平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

1

第十讲 平面向量及其应用

例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA

→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中，

,1,3

AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内

运动，（含边界）， 设

()

,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r

，则αβ+的取值范围

是 .

例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()()

21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r

.

则x 的取值范围是 .

.已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1

S ，△ABC 的面积为2

S ，

AP pPB

=u u u r u u u r

，

AQ qQC

=u u u r u u u r ，

则（ⅰ）pq p q

=+ ， （ⅱ）12

S

S 的取值范围是 .

例1. 在

ABC

V 中，

60,3,

B A

C ∠=o 则

2AB BC

+的最大值为

_________．

例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________．

例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，

b ，

c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c

c b

+的取值范围是____________．

例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu

u r uu u r

若,

CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r

则实数λ的值是_________．

例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心，

则0MA

MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r

”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu

r r ，

则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________．

例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若

AO xAB y AC

=+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________．

例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r

的

夹角为120°，OA u u u r

与OC u u u r 的夹角为150°，且

1

OA OB ==u u u r u u u r ，

23

OC =u u u r

若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r

，，则

λμ

+的值为_________．

A O

B x

y

1 23

5.0- 3

-

例8. 在□ABCD 中，AB = 5，AD = 4，点

P 在△BCD 内（包括周界），设AP xAB y AD

=+uu u r uu u r uuu r ，则一切点（x ，y ）形成区域的面积为_________．

例9. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD

=uu u r uu u r ，

||

AD uuu r = 1，

则AC AD

?uuu r uuu r

= _________．

例10. 在△ABC 中，已知AB = 3，O 为△ABC 的外心，

且OA

BC ?uu r uu u r

= 1，则AC = ________． 例11. 已知平面上三点,,A B C ，满足||2,||3AB BC ==u u u r u u u r

，

||4,

CA =u u r

则

23_________.

AB BC BC CA CA AB ?+?+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

例12. 直线l 与函数sin ([0,])

y x x π=∈P

D

C

B

A

的图像相切于点A ，切//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极值点，l 于x 轴交于B 点，过切点A 做x 轴的垂线，垂足为C ，则________

BA BC ?=u u u r u u u r

例13. 在ABC ?中，满足：AB AC

⊥u u u r u u u r ，M 是BC 中点

（1）若

||||

AB AC =u u u r u u u r ，求向量

2AB AC

+u u u r u u u r 与向量2AB AC

+u u u r u u u r 的夹角的余弦值；

（2）若O 是线段AM 上任意一点，且

||||2

AB AC ==u u u r u u u r

OA OB OC OA

+u u u r u u u r u u u r u u u r g g 的最小值；

（3）若点P 是BC 边上的一点，且22

AP AC AP AB ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，||2

AP =uuu r ，

求||

AB AC AP ++u u u r u u u r u u u r

的最小值.

13.如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ?的值最大？并求出这个最大值.

参考答案： 1.解析：

2222|5a b |=(5a b)=25a 10a b +b

---?r r r r r r r r ，2

2

12511013()3

49

2

?-???-+=，

故|5a b |7

-=r r .

2.解析：a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），∴a ＋b ＝（1，m －1），

又（a ＋b ）∥c ，∴2＋m －1＝0，∴m ＝－

1.

3.解析：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和

y

轴建立如图所示的坐标系.

由OA=2，0

120=∠AOx ，所以

()(),3

1-A ,120sin 2,120cos 200，即A ，

易求()()3,0C 1-0B ，，

，设 ()()().

31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ

1-0λ31-,λλOA 21

122

1

2

1

??

???==?????==+=+=，，

，，即OC OB

c

b a 3

13--=.

4.解析：设向量与的夹角θ，有cosθ=b

a ?

=

2

222)2(221)2(221-++-?+?=－1010

∴在方向上的投影=｜｜cosθ=5×（－1010

）

=－22 5.解析：令

c a b

λμ=+r r r

，则(6,5)(2,4)(1,3)λμ=-+-.(6,5)(2,43)λμλμ=--+，

∴

26

435

λμλμ-=??

