中得元素且,那么( ) ①; ②; ③; ④。 6、设就就是群得子群,且有左陪集分类。如果6,那么得阶() ①6; ②24;③10; ④12。 7、设就就是一个群同态映射,那么下列错误得命题就就是( ) ①得同态核就就是得不变子群;②得不变子群得逆象就就是得不变子群;③得子群得象就就是得子群; ④得不变子群得象就就是得不变子群。 8、设就就是环同态满射,,那么下列错误得结论为() ①若就就是零元,则就就是零元; ②若就就是单位元,则就就是单位元; ③若不就就是零因子,则不就就是零因子;④若就就是不交换得,则不交换。 9、下列正确得命题就就是( ) ①欧氏环一定就就是唯一分解环; ②主理想环必就就是欧氏环; ③唯一分解环必就就是主理想环; ④唯一分解环必就就是欧氏环。 10、若就就是域得有限扩域,就就是得有限扩域,那么( ) ①; ②; ③; ④。 三、填空题(将正确得内容填在各题干预备得横线上,内容填错或未填者,该空无分。每空1分,共10分) 1、设集合;,则有 。 2、如果就就是与间得一一映射,就就是得一个元,则 。 3、设集合有一个分类,其中与就就是得两个类,如果,那么 。 4、设群中元素得阶为,如果,那么与存在整除关系为 。 5、凯莱定理说:任一个子群都同一个 同构。 6、给出一个5-循环置换,那么 。 7、若就就是有单位元得环得由生成得主理想,那么中得元素可以表达为 。 8、若就就是一个有单位元得交换环,就就是得一个理想,那么就就是一个域当且仅当就就是 。 9、整环得一个元叫做一个素元,如果 。 10、若域得一个扩域叫做得一个代数扩域,如果 。 四、改错题(请在下列命题中您认为错误得地方划线,并将正确得内容写在预备得横线上面。指出错误1分,更正错误2分。每小题3分,共15分) 1、如果一个集合得代数运算同时适合消去律与分配律,那么在里,元得次序可以掉换。 2、有限群得另一定义:一个有乘法得有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。 3、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么。 4、唯一分解环得两个元与不一定会有最大公因子,若与都就就是与得最大公因子,那么必有。 5、叫做域得一个代数元,如果存在得都不等于零得元使得。 五、计算题(共15分,每小题分标在小题后) 1、给出下列四个四元置换 ??? ? ??=???? ??=???? ??=???? ??=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成得群,试写出得乘法表,并且求出得单位元及与得所有子群。 2、设就就是模6得剩余类环,且。如果、,计算、与以及它们得次数。 六、证明题(每小题10分,共40分) 1、设与就就是一个群得两个元且,又设得阶,得阶,并且,证明:得阶。 2、设为实数集,,令,将得所有这样得变换构成一个集合,试证明:对于变换普通得乘法,作成一个群。 3、设与为环得两个理想,试证与都就就是得理想。 4、设就就是有限可交换得环且含有单位元1,证明:中得非零元不就就是可逆元就就就是零因子。 近世代数试卷参考解答 一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 × × √ √ × √ √ √ × × 二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④ 三、填空题 1、。 2、。 3、。 4、。 5、变换群。 6、。 7、。 8、一个最大理想。 9、p 既不就就是零元,也不就就是单位,且q 只有平凡因子。 10、E得每一个元都就就是F上得一个代数元。 四、改错题 1、如果一个集合得代数运算同时适合消去律与分配律,那么在里,元得次序可以掉换。 结合律与交换律 2、有限群得另一定义:一个有乘法得有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;结合律成立、交换律成立。消去律成立 3、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么。 S=I或S=R 4、唯一分解环得两个元与不一定会有最大公因子,若与都就就是与得最大公因子,那么必有d=d′。 一定有最大公因子;d与d′只能差一个单位因子 5、叫做域得一个代数元,如果存在得都不等于零得元使得。 不都等于零得元 测验题 一、填空题(42分) 1、设集合与分别有代数运算与,且,则当时,也满足结合律;当时,也满足交换律。 2、对群中任意元素= ; 3、设群G中元素a得阶就就是n,n|m则=; 4、设就就是任意一个循环群,若,则与同构;若, 则与同构; 5、设G=为6阶循环群,则G得生成元有 ;子群有 ; 6、n次对称群得阶就就是;置换得阶就就是 ; 7、设,则; 8、设,则; 9、设H就就是有限群G得一个子群,则|G|= ; 10、任意一个群都同一个同构。 二、证明题(24) 1、设G为n阶有限群,证明:G中每个元素都满足方程。 2、叙述群G得一个非空子集H作成子群得充要条件,并证明群G得任意两个子群H与 K得交仍然就就是G得一个子群。 3、证明:如果群G中每个元素都满足方程,则G必为交换群。 三、解答题(34) 1、叙述群得定义并按群得定义验证整数集Z对运算作成群。 2、写出三次对称群得所有子群并写出关于子群H={(1),(23)}得所有左陪集与所有右陪集。 基础测试参考答案: 一、填空题 1、满足结合律; 满足交换律; 2、; 3、e; 4、整数加群;n次单位根群; 5、;; 6、n!;4 7、 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、(双射)变换群; 二、证明题 1、已知,|a|=k,则 k|n 令n=kq,则 即G中每个元素都满足方程 2、充要条件:; 证明:已知H、K为G得子群,令Q为H与K得交 设,则 H就就是G得子群,有 K就就是G得子群,有 综上所述,H也就就是G得子群。 3、证: G就就是交换群。 三、解答题 1、解:设G就就是一个非空集合,就就是它得一个代数运算,如果满足以下条件: (1)结合律成立,即对G中任意元素 (2)G中有元素e,它对G中每个元素 (3)对G中每个元素 则G对代数运算作成一个群。 对任意整数a,b,显然a+b+4由a,b唯一确定,故为G得代数运算。 (ab)c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8 a (bc)=a+b+c+8 即(ab)c= a (bc)满足结合律 a均有(-4)a=-4+a+4=a 故-4为G得左单位元。 (-8-a)a=-8-a+a+4=-4 故-8-a就就是a得左逆元。 2、解:其子群得阶数只能就就是1,2,3,6 1阶子群{(1)} 2阶子群{(1)(12)}{(1)(13)}{(1)(23)} 3阶子群{(1)(123)(132)} 6阶子群 左陪集:(1)H={(1)(23)}=(23)H (12)H={(12)(123)}=(123)H (13)H={(13)(132)}=(132)H 右陪集:H(1)={(1)(23)}=H(23) H(13)={(13)(23)}=H(123) H(12)={(12)(132)}=H(132) 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ= (1324),则 3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得 多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、近世代数中,群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) 抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶 2、设G 是群,G 有( )个元素,则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。 A 、偶数 B 、奇数 C 、4的倍数 D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A 、(N,≤) B 、(Z,≥) C 、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D 、 (P(A),?) 