几种常用连续型随机变量
几种常用的连续型随机变量
给出一个新概念：广义概率密度函数。
设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x ), 那么任何与之成正比的函数f (x )∝φ(x ), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f (x )是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a , 使得 φ(x )=af (x ) (1)
而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质1)(=?+∞
∞
-dx x ?, 求出
将(1)式代入得:
1)()(??+∞
∞
-+∞
∞
-==dx x af dx x ?
则?∞+∞
-=
dx
x f a )(1
因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么.
4.4 指数分布
指数分布的概率密度函数为
??
?>=-其它
)(x e x x
λλ? 它的图形如下图所示:
它的期望和方差如下计算:
()
λ
λ
λ?ξλλλλλ1
1
)(0
=-
=+-=-=
=
=
∞
+-∞+-∞
+-+∞
-+∞
-+∞
∞
-????x
x x x
x
e dx e xe
e xd dx e
x dx x x E
()
2
20
202
2
2
2
2
2)(|λξλ
λ?ξλλλλ=
=
+-=-=
=
=
????∞+-∞+-+∞
-+∞
-+∞∞
-E dx xe e x e d x dx e
x dx x x E x x x x
2
2
2
221
1
2
)(λ
λ
λ
ξξξ=
-
=
-=E E D
指数分布常用来作为各种"寿命"分布的近似.
4.5 Γ-分布
如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方x k
乘上指数函数e -λx , 即
??
?>->>=-其它
)
0,1(0)(λλk x e x x f x
k
那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k >-1, λ>0, 是因为广义积分
??
+∞
-+∞
∞
-=
)(dx e x dx x f x k λ 只有在这种条件下才收敛.
此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r =k +1, 因此广义概率密度函数写为
??
?>>>=--其它
)
0,0(0)(1λλr x e x x f x
r
而真实的概率密度函数φ(x )=af (x ), 可以给出常数a 由下式计算:
?∞
+--=
11
dx e x a x r λ
这样, 计算的关键就是要计算广义积分
?+∞
--0
1dx e x x r λ, 作代换t =λx , 则x =t /λ, dx =dt /λ, 则???+∞
--+∞
--+∞
--=
?
?? ?
?=0
101
011
1
dt e t
dt e
t dx e x t
r r
t
r x
r λ
λ
λλ,
问题就转成怎样计算广义积分?
+∞
--0
1dt e t
t
r , 这个积分有一个参数r >0, 在r 为一些特定
的参数时, 如当r =1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r 为任意的正实数时, 此广
义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin , cos 这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为
?+∞
-=Γ0
1)(dt e t r t r
因此, Γ分布的概率密度函数的形式为
???
??>>>Γ=--其它
)0,0(0)
()(1λλ?λr x e x r x x
r r
记作ξ~Γ(λ,r )
Γ函数的一个重要性质是)()1(r r r Γ=+Γ(r >0)成立 证:
)
()1(0
10
|
r r dt e rt
dt e e
t de t dt e t r t
r r
t t r
t
r
t
r Γ==
+-=-==+Γ????∞
+--+∞
-∞
+-+∞
-+∞
-
上式用到了定积分的分部积分公式?
?
-=b
a
b
a
b
a
vdu uv udv |
此外, Γ(1)=1, 因1)1(|0
11=-==
Γ∞
+-+∞
--?t
t e dt e t 则Γ(2)=Γ(1+1)=1, Γ(3)=2Γ(2)=2, Γ(4)=3Γ(3)=3·2·1=3!，… 一般地有!)1(n n =+Γ
Γ-分布的数学期望和方差计算如下:
λ
λλλλλ
λξλλr r r dt e t r x d e x r dx e
x r x E t
r x r r
x
r r
=Γ+Γ=Γ=
=
Γ=
Γ?
