双曲线定点定值最值问题-S

双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题

一、双曲线的最值问题

例1已知点M ( 一2,0) , N(2,0)，动点P满足条件| PM | 一| PN |= 2 2，记动点P的轨迹

为W .

(1)求W的方程；

(2)若A、B是W上的不同两点, O是坐标原点，求OA OB的最小值.

实战演练

、x2 y2 2 2

1 - P是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆(x ■ 5) y 4和

9 16

(x—5)2+y2 =1上的点，贝U PM — PN的最大值为________________

2 2

2.已知双曲线C的方程为 %-令=1(a 0 ,b 0)，离心率

，顶点到渐近线

a b

5

的距离为.

5

(1)求双曲线C的方程；

(2)如图8-2-1 , P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线,C

的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP二■ PB ,

图8-2-

■[- ,2]，求AOB面积的取值范围.

3

2 2

3.已知双曲线G：笃笃=1(a?0)，抛物线C2的顶点在原点O,又C2的焦点是a2 2a2

C i的左焦点Fi .

(1)求证：C i与C2总有两个不同的交点；

(2)是否存在过C i的焦点F i的C2的弦AB，使■ AOB的面积有最大值或最小值？若有，求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由.

二、与双曲线有关的定点与定值问题

例题：已知双曲线x2 - y2 =2的左、右焦点分别为F i，F2，过点F2的动直线与双曲线相

交于A，B两点. 十 | ”1

(1)若动点M满足FM F i A F i B FQ (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程;

(2)在x轴上是否存在定点C，使CA ? CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不

存在，请说明理由.

实战演练

i.已知％( -2,0 ), F2 (2,0，点P满足PR - PF』=2,记点P的轨迹为E,.

(1)求轨迹E的方程;

(2)若直线I过点F2且法向量为n=(a ,)，直线与轨迹E交于P、Q两点.

①过P、Q作y轴的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记| PQ ■ | AB |，试确定?

的取值范围；T —

②在x轴上是否存在定点M无论直线I绕点F2怎样转动，使MP?MQ = 0恒成立？如果存在，求出定点M如果不存在，请说明理由.

三、双曲线与直线

例题：已知以原点0为中心，F(、..5,0)为右焦点的双曲线C的实轴与

(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;

⑵如图8-2-2,已知过点M (捲，yj的直线l1: x/ ? 4%y = 4与过

点N (x2, y2)(其中X2 = Xi)的直线I2: x2x ? 4y2y = 4的交点E在双

曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求

实战演练

2 2

1.设直线I : y=kx?m (其中k,m为整数)与椭圆——=1交于不同的两点A、

16 12

X2 y2

B，与双曲线1交于不同的两点C、D，问是否存在直线I，使得AC ? BD = 0

4 12

成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

2 2

2.已知双曲线笃一爲=1右支上任意一点E作抛物线y2=-2px(p 0)的两切线, a b

两切点M , N所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G , H两点，试问：

(1)是否存在正实数p，使得OG OH为定值？

(2)是否存在正实数p，使得一2为定值？

|OG |2 |OH |2

2

3.已知双曲线C : — -y2 =1 .

2

(1)已知点M的坐标为(0,1) ?设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记’二MP

MQ ?求?的取值范围；

(2)已知点D、E、M的坐标分别为(—2 1)、(2 , -1)、(0,1), P为双曲线C上在第一象限内的点.记I为经过原点与点P的直线，s DEM截直线l所得线段的长.试将s表示为直线l的斜率k的函数.

四、双曲线与圆

2 2 _

例题：已知双曲线C : —1(a 0 )的实轴长与焦距的比为1 : 3 .

a 2

(1)求双曲线C的方程；

(2)设直线l是圆O：x2y2 =2上动点P(X0 ,y0)(x°y0=0)处的切线，I与双曲线C

交于不同的两点A, B，证明.AOB的大小为定值.

为直径的圆经过双曲线的左焦点 F .若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 实战演练

2 2

1 -从双曲线— y 1的左焦点F 引圆x y =9的切线，切点为T ,延长FT 交 9 16

双曲线右支于点P ?若M 为线段FP 的中点.0为坐标原点，贝U |MO|-|MT|二 __________________ .

