北大计算机系考研_历年高等数学真题附答案
北大计算机考研 高等数学真题解答
2008年（5题60分）
1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)
(1
)()(1lim
a f a f a x f a
x '---→。
2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。
3 （12分）求不定积分?
--dx x x x
2
)
ln (ln 1。 4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf x
x ?
-→0
4
220)
(lim 。 5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1
(n
f 发散，无穷级
数)1
()1(n
f n -收敛。
2007年（5题60分）
1 （12分）求不定积分?+dx x e x 22)1(tan 。
解：=+?dx x e x 22)1(tan +?xdx e x 22sec =?xdx e x tan 22
+?x d e x tan 2-x e x tan 2=?
x d e x tan 2C x e x +tan 2。
2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1
0=+=?f x x x f dt tx f 。
解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；
?
=1
)(dt tx f ?=x
du u f x 0
)(1?
+x x x f sin )(?
=x
du u f 0
)(?+x x x xf sin )(2
?++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2?--='x x x x f cos sin 2)(
?+-=C x x x x f sin cos )(?=+=01)0(C f ?-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。
3 （12分）设),2,1(,2
,01111 =+==<<++n y x y y x x y x n
n n n n n ，。 证明：n n x ∞
→lim 和n n y lim ∞
→都存在并相等。
解：?>>011x y ?≠>>n n n n y x y x ，0,0?>+n n n n y x y x 2
?=>++),1,0(11 n x y n n ),2,1( =>n x y n n ； ?=>),2,1( n x y n n ?<-=
-+02
1n
n n n y x y y ?<+n n y y 1}{n y 单调递减； ?=>),2,1( n x y n n ?=>=+n n n n n n x x x y x x 1}{n x 单调递增；
由以上两结论可知：
?>>>1x x y n n }{n y 有下界，于是n n y lim ∞
→存在；
?<<<1y y x n n }{n x 有上界，于是n n x ∞
→lim 存在。
令B y A x n x n x ==∞
→∞
→lim ,lim ，由2
11n
n n n n n y x y y x x +=
=++，有： 2
B
A B AB A +=
=，解得1==B A ，所以1lim lim ==∞→∞→n x n x y x 。
4 （12分）求和n x n x x x S 23222n 32++++= 。
解：（1） 若1=x ，=n S =++++222321n 6/)12)(1(++n n n ； （2） 若1≠x ，=x S n ?++++-1
2
2
2
2
321n x
n x x ==?x
dx x S T 0
n n )(
?++++n nx x x x 3232=x T n ?++++-12321n nx x x
=?
dx x T x
n )(=++++n x x x x 32?--x x x n 1)1(=n T ='???
? ??--x x x x n
1)
1( ?-++-+21)1(]
)1(1[x nx x n x n n =n S ='
???
? ??-++-+21)1(])1(1[x nx x n x x n n 3
3
222122)1()122()1(x x n x n n x n x x n n n ---+++-++++。
5 （12分）求极限n
n n n n n
)12()1(1lim
-+∞→ 。 =-+∞→n n n n n n )12()1(1lim
=?
??
???-+∞→n n n n n n )12()1(1lim ln ex p =?
?????
-++∞→)]11()11(ln[1lim ex p n n n n n n n
=????
??
-++++++∞→)]11ln()11ln()01[ln(1lim ex p n n n n n
=+?})1ln(ex p{10
dx x []=-++?})1ln()1(ex p{1
1
0dx x x =-12ln 2e e /4。
2006年（5题60分）
1 （12分）计算积分dx e x x ?-2
32
。
解：=?
-dx e x x
2
32
=?-2202221dx e x x =-?-202221x de x =+???
???-?--2202
2222121x d e e x x x
[]
=
-
---20
22
2
1x e e )31(2
1
2--e 。
2 （12分）求)
)(sin (tan )
1cos(1lim 302
x x e x x --→。
解：0→x 时，x x x x ~sin ~tan ，；0→x 时，02→x ，2~12
x e x -；
0→x 时，012
→-x e ，2)1(2
1~)1cos(12
2
---x x e e ；所以：
=--→))(sin (tan )1cos(1lim 302
x x e x
x =?-→x x e x x 320)1(21lim 22
1)(21lim 4220=→x x x 。
3 （12分）设10< x 211-<+-。 证：10< ?<+--x e x x 211?->+-x e x x 1)1(20122>-++--x e xe x x 令1)(22-++=--x e xe x f x x ，有0)0(=f ；则12)(22+--='--x x e xe x f ，有0)0(='f ； )10(,04)(2<<>=''-x xe x f x ，所以)1,0()(在x f '上单调递增，又0)0(='f ， 所以)10(,0)(<<>'x x f ，可知)1,0()(在x f 上单调递增，又0)0(=f ， 所以)10(,0)(<<>x x f ，即)10(112<<<+--x e x x x ，。 4 （12分）求幂级数∑ ∞ =+1 2312n n x n 的收敛域与和函数。 解：求收敛半径：=++++∞→3)12(3)1)1(2(lim 2)1(2n n n x n x n 2x ，当12 2 >x 时级数发散，所以收敛半径1=R 。 当1±=x 时，=+∑∞ =1 2312n n x n ∑∞ =+1 31 2n n 显然发散，所以收敛域)1,1(-=I 。 求和函数：=+∑∞=1 2312n n x n =+∑∑∞=∞=12123132n n n n x nx )10(,3132211<=<+∑∑∞=∞=x t t nt n n n n ； = ∑∞ =t nt n n 1 ∑∞ =-1 1 n n nt = ?? ∑∞ =t n n dt t nt 1 = ?