第三章非稳态导热分析解法

第三章非稳态导热分析解法

本章主要要求：

１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法；

② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念

一、非稳态导热

1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1

2 ）物体的温度随时间而作周期性变化

如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍与温度为

的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。

首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。

如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若 λ=const ，则 HG 是直线）。

由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参 与换热的两个不同阶段。

（ 1 ）第一阶段（右侧面不参与换热）

温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参与换热）

当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点；

非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。

原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以，在热流量传递的方向上。

二、非稳态导热的数学模型

1 、数学模型

非稳态导热问题的求解规定的 { 初始条件，边界条件 } 下，求解导热微分方程。

2 、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题

在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚 2 、初温 to 、表面传热系数 h 、平板导热系数，将其突然置于温度为的流体

中冷却。

试分析在以下三种情况：<<1/h 、>>1/h 、=1/h 时，平板中温度场的变化。

1 ） 1/h<<

因为 1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到，随着时间的延长，平板内各点

t →如图 3-3 （ a ）。

2 ） 1/h>>

因为忽略不计，即平板内导热的流量接近于无穷大，所以任意时刻平板中各点温度接近均匀，

随着时间的延长，平板内各点 t →，而且整体温度下降如图 3-3 （ b ）。

3 ） 1/h=

平板中的温度分布介于二者之间，如图 3-3 （ c ）。

由此可见，表面对流换热热阻 1/h 与导热热阻的相对大小对物体中非稳态导热的温度场的分布

有重要影响，因此，引入表征二者比值的无量纲数，毕渥数。

3 、毕渥数

1 ）定义式：（ 3-1 ）

毕渥数属特征数（准则数）。

2 ） Bi 物理意义： Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。

3 ）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。

4 ）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。

§3 — 2 集总参数法的简化分析

一、集总参数法

1 、定义：当固体内的

λ

δ

<<

k

1

时，固体内的温度趋于一致，此时可认为整个固体在同一瞬间均处于

同一温度下，这时需求解的温度仅是时间的一元函数，而与坐标无关，好象该固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。

2 、集总参数法的计算

已知：有一任意形状的物体，其体积为 V ，面积为 A ，初始温度为 t 0 ，在初始时刻，突然将其置于温度恒为的流体中，且 t o > , 固体与流体间的表面传热系数 h ，固体的物性参数均保持常数。

试根据集总参数法确定物体温度随时间的依变关系。

解：①建立非稳态导热数学模型

方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：

∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。

∴物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即 t 仅是τ的一元函数，二与坐标 x 、 y 、 z 无关，即

=0

则：（ a ）

∵可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）。

∴界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：（ b ）

∵ t> , 物体被冷却，∴应为负值

由（ a ），（ b ）式得：（ 3-2 ）这就是瞬时时刻导热微分方程式。

方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即

物体与环境的对流散热量 = 物体内能的减少量

则有：

②物体温度随时间的依变关系

引入过余温度：

则上式表示成：

其初始条件为：

将分离变量求解微分方程，

对时间从 0 积分，则：

In

即：（）（ 3-3 ）

其中：

其中： V/A 是具有长度的量纲，记为；

毕渥数；

傅立叶数；

而 V 说明 Fov 、 Biv 中的特征长度为 V/A

故得：（ 3-4 ）

由此可见，采用集总参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指数曲线关系变化。而且开始变化较快，随后逐渐变慢。

指数函数中的

的量纲与

的量纲相同，如果时间

，则

则： 称时间常数，记为 。

的物理意义：表示物体对外界温度变化的响应程度。

当时间 时，物体的过余温度已是初始过余温度值的 36.8% 。

③ 确定从初始时刻到某一瞬间这段时间内，物体与流体所交换的热流量 首先求得瞬时热流量：

将 带入瞬时热流量的定义式得：

=

（ 3-5 ）

=

式中负号是为了使 Φ 恒取正值而引入的。

若 （物体被加热），则用 代替 即可。

然后求得从时间 0 到 时刻间的总热流量：

=

=

（ 3 — 6 ）

3 、集总参数法的判别条件

对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件：=h(V/A)/ < 0.1M （ 3-7 ） 则物体中各点间过余温度的偏差小于 5% 。其中 M 是与物体几何形状有关的无量纲数。 无限大平板： M=1 无限长圆柱： M=1/2 球 ： M=1/3