=
???∞
+-+∞
-+∞
--)()1()(1)()
(1
)
(00
1
2
220
120120
12
2
)1()()()1()()2()(1)
()
()(1
)
(λλλλλλλλξλλr r r r r r r r dt e t r x d e r x dx e
x r x
E t
r x
r x
r r
+=ΓΓ+=Γ+Γ=Γ=
Γ=Γ=
???∞
+-++∞
-++∞
--
2
2
2
2
2
2
)1()(λ
λ
λ
ξξξr
r r
r E E D =
-
+=
-=
当r =1时, Γ-分布就是指数分布, 当r 为正整数时,
???
??>-=--其它
0)!
1()(1x e x r x x r r
λλ?
为r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang ), 在排队论中用到, 如, 在接完一个电话之后又接了r 次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了r 次故障的时间.
当r =n /2(n 是正整数), λ=1/2时,
????
???>Γ=--其它
)
2(21
)(2122x e x n x x n n ?
称为具有n 个自由度的χ2-分布, 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一.
一个重要结论, 当有若干个参数λ都相同的相互独立的服从Γ-分布的随机变量相加得到新的随机变量, 则此新的随机变量也服从Γ-分布, 其λ参数仍然不变, 而r 参数则是各个随机变量的r 参数相加.
即如果ξ1~Γ(λ,r 1), ξ2~Γ(λ,r 2),…,ξn ~Γ(λ,r n )两两相互独立, 则 ξ=ξ1+ξ2+…+ξn ~Γ(λ,r 1+r 2+…+r n )
此性质最常用到的地方, 就是当有k 个相互独立的服从自由度为n 1,n 2,…,n k 的χ2-分布的随机变量ξ1,ξ2,…,ξk 相加得到的随机变量ξ=ξ1+ξ2+…+ξk 服从自由度为n =n 1+n 2+…+n k 的χ2-分布
4.6 正态分布
正态分布也叫高斯分布，是最常用
的一种分布，用来描述许多误差或者大量随机变量之和的分布。
标准正态分布
在讨论正态分布之前，先讨论标准正态分布。说随机变量ξ服从标准正态分布，是指它的概率密度函数为
2
02
21
)(x e
x -
=
π
?
证明
1)(0
=?+∞
∞
-dx x ?
如下：
?
?+∞
∞
--
+∞
∞
-=
dx e
dx x x 2
0221)(π
?
令du dx x u 2,2
==, 则
上式=
11
2
==
?+∞
∞
--π
ππ
du e
u
上式利用了普阿松广义积分公式π=?+∞
∞
--dx e
x 2
普阿松积分公式的证明：
假设?+∞
∞
--=
dx e I x 2
则????
+∞∞-+∞
∞
-+-∞
+∞
--∞
+∞
--=
=
dxdy e
dy e
dx e
I y x y
x
)
(2
222
2
积分范围在整个平面，作极坐标变换，令θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos
上式=
ππθπ=-=∞
+-+∞
-??|0200
22
2
12r r e rdrd e
因此π=I
由于φ0(x )为偶函数, 因此Eξ=0,
?
+∞
∞
--
=
=dx e
x
E D x 2
2
22
2π
ξξ
利用定积分的分部积分公式?
?
-=b
a
b
a
b
a
vdu uv udv |
令,2
2x e
v -
=则2
2x xe
dv -
-=
121222
222
2
2
|
=+
-=???
? ??-=
?
?
+∞
∞
--
∞+∞
--+∞
∞
--dx e
e x e d x D x x
x π
ππξ
因此标准正态分布的数学期望为0, 方差为1.
一个一般定理, 如果ξ~φξ(x ), η=σx +μ, σ>0, 则E η=σE ξ+μ, η的分布函数为
)(
}{}{}{)(σ
μ
σ
μ
ξμσξηξη-=-≤
=≤+=≤=x F x P x P x P x F
对两边求导得η与ξ的概率密度间的关系为:
??
?
