分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．

2. 会列出分式方程解简单的应用问题．

【要点梳理】

【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】

要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数

的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方

程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方

程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中

没有错误的前提下进行的.

要点四、分式方程的应用

分式方程的应用主要就是列方程解应用题.

列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；

（2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；

（4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根；

（6）写出答案.

【典型例题】

类型一、判别分式方程

1、（2016春?闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）

A ．21x

x -= B 1223

x -=-+

C ．22112x x x x +-=+

D 2112

x x +=- 【答案】B ．

【解析】解：A 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

B 、该方程属于无理方程，故本选项正确；

C 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

D 、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

故选B ．

【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．

类型二、解复杂分式方程的技巧

2、解方程：1310414351

x x x x -=-----． 【答案与解析】

解：方程的左右两边分别通分， 得3131(4)(3)(5)(1)

x x x x x x ++=----， ∴

31310(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++-=----， ∴ 11(31)0(4)(3)(5)(1)x x x x x ??+-=??----??

， ∴ 310x +=，或

110(4)(3)(5)(1)x x x x -=----， 由310x +=，解得13x =-， 由110(4)(3)(5)(1)

x x x x -=----，解得7x =． 经检验：1

3

x =-，7x =是原方程的根.

【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)x x x x ----，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．

举一反三： 【变式】解方程

11114756x x x x +=+++++． 【答案】 解：移项得11114567

x x x x -=-++++， 两边同时通分得

(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)x x x x x x x x +-++-+=++++， 即11(4)(5)(6)(7)

x x x x =++++， 因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．

所以(4)(5)(6)(7)x x x x ++=++，

229201342x x x x ++=++，

2292013420x x x x ++---=，

4220x --=，

∴ 112

x =-． 检验：当112

x =-时，(4)(5)(6)(7)0x x x x ++++≠． ∴ 112

x =-是原方程的根． 类型三、分式方程的增根

【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】

3、（1）若分式方程

223242mx x x x +=--+有增根，求m 值； （2）若分式方程2221151k k x x x x x

---=---有增根1x =-，求k 的值． 【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把

2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．

（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x =-代入解出k 的值.

【答案与解析】

解：（1）方程两边同乘(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x mx x ++=-．

∴ (1)10m x -=-．

∴ 101x m

=

-． 由题意知增根为2x =或2x =-，

∴ 1021m =-或1021m

=--． ∴ 4m =-或6m =． （2）方程两边同乘(1)(1)x x x +-，得(1)(1)(5)(1)k x x k x --+=-+．

∴ 34x k =-．

∴ 43

k x -=

． ∵ 增根为1x =-，

∴ 413

k -=-． ∴ 1k =． 【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．

举一反三：

【变式】（2015?泰州校级一模）是否存在实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．

【答案】 解：根据题意得：﹣=1+， 去分母得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4+4x+8，

移项合并得：8x=﹣16，

解得：x=﹣2，

经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，

所以不存在这样的实数x ，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．

类型四、分式方程的应用

【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】

4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工

程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．

(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?

(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米

为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．

【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围.

【答案与解析】

解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设()20x -米．

根据题意，得

35025020

x x =-．解得70x =． 经检验，70x =是原分式方程的解且符合题意． 故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．

(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队()1000y -米． 由题意，得10,70100010,50

y y ?≤???-?≤?? 解得500≤y ≤700．

方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．

方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．

方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．

所以分配方案有3种．

【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力. 举一反三：

【变式】一慢车和一快车同时从A 地到B 地，A ，B 两地相距276公里，慢车的速度是快车

速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车，慢车的速度.

【答案】

解：设快车速度为x /km h ，则慢车速度为

23x /km h 依题意，得276276223

x x =-， 去分母，得276×2＝276×3－4x ，所以69x =，

经检验知69x =是原方程的解，所以

2463

x =， 答：慢车、快车的速度分别为46 /km h 、69/km h ．

八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc

【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3

【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；

【精品】分式方程的几种特殊解法

【关键字】精品 分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式，则可以通过在方程两边都加上分式，就将原方程化简成，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上，则可得： 去分母，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。 例2：解方程：。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得： 去分母并化简得：，即 解得： 经检验，是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原

方程化简后再求解。 解：由等比性质可得：。 化简得： 经检验，是原分式方程的解。 四、分组化简法。 例4、解方程：。 分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。 解：原方程可化为： 分别通分并化简，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 五、倒数法。 例5、解方程：。 分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。 解：原方程两边取倒数，得： 移项化简，得： 方程两边取倒数，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 六、列项变形法。 例6、解方程：。 分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。。

分式方程解法的标准

分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。 重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量 关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培 养数学的应用意识。 二、学习与应用 （一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程． 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解． （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5； （2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含 有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是 方程。 知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （2）解这个 方程。 （3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程， 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542