毕渥数的特征长度为 V/A ，不同几何形状，其值不同，对于：

厚度为 2 的平板：

半径为 R 的圆柱：

半径为 R 的球：

由此可见，对平板： =Bi

圆柱： = Bi /2

球体：

= Bi/3

二、毕渥数

与傅立叶数 的物理意义

1 、

1 ）定义：表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的换热热阻（即外部热阻）之比。

h B iv 1

λ

δ

=

越小，表示内热阻越小，外部热阻越大。此时采用集总参数法求解更为合适。

2 ）物理意义：

的大小反映了物体在非稳态导热条件下，物体内温度场的分布规律。

2 、

1 ）定义：

表征两个时间间隔相比所得的无量纲时间。

a l F ov 2

τ

=

分子 τ 是从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计时刻为止的时间间隔。分母可视为边界上发生的有限大小的热扰动穿过一定厚度的固体层扩散到

的面积上所需的时间。 2 ）物理意义：表示非稳态导热过程进行的程度，

越大，热扰动就越深入地传播到物体内部，因而

物体内各点的温度越接近周围介质的温度。

§3 — 3 一维非稳态导热的分析解

本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应 用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度 >> 厚度时，平板 的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可 以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大” 平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量 交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。

一、 无限大平板的分析解

已知：厚度

的无限大平板，初温

，初始瞬间将其放于温度为

的

流体中，而且

> ，流体与板面间的表面传热系数为一常数。 试确定在非稳态过程中板内的温度分布。

解：如图 3-5

对于

x 0 的半块平板，其导热微分方程：

(0

, ) （ 3-8 ）

定解条件：

t(x,0)=

(0

x )

（边界条件）

（边界条件）

引入过余温度：

则

（

0

, ） (3-9)

(x,0)=

(0

x

) （初始条件）

（边界条件）

（边界条件）

对偏微分方程 分离变量求解得：

（ 3-10 ）

其中离散值 是下列超越方程的根，称为特征值。…… （ 3-11 ）

其中 Bi 是以特征长度为 的毕渥数。

由此可见：平板中的无量纲过余温度 与三个无量纲数有关：以平板厚度一半 为特征长度的傅立

叶数、毕渥数及

即：

（ 3-12 ）

二、非稳态导热的正规状况阶段

1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系

前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当 Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于 1% ，因此，当 Fo>0.2 时，采用以下简化结果：

（ 3-13 ）

其中特征值

之值与 Bi 有关。

由上式（ 3-13 ）可知： Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度 (x ， τ) 与平板中心的过余温度 (0 ，

τ)=

（ τ ）之比为：

（ 3-14 ）

此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当 Fo>0.2 以后，虽然 (x ， τ) 与 （ τ ）

各自均与 τ 有关，但其比值则与 τ 无关，而仅取决于几何位置（δx ）及边界条件（ Bi ）。也就是说，

初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要 Fo>0.2 ， )()

,(τθτθm x 之值是一个常数，也就是无量纲的温度分布是一样的。

由此可见，当 Fo>0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。

2 、在一个时间间隔内非稳态导热过程中传递的热量

1 ） 从物体初始时刻平板与周围介质处于热平衡，这一过程中传递的热量：

（ 3-15 ）

此值为非稳态导热过程中传递的最大热量。

2 ） 从初始时刻到某一时间 τ ，这段时间内所传递的热量

：

（ 3-16 ）

3 ）

之比：

(3-17)