∑∞ =-t n n dt nt 01 1 = ∑?∞ =-1 1 n t n dt nt = ∑∞ =1 n n t )10(,1<<-t t t ； 所以：=∑∞ =1 n n nt ='-?)1(t t t )10(,)1(2 <<-t t t ； =+∑∞ =1 2312n n x n =-+-)1(3)1(322 t t t t )1(,)1(3)3(2222<--x x x x 。 5 （12分）设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f 。 求x x dt du u f t x t x sin ))((lim 3 ? ?→。 解：令??-==t t du u f du u f t v 0 0)()()()()(t f t v -='?； =??→x x dt du u f t x t x sin ))((lim 30 =?→x x dt t tv x x sin )(lim 30 =+→x x x x x xv x cos sin 3)(lim 320=+→x x x x x v x cos sin 3) (lim 20 =-+-→x x x x x x f x sin cos 5sin 3)(lim 20=--'-→x x x x x x f x cos sin 7cos 8)(lim 202 1 0cos 8)0(- ='-f 2005年（7题70分） 1 （8分）求n n n ∞ →lim 。 解：=∞ →n n n lim =??????∞→n n n ln 1lim ex p =? ?? ???+∞→x x x ln 1lim ex p =??????+∞→x x 1lim ex p 10=e 2 （10分）设22ln arctan y x x y +=，求y y ''',。 解：等式22ln arctan y x x y +=两边对x 求导得： )(111)(2 2 2 2 2 22 y y x y x y x x y x y y x '+?+? +=+-'， 化简得y x y x y -+= '（)(,x y y x y =≠是22ln arctan y x x y +=确定的隐函数）； 再次对x 求导得2 2) (22)()1)(())(1(y x y y x y x y y x y x y y --'=-'-+--'+= ''，将y x y x y -+='代入得：3 22) ()(2y x y x y -+=''（)(,x y y x y =≠是2 2ln arctan y x x y +=确定的隐函数）。 3 （8分×2）求下列不定积分： （1） dx x x ? +2 31； （2） ?xdx ln cos 。 解：（1） =+?dx x x 2 3 1=++?)1()1(2122122x d x x =+?23 22)1(3 1 x d x =++-+?)1()1(3 1)1(31223 223 22dx x x x C x x x ++-+25 223 22)1(152 )1(31。 （2） =?xdx ln cos =??+?dx x x x x x 1 ln sin ln cos =??-+?dx x x x x x x x 1 ln cos ln sin ln cos ?-+xdx x x x x ln cos ln sin ln cos C x x x xdx ++=??)ln sin ln cos (2 1 ln cos 4 （8分）求dx x dx d n e ?-1 2)1 cos(ln π ，其中n 为自然数。 解：令]1[,1 ln 2，πn e x x t -∈=， 则dt e dx e x t t ---==,，,22π时πn t e x n ==-01==t x 时； =? -dx x dx d n e 1 2)1cos(ln π =----?dt e t dt e d t n t )(cos 02π=? π n t d 20 cos =+--+-? ? ??---π π π π πππn n n n t d t d t d t d 2)12()12()22(20 cos cos cos cos [][]n t n t n 4cos cos 20=?+?-π ππ 。 5 （8分）若2 0π < ≤<αβ，试证：αβαβαββα22cos tan tan cos －－≤-≤。 证：βα=时， 0cos tan tan cos 2 2=-=-=-α β αβαββα。 βα≠时，由拉格朗日中值定理易知：2 0,π <<< ε εεβαβα22cos 1 sec )(n ta tan tan =='=--； 显然)2,0(cos 1sec 2 2π 在x x = 是单调递增函数，故αεβ222cos 1cos 1cos 1≤≤， 即αβαβαβ22cos 1tan tan cos 1≤--≤，所以有α β αβαββα2 2cos tan tan cos -≤-≤-。 6 （10分）求)1(,1 2<∑∞ =x x n n n 。 解：令)1(,)(1 2<=∑∞ =x x n x f n n 。则 ++++=n x n x x x f 2221221)( ++++=?-1 2221)(n x n x x x f ++++=??n x nx x x dx x x f 202)( ++++=?-?1021)(n x nx x x dx x x f = ++++=??? n x x x x x dx x dx x x f 200) ()1(,1<-x x x 20)1()1()(x x x x x dx x x f x -='-?=??)1(,) 1()1()1()(32<-+=' ???? ??-?=?x x x x x x x x f 7 （10分）设曲线0)(≥=x x f y 是上的非负连续函数，)(t V 表示由 0y )0(,0),(=>===和t t x x x f y 所围成的图形绕直线t x =旋转而成的旋转体的 体积。试证明：)(2) (2 2t f dt t V d π=。 证：取x 轴为积分坐标，x 的变化围为),0(t 。x 轴上),0(),(t dx x x ?+对应的一小段旋转柱体可近似展开成矩形薄板，宽为x 点绕直线t x =旋转得到的圆周长 )(2x t -π，高为)(x f ，厚为dx ，故),0(,)()(2t x dx x f x t dV ∈-=π。 所以???-=-=t t t dx x xf dx x f t dx x f x t t V 0 )(2)(2)()(2)(πππ。 于是??=?-?+=t t dx x f t tf t f t dx x f dt t dV 00)(2)(2)(2)(2)(ππππ，)(2)(22t f dt t V d π=。 2004年（6题50分） 1 （6分）求)1 sin 1( lim 0x x x -→。 解：=-→)1sin 1( lim 0x x x =-→)sin sin (lim 0x x x x x =+-→)cos sin cos 1(lim 0x x x x x =-+→)sin cos cos sin (lim 0x x x x x x 000110 =?-+。 2 （8分）设???<<=其他,01 0,1)(x x f ，???≤>=-0 ,00,)(x x e x g x ， 求? +∞ ∞ -+∞<<-∞-=y dx y x g x f y h ,)()()(。 解：0≤y 时：= )(y h + ?? ∞ -y dx 00+?? --0 )(0y y x dx e + ??--1 0)(1dx e y x =?? +∞ --1 )(0dx e y x ? =?-1 dx e e x y [] =-?