??-=
σμ?σ
?ξηx x 1
)( 现在, 当ξ服从标准正态分布时, 将其乘上一个正的常数σ再加上一个常数μ, 得到的
随机变量就服从一般的正态分布, 其概率密度为
2
22)(21)(σμσ
π?--
=
x e
x
如果随机变量ξ的概率密度函数为上式, 则记ξ~N (μ,σ2),
连续型随机变量
§3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ．
几种常用连续型随机变量
几种常用的连续型随机变量 给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为φ(x ), 那么任何与之成正比的函数f (x )∝φ(x ), 都叫做ξ的广义概率密度函数, 或者说, 一个函数f (x )是ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实数a , 使得 φ(x )=af (x ) (1) 而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质1)(=?+∞ ∞ -dx x ?, 求出 将(1)式代入得: 1)()(??+∞ ∞ -+∞ ∞ -==dx x af dx x ? 则?∞+∞ -= dx x f a )(1 因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形状就可以了解概率密度的性质了. 因此也不必关于那个常数是什么. 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为 ?? ?>=-其它 )(x e x x λλ? 它的图形如下图所示: 它的期望和方差如下计算: () λ λ λ?ξλλλλλ1 1 )(0 =- =+-=-= = = ∞ +-∞+-∞ +-+∞ -+∞ -+∞ ∞ -????x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x E
() 2 20 202 2 2 2 2 2)(|λξλ λ?ξλλλλ= = +-=-= = = ????∞+-∞+-+∞ -+∞ -+∞∞ -E dx xe e x e d x dx e x dx x x E x x x x 2 2 2 221 1 2 )(λ λ λ ξξξ= - = -=E E D 指数分布常用来作为各种"寿命"分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量ξ只取正值, 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是x 的某次方x k 乘上指数函数e -λx , 即 ?? ?>->>=-其它 ) 0,1(0)(λλk x e x x f x k 那么就称ξ服从Γ-分布了. 上式中之所以要求k >-1, λ>0, 是因为广义积分 ?? +∞ -+∞ ∞ -= )(dx e x dx x f x k λ 只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数r =k +1, 因此广义概率密度函数写为 ?? ?>>>=--其它 ) 0,0(0)(1λλr x e x x f x r 而真实的概率密度函数φ(x )=af (x ), 可以给出常数a 由下式计算: ?∞ +--= 11 dx e x a x r λ 这样, 计算的关键就是要计算广义积分 ?+∞ --0 1dx e x x r λ, 作代换t =λx , 则x =t /λ, dx =dt /λ, 则???+∞ --+∞ --+∞ --= ? ?? ? ?=0 101 011 1 dt e t dt e t dx e x t r r t r x r λ λ λλ, 问题就转成怎样计算广义积分? +∞ --0 1dt e t t r , 这个积分有一个参数r >0, 在r 为一些特定 的参数时, 如当r =1时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当r 为任意的正实数时, 此广 义积分就没有一般的公式, 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义一个新的函数. 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发明了sin , cos 这样的记号来代表三角函数. 同样, 上面的广义积分的取值只依赖于参数r , 每给定一个r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫Γ-函数, 定义为
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X 具有概率密度 )5.4(,, 0,,1 )(??? ??<<-=其它b x a a b x f 则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b). X 的分布函数为 )6.4(. , 1,, ,,0)(???? ???≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F （2）指数分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 )7.4(, , 0,0,e 1)(/?????>=-其它x x f x θ θ 其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布. 容易得到X 的分布函数为 )8.4(. , 0,0,1)(/?? ?>-=-其它x e x F x θ 如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度 1 =2