-+=?，

∴

23217

λμ?

=

???=?， ∴

23212171522

p a b a b a b

=+--=--u r r r r r r

r .

6.解析：由题意，

1

a b ==r r

，且a

r 与b

r 的夹角为0

120，所以，

01cos1202

a b a b ?==-

r r r r ，

2c c c =?=r r r

Q (2)(2)a b a b -?-r r r r 22447

a a

b b =-?+=r r r r ， 7

c ∴=r

13

d ∴=r

.

而

c d ?=r r 2217

(2)(3)7322

a b b a a b b a -?-=?--=-

r r r r r r r r ，

设θ为c

r

与d

r 的夹角，则

.

7.解析：设点D 的坐标为（x ，y ），∵AD 是边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC

又∵C 、B 、D 三点共线，∴BC ∥BD 又AD =（x －2，y －1），

BC

=（－6，－3），BD =

（x －3，y －2）

∴?

?

?=-+--=----0)3(3)2(60

)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59，y =5

7 ∴点D 的坐标为（59，57），AD 的坐标为（－5

1

，5

2

）.

8.解析：不妨设

(,)

C m n =u r

，则

()1,2,(3,1)

a c m n a

b +=+++=-r r r r

，对于

(

)//c a b

+r r r ，

则有3(1)2(2)m n -+=+；又

(

)c a b

⊥+r r r ，则有30m n -=，则

有77

,93

m n =-=-

9.解析：所求五个力的合力为→

+→+→+→+→PE

PD PC PB PA ，如图所

示，

以PA 、PE 为边作平行四边形PAOE ，则

→

+→=→PE

PA PO ，

由正六边形的性质可知

b

|PA ||PO |=→=→，且O 点在

PC 上，

以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ，则

→+→=→PD

PB PF ，

由正六边形的性质可知

b

3|PF |=→

，且F 点在PC

的延长线上.

由正六边形的性质还可求得

b

2|PC |=→

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大

小为b 6b 3b 2b =++，方向与→PC

的方向相同.

10.解析：＝－＝（2 e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2，

∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使＝λBD ，∴2 e 1＋ke 2＝λ（e 1－4e 2）

于是可得?

?

?-==λ

λ42k ，解得k ＝－8. 11.证明：设＝a ，＝b ，＝c ，则＝c －b ，＝a －c ，＝b －a .

∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2 ∴a 2＋（c －b ）2＝b 2＋（a －c ）2＝c 2＋（b

－a ）2

即c ·b ＝a ·c ＝b ·a ，故·OC ＝（b －a ）·c ＝b ·c

－a ·c ＝0.

·＝（c －b ）·a ＝c ·a －b ·a ＝0，∴⊥，

⊥，

∴点O 是△ABC 的垂心.

12.解析：设AB a

=u u u r r

，

AC b

=u u u r r

，

1AP a

λ=u u u r r ，

2AQ b

λ=u u u r r ，因为G 是△ABC

的重心，

故1()

3

AG a b =+u u u r r r

，

又

111()33

PG AG AP a b

λ=-=-+u u u r u u u r u u u r r r ，

21PQ AQ AP b a

λλ=-=-u u u r u u u r u u u r r r ，

因为

PG

uuu r

与

PQ

uuu r 共线，所以PQ PG

λ=u u u r u u u r ，即

1121

1[()]()033

a b λλλλλ-++-=r r r ，

又a r

与b

r 不共线，所以1

1

1()3

λλλ-=-及2

1

3λλ=，消去λ，得12123λλλλ+=.

（ⅰ）1

2

1

111

(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故1pq p q

=+； （ⅱ）12

111

()313

λλ

λλ=

≠-，

那么12

||||sin ||||sin S AP AQ BAC S

AB AC BAC

??∠=

??∠

21122111

13931()24

λλλλλ===

---+，

当P 与B 重合时，1

1

λ

=，当P 位于AB 中点

时，1

12λ=，故1

1

[,1]2

λ∈， 故12

S

S

41

[,].92

∈但因为P 与B 不能重合，故

12S S 41[,).92

∈

13.解析：,0.AB AC AB AC ⊥∴?=u u u r u u u r u u u r u u u r Q

,,,()()

AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴?=-?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

.