-10 x y e e 1--y y e e ； 10< )(y h + ?? ∞ -0 00dx +??y dx 0 01+ ??--1 ) (1y y x dx e =?? +∞ --1 )(0dx e y x ?=?-1y x y dx e e [] =-?-1 y x y e e 11--y e ； 1≥y 时：= )(y h + ?? ∞ -0 00dx + ??1 01dx + ?? y dx 1 0000)(=?? +∞ --y y x dx e 。 3 （8分）求?1 0ln xdx x n n ，其中n 是非负整数，先建立递推公式，然后求定积分 的值。 解：=),(m n I = ?xdx x m n ln -++x x n m n ln 111=+?-xdx x n m m n 1ln 1 -++x x n m n ln 1 11++-+x x n m m n 1 12ln )1(?+-?-xdx x n m m m n 22ln )1()1( = ),(m n I -++x x n m n ln 111=-+)1,(1 m n I n m -++x x n m n ln 1 11++-+x x n m m n 1 12ln )1(==-+- )2,()1()1(2 m n I n m m ∑=-++-+-m i i m i n i x i m m n x 0 1 1ln )!(!)1()1( =?1 ln xdx x n n =??????-+-∑=-++1 011ln )!(!)1()1(n i i n i n i x i n n n x -+-+1 )1(! )1(n n n n =-+∑=+--→+n i n i n x i x x i n n n 0)1(01 ln lim )!(!) 1(1 - +-+1 )1(! )1(n n n n =+----?-+∑=+-→-+n i n x i n i x n i n i n i n n n 0 )1(011 lim )]1([1)1)(()!(!)1(1 1)1(!)1(++-n n n n 4 （8分）求n n n n nC C C +++ 212的和。 解：=+++n n n n nC C C 21 2=∑=n i i n iC 1=?∑=--n i i n C i n i 111=∑=--n i i n C n 1 111 2 -n n （= k n C =?+--k k n n n 21)1()1(=-)!(!!k n k n =---)!()!1()!1(k n k n k n 1 1--k n C k n ） 5 （10分）设 ,2,1,1 2,111=+= =+n x x x x n n n 。 （1） 证明数列 ,,,,21n x x x 收敛。 证：时 ,2,1=n ，≥+1n x =?n n x x 122 2，时 ,3,2=n ，= -+n n x x 1=-21n n x x ≤-)2 1(1 2 n n x x =-)2)2(1(12n x ?0n n x x ≤+1，即数列 ,,,2n x x 单调递减有下界，所以收敛。在其中添加一项1x 得数列 ,,,,21n x x x ，收敛性不变，仍然收敛。 （2） 求极限n n x ∞ →lim 。 解：由（1）知数列}{n x 收敛，即极限n n x ∞ →lim 存在，令A x n n =∞ →lim ，由n n n x x x 1 21+= + 有n n n n n n x x x ∞ →∞ →+∞ →+ = lim 12 lim lim 1，即A A A 1 2+=，由（1）知0>A ，解得2=A 。所以= ∞ →n n x lim 2。 6 （10分）有半径为a 的半球形固定杯子，杯放一根长为)42(a l a l <<的均匀细棒（见图），假设棒与杯子之间没有摩擦力，求棒的平衡位置（重心最低的位置）。 解：设细棒与水平面夹角为)2/0(,πθθ≤≤；细棒重力 为kl G =，细棒与杯沿接触点的作用力为1F ，与杯壁接触点的作用力为2F ； 由作用力平衡得：θθcos sin 21G F F =+和θθsin cos 2G F =，解得θ2cos 1kl F =； 由作用于细棒与杯壁接触点处的力矩平衡得： ) 2/)cos 2(cos 2(cos )cos 2(cos cos cos 2cos 21θθθθθθθθa l a a l k a a k a F -+??-?+???=?将θ2cos 1kl F =代入上式并化简得：04cos cos 822=--al l al θθ； 解得：a a l l 16128cos 2 2++=θ。 更佳解：设细棒与水平面夹角为)2/0(,πθθ≤≤，细棒重心到水平面距离为)(θh ，则：=)(θh =--θθsin )2/cos 2(l a a 2 sin 2sin θ θl a a + -，原问题即为θ取何值时)(θh 最小；=')(θh =+ -2cos 2cos 2θ θl a 24cos cos 82a l a ---θθ，令0)(='θh ，解得：a a l l 16128cos 2 2++=θ。 2003年（3题22分） 1 （6分）设x du u e y y u =-?-0 ，求22dx y d 。 解：等式x du u e y y u =-? -0 两边对x 求导得：1='-'-y y e y y ，化简得y e y y y --='， 再次对x 求导得：=-'?+'--'= ---222)()()(y y y e y y e y y e y y dx y d =-'+---2)()1(y y e y y e y =-'+---2)()1(y y e y y e y 3 ) ()1(y y e y e y y ---+-。 2 （8分）设???≤>+=0,00),1ln()(x x x x f ，???≤>=0,00,1)(x x x g ， 求? +∞∞ -+∞<<-∞-=x du u x g u f x h ,)()()(。 解：当0>x 时，=?++?++?=???+∞ ∞ -x x du u du u du x h 0)1ln(1)1ln(10)(0 []=+-+?x x du u u u u 0011 )1ln()1ln()1ln(x x x x ++-+； 当0≤x 时，00)1ln(0010)(0 =?++?+?=???+∞ ∞ -du u du du x h x x 。 3 （8分）求∑∞ =++-01 22 )12()1(n n n n 。 解：令)1(,)12()1()(1 20 <+-=+∞ =∑x x n x f n n n ， 则= -='∑∞ =n n n x x f 20 )1()()1(,11 )(1)(12 22<+=----x x x x n )1(,arctan )(<=?x x x f ， =+-∑∞ =+0 1 22)12()1(n n n n 21 arctan )21(=f 。 2002年（3题20分） 1 （6分）计算)1 sin cos ( lim 20x x x x x -→。 解：=-→)1sin cos (lim 20x x x x x =-→x x x x x x sin sin cos lim 20=+--→x x x x x x x x x cos sin 2cos sin cos lim 20 =+-→x x x x x cos sin 2sin lim 0=-+-→x x x x x x sin cos cos 2cos lim 031 001121-=?-+?- 2 （7分）设)(x f 在]1,0[上连续且大于0。试证明：存在)1,0(∈a ，直线a x =将在区间]1,0[上的以)(x f y =为曲线边的曲边梯形分成两部分，使得左右两部分的面积之比为1:2且这样的a 是唯一的。 