对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分
曲面的侧
?曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
莫比乌斯带曲面分上侧和
下侧
曲面分内侧和外侧
曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)
其方向用法向量指向方向余弦
cos α
cos β
cos γ
> 0 为前侧< 0 为后侧
封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧
> 0 为上侧< 0 为下侧
外侧内侧
侧的规定
?指定了侧的曲面叫有向曲面
表示:
O
x
y
z
()
,,1x y n z z =--()
,z z x y =()
,,1x y n z z =-O
x
y
z
()
,z z x y =上侧曲面
下侧曲面
若曲面为则曲面定向可取上侧或下侧,
():,,z z x y ∑=当此曲面取上侧时, 法向量为()
,,1;
x y n z z =--当此曲面取下侧时, 法向量为(),,1;
x
y
n z z =-
右侧曲面
左侧曲面
若曲面为则曲面定向可取右侧或左侧,():,,y y x z ∑=当此曲面取右侧时, 法向量为当此曲面取左侧时, 法向量为(),1,;x z n y y =--(),1,;
x z n y y =-O
x
y
z
()
,1,x z n y y =--()
,y y x z =O
x
y
z
()
,1,x z n y y =-()
,y y x z =
前侧曲面后侧曲面
若曲面为则曲面定向可取前侧或后侧,():,,x z y z ∑=当此曲面取前侧时, 法向量为当此曲面取后侧时, 法向量为
()1,,;
y z n x x =--()1,,;
y
z
n x x =-O
x
y
z
()
1,,y z n x x =--()
,x x y z =O
x
y
z
()
1,,y z n x x =-()
,x x y z =
设∑是有向曲面. 在∑上取一小块曲面S ?,
把S ?投影到xOy 面上得一投影区域, 面积记为()xy σ?
S ?在xOy 面上的投影()xy S ?为
??
?
??≡?=?0cos 00cos )(0cos )()(γγσγσxy xy xy S
流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v x y z P x y z Q x y z R x y z
=给出, (,,)((,,),(,,),(,,))
∑是速度场中的一片有向曲面,
函数(,,),(,,),(,,)
P x y z Q x y z R x y z都在∑上连续,
求在单位时间内流向∑指定侧流体的质量,即流量Φ.
当()
π
,2v n θ=<时,
||cos A v Av n θ?Φ=?
v n h
θ
当()π
,2v n θ==时, 0Av n Φ=?=
当()
π
,2
v n θ=>时, 0Av n Φ=?<
(,,)i i i i S ξηζ?∈?
n
v
i
S ?∑
(,,)(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i i i i i v v P i Q j R k
ξηζξηζξηζξηζ==++(,,)cos cos cos i i i i i i i n i j k ξηζαβγ=++ 1n
i i i i v n S =Φ≈??∑
i i i n
i S ??≈=∑n v 1
Φ
i
i i i i i i i i i i i i n
i S R Q P ?++==∑]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1
γζηξβζηξαζηξ()()()cos ,cos ,cos i i i i i i i i i yz xz xy
S S S S S S αβγ??≈???≈???≈?]
))(,,())(,,())(,,([1
xy i i i i zx i i i i yz i i i i n
i S R S Q S P ?+?+?≈Φ=∑ζηξζηξζηξ
对坐标的曲面积分的概念和性质
设∑为光滑的有向曲面, 函数(,,)R x y z 在∑上有界.
把∑任意分成n 块小曲面i S ?(i S ?也代表第i 小块曲面面积).
在xOy 面上的投影为()i xy S ?， (,,)i i i ξ
ηζ是i S ?上任意一点. 定义 如果当各小块曲面的直径的最大值0λ→时,
xy i i i i n
i S R ))(,,(lim 1
0?=→∑ζηξλ 总存在,
定义 称此极限为函数(,,)R x y z 在有向曲面∑上对坐标
,x y 的曲面积分: 记作 (,,)d d R x y z x y ∑
??
01
(,,)d d lim (,,)()n
i
i
i
i xy
i R x y z x y R S λ
ξηζ→=∑
=?∑??
其中(,,)R x y z 叫做被积函数,∑叫做积分曲面.
定义 类似的有01
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i yz
i P x y z y z P S λξηζ→=∑
=?∑??
01
(,,)d d lim (,,)()n
i i i i zx i Q x y z z x Q S λξηζ→=∑
=?∑??
以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.
为P 在曲面∑上对坐标,y z 的曲面积分
为Q 在曲面∑上对坐标,z x 的曲面积分
对坐标的曲面积分的简记形式
(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
∑
∑
++??????
(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
=
++??
对坐标的曲面积分的物理意义
(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑
Φ=++??
对坐标的曲面积分的侧的性质
设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的曲面, 则
d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y -∑
∑
++=-++????
对坐标的曲面积分的计算法
曲线积分与曲面积分总结
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分 ㈠本课的基本要求 了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法 ㈡本课的重点、难点 对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．对坐标的曲面积分的概念与性质 这里假定曲面是光滑的。 通常我们遇到的曲面都是双侧的。例如由方程),(y x z z =表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z 轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。 在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。例如，对于曲面),(y x z z =，如果取它的法向量n 的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。 设∑是有向曲面。在∑上取一小块曲面s ?，把s ?投影到xoy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy )(σ?。假定s ?上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦γcos 有相同的符号（即γcos 都是正的或都是负的）。我们规定s ?在xoy 面上的投影xy s )(?为 ? ?? ??≡?=?0 cos ,00cos ,)(0 cos ,)()(γγσγσxy xy xy s 其中0cos ≡γ也就是0)(=?xy σ的情形。s ?在xoy 面上的投影xy s )(?实际就是s ?在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。类似地可以定义s ?在yoz 面及zox 面的投影 yz s )(?及zx s )(?。 1．引例： 流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质 量，即流量Φ。 如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体在这闭区域上各点处的流速为（常向量）v ，又设n 为该平面的单位法向量（如图a ），那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A 、斜高为v 的斜柱体（如图b ）。
(整理)15对坐标的曲面积分.
§10.5 对坐标的曲面积分 一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域 假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。 ∑是有向曲面，在∑上取一小块曲面S ?，设γcos 是S ?的法向量与z 轴正向的夹角γ的余弦，y x )(σ?是S ?在xoy 面投影区域的面积值。我们规定：S ?在xoy 面上的投影y x S )(?为 ?? ? ??≡γ<γσ?->γσ?=?0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(y x y x y x S 其中0cos ≡γ也就是0)(=σ?y x 的情形。
简言之：S ?在xoy 面上的投影y x S )(?，实际就是S ?在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：S S y x ??γ=?cos )(。 类似地可以定义S ?在yoz 面及zox 面上的投影z y S )(?及x z S )(?。 二、流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由 k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++= 给出，∑是速度场中的一片有向曲面，函数R Q P ,,均在∑上连续，求单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。 先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体 在该闭区域上各点的流速为（常向量）v ，设n 为该平面的单位法向量。 显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为A ,斜高为v 的斜柱体。