B(0 , - b)的直线为I ，原点到直线l 的距离是

(1)求双曲线的方程； ⑵ 已知直线y = x ■ m 交双曲线于不同的两点 C, D,问是否存在实数 m ，使得以 CD 2.已知双曲线

2 x 2 a

2 二1的渐近线方程为 b 2 x ，左焦点为F ,过A(a , 0),

3.若动圆P恒过定点B(2,0)，且和定圆C : (x 2)2y =4外切.

(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；

(2)若过点B的直线I与曲线E交于M、N两点，试判断以MN为直径的圆与直线

1

x 是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由.

2

2019人教版 高中数学【选修 2-1】专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色专题训练

2019人教版精品教学资料·高中选修数学 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B C . 2 D . 2 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . B . C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ == 当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B

3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B C . 3 2 D 【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为2 85b -=，所以23b =，即b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定

解析几何范围最值问题(教师)详解

第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，

2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1

专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B . 5 C . 2 D . 172 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . 42 B . 62 C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ 822262==当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值2故答案选B

3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B 2 C . 3 2 D 3【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为285b -=，所以2 3b =，即3b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定

双曲线定点定值最值问题-S

双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题 一、双曲线的最值问题 例1已知点M ( 一2,0) , N(2,0)，动点P满足条件| PM | 一| PN |= 2 2，记动点P的轨迹 为W . (1)求W的方程； (2)若A、B是W上的不同两点, O是坐标原点，求OA OB的最小值. 实战演练 、x2 y2 2 2 1 - P是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆(x ■ 5) y 4和 9 16 (x—5)2+y2 =1上的点，贝U PM — PN的最大值为________________ 2 2 2.已知双曲线C的方程为 %-令=1(a 0 ,b 0)，离心率 ，顶点到渐近线 a b 5 的距离为. 5 (1)求双曲线C的方程； (2)如图8-2-1 , P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线,C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP二■ PB , 图8-2-

■[- ,2]，求AOB面积的取值范围. 3 2 2 3.已知双曲线G：笃笃=1(a?0)，抛物线C2的顶点在原点O,又C2的焦点是a2 2a2 C i的左焦点Fi . (1)求证：C i与C2总有两个不同的交点； (2)是否存在过C i的焦点F i的C2的弦AB，使■ AOB的面积有最大值或最小值？若有，求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由. 二、与双曲线有关的定点与定值问题 例题：已知双曲线x2 - y2 =2的左、右焦点分别为F i，F2，过点F2的动直线与双曲线相 交于A，B两点. 十 | ”1 (1)若动点M满足FM F i A F i B FQ (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程; (2)在x轴上是否存在定点C，使CA ? CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不 存在，请说明理由. 实战演练 i.已知％( -2,0 ), F2 (2,0，点P满足PR - PF』=2,记点P的轨迹为E,.

双曲线-题型归纳-含答案

三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值． 解：Θ双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009 山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A ．45 B ．5 C ． 2 5 D ．5

解析：双曲线 12 222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组 21 b y x a y x ? =?? ?=+?，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选 D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009 全国Ⅰ理）设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐 近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )356解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选C ． 例4（2009 江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 2 B ．2 C ．52 D ．3

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论： 1、离心率e=a c =21）（a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离c a 2

8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点，则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+） （

例（湖南卷）已知双曲线22a x －22 b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线 交于点A ，△OAF 的面积为2 2 a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为 （D ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o 例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则n m 的值为（ ） A ．3 B ． 3 1 C ．3或 3 1 D ．以上都不对

椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 二、教材分析 1．重点：椭圆的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解． (解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变． (解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？

数学《最值问题》典型例题及答案

数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．

2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a = ． 3．如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4，点B到直线的距离BN=1，且MN=4，P为直线上的动点，|P A﹣PB|的最大值为．