0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ?==θθ

高中数学三角函数平面向量解三角形练习题必修4

三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分，共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为（ ） A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是（ ） A ．ο30 B ．ο60 C ．ο90 D ．ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ，且5 4cos -=α，则m 的值为（ ） A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈，则函数()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ，(2,)b m =-r ，且a r //b r ，则23a b +r r ＝（ ） A ．(5,10)-- B ．(4,8)-- C ．(3,6)-- D ．(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于（ ） A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ． 2 π 8.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 （A ）49- （B ）43- （C ）43 (D) 49 （ ）

三角函数与平面向量地综合应用

三角函数与平面向量的综合应用 【要点梳理】 1． 三角恒等变换 (1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质，一般要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t ＝ωx ＋φ，y ＝A sin t ，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形 解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量 平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． 【自我检测】 1． 已知角α终边上一点P (－4,3)，则cos ? ?? ?? π2＋αsin －π－α cos ? ????11π2－αsin ? ?? ?? 9π2＋α的值为 ________． 2． 已知f (x )＝sin(x ＋θ)＋ 3cos(x ＋θ)的一条对称轴为y 轴，且θ∈(0，

π)，则θ＝________. 3. 如图所示的是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|∈? ?? ?? 0，π2) 图象的一部分，则f (x )的解析式为____________． 4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ， 使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝________. 5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·PA → 取得最小值时，tan ∠DPA 的值为________． 【题型深度剖析】 题型一 三角恒等变换 例1 设π3<α<3π4，sin ? ?? ??α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． 思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系． 探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响． 【训练1】已知cos ? ????α－π6＋sin α＝43 5，则sin ? ????α＋7π6的值是 ( ) A ．－ 2 35 B. 23 5 C ．－4 5 D.4 5 题型二 三角函数的图象与性质 例2 (2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π 2 ，y ＝f (x )的部分图

平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

1 第十讲 平面向量及其应用 例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中， ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内 运动，（含边界）， 设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围 是 . 例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1 S ，△ABC 的面积为2 S ， AP pPB =u u u r u u u r ， AQ qQC =u u u r u u u r ， 则（ⅰ）pq p q =+ ， （ⅱ）12 S S 的取值范围是 .

例1. 在 ABC V 中， 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________． 例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________． 例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ， b ， c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b +的取值范围是____________． 例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________． 例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心， 则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r ， 则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________． 例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________． 例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的 夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°，且 1 OA OB ==u u u r u u u r ， 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则 λμ +的值为_________． A O B x y 1 23 5.0- 3 -

高考数学三角函数与平面向量复习精选

高考数学三角函数与平面向量复习 三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点. 一、三角函数问题 1．三角函数的图像和性质 （1）具体要求： ①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； ②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2π ±α，π±α的正弦、余弦、正切），能画出 y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性； ④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（-2π,2π ）上的性质（如单调性、最大 和最小值、图象与轴交点等）； ⑤理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1，x x cos sin =tanx. ⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+?)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+?)的图 像，观察参数A ，ω，?对函数图像变化的影响； ⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势. 例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+?)( A >0,ω>0,∣?∣<2π )的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2). （1）求f (x)的解析式； （2）用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图； （3）写出函数f (x)的单调区间；

三角函数、平面向量综合题六类型

三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04 πα<<，β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ，求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值． 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期，故βπ=．因为a b m ?= ， 又cos tan()24a b βαα?=?+- ，故cos tan()24 m βαα?+=+． 由于04 π α<< ，所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+． 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入 求值或化简。 题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤） 的图像与y 轴交于点（0，1）。 （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与P N 的夹角。 【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . （II ）由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像，得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=，故,P M P N <>= 15arccos 17 .

