三角函数与平面向量知识总结

三角函数与平面向量知识总结

三角函数是数学中非常重要的概念，与其密切相关的还有平面向量。

在解决几何问题、物理问题等方面，三角函数与平面向量的知识都是不可

或缺的。下面将对三角函数和平面向量的相关知识进行总结。

一、三角函数

三角函数是角度的函数，可以通过直角三角形来定义。在直角三角形中，一个角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切

为对边与邻边的比值。这三个比值分别对应着三角函数中的sin、cos和tan。

除了sin、cos和tan，还有三角函数的倒数cosec、sec和cot。其中，cosec为正弦的倒数，sec为余弦的倒数，cot为正切的倒数。

三角函数具有很多基本性质，如周期性、对称性、奇偶性等。它们可

以通过基本关系推导出其他的三角函数关系式，如勾股定理等。

三角函数不仅仅是直角三角形的属性，还可以用于解决各种几何问题，如确定两点的位置关系、计算两条直线的夹角等。在物理学中，三角函数

也经常出现，如简谐运动、波动等问题。

二、平面向量

平面向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对来表示。平面向量

有很多基本运算，如加法、减法、数量乘法等。平面向量的加法满足交换

律和结合律，减法可以转化为加法和数量乘法。

平面向量可以具有很多性质，如平行、垂直等。两个向量平行的充要

条件是它们的方向相同或相反，而两个向量垂直的充要条件是它们的内积

为零。内积的概念是平面向量中重要的一个概念，它可以用来计算向量的

模长、向量的夹角等。

平面向量还可以用于解决几何问题，如判断两个向量的位置关系、计

算两条直线的夹角等。在物理学中，平面向量也经常出现，如力的合成、

速度的分解等问题。

三、三角函数与平面向量的关系

三角函数和平面向量之间有着密切的关系。首先，可以利用三角函数

来表示平面向量，如一个向量的模长可以表示为cos或sin的形式。其次，可以利用平面向量来解决三角函数相关的问题，如计算两个向量的夹角、

计算向量在其中一方向上的投影等。

特别地，正弦定理和余弦定理是三角函数与平面向量的一种重要关系。正弦定理是指在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。余弦定理是

指在任意三角形ABC中，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为三角形的边长，a、b分别为与c对应的两个角。

总结起来，三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念和工具，它

们可以互相转化和应用。了解和掌握三角函数和平面向量的相关知识，对

于解决各种几何问题、物理问题等都非常有帮助。

三角函数与平面向量-精选教学文档

三角函数与平面向量 简介： 三角函数与平面向量 三角函数的图象与性质 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质; 会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练. 1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的 ________(填“奇”或“偶”)函数. 2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为 ________. 3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________. 4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若

f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________. 【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值; (2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角 θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值. 【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求f(0)的值; (2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围. 【例3】已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. (1) 求f的值; (2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间. 【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。平面向量主要用来表示空间中的方向和大小，而三角函数则描述了角度和长度之间的关系。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，并介绍其在数学和物理中的应用。 一、平面向量的表示与性质 平面向量可以用有序的数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。例如，向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1为x轴分量，a2为y轴分量。平面向量有以下性质： 1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。对于向量a(a1, a2)，它的模可以表示为|a| = √(a1² + a2²)。 2. 向量的方向角：向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角。根据三角函数的定义，可以得到向量的方向角θ = arctan(a2 / a1)。 3. 向量的单位向量：单位向量是模为1的向量，可以表示为a/|a|。单位向量的方向与原向量相同，但大小为1。 二、三角函数的定义与性质 三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。它们的定义如下： 1. 正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1, 1]之间。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。 三、平面向量与三角函数之间存在着一种重要的关系，即向量的模可以与其方向角的三角函数相关联。具体而言，对于向量a(a1, a2)，有以下关系： 1. a的模与sinθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 2. a的模与cosθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2) 3. a的模与tanθ的关系：|a| = √(a1² + a2²) = √[(|a1|^2 + |a2|^2) * (sin²θ + cos²θ)] = √(sin²θ + cos²θ) * √(|a1|^2 + |a2|^2) = √(|a1|^2 + |a2|^2)由上述关系可知，向量的模与其方向角的三角函数之间存在着简洁的关系，通过利用这些关系，我们可以在计算中更加方便地处理向量的模和角度。 四、平面向量与三角函数的应用 平面向量与三角函数的关系在数学和物理中都有广泛的应用。其中一些应用包括：