其中：

是时刻 τ 物体的平均过余温度，

。

对于无限大平板，当 Fo>0.2 ，将式（ 3-13 ）代入 的定义式，可得：

（ 3-18 ）

对圆柱体、球体>0.2 时，无穷级数的解也可用第一项近似代替，并且及可表示为：

（3-19 ）

（3-30 ）

其中：η为无量纲几何位置，对平板，对柱体及球体，R 为外表面半径，系数

A 、

B 及函数的表达式取决于几何形状，见教材表3-2 所示。

三、正规阶段状况的实用计算方法

当Fo>0.2 时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。

1 、诺模图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。

2 、海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。

首先根据（3—13 ）式给出随Fo 及Bi 变化的曲线（此时x/δ=0 ），然后根据（3 —14 ）

式确定的值，于是平板中任意一点的值便为：（3-21 ）

同样，从初始时刻到时刻τ物体与环境间所交换的热量，可采用（ 3 —15 ）、（3 —17 ）作出

曲线。

3 、诺模图法评述

优点：简洁方便。

缺点：准确度有限，误差较大。

目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。

四、分析解应用范围的推广及讨论

1 、推广范围

1 ）对物体被冷却的情况也适用；

2 ）也适于一侧绝热，另一侧为第三类边界条件的厚为δ的平板；

3 ）当固体表面与流体间的表面传热系数h 时，即表面换热热阻0 时，所以时分析解

就是固体表面温度发生一突然变化然后保持不变时的解，即第一类边界条件的解。

2 、讨论Bi 与Fo 对温度场的影响：

1 ）傅立叶数Fo ：

由(3-10) 、(3-13) 式及诺模图可知：物体中各点的过余温度随时间τ的增加而减小；而Fo 与成正比，所以物体中各点过余温度亦随Fo 的增大而减小。

2 ）毕渥数Bi

Bi 对温度的影响从以下两方面分析：

一方面，从教材图3 —6 可知，Fo 相同时，Bi 越大，越小。因为，Bi 越大，意味着固体表面的换热条件越强，导致物体的中心温度越迅速地接近周围介质的温度；当Bi 时，意味着在过程开始瞬间物体表面温度就达到介质温度，物体中心温度变化最快，所以在诺模图中1/Bi=0 时的线就是壁面温度保持恒定的第一类边界条件的解。

另一方面Bi 的大小决定于物体内部温度的扯平程度。如：对于平板，从诺模图3 —7 中可知：

当>10 （即Bi<0.1 ）时，截面上的过余温度差小于5 %

当Bi 下限一直推到0.01 时，其分析解与集总参数法的解相差极微。

综上可得如下结论：介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解；当Bi 时，转化为第一类边界条件下的解，Bi 0 时，则与集总参数法的解相同。

§3 — 4 二维及三维非稳态导热问题的求解

一、求解方法

对于典型的几何形状的物体，可利用一维非稳态导热问题分析解的组合求得。

如图 3-9 所示：无限长方柱体的非稳态导热问题，属二维导热问题。截面 尺寸为：

的方柱体可视为两块厚度分别为

及

的无限大平板 垂直相交所截出的物体。

讨论的目的：找出二维温度场与两块无限大平板的温度场之间的关系。 已知：方柱体初温为 to ，初始时放于 t 流体中，表面传热系数为 h. 试求：温度场分布。

解：如图 3-9 所示，建立坐标系，由于其对称性，只研究其

截面的温度分布，截面上的温度分布由

下列导热微分方程和定解条件确定：

（ 3-22 ）

（ I ）

（ II ）

（ III ）

（ IV ）

式中：

为无量纲过余温度。 如果无量纲过余温度

与

分别是处于与方柱体同样定解条件下的厚度分别为

及

的无限大平板的分析解，则它们必须满足各自的导热微分方程及定解条件，即：

（ 3-23 ）

（ V ）

( VI )

( VII )

及

（ 3-24 ）

只要证明：两块无限大平板分析解的乘积就是上述无限长方柱体的分析解，即：

（ 3-25 ）证明：

首先证明式（ 3-25 ）满足导热微分方程（ 3-22 ），为此将式（ 3-25 ）代入式（ 3-22 ）的左右两端得：

左端：

右端：

左端减去右端得：

－

= －+ =0

∴证明满足微分方程

其次证明：满足初始条件

根据及的初始条件和得：

∴证明满足初始条件

最后证明：满足边界条件

将式（ 3-25 ）代入边界条件（ I ），并注意到式（ VII ）的关系得

= [ ]= *0=0

同样可以证明它也满足式（ 3-34 ）。

再将式（ 3-25 ）代入边界条件（ III ），并注意到式（ VI ）的关系得

=0* =0

同理可证明它也满足式（ IV ）。

∴证明满足边界条件

综上可知：是上述无限长方柱体导热微分方程的解。

结论：

此方法是多维非稳态导热的求乘积解法，此法适用于第一类边界条件，且时。

同理，对长圆柱体，矩六柱体等二维，三维非稳态导热问题，可以用相应的二个或三个一维问题的解的乘积来表示其温度分布。

——表示无限大平板的解

——表示无限长圆柱体的解

则：

（ a ）：

（ b ）：

（ c ）：

二、乘积解法的适用条件

? 初始温度为常数，

const ； ? 第一类边界条件，

const ； ? 第三类边界条件，

const 、 h=const ；

? 线性微分方程，且定解条件均为齐次，即乘积解中温度必须以过余温度或无量纲过余温度的形式表示。 说明：对于形状复杂或边界条件复杂，分析解法无能为力，应借助其它的求解的方法， 如 ① 数值解法； ② 实验模拟法。