平面向量与三角函数的综合应用

微点深化 平面向量与三角函数的综合应 用 平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0， 即sin ? ?? ??x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ? ????x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈??????－π3，2π3，∴－32≤sin ? ?? ??x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3. 【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈? ?? ??0，π2，t 为实数. (1)若a －b ＝? ?? ??25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ? ?? ??2α＋π4的值. 解 (1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝? ?? ??25，0，

三角函数与平面向量(好)

三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）

11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx

14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

必修4《三角函数和平面向量》

必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边在第一象限的角是锐角 D ．终边在第二象限的角是钝角 2．cos(2640)sin1665-+=o o （ ）． A ．122+ B ．122+- C ．132+ D ．13 2 +- 3．已知角α的终边过点(43)P m m -，，(0)m ≠，则ααcos sin 2+的值是（ ） ． A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或5 2- D ．－1或52 4．已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ，则a b -r r 的值为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．3 5．函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为（ ） ． A ．23π B ．3 π C ．8 D ．4 6．函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示， 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…（ ）． A ．2 B ．22+ C ．222+ D ．222-- 7．设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ）． A ．B A I 中有3个元素 B ．B A I 中有1个元素 C ．B A I 中有2个元素 D ．B A Y R = 8．判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为（ ）． A ．非奇非偶函数 B ．奇函数 C ．偶函数 D ．既奇又偶函数 9．同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3 x π =对称；③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是（ ）． A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos(2)6 y x π =- 10．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的

三角函数与平面向量专题复习

三角函数与平面向量专题复习 【课前测试】 1．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则? 的取值范围为 _． 2．在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ?的取值范围为___ ___． 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐 近线的交点分别为B ，C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是___ ___． 4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=，若a ＝7，则b +c 的最大值为___ ___． 【例题讲评】 例1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0． （1）求角C 的大小； （2）若b ＝2a ，△ABC 的面积为2 2 sin A sin B ，求sin A 及c 的值．

例2．在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a ，b ，c ，已知5 sin 13 B = ，且12BA BC ?=． （1）求ABC ?的面积； （2）若a ，b ，c 成等差数列，求b 的值． 例3．已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为 4 π ，()()1c a c b -?-=-，则c a -的最大值为______． 例4．在△ABC 中，角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2．． (1)若3 A π = ，求b ＋c 的取值范围； (2)若1AB AC ?=，求△ABC 面积的最大值．

三角函数与平面向量练习题

三角函数与平面向量练习题 编号：11 编制：许小红 审核：孙丽君 时间：2011-9-30 一、选择题 1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) A 、),2()2,2 1 (+∞?- B 、(2，+∞) C 、(21-，+∞) D 、(－∞，21-) 2、ΔABC 中，若?=?，则ΔABC 必为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、等腰三角形 3、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ΔABC 的关系是（ ） A 、P 在ΔABC 内部 B 、P 在ΔAB C 外部 C 、P 在直线AB 上 D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点 4．在平行四边形ABCD 中，M 为AB 上任一点，则AM DM DB -+等于 ( ) (A )BC (B )AB (C )AC (D )AD 5．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 6． 己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( ) A ．(－2,11) B ．()3,34 C ．(3 2,3) D ．(2,－7) 7．下面给出四个命题： ① 对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-； ② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-； ③ 若(,0)ma mb m R m =∈≠，则a b =； ④ 若(0)ma na a =≠，则m n =.其中正确的命题个数是 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )4 8．已知123()AB e e =+，12CB e e =-，122CD e e =+，则下列关系一定成立( ) (A )A ，B ，C 三点共线 (B )A ，B ，D 三点共线 (C )A ，C ，D 三点共线 (D )B ，C ，D 三点共线

专题一 三角函数与平面向量

[核心知识提炼] 提炼1 三角函数的图象问题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A ，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ. (2)三角函数图象的两种常见变换 提炼2 三角函数奇偶性与对称性 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π，(k ∈Z )解得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心 的横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π 2(k ∈Z )解得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；对称中心的横坐标可 由ωx ＋φ＝k π 2(k ∈Z )解得，无对称轴． 提炼3 三角函数最值问题 (1)y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 型函数的最值：可将y 转化为y ＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)＋c ? ? ? ??其中tan φ＝b a 的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解． (2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2 ，将y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 转化整理为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ＋C ，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值． [高考真题回访 1．(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图1-1所示，则( )