P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 }. {e e e )(1)(1}{}{} {)} (){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>= >>?+>=>+>--+-θ θθ 性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X 的概率密度为 ) 10.4(,,e 21)(2 22)(∞<<-∞= -- x x f x σμσ π其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数 为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ). 显然f(x)≥0, 下面来证明 1d )(=? +∞ ∞ -x x f 令t x =-σμ/)(, 得到 dx e dx e t x 2 2)(22 22121- ∞ +∞ --- ∞ +∞ -? ? = π σ πσμ . 1d 21d 21 ) 11.4(π 2d d e ,, d d ,d e 2 2)(20 2 22 /)(2 2 /2 2 22 222== ====? ??? ? ? ?∞ ∞ -- ∞ ∞ ---∞ - +∞∞-+∞ ∞ -+-∞∞ --x e x e r r I u t e I t I t x r u t t π σ πθσ μπ 于是 得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质: f (x )的图形: 1.5 0.5
连续型随机变量
江苏科技大学 毕业论文（设计） 题目：连续型随机变量在实际生活中的应用 姓名：顾苗 学号：1140503102 教学院：数理学院 专业班级：11级统计一班 指导教师：王康康 完成时间：2015年06月10日 二零一伍年六月
连续型随机变量在实际生活中的应用Continuous random variables applied in real life
江苏科技大学毕业设计（论文） 江苏科技大学 毕业设计（论文）任务书 学院名称：数理学院专业：统计学 学生姓名：顾苗学号：1140503102 指导教师：王康康职称：讲师
江苏科技大学毕业设计（论文） 毕业设计（论文）题目： 连续型随机变量在实际生活中的应用 一、毕业设计（论文）内容及要求（包括原始数据、技术要求、达到的指标和应做的实验等） 连续型随机变量在现实生活中有广泛的应用，许多物理过程和社会现象均可以由各种常见的随机过程来刻画。如泊松过程、正态过程、马氏过程等等，其应用非常广泛。在实际运用时，我们考虑它们在各种经济模型中的应用和计算，它们种类繁多，形式各异。具有很强的现实意义。 1、给出连续型随机变量的基本概念。 2、给出几种常见的连续型随机变量的理论意义。 3、给出几种常见的连续型随机变量在各种经济模型中的应用。 二、完成后应交的作业（包括各种说明书、图纸等） 1、至少6000字以上的论文 2、教师指定阅读的外文文献原文 3、指定外文文献的译文6000字以上
三、完成日期及进度 2015.2.25～2015.3.16 文献检索与资料收集； 2015.3.16～2015.4.12 文献阅读及撰写开题报告； 2015.4.12～2015.5.8 论文构思与内容； 2015.5.8～2015.5.24 撰写论文； 2015.5.24～2015.6.9 论文评阅及答辩。
连续型随机变量的分布与例题讲解
连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 连续型随机变量及其分布 知识要点 1．分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X 取值不大于实数x 的概率 ()P X x ≤称为随机变量X 的分布函数，记作()F x , 即 ()(),F x P X x x =≤-∞<<∞． 2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤ (２) ()F x 是非减函数，即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； (3) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞ →+∞ ==; (4) ()F x 是右连续函数，即0()()lim x a F x F a →+=． 由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率 ()()();P a X b F b F a <≤=- 也可以求得 ()()(0)P X a F a F a ==--． 3．联合分布函数 二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数规定为随机变量X 取值不大于x 实数的概率，同时随机变量Y 取值不大于实数y 的概率，并把联合分布函数记为(,)F x y ，即 (,)(,),,F x y P X x Y y x y =≤≤-∞<<+∞-∞<<+∞． 4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤； (2) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的非减函数； (3) (,)0,(,)0 lim lim x y F x y F x y →-∞ →-∞ ==， (,)0,(,)1 lim lim x x y y F x y F x y →-∞ →+∞→-∞ →+∞ ==； (4) (,)F x y 是变量x (固定y )或y (固定x )的右连续函数； (5) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有 ()()x F x f x dx -∞ =? 