解：由题意，任意一条位于1,0==x x 之间的垂直线将曲边梯形分成的左右两部分的面积分别为：)10(,)(,)(1 ≤≤??x dt t f dt t f x x ； 令)10(,)(2)()(1 ≤≤-=??x dt t f dt t f x F x x ， 则0)(2)0(10 <-=?dt t f F ，0)()1(1 >=?dt t f F ，由零值定理知)(x F 在区间)1,0(至 少有一个零值；又)10(,0)(3)(≤≤>='x x f x F ，知)(x F 区间)1,0(单调递增，至多有一个零值；所以存在唯一的)1,0(∈a ，使得0)(=a F 即??=1 )(2)(a a dx x f dx x f ， 也即存在唯一的a x =使得左右两部分面积之比为1:2。 3 （7分）求级数∑∞ =1n n nx 的和及收敛半径。 解：求收敛半径：x nx x n u u n n n n n n =+=+∞→+∞→1 1)1(lim lim ，当1 求和函数：令∑∞ ==1 )(n n nx x f ，则∑∞ =-=1 1/)(n n nx x x f =??dx x x f ]/)([= ?∑∞ =-dx nx n n )(1 1 = ∑?∞ =-1 1 n n dx nx = ∑∞ =1 n n x )1(,1<-x x x =?∑∞ =1 n n nx =)(x f ='-?)1(x x x )1(,)1(2 <-x x x 。 2001年（3题22分） 1 （7分）设]1,0[)(在x f 上连续，且 1)(10 =?dx x f ，记?=1 )()(x dt t f x g ，求 ? 1 )()(dx x g x f 。 解：由????+==1 1 1 )()()()(x x dt t f dt t f dt t f dx x f 及已知条件有：1)()(0 =+?x g dt t f x 上式两边对x 求导得：0)()(='+x g x f )()(x g x f '-=?；所以有： = ? 1 )()(dx x g x f ='-? 1 ))()((dx x g x g =-?1 )()(x dg x g [] ?+-1 1 02)()()(x dg x g x g = ??1 0)()(x dg x g [] =102)(21x g 21 ]))(())([(21102112-=-??dt t f dt t f =??10)()(dx x g x f 2 1)()(10=-?x dg x g 。 2 （7分）求级数∑∞ =1 2n n x n 的和及收敛区间。 解：求收敛区间：1)1(lim lim 22 1=+==∞→+∞→n n a a n n n n ρ，所以收敛半径1=R ； 当1=x 时，级数成为∑∞ =12n n ，=∞→n n u lim 0lim 2≠∞=∞ →n n ，级数是发散的； 当1-=x 时，级数成为∑∞ =-1 2)1(n n n ，=∞ →n n u lim 2)1lim (n n n -∞ →不存在，级数是发散的； 所以收敛区间)1,0(=I ； 求和函数：∑∞ ==12 )(n n x n x f ，则∑∞ =-=1 12/)(n n x n x x f =??dx x x f ]/)([= ?∑∞ =-dx x n n n )(1 1 2= ∑?∞ =-1 1 2 n n dx x n ∑∞ =1 n n nx =??x dx x x f ]/)([∑∞ =-1 1 n n nx =???dx x dx x x f ]/)([= ?∑∞=-dx nx n n )(1 1 = ∑?∞ =-1 1 n n dx nx = ∑∞ =1 n n x )1(,1<-x x x =??dx x x f ]/)([='-?)1(x x x )1(,)1(2 <-x x x 。 =?∑∞ =12n n x n =)(x f ='-?))1(( 2x x x )1(,)1()1(3 <-+x x x x 。 3 （8分）设函数)()(x g x f 和在],[b a 上有二阶导数，且0)(≠''x g ， 0)()()()(====b g a g b f a f ，证明： （1） 在],[b a 0)(≠x g ；（2） 存在),(b a ∈ε，使 ) () ()()(εεεεg f g f ''''=。 证：（1） 反证法证明之。假设存在),(b a c ∈使得0)(=c g ，又0)()(==b g a g ，则：),(),,(21b c c c a c ∈∈?使得0)()(21='='c g c g ),(),(213b a c c c ?∈??使得0)(3=''c g ，这与已知条件0)(≠''x g 矛盾。 所以不存在),(b a c ∈使得0)(=c g 即在],[b a 0)(≠x g 。 （2） 令)),((),()()()()(b a x x g x f x g x f x h ∈'-'=，则)()()()()(x g x f x g x f x h ''-''=' 由0)()()()(====b g a g b f a f 有：0)()(==b h a h ),(b a ∈??ε使得0)()()()()(=''-''='εεεεεg f g f h ，又由题设及（1）知0)(≠εg ，0)(≠''εg ，所以 ) () ()()(εεεεg f g f ''''=。 2000年（3题22分） 1 （7分）设y xe y +=1，求22dx y d 。 解：y xe y +=1两边求导得：?'+='y xe e y y y ?-= 'y y xe e y 1 =-'++-'=''2)1()()1(y y y y y y xe y xe e e xe y e y =-+'22)1(y y y xe e y e 32)1()2(y y y xe xe e -- 由y xe y +=1得x y e y 1 -=代入上式得3 22)2()1)(3(y x y y y ---='' 2 （8分）在曲线)10(2≤≤=x x y 上求一点A ，使得曲线2x y =与过点A 的水平直线、y 轴及1=x 围成的区域面积最小。 解：设点A 坐标为),(2 x x ，则目标区域面积= )(x S +-? x dt t x 0 22)(=-?1 22)(x dt x t 313423+-x x ；=')(x S x x 242-；令0)(='x S ，解得01=x ，212=x ；31 )0(=S ，41)21(=S ，32)1(=S ；所以当点A 坐标为)4 1 ,21(时目标区域面积最小。 3 （7分）设),2,1(0,0 =>>n v u n n ，且当n 充分大时恒有 n n n n v v u u 1 1++≥。证明：若∑∞ =1 n n u 收敛，则∑∞ =1 n n v 收敛。 证： 0,0>>n n v u 当n 充分大时恒有≥+n n u u 1?+n n v v 1≤n v ≤--n n n u u v 11 ≤--n n n u u v 22n N N u u v ≤（N 是使得n n n n v v u u 1 1++≥成立的n 的最小值），又∑∞=1n n u 收敛，由比较审敛法知∑∞ =1 n n v 收敛。 环境工程专业考研院校排名 环境工程是21世纪重点发展的高新科技之一。本专业培养的学生具有扎实的环境工程理论知识、专业技术和工程设计能力，特别是在（高浓度）有机废水的生物化学处理、可持续发展的垃圾填埋处置及环境污染修复的生态工程等方面的理论和技术独具特色。 主干学科与主干课程 主干学科：环境科学与工程 主干课程：物理化学、工程流体力学、环境工程微生物学、环境生态学、环境工程原理、环境影响评价、水污染控制、固体废物处理与处置、大气污染控制主要实践性教学环节：测量实习、工程制图、计算机应用及上机实习、水力学实验、微生物实验、环境监测实验、水处理实验、空气污染控制实验等，一般安排40周左右。 