高一数学必修三角函数与平面向量期末复习试题

高一数学三角函数与平面向量期末复习试题 姓名: 班级: 学号 : 一、选择题（每小题5分，共10小题，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1、下列命题中是真命题的是………………………………………………（ ） A 、三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B 、第一象限的角是锐角 C 、第二象限的角比第一象限的角大 D 、角α是第四象限角的充要条件是22()2 k k k z π π απ- <<∈ 2、如图，四边形ABCD 中， AB DC =，则相等的向量是………………（ ） A 、 AD CB 与 B 、OD OB 与 C 、AC BD 与 D 、AO OC 与 3、已知角α的终边经过点(,9)m ，且3 tan 4 α = ，则sin α的值为…………（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35 - 4、函数 2sin()3y x π =+的一条对称轴是………………………………………（ ） A 、2 x π =- B 、0x = C 、6 x π= D 、6 x π =- 5、若(1,0)(0,1)i j ==、，则与23i j +垂直的向量是…………………………（ ） A 、32i j + B 、23i j -+ C 、32i j -+ D 、23i j - 6、已知12(2,1)(0,5)P P -、且点P 在12P P 的延长线上，1 2 2PP PP =，则P 点坐标为………………… （ ） A 、(2,11)- B 、4( ,3)3 C 、2 (,3)3 D 、(2,7)- 7、 1sin10的值是………………………………………………………（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、14 8、 sin y x =与cos y x =-都是增区间的区间是………………………………（ ） A 、[2,2]()2k k k z πππ+∈ B 、[2,2]()2k k k z π πππ++∈ C 、3[2,2]()2k k k z ππππ++∈ D 、3[2,22]()2 k k k z ππππ++∈ 9、P 是 ABC 所在平面上一点，PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则P 是ABC 的…………………

(人教版)必修四三角函数和平面向量测试题含答案

三角函数及平面向量综合测试题 命题人：伍文 一.选择题：(满分50分，每题5分) 1.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ） A ．→ 1e = (0,0), → 2e =(1,－2) ; B ．→ 1e = (-1,2), → 2e = (5,7); C ．→ 1e = (3,5), → 2e =(6,10); D ．→ 1e = (2,-3) , → 2e = ) 4 3,2 1( - 2.在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+ ，则必有（ ） A ．四边形ABCD 为菱形 B ．四边形ABCD 为矩形 C ．四边形ABC D 为正方形 D ．以上皆错 3.已知向量→ 1e ，→ 2e 不共线，实数(3x －4y) → 1e ＋(2x －3y) → 2e =6→ 1e +3→ 2e ，则x －y 的值等于 （ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．2 4.已知正方形ABCD 边长为 1， AB =→ a ，BC =→ b ，AC =→c ，则|→a +→b +→ c |等于（ ） A ．0 B ．3 C ．2 2 D ．2 5.设()()AB CD BC DA +++= →a ，而→ b 是一非零向量，则下列个结论：(1) → a 与→ b 共线；（2） → a +→ b = → a ；(3) → a +→ b = → b ；(4) |→ a +→ b |<|→ a |+|→ b |中正确的是（ ） A ．(1) (2) B ．(3) (4) C ．(2) (4) D ．(1) (3) 6. 已知sin α= 5 5则sin 4α- cos 4 α的值是（ ） A ．-5 3 B ． -5 1 C ． 5 1 D ． 5 3 7. 在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(2 32cos( ππ，∈+ =x x y 的图象和直线2 1=y 的交点个数 是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 8．函数y ＝－xcosx 的部分图象是（ ） 9．已知△ABC 的两个顶点A(3,7)和B(-2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是 ( ) A ．(－7,2) B ．(2,－7) C ．(－3,－5) D ．(5,3) 10．AD 、B E 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =→ a ,BE =→ b ，那么BC 为（ ） A ． 3 2→ a － 3 4→ b B ． 3 2→ a － 3 2→ b C ． 3 2→ a ＋ 3 4→ b D ．－ 3 2→ a ＋ 3 4→ b