成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．概率密度()f x 及连续型随机变量的性质 （１）()0;f x ≥ （２） ()1 f x dx +∞ -∞ =? ； §3 连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量，不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度函数来研究连续型随机变量的。 一． 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量X ，如果存在非负可积函数 ()()f x x -∞<<+∞，使得对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}()b a P a X b f x dx <<= ? ， 则称X 为连续型随机变量；称()f x 为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度． 由定义可知，分布密度()f x 具有如下基本性质: （１）．()0()f x x ≥-∞<<+∞； （２）． ()()1f x dx P X +∞ -∞ =-∞<<+∞=? ． 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在x 轴下方，且该曲线与x 轴所围的图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量的分布密度的条件。 对于连续型随机变量X 可以证明，它在某一点a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有()0P X a ==． 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究X 在某区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 (３)．对于任意实数， ,()a b a b <都有 {}{}{}{}()b a P a X b P a X b P a X b P a X b f x dx <<=≤<=<≤=≤≤=? 【例1】 设X 是连续型随机变量，已知X 的概率密度为 其中λ为正常数． 试 确定常数A ． 连续型随机变量的分布 (一)连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使 对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度。 注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为 lo 2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。 1)??f(x)M0?? 2)? j f(x)dx = \ 3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件) 因此PQWXWb)二P(a 注：iv)与离散型随机变量不同, 易知 连续型随机变量的生成: 1反函数法 采用概率积分变换原理,对于随机变量X的分布函数F(X)可以求其反函数，得: Xi=G(Ri) 其中,Ri为一个0-1区间内的均匀分布的随机变量. F(X)较简单时，求解较易，当F(X)较复杂时，需要用到较为复杂的变换技巧。 1.1平均分布: 例:已知炮弹对目标的方位角Fi在0-2*P内均匀分布，试用（0，1）均匀随机数变换，模拟弹着点方位角的抽样值Fi. 解: R=F(Fi)=Fi/2*PI 得Fi=G(R)=2*PI*R ,其中，R为0-1区间上的均匀分布的随机数. 程序略 1.2指数分布: 指数分布的分布函数为: x<0时,F(x)=0 ; x>=0,F(x)=1-exp(-lamda*x) 利用反函数法，可以求得: x=-lnR/lamda 2正态分布随机变量的生成: 正态分布在概率统计的理论及应用中占有重要地位，因此，能产生符合正态分布的随机变量就在模拟一类的工作中占有相当重要的地位。下面介绍两种方法。 2.1舍选法： 这种方法便捷而有效，且具有一定的代表性，其基本思路是: 在概率密度的函数图像的外围画一个大框，然后在这个框内部产生随机点（rx,ry），根据是否落在概率密度函数的下方，来决定是否要留下这个点。 经过一定的计算变行，符合二维的正态分布的随机变量的生成可按下面的方法进行： 1)产生位于0-1区间上的两个随机数r1和r2. 2)计算u=2*r1-1,v=2*r2-1及w=u^2+v^2 3)若w>1，则返回1) 4) x=u[(-lnw)/w]^(1/2) y=v[(-lnw)/w]^(1/2) 如果为(miu,sigma^2)正态分布,则按上述方法产生x后，x’=miu+sigma*x 由于采用基于乘同余法生成的0-1 上的随机数的正态分布随机数始终无法能过正态分布总体均值的假设检验。而采用C语言的库函数中的随机数生成函数rand()来产生0-1 上的随机数，效果较为理想。 