5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( ) A 、(1),(123),(132) B 、12),(13),(23) C 、(1),(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。 2、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1----------。 3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a =ο的单位元是-------。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。 5、环Z 8的零因子有 -----------------------。 6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。 7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。 8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为--------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链? 2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗? 3、设有置换)1245)(1345(=σ, 6)456)(234(S ∈=τ。 1.求στ和στ-1; 2.确定置换στ和στ-1的奇偶性。 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) [精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),= ,3(1324),则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。,, 近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( )A、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 C、7????D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解就就是( )乘法来说 A、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得D、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ) A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群H得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有---------。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R得--------。 3、环得乘法一般不交换。如果环R得乘法交换,则称R就就是一个------。 4、偶数环就就是---------得子环。 5、一个集合A得若干个--变换得乘法作成得群叫做A得一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元a得逆元就就是-------。 8、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么---------。 9、一个除环得中心就就是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换与分别为:,,判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环,F就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G有6个元素得循环群,a就就是生成元,则G得子集( )就就是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*)中,( )不就就是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群, a 是生成元,则 G 的子集()是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统( G, * )中,()不是群 A、G为整数集合, * 为加法 B、G为偶数集合, * 为加法 C、G为有理数集合, * 为加法 D、G为有理数集合, * 为乘法 3、在自然数集 N 上,下列哪种运算是可结合的?() A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换,其中 1 =(12)(23)(13),2 =(24)(14),3=( 1324),则3=() A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群,它()。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50,则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n,那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元,如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。 近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1 -f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整 数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( c )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( D )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( B ) A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( A )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---{2}--。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为----双射-------------。 近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的( ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( ) A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( ) A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换σ和τ分别为:? ? ????=6417352812345678σ,??? ???=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。 , 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为 近世代数期末练习题 一、判断题(在括号里打上 √ 或 ? ) 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中,若右消去律成立,则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中,逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群,环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态,则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中,元素(123)的阶为 ,(123)的逆元为 ,(123) 所生成的子群在3S 中的指数为 ,该子群是否3S 的不变子群? 。 