三角函数与平面向量专题

三角函数与平面向量专题 考情分析 1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图像确定函数的解析式，如2013年福建T9，四川T6等． 2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年天津T6，浙江T6等. 3.对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作为一种工具考查，主要考查利用各种三角公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．如2013年新课标全国卷ⅡT6，江西T13等． 4.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点，单独命题的频率较高，主要涉及以下几个问题：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关范围的问题．如2013年北京T5，山东T7等. 5.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值，如2013年辽宁T3等． 6.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题，如2013年山东T15等． 7.数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：(1)向量数量积的运算；(2)求向量的模； (3)求向量的夹角，如2013年浙江T17等. 要点归纳 1．三角函数的概念、基本关系式和诱导公式 这一类题型主要是选择题与填空题，解决问题的方法是熟知各个公式，且能熟练运用，要注意角与角的统一，角与角的线性关系。 2. y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与解析式 解决这类问题在于熟知各图像，在利用图像求三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱． 3. 三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值 掌握三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断公式就能进行此类型的解决。

专题2三角函数与平面向量

专题2 三角函数与平面向量 计算题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝4 3 π，sin A ＝55． (Ⅰ)求sin B 的值； (Ⅱ)若c －a ＝5－10，求△ABC 的面积． 2．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ??? ??x ＋2π－2 1 ． (Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)当x ∈?? ??? ?2 π0，时，求函数f (x )的最大值和最小值． 3．已知函数f (x )＝sin (ω x ＋?)(ω＞0，|? |＜π)的图象如图所示. (Ⅰ)求ω，? 的值； (Ⅱ)设g (x )＝f (x )f ??? ? ? 4π－x ，求函数g (x ) 的单调递增区间. 4．已知函数f (x )=a sin x ＋b cos x 的图象经过点?? ? ??06 π，和?? ? ??13 π， ． (Ⅰ)求实数a ，b 的值； (Ⅱ)若x ∈?? ??? ?2 π0，，求函数f (x )的最大值及此时x 的值． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2 A ＝55，且△ABC 的面积为2． (Ⅰ)求bc 的值； (Ⅱ)若b ＋c ＝6，求a 的值． 6．已知向量m ＝(cos 3x ，3cos 3x )，n ＝(sin 3x ，cos 3 x )，函数f (x )=m ?n ． (Ⅰ)求f (x )的解析式； (Ⅱ)求f (x )的单调递增区间； (Ⅲ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此

2021届高考数学解答题核心素养题型3 三角函数与平面向量综合问题(答题指导解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题 （答题指导） 【题型解读】 ??题型一：三角函数的图象和性质 1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2 ＋b 2 ? ?? ?? a a 2＋ b 2 ·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ? ????π6＝0. (1)求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π 4 个 单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在??????－π4 ，3π4上的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为f (x )＝sin ? ????ωx －π6＋sin ? ????ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin

02三角函数平面向量

05三角函数和解三角形 1.（2020?北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A. 30303sin tan n n n ?? ??+ ? ? ? B. 30306sin tan n n n ?? ??+ ? ? ? C. 60603sin tan n n n ?? ??+ ??? D. 60606sin tan n n n ????+ ?? ? 【答案】A 【解析】计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长，利用它们的算术平均数作为2π的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ??=?，每条边长为302sin n ?， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n ?， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ?，其周长为3012tan n n ?， 303012sin 12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π??+????∴==+ ?? ?，则30303sin tan n n n π????=+ ???. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 2.（2020?北京卷）若函数()sin()cos f x x x ?=++的最大值为2，则常数?的一个取值为________． 【答案】2 π（2,2k k Z ππ+∈均可） 【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得() () f x x θ=+ ，可得 2=，即可解出. 【详解】因为()( )() cos sin sin 1cos f x x x x ??θ=++=+，