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数及平面向量知识点总结 一、三角函数 三角函数是研究角度与角度关系的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。 1. 正弦函数sin 正弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。正弦函数的特性包括： - 周期性：sin(x+2π)=sinx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。 -正弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 2. 余弦函数cos 余弦函数是以角度为自变量的周期函数，值域在[-1,1]之间。余弦函数的特性包括： - 周期性：cos(x+2π)=cosx，其中π是一个圆的周长。 - 对称性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。 -余弦函数图像呈现周期性波动，振幅为1 3. 正切函数tan 正切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于90°的奇数倍角度。正切函数的特性包括： - 周期性：tan(x+π)=tanx，其中π是一个圆的周长。

-正切函数图像在一些角度处增长非常快，会趋近于正无穷或负无穷。 4. 余切函数cot 余切函数是以角度为自变量的周期函数，定义域是所有不同于180° 的奇数倍角度。余切函数的特性包括： - 周期性：cot(x+π)=cotx，其中π是一个圆的周长。 -余切函数图像在一些角度处变为零，其余位置会趋近于正无穷或负 无穷。 二、平面向量 平面向量是研究平面上位移、速度、加速度等概念的矢量量。它由起 点和终点确定，并具有大小和方向。 1.平面向量的表示方法 平面向量的表示方法包括： -线段表示法：用平面上的一个线段AB来表示向量，A为起点，B为 终点。向量的大小与线段长度相等。 -坐标表示法：向量在平面直角坐标系中的坐标表示，如向量 →a=(a1,a2)。 -单位向量表示法：具有单位长度的向量，可通过将向量除以其长度 得到单位向量。 -位置向量表示法：起点为原点的向量，其终点为点P，则该向量可 表示为OP。 2.平面向量的运算

10.三角函数平面向量基础知识

第一章三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x 轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 0{360}==?+∈S k ,k Z ββα （3）坐标轴上的角： 2.弧度制 （1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 = l r α 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式:= l r α. 扇形面积公式:211 22 = =S lr r α.

（3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π ≈=. 180 1=( )5730≈. π 说明：①1800 ＝π是所有换算的关键，如ππ====, 18018030456644 ；②πm n 形 式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 （1）定义：设P (x ,y )是角α终边上任意一点,=>OP r 0,则有 sin α= y r cos α=x r tan α=y x （2）三角函数值的符号： 口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值. 2.同角三角函数的基本关系 sin 2α+cos 2α=1

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量 三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。 三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。 （1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角 θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。 （2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y

分别为平面向量的x轴和y轴分量。这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。 （3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数 cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。 总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

三角函数与平面向量知识总结

三角函数与平面向量知识总结 三角函数是数学中非常重要的概念，与其密切相关的还有平面向量。 在解决几何问题、物理问题等方面，三角函数与平面向量的知识都是不可 或缺的。下面将对三角函数和平面向量的相关知识进行总结。 一、三角函数 三角函数是角度的函数，可以通过直角三角形来定义。在直角三角形中，一个角的正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切 为对边与邻边的比值。这三个比值分别对应着三角函数中的sin、cos和tan。 除了sin、cos和tan，还有三角函数的倒数cosec、sec和cot。其中，cosec为正弦的倒数，sec为余弦的倒数，cot为正切的倒数。 三角函数具有很多基本性质，如周期性、对称性、奇偶性等。它们可 以通过基本关系推导出其他的三角函数关系式，如勾股定理等。 三角函数不仅仅是直角三角形的属性，还可以用于解决各种几何问题，如确定两点的位置关系、计算两条直线的夹角等。在物理学中，三角函数 也经常出现，如简谐运动、波动等问题。 二、平面向量 平面向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对来表示。平面向量 有很多基本运算，如加法、减法、数量乘法等。平面向量的加法满足交换 律和结合律，减法可以转化为加法和数量乘法。 平面向量可以具有很多性质，如平行、垂直等。两个向量平行的充要 条件是它们的方向相同或相反，而两个向量垂直的充要条件是它们的内积