§3 — 5 半无限大物体的非稳态导热

一、半无限大物体的概念

几何上是指从 x=0 的界面开始可以向正的 x 方向及其他两个坐标（ x,y ）方向无限延伸的物体，称半无限大物体。

实际中不存在该物体，但研究物体中非稳态导热的初始阶段，可把实物看为该物体处理。 如：有限厚度的平板，起初有均匀温度，后其侧表面突然受到热扰动，如 ? 壁温突然升高到一定值并保持不变； ? 壁面突然受到恒定的热流量密度加热； ? 壁面受到温度恒定的流体的加热或冷却。

当扰动的影响只局限在表面附近，而尚未进入平板内部时，就可视该平板为，“半无限大”物体。

如图 3-11 所示：已知半无限大物体初始温度均匀为（ to ），当 =0 时， x=0 侧表面温度突然升高到

，并保持不变，试确定物体内温度随时间 的变化和在时间间隔 [0 ， τ] 内的热流量。 解： 1 、物体内的温度分布

根据半无限大物体的定义，得出其导热微分方程：

（ 3-26 ）

初始条件为： τ=0 时，

边界条件为： x=0 时，

x → 时，

引入过余温度：

则有：

（ 3-27 ）

τ=0 时，

x=0 时，

x → 时，

将微分方程分离变量并求解得分析解为：

=erf （） =erf η（ 3-28 ）

其中：无量纲变量η= ； erf η称为误差函数，它随η的变化而变化，由附录表可知：

当η=2 时，=0.9953 ，就是说当η 2 即 2 时，该处 x 的温度仍认为等于 to （无

量纲过余温度的变化小于 5% ），由此得到以下两个重要参数：

①从几何位置上说，若，则时刻τ时 x 处的温度可认为未发生变化。

所以，对且厚为 2δ的平板，当其一侧温度突然变化到另一恒定温度时，若δ，则在τ时刻之前该平板中瞬时温度场的计算可采用半无限大物体模型处理。

②从时间上看，如果，则此时 x 处的温度可认为完全不变，所以把视为惰性时间，即当

时 x 处的温度可认为仍等于。

2 、表面上的瞬时热流密度及在 [0 ，τ] 时间间隔内放出或吸收的热量：

物体中任意一点的热流密度：

（ 3-29 ）

则，表面上的热流密度为：（ 3-30 ）

在时间[0 ，τ] 内，流过面积 A 的总热流流量：

（3-31 ）由此可见：

①半无限大物体在第一类边界条件影响下被加热或冷却时，界面上的瞬时热流量与时间的平方根成反比；

②在时间 [0 ，] 内交换的总热量则正比于及时间的平方根。

其中：称为吸热系数，表示物体与其接触的高温物体吸热的能力。

三、半无限大物体概念的适用范围

只适于物体非稳态导热的初始阶段，当物体表面上的热扰动已深入传递到物体内部时，就不再适用，则应采用前述分析方法。

补充：

一、非稳态导热问题求解思路

?解一维非稳态导热问题的基本思路

1 ）首先，用 Bi 检验是否满足集总参数法的条件，若性质属于 h 或δ未知，可先假设，然后校核；

2 ）若不能用集总参数法，可采用分析解法 { 诺模图法和近似公式法 } ；

3 ）若 2 ）， 1 ）方法均不能求解，则采用数值解法。

?多维非稳态导热问题的求解方法

1 ）是否满足乘积解法的条件；

2 ）合理将一个多维问题分析成几个一维问题。

二、物体内速度变化的规律

?温度变化最慢的点位于物体的体心或形心；

?温度变化最快的点位于离物体的体心或形心最远处。

(完整版)传热学期末考试试题

传热学（一） 第一部分选择题 ?单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1. 在稳态导热中 , 决定物体内温度分布的是 ( B) A. 导温系数 B. 导热系数 C. 传热系数 D. 密度 2. 下列哪个准则数反映了流体物性对对流换热的影响 ?(C ) A. 雷诺数 B. 雷利数 C. 普朗特数 D. 努谢尔特数 3. 单位面积的导热热阻单位为 ( B)