特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法 解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程， 但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加 大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法, 会简化解题过程。 一 ?比例法 x 1 a b 例1.解方程 (b 0) x 1 a b A D 分式：观察方程，形如： 的形式，可根据比例"两外项之积等于两内项之积” B C 而直接求解。 解：原方程化为 (x 1)(a b) (a b)(x 1) 2a a x b 2 3x 3 2x 3x 1 2x 2 解：原方程化为 (2 3x)(2x 2) (3 2x)(3x 整理得13x 7， 7 x 13 经检验x —是原方程的根。 13 二.换元法 y 3 4y 8 例3.解方程 y 2 y 3 分析：本题若移项，形如— D ，如果用比例法则去分母后方程变为 B C 2 3y 24y 7 0，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现 8 4 匚2，其中匚2与丄虫互为倒数关系，可利用换元法简便求解。 y 3 y 3 y 3 y 2 解：设'一3 A ，则原方程变形为 y 2 整理得2bx b 0， 例2.解方程: 1)

4 A 0 A 整理得A 2 4 A 2 y 3 当A 2时， 2，解得y i 7 ; y 2 当A 2时，乂卫 2，解得y y 3 3 1 、 经检验，y 1 7, y 2 都是原方程的解。 3 例4.解方程组 3 2 5 (1) x y x y 1 4 4 ⑵ y x x y 分析：方程(1),( 2)中都含有 --------------- x y 1 i 设 a , b x y x y 则方程组变形为 3b 2a 5 b 4a 4 解这个二元一次方程组， 1 1 求出a 、b 的值，代入 禾口 中，即可解出x , y 的值。 x y x y 三.倒数法 关系，可有下面解法。 解: x - 2，或x 1 4 4 因此可运用换元法, 例5.已知：x - x 分析：已知条件中, 1 ~2 x , 1 —互为倒数2- 2 21，求 x 2 2 1 ......... x , x 2 -，其中 2 2, 1 —互为倒数关系，利用此 2 1 ~~2 x 例6. 解方程: 2x 3x 2 17 分析: 3x 2 方程的左边两项为倒数之和, 2x 1 4 因此可用倒数法简化求解,

分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=

当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。

分式方程的解法及应用(提高)

分式方程的解法及应用（提高） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题． 学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为 ，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含 有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有 未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

分式方程的特殊解法

分式方程的特殊解法 分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法： 例1、 解方程 3 2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。 略解：方程两边分别通分，相减得 ) 3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2 51= x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2 51= x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法： 例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解 略解：原方程可变形为 4 11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得 )4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2 7- =x 当072≠+x 时，方程无解 经检验2 7- =x 是原方程的解 练习：② 6 5327621+++++=+++++x x x x x x x x 解：29-=x 三、 巧添常数 例3、解方程 33224411+-++-=+-++-x x x x x x x x 解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天． )133()122()144()111(++-+++-=++-+++-x x x x x x x x ，即：3 2224212+++=+++x x x x x x x x

分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三：

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．

用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用 目标认知 学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一 次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未 知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程； 重点： 分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． 难点： 检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 知识要点梳理

要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程和 都是分式方程，而关于

的方程和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。

分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：2017 2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式 2017 201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：11 2=+x 去分母，得：12+=x 解得：1=x 经检验，1=x 是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。

例2：解方程：7 81222++=++x x x x 。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得：7 7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7 1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （ 解得：23-==x x 或 经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：1 3242344++=++x x x x 。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。 解：由等比性质可得： 1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。 ∴ 13242++= x x 化简得： 02=x ∴ 0=x 经检验，0=x 是原分式方程的解。

分式方程解题技巧(提高)

分式方程解题技巧 例一， 一般结构的分式方程 解方程：x x x x x ++-=-2227115 解：（分解因式以便确定最简公分母）原方程变形为： ) 1(7)1)(1(1)1(5++-+=-x x x x x x )1(7)1(5-+=+x x x 4=x 检验：把4=x 代入0)1)(1(≠-+x x x 所以4=x 是原方程的解。 例1：解方程：) 4)(1(52)3)(2(1)2)(1(1+++=+++++x x x x x x x 分析：一般解法，最简公分母为)4)(3)(2)(1(++++x x x x ，此题直接去分母较为复杂。经观察发现，左边分母两个因式的差等与分子，右边分母两个因式的和等与分子。故考虑将分式拆开。 解：原方程变形为： 4 11131212111+++=+-+++-+x x x x x x 4 132+=+-x x 2 7-=x 经检验27- =x 是原方程的根。 例2：解方程：