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 主讲：秦岭老师 9816秦岭数学18届群：307181356 9816秦岭数学19届群：151219471 9816秦岭数学20届群：481591151 一、知识回顾 1．圆锥曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|； （2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|； （3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 3．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

解析几何范围最值问题(教师)解答

讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适 变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据 问题的实际情况灵活处理 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点 0在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上，过点 M(0，- 2)作直线I 与抛物线相交于 A , B 两点，且满足+= (— 4,— 12). (1)求直线I 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点A 运动到点B 时，求△ ABP 面积的最大值. ［满分解答］(1)根据题意可设直线I 的方程为y = kx —2，抛物线方程为x 2= — 2py(p > 0). y = kx — 2, 2 由 5 2 得 X + 2pkx — 4p = 0 X = — 2P y , 设点 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),贝 U X 1 + X 2= — 2pk ,力十 y 2= k(x 1 + X 2) — 4 =— 2p k 2— 4. 所以+= (— 4,— 12),所以—2Pk = —4, -2p k 2— 4 =— 12, 解得P = 1 , 故直线I 的方程为y = 2x — 2,抛物线方程为x 2=— 2y. k = 2. ⑵设P (X 0, y o )，依题意，知当抛物线过点 P 的切线与I 平行时，△ ABP 的面积最大. 对 y = — 1x 2 求导，得 y '=— X ，所以一X o = 2, 即卩 X o =— 2, y o = — ^x 0=— 2,即 P( — 2,— 2). 此时点P 到直线I 的距离d =書+简口峙=呼 [y = 2x — 2, 2 由 b 一 2y ,得 x + 4x -4= 0，则 x1 + x2=- 4, x1x2=- 4, |AB|=(1 + k 2 ? p (X 1 + X zf — 4X 1X 2 = 5 + 22 ?寸(—钉-4 ?(-4尸 4^10. 于是，△ ABP 面积的最大值为2x 4 锁 X 4-^5= 8返. 二、函数法求最值 2 2 【示例】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C :字+器=1(a >b >0)的离心率e = 点Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程; n)，使得直线I : mx + ny = 1与圆0: x 2+ y 2= 1相交于不同的两点 A 、B , M 的坐标及对应的^ OAB 的面积；若不存在，请说明理由. 2 2 a={3b ,椭圆 C :和 + 器=1,即卩 X 2+ 3y 2= 3b 2, (2)在椭圆C 上，是否存在点 M(m , <△ OAB 的面积最大？若存在，求出点 a ^= (1)由 e = a = ，且椭圆C 上的点到

《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252， k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时， k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）． （3）25

∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点() 223，，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例 3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．

(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 一 重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。 二 难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。 三 基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。 四 例题 １．几何法 （Ⅰ）有关点的最值问题 【练习１】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到原点距离的最大值是 ；最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习２】双曲线22 221x y a b -=上的点到原点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习３】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到焦点距离的最大值是 ；最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习４】双曲线22 221x y a b -=上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习５】抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【例１】点P 为抛物线上24x y =上一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值为 ，并求此时点P 的坐标 。 【解析】1019PB PA PC BC PA PF PA BC FA BC +=-+=+-≥-=-=，当且仅 当点P 是抛物线与FA 的交点时，9PB PA +=最小。此时，由243440x y x y ?=?-+=?解得(4,4) P 或1 (1,)4 P -（舍去．但，是PF PA -的最大值点．P 在线段外，有向线段方向问题。 PF PA -的最小值点即线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点）。 【评析】（１）如何判断点A 的位置。参照区域判断方法。 （２）折线和化为直线段。 （３）此题无最大值。 （４）若点A 在抛物线内部，如何？（过A 作x 轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为P 点。此情况也无最大值。）PF PA -的最大、最小值点？

高中数学双曲线抛物线知识点的总结

双曲线 平面内到两个定点, 的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22 22(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 2222 1x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= ( 3,A -在双曲线上 ∴(2 2 3 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离 1d = ， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离 2d =

二双曲线中线段之和的最值问题

本内研究双曲线中线段之和的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 先看例题： 例：已知F 是双曲线221412 x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 思考：P 是双曲线右支上的动点，答案如何？ 例如：已知F 是双曲线221412 x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 整理：根据双曲线的第一定义，利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三 边画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值； 图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号． 图2 再看一个例题，加深印象： 例：已知F 是双曲线22 : 2C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .

当APF ?周长最小时，求P 的坐标. 总结： 1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a -=）及三角形三边关系. 2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.

练习： 1. 已知F 是双曲线C:22 18y x -=的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________. 2. 已知F 是双曲线221412 x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________. 3. 已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x =，离心率 e =（Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如图，点A 的坐标为(，B 是圆22(1x y +-=上的点， 点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标；

双曲线中线段之差的最值问题

双曲线中线段之差的最值问题 本内容主要研究双曲线中线段之差的最值.根据双曲线的第一定义和第二定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值. 例：已知F 是双曲线的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |-|PA | 的最22 1412 x y -=大值为________. 解：由双曲线的图象， 连接F A 延长交双曲线于点P ,满足|PF |-| P A |最大. 由两点间距离公式，A (1,4),F (-4,0) 求得最大值为||AF = ,. 整理： 根据双曲线第一定义和第二定义 利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边，画出图形 利用几何图形的性质，三点共线线段之和取得最值.

例如：设为平面内一动点，、为两定点，则 P A B 当且仅当点在线段上时取得最小值； ||||||PA PB AB +≥P AB B A 图1 当且仅当点在线段（或）的延长线时取||||||||AB PA PB AB -≤-≤P AB BA 等号． B A P P 图2 再看一个例题： 例：P 为双曲线x 2－＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝y 2 15 1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________． 解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－＝1的两焦点． y 2 15

如图：当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大， |PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和， 同样|PN |最小＝|PF 2|－1， 从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5. 总结： 1.在遇到双曲线中线段差的最值问题时，常利用双曲线上点的性质（）及三角形三边关系. 12||2MF MF a -= 2. 双曲线上到的双曲线内（不含焦点的区域）一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与双曲线的交点. 3. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值. 练习：

双曲线练习题及答案

双曲线相关知识 双曲线的焦半径公式： 1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 运用双曲线的定义 例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 练习1．设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23 例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2 ＋32 y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦 点，则此双曲线的方程是（ ）。 （A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2－5 y 2=1 练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。 （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条件 例3. 已知|θ|< 2 π ,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。 （A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±12 5π 课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是2 x y ± =，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 2、焦点为（0，6），且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．124 122 2=-y x B ． 124 122 2=-x y C ． 112 242 2=-x y D ． 112242 2=-y x 3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a y b x 22 22=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22的大小关系是 。 4.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2 221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点, 则OP FP ?的取值范围为 ( ) A ．)+∞ B ．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ D ．7 [,)4 +∞ 5. 已知倾斜角为 4 π 的直线l 被双曲线x 2－4y 2=60截得的弦长｜AB ｜=82，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。 6. 已知P 是曲线xy=1上的任意一点，F(2,2)为一定点，l ：x+y －2=0为一定直线， 求证：｜PF ｜与点P 到直线l 的距离d 之比等于 2。 7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为) . （Ⅰ）求双曲线C 的方程 （Ⅱ）若直线:=l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围 8、已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。

圆锥曲线中的最值和范围问题

圆锥曲线中的最值和范围问题（一） 高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有 且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM| －|PN |的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|, 则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A) 43 (B)53 (C)2 (D)73 5．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 22 的最小值是 32 . 6．对于抛物线y 2 =4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B ) （A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］ （D ）（0，2） 高考要考什么 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 1－＝ （x >0）

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 一、圆锥曲线定义、性质 1.(文)已知F 是椭圆x 225＋y 2 9＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 [答案] D [解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1 2 |OF |·2b ＝12. 2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值 为( ) A ．1 B.2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短 轴端点，∴S ＝1 2×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22 .∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的 点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12 解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C. 点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和． 4、(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．5 B ．8 C.17－1 D.5＋2 [答案] C [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1. 5、已知点F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和 直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.115 D.3716 【解析1】直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P