为零。内积的概念是平面向量中重要的一个概念，它可以用来计算向量的 模长、向量的夹角等。 平面向量还可以用于解决几何问题，如判断两个向量的位置关系、计 算两条直线的夹角等。在物理学中，平面向量也经常出现，如力的合成、 速度的分解等问题。 三、三角函数与平面向量的关系 三角函数和平面向量之间有着密切的关系。首先，可以利用三角函数 来表示平面向量，如一个向量的模长可以表示为cos或sin的形式。其次，可以利用平面向量来解决三角函数相关的问题，如计算两个向量的夹角、 计算向量在其中一方向上的投影等。 特别地，正弦定理和余弦定理是三角函数与平面向量的一种重要关系。正弦定理是指在任意三角形ABC中，有a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为三角形的对应角。余弦定理是 指在任意三角形ABC中，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中c为三角形的边长，a、b分别为与c对应的两个角。 总结起来，三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念和工具，它 们可以互相转化和应用。了解和掌握三角函数和平面向量的相关知识，对 于解决各种几何问题、物理问题等都非常有帮助。

高一数学必修四三角函数与向量结合知识点+练习题含答案

三角函数与向量 题型一三角函数平移与向量平移的综合 三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标. 【例1】把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx ＋?)(A＞0，ω＞0，|?|＝)的图象，则?和B的值依次为（）A．，－3 B．，3 C．，－3 D．－，3 【分析】根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择. 【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y?＋3＝sin2(x?＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C. 【解析2】由向量＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x ＋)－3，由此知?＝，B＝－3，故选C. 【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小. 题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合 此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查. 【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值. 【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值. 【解】（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝－(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝， 又A为锐角，所以sinA＝，则A＝. （Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos ＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B ＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1. ＝2. ∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，y max 【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了. 题型三三角函数与平面向量垂直的综合

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数平面向量知识与公式总结 三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。本文将对三角函数和平面向量的 知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。 一、三角函数 2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。其定义域为实数集R。常用的余弦函数记作cos(x)。余弦函数也具有 周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。 3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正切函数记作 tan(x)。正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。 4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余切函数记作cot(x)。余 切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。 5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。常用的正割函数记作 sec(x)。正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。 6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。常用的余割函数记作csc(x)。余 割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。 三角函数之间有一些重要的关系： 1.三角函数的互逆关系：

sin(x) = 1/csc(x) cos(x) = 1/sec(x) tan(x) = 1/cot(x) cot(x) = 1/tan(x) sec(x) = 1/cos(x) csc(x) = 1/sin(x) 2.三角函数的和差化积公式： sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y)) 3.三角函数的倍角公式： sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x)) 4.三角函数的半角公式： sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2) co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2) tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x))) 二、平面向量

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系 在数学中，平面向量和三角函数是两个重要的概念，并且它们之间 存在着一定的关系。本文将介绍平面向量与三角函数的相关性质和应用。 一、向量在直角坐标系中的表示 在直角坐标系中，一个向量可以由其在横轴上的分量和在纵轴上的 分量来表示。假设有一个平面向量a，其水平分量为a₁，垂直分量为 a₂，则可以用有序数对(a₁, a₂)表示向量a。其中，a₁沿着横轴的正方向表示，a₂沿着纵轴的正方向表示。 二、向量的模和角度表示 向量的模表示向量的长度，也叫作向量的大小。设向量a的模为|a|，则有|a| = √(a₁² + a₂²)。其中，a₁和a₂分别为向量a在横轴和纵轴上的分量。 另外，向量还可以用角度来表示。假设有一个向量a，与横轴之间 的夹角为θ，则有tanθ = a₂/a₁，即θ = arctan(a₂/a₁)。其中，arctan表 示反正切函数。 三、平面向量的加法和减法 平面向量的加法和减法可以类比数的加法和减法。设有两个向量a 和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。

向量的加法可以表示为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。也就是将两个 向量的分量对应相加。 向量的减法可以表示为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。也就是将两个向 量的分量对应相减。 四、向量与三角函数的关系 1. 向量的模和三角函数 在直角坐标系中，一个向量的模可以表示为|a| = √(a₁² + a₂²)。根据直角三角形的性质，我们可以知道，a₁/|a| = cosθ，a₂/|a| = sinθ。其中，θ表示向量a与横轴之间的夹角。 2. 向量的加法与三角函数 设有两个向量a和b，分别表示为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)。根据向量的 加法性质，a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。 根据向量的模和三角函数的关系，可以得到|a + b| = √((a₁ + b₁)² + (a₂ + b₂)²) = √(a₁² + a₂² + b₁² + b₂² + 2(a₁b₁ + a₂b₂))。 进一步化简，可以得到|a + b|² = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ。 根据三角恒等式2cosθsinφ = sin(θ + φ) + sin(θ - φ)，可以得到 2|a||b|cosθ = |a||b|(sin(θ + φ) + sin(θ - φ))。其中，φ表示向量a和b之间 的夹角。 综上所述，向量的加法可以表示为|a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)。也就是说，向量的模可以通过向量的加法和夹角的三角函数来计算。