相近专业： 环境工程安全工程灾害防治工程水质科学与技术给水排水工程地下水科学与工程风能与动力工程环境科学与工程城市规划辐射防护与环境工程 环境工程 B+等(44个)：南昌大学、华东理工大学、中山大学、吉林大学、河海大学、厦门大学、昆明理工大学、中国农业大学、武汉理工大学、大连海事大学、西安理工大学、江苏大学、安徽理工大学、中国矿业大学、江南大学、东北大学、兰州交通大学、西南交通大学、太原理工大学、南京理工大学、长安大学、广东工业大学、合肥工业大学、华东师范大学、华北电力大学、青岛理工大学、北京航空航天大学、北京建筑工程学院、郑州大学、南京农业大学、暨南大学、苏州科技学院、浙江工业大学、南京工业大学、广西大学、中南大学、兰州理工大学、北京交通大学、江苏工业学院、复旦大学、辽宁工程技术大学、天津工业大学、南京航空航天大学、东北师范大学 B等(43个)：华南农业大学、沈阳理工大学、长江大学、北京工商大学、贵州大学、兰州大学、大连大学、福州大学、武汉科技大学、重庆工商大学、河北科技大学、辽宁石油化工大学、西安交通大学、桂林工学院、江西理工大学、吉林农业大学、吉林建筑工程学院、中国石油大学、南京林业大学、陕西科技大学、中国人民大学、上海理工大学、沈阳农业大学、西南科技大学、哈尔滨工程大学、四川农业大学、内蒙古科技大学、西北大学、西北农林科技大学、湘潭大学、湖南农业大学、天津科技大学、东华理工大学、武汉工程大学、中北大学、济南大学、安徽工业大学、河南理工大学、华南热带农业大学、天津城市建设学院、华东交通大学、山东建筑大学、南昌航空工业学院 《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题 二 第一部分名校考研真题 第6章线性空间 一、选择题 1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研] A．B． C． 【答案】C查看答案 【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的． 2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等 【答案】B查看答案 【解析】比如在中选三个向量组 (I)：0 (Ⅱ) (Ⅲ)． 若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B． 二、填空题 1．若 则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研] 【答案】2；4．查看答案 【解析】在复数域上令；则是线性无关的． 则 此即证可由线性表出． 在实数域上，令 若，其中，则 此即在R上线性关． 可由线性表出，所以在实数域R上，有 三、分析计算题 1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求 之维数的一切可能值．[南京大学研] 解：取的一组基，再取的一组基则 ＝秩 2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求 （1）U＋W： （2）L∩W的维数与基底．[同济大学研] 解：（1）令 可得．所以 由于为的一个极大线性无关组，因此又可得 且，故为U＋W的一组基． （2）令 因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成： 再令，则 故ζ为U∩W的一组基． 3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令 （1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间； （2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组 求W的一个基．[华东师范大学研] 2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三） 一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01 [()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)设有下列命题： ①若2121 ()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ） T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） （A ）22 11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； （B ）221 1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； （C ）22 12()~()2n i i X n χ=-∑； （D ）221 ()~()2n i i X X n χ=-∑； (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1 ()2 P aX bY μ-<=则（ ） （A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11 ,22 a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 北大考博辅导：北京大学环境工程考博难度解析及经验分享 根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，在 2018-2019环境工程专业大学排名，其中排名第一的是同济大学，排名第二的是清华大学，排名第三的是南京大学。 作为北京大学实施国家“211工程”和“985工程”的重点学科，环境科学与工程学院的环境工程一级学科在历次全国学科评估中均名列第十。 下面是启道考博整理的关于北京大学环境工程考博相关内容。 一、专业介绍 环境工程专业学生主要学习普通化学、工程力学、测量学、工程制图、环境微生物学、生物化学、水力学、电工学、环境监测、环境工程学科的基本理论和基本知识，受到外语、计算机技术及绘图、污染物监测和分析、工程设计、管理及规划方面的基本训练，具有环境科学技术和给水排水工程领域的科学研究、工程设计和管理规划方面的基本能力。 北京大学环境科学与工程学院学院环境工程专业在博士招生方面，划分为6个研究方向： 083002 环境工程 研究方向：01. 水治理理论与技术；02. 水沙环境风险分析与控制；03. 环境系统分析理论与技术；04. 土壤与地下水污染控制与修复；05. 固废处置与资源化；06. 大气污染控制理论与技术 此专业实行申请考核制。 二、考试内容 北京大学环境工程专业博士研究生招生为资格审查加综合考核形式，由笔试+专业面试+英语口语构成。其中，综合考核内容为: 1、我院根据申请人的申请材料，进行素质审核。根据素质审核结果，择优确定进入考核的候选人； 2、考核采取以面试为主的方式进行差额复试，对学生的学科背景、专业素质、操作技能、外语水平、思维能力、创新能力、申请人分析、解决问题以及进行创新的综合能力等进行考察； 3、考核时间拟安排在3月下旬，届时会在学院网站公布详细考核安排。申请人需向招生专家组作报告，内容包括个人科研经历和成果介绍、对拟从事研究的领域的了解和看法、 北京大学 2011年北京大学MTI，CAT，TT英汉互译真题，考场真实记录——ziqijinghong手打 (考研论坛在我考研的时候给了我很大帮助，现在是回报的时候了，希望广大的后来者也将这一传统继承下去，给更多的后来者以帮助……考场上实在不会做了，于是将试题抄在了准考证上，希望对你们有帮助，另外，有考TT的同学们，还将会有TT基础英语的考场记录的试题——不知道TT或者CAT直接忽略就可以了，大家敬请期待吧。