2、环Z 6的全部零因子是 ,全部可逆元是 。 3、在环Z 10中,[6]+[7]= ,[6][7]= ,[6]-[7]= ,[6]3= , [7]-1= 。 三、证明:(1)若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . (2)若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . (3)在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明:设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环,证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群,证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。 世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的( c ) A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有( d )个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解是(b )乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c ) A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d ) A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积: 可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积: 2解:设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:,,所以,表示法唯一。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。 2、证明在F里 有意义,作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集(c )是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统(G,*)中,(d )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?( b ) A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=(b ) m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。 证明,首先是循环环,则的理想就是的子加群。而的子加群都是循环群,是一个元素生成的。所以也是主理想。 0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r a I r b qa I a r b qa I I a I a >∈?<> =<>?∈∈=+≤<=-∈==∈?<>=<> 2、证明:是主理想整环。 显然,是整环。所以我们只证的理想都是主理想。 设,则存在,使得是中元素最小的。显然我们证明,,事实上,对。 由带余除法,存在使得因为是理想,则但根据的选取,必有则所以,则,即的任何理想都是主理想。 22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ?????????=∈=∈???????????????? --???????????∈=∈??????????-??????? ???????=???????? 、设证明是的子环是的理想 证:对,,则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ?+??∈??? ?-???????????∈=∈???????????????????? ???????????∈?∈=∈???????????????????? ??????=∈???????????? 则是的子环。,对,,则是的加法子群,I R 且是左理想和又理想。故是的理想。 4R R I R I I R I R I R I I ?、证明:是主理想整环,是的一个理想,则是域当且仅当是由素元生成的主理想。 证明:是域是的极大理想。而在主理想整环中,极大理想和素元生成的主理想是等价的。 则是域当且仅当是由素元生成的主理想 多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打,错的打“X” ;每小题1分,共10 分) 1、设A与B都是非空集合,那么A_. B」xx?A且B:。() 2、设A、B、D都是非空集合,则A B到D的每个映射都叫作二元运算。() 3、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射f」。() 4、如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的,贝U G与整数加群同构。() 5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。() 6、近世代数中,群G的子群H是不变子群的充要条件为-g ? G,-h? H;g'Hg H 。() 7、如果环R的阶_2,那么R的单位元1-0。 () 8若环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。() 9、F(x)中满足条件p(「)=0的多项式叫做元[在域F上的极小多项式。() 10、若域E的特征是无限大,那么E含有一个与%p)同构的子域,这里Z是整数环,(p )是由素数p生成的主理想。() 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号 内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设A,A2,…,A n和D都是非空集合,而f是A1 A2… A n到D的一个映射,那么() ①集合A,A2,…,A n,D中两两都不相同;② A1,A2/ , A n的次序不能调换; ③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同; ④一个元a1,a2,…,a n的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算() ①在整数集Z上,a °b = —b;②在有理数集Q上,a°b = Jab ; ab 、 ③在正实数集R*上,a ^b=alnb:④在集合{n^Zn^。}上,a"b=a — b。 3、设是整数集Z上的二元运算,其中a ^max:a,b?(即取a与b中的最大者),那么?在Z中() ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:a ^a b k,这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是() ①0和-x ;②1和0 ;③k和x-2k ;④-k和-(x 2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」,acx =xac,那么x=() ① bc J a 4;② c °a ';③ a J bc J;④ b 'ca。 6、设H是群G的子群,且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH }。如果6,那么G的阶G =() ①6;②24;③10 ;④12。 7、设f :G1 > G2是一个群同态映射,那么下列错误的命题是() ①f的同态核是G1的不变子群;②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群;③G1的子群的象是G2的子群;④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8设f :尺> R2是环同态满射,f(a)二b,那么下列错误的结论为() ①若a是零元,则b是零元;②若a是单位元,则b是单位元; ③若a不是零因子,则b不是零因子;④若R2是不交换的,则R1不交换。 