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：

二、基础知识要点剖析： 1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈± =Z k k ,3|π πγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。 2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||2 2 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ 3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x x y α。 ㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？ ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0, )2x π ∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2 x π ∈，则 1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若. 4、同角三角函数的基本关系式 ：①2 2 sin cos 1θθ+=，②ta n θ= θ θ cos sin ，注意公式变形： 2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)4 2sin(22cos 2 sin sin 1π θθ θ θ±=±=± 2s i n 2c o s 1θθ=-， 2 co s 2co s 1θ θ=+ （2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二： (3)若t =+ααcos sin ，则2 1c o s s i n 2-=t αα；12sin 2 -=t α；2 2cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα. 5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k (2 απ±。口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．．．．．．．．．．．．． 怎么理解这口诀？（注意：诱导公式中始终视α为锐角和原函数所在象限的符号）。领会互 为 余 角 或 互 补 的 三 角 函 数 的 相 互 转 化 ： 如 απαπαπππαπ απ++++-6 32,-4463与与，与 。 )6 sin()32cos(),4cos()4sin()1(απαπππ+=+-=+x x ， （2）若2 π βα= +，则βαβαsin cos ,cos sin ==。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量 现在考虑一个平面上的点\(P(x, y)\)，假设\(r\)是\(O\)到\(P\)的距离，我们可以用向量\(\vec{v} = (x, y)\)表示\(P\)点，它的模长即为\(\，\vec{v}\， = r\)。那么，\(P\)点的极坐标表示为\((r, \theta)\)，其中\(\theta\)是\(OP\)与正半轴\(OX\)之间的夹角。根据三角函数的性质，我们有以下关系： \[\begin{align*} \cos \theta & = \frac{x}{r} = \frac{a}{\，\vec{v}\，}, \\ \sin \theta & = \frac{y}{r} = \frac{b}{\，\vec{v}\，}, \\ \tan \theta & = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}. \end{align*}\] 接下来，讨论三角函数与平面向量之间的一些重要性质。首先是三角函数的周期性。正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期为 \(2\pi\)。也就是说，对于任意\(x\)，我们都有\(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\)和\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)。这说明三角函数的值在 \(2\pi\)的整数倍处重复。类似地，正切函数是周期为\(\pi\)的周期函数。 另外一个重要的性质是三角函数的正交关系。设\(\vec{u}\)和 \(\vec{v}\)是两个非零向量，它们的夹角为\(\theta\)。那么，我们有以下等式成立： \[\vec{u} \cdot \vec{v} = \，\vec{u}\， \，\vec{v}\， \cos \theta.\]

三角函数与向量知识点梳理

三角函数与向量知识点梳理 三角函数是数学中的一门重要的内容，它与向量有着密切的关系。在这篇文章中，我将对三角函数和向量的相关知识点进行梳理，并对其应用进行简要介绍。下面是我对这两个知识点的梳理和介绍，请您参考。 一、三角函数的基本概念和性质 1.三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的定义及其在坐标系中的图像。 2.基本关系式：正弦和余弦、正切和余切、正割和余割的基本关系式及其推导过程。 3.周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性及其图像。 4.奇偶性：正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性及其图像。 二、三角函数的运算及其扩展 1.三角函数的四则运算：加法公式、减法公式、倍角公式、半角公式等。 2.三角函数的积化和差化积：积化和差化积的公式及其推导过程。 3.三角函数的倒数公式：正割函数和余割函数的倒数公式及其推导过程。 4.三角函数的同角代换：通过使用三角函数的同角代换可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式。 三、向量的基本概念和运算

1.向量的定义：向量的定义及其表示方法，包括向量的模、方向和标准单位向量。 2.向量的加法和减法：向量的加法和减法的几何和代数表示。 3.向量的数量积：向量的数量积的定义、性质和应用。 4.向量的向量积：向量的向量积的定义、性质和应用。 四、三角函数与向量的关系 1.向量的坐标表示：向量在笛卡尔坐标系中的表示及其与三角函数的关系。 2.向量的共线性和垂直性：向量的共线性和垂直性的判定方法和几何意义，以及与三角函数的关系。 3.向量的投影：向量的投影及其与三角函数的关系。 4.向量的模与夹角：向量的模与夹角的关系与计算方法，以及与三角函数的关系。 五、三角函数与向量的应用 1.平面向量的应用：向量的应用于平面几何中的一些具体问题的解决方法，如平面上两直线的夹角、两直线的平行性等。 2.空间向量的应用：向量的应用于空间几何中的一些具体问题的解决方法，如空间中两直线的夹角、两直线的平行性等。 3.三角函数的应用：三角函数在几何中的应用，如解决三角形的边长和角度等问题。