PS：翻译完之后我我看了看，然后就笑了，希望自己的翻译会给阅卷老师带来欢乐。) 一词语翻译 英译汉 1. reciprocal banquet答谢宴会 2. pop concert 流行音乐会 3. black tea 红茶 4. Red-hot news最新消息 5. sanitary ware 卫生器具 6. talk show 脱口秀 7. Illegal assembly 非法集会 8. WHO 世界卫生组织 9. Business loan 商业贷款 10. liberal education 博雅教育通才教育 11. Monetary restraint 紧缩银根 12. Triple crown 三冠王 13. Byzantine Empire 拜占庭帝国 14. CNN 美国有线电视新闻网 15. Net speak （PS：在这里我要提醒大家了，各个学校的真题都有帮助的，比如这次就考了很多10年其他学校的很多原题……） 汉译英 1. 中央情报局CIA 餐馆勤杂工 busboy 3. 军事法庭Military Tribunal IMTFE 远东国际军事法庭 4. 新手 rookie green hand 5. 核裁军Nuclear Disarmament ICNND 核不扩散与核裁军国际委员会 6. 杀人未遂Attempted murder 7. 主题公园 theme park 8. 习惯法 the common law 9. 破产申请bankruptcy petition 10. 经济指标economic indicators 11. 学费减免tuition waiver free emission 2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________ 一、解答题 1．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程. 解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有2 2y x x c =-+ 又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+. 2 ．设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z ??????. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ????????????=+=+=????????????， 3．球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： 324d π,π,.3d r V r A r v t === 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r v t r t A A r r v t r t =?=?=?=? 4．一点沿曲线2cos r a ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率. 解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ?????=?==? d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ???ωω????ωω??=?=??-?=-=?=?= 5．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 北京大学1998年研究生入学考试试题 一、名词解释（5×4） 1、空间分析函数 2、GPS 3、四叉数编码 4、信息系统 5、OpenGIS 二、简答题（4×10） 1、空间指标和空间关系量测的主要内容 2、矢量多边形面积的快速算法（要求附框图） 3、DEM、DTM的概念及其获取方法 4、由栅格数据向矢量数据的转换的方法。 三、综合分析题（2×20） 1、地理信息系统的意义、特点与发展趋势 2、地理信息系统的信息源与输入方法 北京大学1999年研究生入学考试试题 一、名词解释（10×4） 1、数字地球 2、矢量结构 3、栅格数据 4、拓扑关系 5、缓冲区分析（buffer） 6、多边形覆盖分析（overlay） 7、数字高程模型（DEM） 8、三角法（TIN） 9、元数据（Metadata） 10、高斯——克吕格投影 二、简答题（5×8） 1、简述地理信息系统中主要有哪些空间分析方法。 2、简述地图投影的基本原理 3、简述栅格数据的数据组织方法 4、简述地理信息系统的主要软硬件组成 5、简述地理信息系统工程的三维结构体系 三、论述题（20） 试论GIS项目中文档管理的意义及文档的类型（主要有那些文档）？ 北京大学2000年研究生入学考试试题 一、概念题（8×5） 1、国家信息基础设施 2、空间对象（实体） 3、拓扑结构 4、元数据（Metadata） 5、层次数据库模型 6、GIS互操作 7、四叉树编码 8、空间索引 二、简述题（5×8） 1、简述栅格数据结构的三种数据组织方法 2、简述地理信息系统数据采集的方法及特点 3、简述高斯——克吕格投影的特点 5、简述地理信息系统空间数据的误差来源 三、论述题（20） 试论网络GIS的技术特点及尚需解决的问题 北京大学2001年研究生入学考试试题 一、概念题（六选五，5×4） 1、空间对象 2、拓扑空间关系 3、地理空间中栅格表达方法 4、四叉树编码 5、空间数据质量 6、缓冲区分析 二、简述题（4×10） 1、地理信息系统的组成 2、矢量、栅格、DEM数据结构的优缺点分析 3、属性数据库的数据模型 4、空间数据的内插方法 三、论述题（2×20） 1、论述地理信息系统的数据来源及数据采集的主要方法 2、论述DEM的主要应用 北京大学2002年GIS试题 一．名次解释（每小题4分，共20分） 1．扫描矢量化 2． TIN模型 3．元胞自动机 4．地理信息 5． WebGIS 二．简答题或分析题（每小题8分，共计40分） 1．地理信息系统软件的体系结构与功能作用？ 2．地理信息系统的主要信息源有那些？ 3．何谓BUFFER？并对下图形单元（领域半径长度如图所示）画出其BUFFER区示意图。4．请画出一下两个多边形图层的OVERLAY结果图层的示意图。 5．何谓DEM？计算以下高程栅格数据（高程单位为米，栅格单位为正方形，其边长为10米） 考研数学二模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2 arctan x α=，11(0)a x a β=(+)-≠，2 arcsin x tdt γ=? ，把三个无 穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（ ） （A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0) (0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)若()f x 是奇函数，()x ?是偶函数，则[()]f x ?