关键程序段(funNorm返回一维的正态分布，而funNorm2则生成二维的随机分布): float funNorm(float miu,float sigma) { float r1,r2; float u,v,w; float x,y; do { r1=MyRnd(); r2=MyRnd(); u=2*r1-1; v=2*r2-1; w=u*u+v*v; }while(w>1); x=u*sqrt(((-log(w))/w)); y=v*sqrt(((-log(w))/w)); return miu+sigma*x; //also could return miu+sigma*y; } typedef struct 2.4 随机变量的产生方法 产生随机变量的方法有许多种，对于给定的随机变量，可根据其特点选择其中一种或几种方法。仿真对产生的随机变量首先是要求其准确性，即由某种方法产生的随机变量应准确的具有所要求的分布；其次是快速性要求，在离散事件仿真中，一次运行往往需要产生几万甚至几十万个随机变量，这样产生随机变量的速度将极大地影响仿真的效率。产生随机变量的方法主要有反变换法、舍选法、组合法、卷积法。 2.4.1 反变换法 反变换法是最常用且最直观的使用方法，它以概率积分变换定理为基础。 定理.设是连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为)(1x F-，即x F= F x -)] [1. ( (1) 若随机变量x的分布函数()x F，则()()10 F x U ~， (2) 若随机变量)10( U x，则的分布函数为()x F ~， 设随机变量x的分布函数为()x F，为得到随机变量的抽样值，先产生在]10[，区间上均匀分布的独立随机变量u，由反分布函数)(1u F-得到的值即为所需要的随机变量x：)(1u F =。这种方法是对分布函数进行反变换，因而取名为反变换法。 x- 反变换法的原理可用图加以说明。 随机变量概率分布函数()x F 的取值范围为]10[，，现以在]10[，上均匀分布的独立随机变量作为()x F 的取值规律，则落在x ?内的样本个数的概率就是F ?；从而随机变量x 在区间x ?内出现的概率密度函数的平均值为x F ??；当x ?趋于0时，其概率密度函数就等于dx dF ，即符合原来给定的密度分布函数，满足正确性要求。 当x 是离散随机变量时，其反变换法的形式略有不同，原因在于离散随机变量的分布函数也是离散的，因而不能直接利用反函数来获得随机变量的抽样值。下面讨论这类随机变量的反变换法。 设离散随机变量x 对应于取值1x ，2x ，…，n x 的概率分别为 )()()(21n x p x p x p ，，，???，其中1)(0< 连续型随机变量2-3 作者: 日期: 2 § 3连续型随机变量 除了离散型随机变量之外，还有非离散型的随机变量，这些随机变量的取值已不再是 有限个或可列个。在这类非离散型随机变量中，有一类常见而重要的类型，即所谓连续型 随机变量。粗略地说，连续型随机变量可以在某特定区间内任何一点取值。例如某种树的 高度；测量的误差；计算机的使用寿命等等都是连续型随机变量。对于连续型随机变量， 不能一一列出它可能取值，因此不能像对离散型随机变量那样用它取各个可能值的概率来 描述它的概率分布，而是要考虑该随机变量在某个区间上取值的概率，我们是用概率密度 函数来研究连续型随机变量的。 一. 概率密度和连续型随机变量定义： 对于随机变量 X ，如果存在非负可积函数 f(x) ( x )，使得对于任意实数， a,b(a b)都有 b P a X b f (x) dx , a 则称X 为连续型随机变量；称 f (x)为X 的概率密度函数，简称概率密度或密度. 由定义可知，分布密度 f (x)具有如下基本性质 (1) . f (x) 0 ( x )； (2) . f(x)dx P( X ) 这两条性质的几何意义是：概率分布密度曲线不在 x 轴下方，且该曲线与 x 轴所围的 图形面积为1。性质(1)、(2)可以作为判定一个函数是否可以作为一个连续型随机变量 的分布密度的条件。 对于连续型随机变量 X 可以证明，它在某一点 a 处取值的概率为零，即 对于任意实数a ，有P(X a) 0. 即研究X 在某一点处取值的概率是没有什么实际意义的。从而可知，研究 X 在某 区间上取值的概率时，该区间含不含端点，不影响概率值。即 其中为正常数.试确定常数A . 【例1】 (3 ) ?对于任意实数， a, b (a b)都有 P a X b P a X b P a P a X b b a f (x) dx 设X 是连续型随机变量，已知 X 的概率密度为 u 常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无 穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率 ()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布 [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。 [2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即： {}{} {}{} ()() ()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx <<=≤≤=<≤=≤<=-=? 即：{}{}()P X b P X b F x <=≤= (4) 常用的离散型随机变量的分布函数： [1] 0-1分布： 如果离散型随机变量X 1{}k k P X k p q -== （ K=0、1） ()01p ≤≤ 称X 服从参数为p 的0-1分布。 [2] 二项分布： 如果离散型随机变量X 的概率分布为： {}k k n k n P X k C p q -== ()01k n =、 …… ()01p ≤≤ ()1q p =-连续型随机变量及其分布(精)
连续型随机变量
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常用离散型和连续型随机变量