三角函数和向量知识点

三角函数知识点 1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。 2. 弧度制: ○r l = ||α； ○弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数．．．； ○扇形的面积公式:2||2 1 21R R l S α=⋅=扇形； ○1弧度=815730.57'︒=︒，π弧度 180=。 3. 三角函数的公式: )2 (cos sin tan 1 cos sin 22Z k k ∈+≠==+，公式一 ππαααααα 公式组二：x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ 公式组三： x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四： x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ 公式组五： x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六： x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ 其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．。 其中奇． 是指2π的系数为奇数，偶．是指2 π 的系数为偶数，变．是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。看符号时是指对原三角函数进行判断，并且要将．．α视为锐角．．．．。 如：ααπ cos )2 ( sin =+，ααπ sin )2 ( cos -=+。 4. 三角恒变换的主要公式： βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - αααcos sin 22sin ⋅= ααααα22 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= αα α2tan 1tan 22tan -=

平面向量与三角函数的关系

平面向量与三角函数的关系平面向量是数学中一个重要的概念，而三角函数则是数学中不可或缺的工具。本文将探讨平面向量与三角函数之间的关系，揭示它们在数学和物理问题中的应用。 一、平面向量的定义与表示方法 平面向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。一个平面向量可以由两个有序实数构成，分别表示向量在水平方向和垂直方向的分量。常用的表示方法有坐标表示法和向量代数表示法。 二、平面向量的加减运算 平面向量的加法和减法运算可以理解为将向量按照箭头首尾相接的方式进行连接或相减。具体计算时，将向量的坐标分量相加或相减即可。 三、平面向量的数量积 平面向量的数量积又称为点积或内积，用符号"·"表示。数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值与向量的模的乘积。数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角。 四、平面向量的叉积 平面向量的叉积又称为向量积或外积，用符号"×"表示。叉积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面，并满足右手定则。

叉积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A和B分别为平面向量，θ为它们的夹角，n为垂直于二维平面的单位向量。 五、三角函数的定义与性质 三角函数是以三角形的边长比值来定义的。常见的三角函数有正弦 函数、余弦函数和正切函数等。它们的定义与性质如下： 1. 正弦函数：sinθ = 对边/斜边； 2. 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边； 3. 正切函数：tanθ = 对边/邻边； 4. 三角函数的周期性和奇偶性等性质。 六、平面向量与三角函数的关系 平面向量与三角函数之间存在着密切的关系。具体来说，平面向量 A的模可以表示为：|A| = √(x² + y²)，其中(x, y)为向量的坐标分量。而 三角函数中的正弦函数和余弦函数也是以二维平面上的点的坐标为基 础来定义的。因此，平面向量与三角函数之间存在如下关系： 1. 平面向量的模可以与三角函数中的正弦函数和余弦函数建立联系； 2. 平面向量的数量积与三角函数中的余弦函数有关； 3. 平面向量的叉积与三角函数中的正弦函数有关。 七、平面向量与三角函数的应用

高中数学知识点基本方法总结3：三角函数与平面向量

高中数学知识点基本方法总结 第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、必记4个知识点 1．角的分类 (1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________. (2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角． (3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示，即 β＝⑤________________. 2．象限角 (1)弧度制：把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角的度量制有：⑪________制，⑫________制． (3)换算关系：1°＝⑬________rad,1 rad＝⑭________. (4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为⑮________，扇形面积公式为⑯________________________. 4．任意角的三角函数

有向线段○ 32________为正弦线 1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角． 2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用． 3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ， 但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 三、技法 1.终边在某直线上角的求法4步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合． 2．确定kα，α k (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或α k 的范围； (3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或α k 的终边所在位置. 3. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 4. 三角函数定义应用策略 (1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距