（ ） （A ）必是奇函数 （B ）必是偶函数 （C ）是非奇非偶函数 （D ）可能是奇函数也可能是偶函数 (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)下列说法中正确的是（ ） （A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解； (6)设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶线性非齐次方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 123,,C C C 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A ）112333C y C y C y ++； （B ）1123123()C y C y C C y +++； （C ）1123123(1)C y C y C C y +---；（D ）1123123(1)C y C y C C y ++--； (7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =，对任何12(,, )T n b b b b = （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 2020年考研热门专业利与弊：环境工程 ◆专业解析 (一)学科简介 环境工程专业属于工科学科中环境科学与工程下设的一个二级学科。它是一门综合应用自然科学、社会科学原理和工程技术手段协调 环境与发展，保护和改善环境质量的新兴的综合性、边缘性学科。它 的主要任务是研究保护和改善环境质量的理论、技术原理和工程措施。 (二)培养目标 1.熟悉环境科学发展前沿，掌握系统的环境工程基础理论和实验 技能。 2.具备较强的环境工程基础研究、应用研究、科技开发和环境规 划及管理水平，以便应对高层次科研和工程技术，成为专门性人才。 各招生单位研究方向和考试科目不同，在此以北京交通大学为例： (三)研究方向 北京交通大学环境工程专业主要研究领域： 01交通环境规划与管理 02交通环境系统分析与评价 (四)考试科目 ①101思想政治理论 ②201英语一 ③302数学二 ④944环境管理概论 ◆推荐院校 以下院校是该专业研究生院实力较强者，建议选报： 清华大学、哈尔滨工业大学、同济大学、西安建筑科技大学、浙江大学、华南理工大学、北京大学、大连理工大学、南京大学、重庆大学、天津大学、北京理工大学、华东理工大学、湖南大学、上海交通大学、华中科技大学、中国矿业大学、河海大学、北京师范大学、东华大学、昆明理工大学、兰州大学、武汉大学、武汉理工大学、北京工业大学、四川大学、山东大学、南开大学、东南大学。 ◆相同一级学科下的其他相关专业 环境科学 ◆课程设置(以天津大学为例) 主要课程名称：科学技术论与方法论、第一外国语、工程数学基础、计算机技术及应用基础、现代企业管理引论、现代管理学、实验技能、环境工程基础、现代环境工程理论、传递过程原理、高级水污染控制理论与技术、现代环境监测理论与技术。 ◆就业前景 (一)国家的基本政策决定了该专业重要的社会地位 随着各种环境问题日益突出和影响范围的持续扩大，环保问题是21世纪世界的焦点，环保产业也是我国重点发展的产业之一。为了实现社会、经济的可持续发展和促动人民生活质量的持续提升，国家已经把环境保护作为一项基本国策。而环境工程学科的内涵日益丰富，使得它已成为21世纪的带头学科之一，未来前景不言而喻。 (二)生态环境领域项目的丰富预示着就业面的无限广阔 我国环保产业在高新技术产业化政策的引导下，环保技术开发、技术改造和技术推广的力度持续增大。环保新技术、新工艺、新产品 考研数学三模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??(中间的加号改成减号)，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)设有下列命题： ①若 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =， 对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （ C ）12A B --； （ D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） 爱考机构 考研－保研－考博高端辅导第一品牌https://www.sodocs.net/doc/1a14294242.html, 深圳研究生院 环境工程招生目录 深圳 研究 生院 环境 工程 考试 科目 系所名称 深圳研究生院 招生总数 820人。 系所说明 除金融学专业数量金融学方向全部接收推荐免试生、工商管理硕士不接收推 荐免试生外，其他专业及方向接收推荐免试生比例为50%-80% 招生专业：环境工程 (083002) 人数:40 研究方向 01.生物能源工程 02.能效工程 03.水处理与资源工程 04.环境微生物 05.环境与能源信息工程 06.固废处理与资源化 考试科目 本专业考试科目③，考生可依据报考方向任选一门。 考生还可选考北大化学 与分子工程学院、生命科学学院、城市与环境学院和环境科学与工程学院各 专业与研究方向相关的任一组试题。 本专业学习年限3年。 1 101思想政治理论 2 201英语一 系所名称 深圳研究生院 招生总数 820人。 系所说明 除金融学专业数量金融学方向全部接收推荐免试生、工商管理硕士不接收推荐免 试生外，其他专业及方向接收推荐免试生比例为50%-80% 招 生 专 业 及 人 数 020104 西方经济学 50 020204 金融学 180 035102 法律硕士（法学） 30 070322 化学（化学基因组学） 50 070523 地理学（城市与区域规划） 35 070524 地理学（景观设计学） 30 080903 微电子学与固体电子学 70 080920 电子科学与技术（集成电路与系统 30 081201 计算机系统结构 20 081203 计算机应用技术 50 081302 建筑设计及其理论 20 083001 环境科学 25 083002 环境工程 40 120202 企业管理 50 200101 法律硕士 80 200601 工商管理硕士 60 2018年考研数学模拟试题（数学三） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则 2 0)(lim x x x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在. （2）设在全平面上有0),(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ） （A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >. （3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0 判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 得 2 21ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小）， 育明考研考博培训中心官网：https://www.sodocs.net/doc/1a14294242.html, 400-6998-626 2020年北京大学城市与区域规划考研真题（回忆版）及考研参考书 育明教育506大印老师 北外教授、北大教授、人大教授、中财教授、社科院教授联合创办 2020年1月1日 【2021年考研温馨解析：考研失败的7大原因】 根据育明教育过去12年对10000多名考研学员的分析发现，大多数考生之所以考研失败，主要是基于以下几个方面的原因：第一，准备的时间太晚，在育明教育咨询的考生，很多都建议大三或者大二就开始准备，并且最好是大三就尝试考一次，但是大多数考生的复习时间也就是几个月，这么短时间，怎么能和准备了一两年的考上相比呢，除非你是神通。