20 7245361121330163223223+++++=+++++x x x x x x x x x x 分析：经观察发现直接去分母计算量非常可观，而且分母用公式法或十字相乘法都不能分解成两个因式的积。但是，同时也发现分子的最高次项的次数都比分母的最高次项高。我们知道假分数可以转化为带分数，故考虑将假分式变为真分式。 解：原方程变形为： 20 72522134222+++++=+++++x x x x x x x x 20 725213422+++=+++x x x x x x 解得：5=x 经检验5=x 是原方程的根。 例3：解方程：02)1(2122=++-+x x x x 分析：此题借用关系式2)1(122 2-+=+x x x x 较为简单。 解：原方程变形为：0)1 (2)1 (2=+-+x x x x 设x x y 1+= 则022=-y y 0=y 或2 当0=y 时，01=+x x ，则方程无解。 当2=y 时，21=+ x x ，即0122=+-x x ，则1=x 经检验：1=x 是原方程的解。 例4：解方程：5 26423234=+-+-+x x x x 分析：根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单， 若c c x x 11+=+（c 为常数），则X=C 或c 1。

(完整版)分式方程的解法及应用(基础)

分式方程及应用 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x -=---． ． 类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？ 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________． （二）分式方程的特殊解法 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+= x x 二、化归法 例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法 例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法 例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 ． 类型四、分式方程的应用 例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲 班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两 班每小时各种多少棵树? 举一反三：

分式及分式方程知识点总结

分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地,用A 、B 表示两个整式，A ÷Ｂ就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B A 就叫做分式。其中,Ａ叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 (1）分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (１)去分母,方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 (3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根，应该舍去；若不等于零,就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】(２0１5·黑龙江绥化）若代数式6 265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=___＿_____. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有ｘ2-5x ＋6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式x 1x 2 +-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- ２.（2０15·湖南常德)若分式211 x x -+的值为０，则x ＝ 考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1 ---=（ ） Ａ、0 B 、1 C 、x Ｄ、 1 x x - 【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果. 【举一反三】 1．化简22 a b ab b a --结果正确的是【 】 2.若241()w 1a 42a +?=--，则w ＝（ ）

分式方程的解法

分式方程的解法 多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。 方法1：计算法 例 解方程 32 223=-++x x x 解：移项，得 ()() ()()是原方程的根时， 检验：当计算，得 4,022440 164022164-032 223=≠-+===+-=-++=--++x x x x x x x x x x x x 原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。 方法2：分式相等法 例 解方程 32 223=-++x x x 解：原方程化为 ()()()()()()()() ()()()() 4 16 412344322322232222322222322=-=--=+--+=++--+-+=-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 经检验，x=4是原方程的解。 原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。 方法3：等式性质法 例 解方程 32 223=-++x x x 解：方程两边同乘()()22-+x x 得 ()()()() 4 16 412 3443223222322=-=--=+--+=++-x x x x x x x x x x 经检验，x=4是原方程的解。 原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。

方法4：比例式法 例 解方程 41 5+=x x 解：两外项的乘积等于两內项的乘积 () 5 55 54154-==-+=+=x x x x x x 经检验，x=-5是原方程的解。

分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】

分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.

分式方程的特殊解法

分式方程的特殊解法 四川省攀枝花市第二中学 617000 王琨 分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法： 例1、 解方程 3 2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。 略解：方程两边分别通分，相减得 ) 3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2 51= x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2 51= x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法： 例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解 略解：原方程可变形为 4 11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得 )4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2 7- =x 当072≠+x 时，方程无解 经检验27-=x 是原方程的解 三、 韦达定理法： 例3、解方程71 )1(31)1(222=+++++x x x x 分析：该方程的常规解法是换元法，但通过进一步观察会发现含有未知数的两个代数式的和或积都等于常数，故联想韦达定理求解。 略解：设 1)1(22++=x x u 1 )1(32++=x x v 则易知u ，v 是方程0672=+-y y 的两个解，

解这个方程得1=u 6=v 或1 6==v u ???????=++=++∴ (2) 61 )1(3)1( 11)1(2 22x x x x 或???????=++=++(4) 11)13((3) 61)1(222x x x x 由(2) 1)(得 方程无解 由(4) (3)得 2 1732 1±=x 经检验，它们满足原方程。故原方程的解是 2173 1+=x 2 1732-=x 四、 配方法： 例4、解方程 )32(49422x x x x -=+ 分析：观察发现方程左边恰好是 2x 与x 3的平方和，而右边又含有式子x x 32-，故可通过配方的方法把左边写成2x 与x 3差的完全平方的形式，进而把原方程看作是以x x 32-为未知数的一元二次方程去求解。 略解：原方程可变形为 03)32(4)32(2=+---x x x x 解之得132=-x x 或 332=-x x 当132=-x x 时，解之得712 1±=x 当332=-x x 时，解之得1534 3±=x 经检验，它们都满足原方程。故原方程的解是 71 1+=x 712-=x 1533+=x 1534-=x 五、 运用方程c b c x b x +=+ 的解求解 方程c b c x b x +=+的解不难通过去分母法求得为c x =1，c b x =2运用这一结论可以使具备此方程特征的这类方程的解法简捷。 例5、解方程 25991=+++ x x x