三角函数平面向量知识与公式总结

三角函数知识与公式总结 ：2,k k Z βπα=+∈ 第一象限：{}22,2 k k k Z π απαπ<<+ ∈ 第二象限：{}22,2 k k k Z παπαππ+<<+∈ 第三象限：{}322,2 k k k Z π αππαπ+<<+∈ 第四象限： {}3222,2 k k k Z π απαππ+ <<+∈ 终边在x 轴正半轴：{}2,k k Z ααπ=∈ 终边在x 轴负半轴：{}2,k k Z ααππ=+∈ 终边在y 轴正半轴： {}2,2k k Z π ααπ=+ ∈ 终边在y 轴负半轴：{}32,2 k k Z π ααπ=+∈ 终边在x 轴上： {},k k Z ααπ=∈ 终边在y 轴上：{ },2k k Z π ααπ=+∈ 终边在坐标轴上： {},2 k k Z π αα= ∈ 终边在一三象限角分线上：{ },4k k Z π ααπ=+ ∈ 终边在二四象限角分线上：{}3,4 k k Z π ααπ=+∈ 终边在象限角分线上：{},24 k k Z ππ αα= +∈ 1180rad π = ' 18015718rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭ 5.扇形弧长及面积公式： 6.θπR R n l == 180 θπ222121360R lR R n S ===扇形 7三角函数的定义：p （x,y ）为终边上一点坐标，r ＝ sin y r α= cos x r α=tan y x α=cot x y α=

（1）重要结论：当(0, )2 π α∈时，( sin cos αα+∈sin α＜α＜tan α ⑵ 符号规律：正弦上正 ，余弦右正，正切一三正 22sin cos 1αα+=tan cot 1αα= sin tan cos ααα= cos cot sin α αα = 9.诱导公式（奇变偶不变 符号看象限） ()sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()tan 2tan k παα+= ()sin sin παα -=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-()sin sin αα -=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=- ()sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+= sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan cot 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ sin cos 2παα⎛⎫ += ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3cos sin 2παα⎛⎫ -=- ⎪⎝⎭3tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3tan cot 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ 10.两角和与差的余弦： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ (注：两式相加可求sin αsin β两式相减可求cos αcos βf 进而可求tan α tan β) 11.两角和与差的正弦： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- (注：两式相加可求sin αcos β两式相减可求cos αsin βf 进而可求tan α/tan β) 12.两角和与差的正切：

向量,三角函数知识点归纳

方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。2 22,x y =+两点间的距 离 1122)(2212x x y -+cos b 【注意：投影是数量】 λμ一般表示 //a b （b ≠b λ= 1212x y y x ⇔-＝0 。 的三角形法则可推相加： CD ++ PQ QR +AR =，但这时必须“首尾相连”。 a b +交换律a b +=)()b c a b c ++=++用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终 点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。0λ>与a 方向相同， 0<与a 方向相反，a a λ=。分配律b a λλ++( 表示。 cos ,a b a b a b =⋅<> 2 a =22,x y =+a b b a =，分配律(a b +()()a b a b λλ==。 三角形的四个“心” ：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三边上的高相交于一点.

解三角形正弦定理、余弦定理√解三角形及其简单应用√ sin y x =cos y x =tan y x = 图象 定 义域R R, 2 x x k k π π ⎧⎫ ≠+∈Z ⎨⎬ ⎩⎭ 值域[]1,1 -[]1,1 -R 最值当2 2 x k π π =+() k∈Z时， max 1 y=；当2 2 x k π π =- () k∈Z时， min 1 y=-． 当() 2 x k k π =∈Z时， max 1 y=；当2 x kππ =+ () k∈Z时， min 1 y=-． 既无最大值也无最小值 周 期 性 2π2ππ 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单调性在2,2 22 k k ππ ππ ⎡⎤ -+ ⎢⎥ ⎣⎦ () k∈Z上是增函数；在 3 2,2 22 k k ππ ππ ⎡⎤ ++ ⎢⎥ ⎣⎦ () k∈Z上是减函数． 在[]() 2,2 k k k πππ -∈Z上 是增函数；在 [] 2,2 k k πππ +() k∈Z上是 减函数． 在, 22 k k ππ ππ ⎛⎫ -+ ⎪ ⎝⎭ () k∈Z上是增函数． 对称性对称中心()() ,0 k k π∈Z 对称轴() 2 x k k π π =+∈Z 对称中心() ,0 2 k k π π ⎛⎫ +∈Z ⎪ ⎝⎭ 对称轴() x k k π =∈Z 对称中心() ,0 2 k k π ⎛⎫ ∈Z ⎪ ⎝⎭ 无对称轴