9、下列正确的命题是() ①欧氏环一定是唯一分解环;②主理想环必是欧氏环; ③唯一分解环必是主理想环;④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么() ①E:I = E:I I :F ;② F:E=I:FE:I ; ③ I:…E:FF:I ;④ E:…E:II:F。 班号学号姓名成绩 《抽象代数》期末考试卷 注意事项: 1、请大家仔细审题 2、千万不能违反考场纪律 题目: 一、判断题(每小题2分,共20分)(?) 1、设* 是集合X上的二元运算,若a∈ X是可约的,则a是可逆的。(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。 (√) 3、任何群都与一个变换群同构。 (√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 (√) 5、素数阶群必为循环群。 (?) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 (√) 7、环的理想构成其子环。 (?) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 (?) 9、格保序映射必为格同态映射。 (√) 10、设A?S,则< P(A),? > 是格< P (S),? > 的子格。 二、填空题(10分) 1、设〈G,*〉为群,a,b∈G且a的阶为n,则b-1a b的阶为__n______。 2、设〈G,*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n,则a k 的阶为_n/(n,k) _; 并且 a k = e 当且仅当__n | k 3、域的特征为___0或素数___________ ;有限域的阶必为___素数的幂______。 4、GF(3)上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+2 5、设D 是I+ 上的整除关系,即对任意的a,b∈I+ ,a D b 当且仅当a | b。 对任意a,b∈I+ ,则a * b = __(a, b)__, a ⊕b = __[a, b]__。 三、计算题(40分,每小题8分) 1、试求群< N11—{0},·11 > 的所有子群。 解: 所有子群是: <{1}, ?11 > <{1, 3, 4, 5, 9}, ?11 > <{1, 10}, ?11 > < N11—{0},?11 > 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题 3 分,共15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集()是子群。 A、a B 、a,e C 、e,a3D 、e,a,a3 2、下面的代数系统(G,*)中,()不是群 A、G为整数集合,* 为加法 B 、G为偶数集合,* 为加法 C、G为有理数集合,* 为加法 D 、G为有理数集合,* 为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?() A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1、2、3是三个置换,其中1=(12)(23)(13),2=(24)(14),3 = 1324),则3=() 22 A、2 1 B 、 1 2 C 、2 2 D 、 2 1 5、任意一个具有2 个或以上元的半群,它()。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----- 同构。 2、一个有单位元的无零因子称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于 -- 。 4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G与-- 同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B= 。 6、若映射既是单射又是满射,则称为------------ 。 7、叫做域 F 的一个代数元,如果存在 F 的a0,a1, ,a n使得a0 a1 a n n 0 8、a是代数系统( A,0)的元素,对任何x A均成立x a x,则称a为--- 。 9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、------ 。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P 是---- 。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设集合A={1,2,3}G 是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(1 2)} ,写出 H 的所有陪集。 2、设 E 是所有偶数做成的集合,“ ”是数的乘法,则“ ”是 E 中的运算,(E,)是一 个代数系统,问(E,)是不是群,为什么? 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、若 WORD 格式整理 世代数模拟试题一 一、单项选择题 (本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无 分。 1、设 A =B =R(实数集 ) ,如果 A 到 B 的映射 :x →x +2, x ∈R ,则 是从 A 到 B 的( c ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合 A 中含有 5 个元素,集合 B 中含有 2 个元素,那么, A 与 B 的积集合 A ×B 中含 有( d )个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群 G 中方程 ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( b )乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的 ( 两方程解一样 ) 4、当 G 为有限群,子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数( c ) A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的( d ) A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 1、设集合 A 1,0,1 ; B 1,2 ,则有B A 。 2、若有元素 e ∈R 使每 a ∈A ,都有 ae=ea=a ,则 e 称为环 R 的单位元 。 3、环的乘法一般不交换。如果环 R 的乘法交换,则称 R 是一个交换环 。 4、偶数环是 整数环的子环。 5、一个集合 A 的若干个 -- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换全 。 6、每一个有限群都有与一个置换群 同构 。 7、全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是 1,元 a 的逆元是 a-1 。 8、设 I 和 S 是环 R 的理想且 I S R ,如果 I 是 R 的最大理想,那么 --------- 。 9、一个除环的中心是一个 - 域----- 。 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 1、设置换 和 分别为: 12345678 , 12345678 ,判断 和 的奇偶性,并把 和 64173528 23187654 写成对换的乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇 1、解:把 和 写成不相杂轮换的乘积: (1653)( 247)(8) (123)( 48)(57)(6) 可知 为奇置换, 为偶置换。 和 可以写成如下对换的乘积: (13)(15)(16)(24)( 27) (13)(12)(48)(57) B 1 (A A) C 1 (A A)近世代数期末考试试卷及答案Word版
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