第二，院校选择和专业选择不合理。当然，很多考生也不知道怎么选择专业和院校，因为信息太少了，又缺乏相关的经验，这点可以咨询育明教育咨询师，由十余年考研咨询经验的高级咨询师给大家答疑解惑。第三，复习规划不合理。自上学以来，很多考生就是在家长和老师的安排下进行学习的，上大学以后大家就失去了学习安排的能力，导致考研不知道如何安排，这点可以根据育明一对一的复习进度进行解决。第四，复习技巧。很多辅导机构都会给大家讲解一些技巧，但是这些技能很难在考场上应用的，真正的技巧是要通过长时间的练习和备考磨炼出来的。第五，答题技巧。育明教育每年都会聘请具有5年以上公共课和专业课阅卷经验的老师对学员进行一对一指导的，这点是育明教育高通过率的秘诀，要知道，很多题目都是主观题，你能回答上来和你能得高分是两码事。第六，复习重点。考研考的就是心态，很多考生往往容易贪多，再加上把握不住重点，所以，越往最后越是急躁，越是觉得需要记忆的内容多，其实核心问题就是没有掌握住重点。第七，很多考生初试后，对复试不够重视，尤其是MPAcc 的考生，报考人大、北外、北语等院校的考生，现在复试的比例越来越高了，所以一定要重视复试，育明教育的复试保过班次，大家可以考虑。 一、2020年北京大学城市与区域规划考研真题回忆版 育明教育一对一学员回忆整理 名词解释 1.新城市主义 2.城市双修 3.参与式规划 4.城市的“三区四线” 5.共有产权住房 6.社区网络 7. urban renewal 《高等数学》考研模拟试卷及答案 一.填空题（每小题4分，共20分） 1.=->-x x x 1 )sin 1(lim __________________________ （e /1） 2.曲线x x x y +=在)6,2(处的切线方程为_______ （)2)(2ln 45(6-+=-x y 或 2ln 84)2ln 45(--+=x y ） 3. =-? dx e xe x x 1 _____________________ （ C e e e x x x x +-+---1arctan 41412 ） 4.半径R ，圆心角θ2的均质扇形薄片的质心距圆心的距离为____________________ （ θθ3sin 2R ） 5. ? -x dt t x dx d 0 3)arctan(=______________________ （ 3 arctan x ） 二.选择题（每小题4分，共分20分） 1.设? +== x x x x g dt t x f sin 0 4 32)(,)sin()(，则当0→x 时，)()(x g x f 是的（ B ） A)等价无穷小 B)同阶但非等价无穷小 C)高阶无穷小 D)低阶无穷小 2.若曲线3 2 12xy y b ax x y +-=++=和在点)1,1(-处相切，其中b a ,为常数，则（ D ） A)2,0-==b a B)3,1-==b a C)1,3=-=b a D)1,1-=-=b a 3.内有在则，且在)0,()(,0)('',0)(')0(),()(-∞>>∞+--=x f x f x f x f x f （ C ） A)0)('',0)('< 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页 北大考博辅导：北京大学环境科学与工程（环境健康）考博难度解析 及经验分享 根据教育部学位与研究生教育发展中心最新公布的第四轮学科评估结果可知，在 2018-2019环境科学与工程（环境健康）专业大学排名，其中排名第一的是清华大学，排名第二的是哈尔滨工业大学，排名第三的是同济大学。 作为北京大学实施国家“211工程”和“985工程”的重点学科，环境科学与工程学院的环境科学与工程（环境健康）一级学科在历次全国学科评估中均名列第十。 下面是启道考博整理的关于北京大学环境科学与工程（环境健康）考博相关内容。 一、专业介绍 环境科学与工程专业学生主要学习普通化学、工程力学、测量学、工程制图、微生物学、水力学、电工学、环境监测、环境工程学科的基本理论和基本知识，受到外语、计算机技术及绘图、污染物监测和分析、工程设计、管理及规划方面的基本训练，具有环境科学技术和给水排水工程领域的科学研究、工程设计和管理规划方面的基本能力。 北京大学环境科学与工程学院学院环境科学与工程（环境健康）专业在博士招生方面，不区分研究方向 此专业实行申请考核制。 二、考试内容 北京大学环境科学与工程专业博士研究生招生为资格审查加综合考核形式，由笔试+专业面试+英语口语构成。其中，综合考核内容为: 1、我院根据申请人的申请材料，进行素质审核。根据素质审核结果，择优确定进入考核的候选人； 2、考核采取以面试为主的方式进行差额复试，对学生的学科背景、专业素质、操作技能、外语水平、思维能力、创新能力、申请人分析、解决问题以及进行创新的综合能力等进行考察； 3、考核时间拟安排在3月下旬，届时会在学院网站公布详细考核安排。申请人需向招生专家组作报告，内容包括个人科研经历和成果介绍、对拟从事研究的领域的了解和看法、本人拟进行的研究工作设想及理由等； 4、任何一项考核不合格的考生不予录取。对于合格考生，从中择优确定初取名单，报 【温馨提示】现在很多小机构虚假宣传，育明教育咨询部建议考生一定要实地考察，并一定要查看其营业执照，或者登录工商局网站查看企业信息。 目前，众多小机构经常会非常不负责任的给考生推荐北大、清华、北外等名校，希望广大考生在选择院校和专业的时候，一定要慎重、最好是咨询有丰富经验的考研咨询师. 2014年北京大学国际政治考研真题精讲 专业一政治学原理 一、名词解释（5分*6题=30分） 1.“常平仓”制度 2.大宪章 3.严（复）译《天演论》 4.恐怖主义 5.相互依存 6.保护的责任 二、简答题（15分*4题=60分） 1.普选制的内容、形式及意义 2.我国人民公社制度的历史 3.约瑟夫奈认为，现实主义者、世界主义者、国家道义主义者对干涉有不同认识。请简述其中一种认识的主要内容 4.集体安全概念和均势概念有何区别？ 三、论述题（30分*2题=60分） 1.论述自由和平等的关系 2.“经济上需要中国，安全上倒向美国”，反映了东亚地区怎样的国际现实？试从相关理论概念及当前局势发展来分析 专业二战后国际关系史和新中国外交 一、名词解释（5分*8题=40分） 1.囚徒困境 2.民族自决权 3.联合国维和行动 4.安理会常任理事国 5.贝尔法斯特协议 6.环境外交 7.戈尔巴乔夫的外交新思维 8.中英关于香港的联合声明 二、简答题（10分*4题=40分） 1.防空识别区的概念、法律地位及国际处置原则 2.简评美国的亚洲再平衡战略 3.什么是“欧洲的穆斯林问题”？ 4.以阿盟为例，评述冷战后地区性国际组织在处理本地区冲突时的作用和影响 三、论述题（35分*2题=70分） 1.论述中国周边外交对日本的定位 2.中共十八大强调，中国是世界最大发展中国家的国际地位没变。党和ZF为何要强调中国仍是发展中国家？ 专业课的复习和应考有着与公共课不同的策略和技巧，虽然每个考生的专业不同，但是在总体上都有一个既定的规律可以探寻。以下就是针对考研专业课的一些十分重要的复习方法和技巧。 一、专业课考试的方法论对于报考本专业的考生来说，由于已经有了本科阶段的专业基础和知识储备，相对会比较容易进入状态。但是，这类考生最容易产生轻敌的心理，因此也需要对该学科能有一个清楚的认识，做到知己知彼。 安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答环境工程专业考研院校排名
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