A. B. C. D. 4. 绝大多数情况下强制对流时的对流换热系数 (C ) 自然对流。 A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法比较 5. 对流换热系数为 100 、温度为 20 ℃的空气流经 50 ℃的壁面，其对流换热的热流密度为（D ） A. B. C. D. 6. 流体分别在较长的粗管和细管内作强制紊流对流换热，如果流速等条件相同，则（ C） A. 粗管和细管的相同 B. 粗管内的大 C. 细管内的大 D. 无法比较 7. 在相同的进出口温度条件下，逆流和顺流的平均温差的关系为（ A） A. 逆流大于顺流 B. 顺流大于逆流 C. 两者相等 D. 无法比较

8. 单位时间内离开单位表面积的总辐射能为该表面的（A ） A. 有效辐射 B. 辐射力 C. 反射辐射 D. 黑度 9. （D ）是在相同温度条件下辐射能力最强的物体。 A. 灰体 B. 磨光玻璃 C. 涂料 D. 黑体 10. 削弱辐射换热的有效方法是加遮热板，而遮热板表面的黑度应（B ） A. 大一点好 B. 小一点好 C. 大、小都一样 D. 无法判断 第二部分非选择题 ?填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11. 如果温度场随时间变化，则为。非稳态温度场

非稳态导热习题

第三章 非稳态导热习题 例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）

第三章非稳态导热分析解法

第三章非稳态导热分析解法 本章主要要求： １、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化 如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍与温度为 的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。 如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若 λ=const ，则 HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参 与换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点； 非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。

(20、21)第四章 4.3 非稳态导热

1主要内容本节介绍非稳态导热的分析解法，最后简要介绍导热问题的数值解法。4.3 非稳态导热 4.3非稳态导热 ：温度场随时间变化的导热过程。 2 非稳态导热非稳态导热的类型： （1）周期性非稳态导热： （2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内 燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。 在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如 热处理工件的加热或冷却等。 讨论一维非周期性非稳态导热的分析解法及求解特殊非稳态导热问题的集总参数法。 了解和掌握非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的计算方法。本节主要内容：主要目的： 1.一维非稳态导热问题的分析解3第三类边界条件下大平壁、长圆柱及球体的加热或冷却是工程上常见的一维非稳态导热问题。（1）无限大平壁冷却或加热问题的分析解简介 假设：厚度为δ、热导率λ、热扩散率a 为常数，无内热源，初始温度与两侧的流体相同并为t 0。两侧流体温度突然降低为t ∞，并保持不变，平壁表面与流体间对流换热表面传热系数h 为常数。 考虑温度场的对称性，选取 坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。这是一维的非稳态导热问题。41)数学模型：（对称性）引进无量纲过余温度、无 量纲坐标，Fo 是无量纲特征数，称为傅里叶数称为毕渥数 令过余温度 5傅里叶数的物理意义： Fo 为两个时间之比，是非 稳态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：Bi 为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。 由无量纲数学模型可知，Θ是Fo 、Bi 、X 三个无量纲参数的函数确定此函数关系是求解该非稳态导热问题的主要任务。2）求解结果：6解的函数形式为无穷级数，式中β1,β2,···，βn 是下面超越 方程 的根 根有无穷多个，是Bi 的函数。无论Bi 取任何值，β1,β2,···，βn 都是 正的递增数列，Θ的解是一个快速 收敛的无穷级数。 2y 由解的函数形式可以看出，Θ确实是Fo 、Bi 、X 三 个无量纲特征数的函数

传热学问答题

1、试分析室内暖气片的散热过程，各个环节有哪些热量传递方式？以暖气片管内走热水为例。 答：有以下换热环节及传热方式： (1) 由热水到暖气片管道内壁，热传递方式为强制对流换热； (2) 由暖气片管道内壁到外壁，热传递方式为固体导热； (3) 由暖气片管道外壁到室内空气，热传递方式有自然对流换热和辐射换热。 2、写出Nu 、Re 、Pr 、Bi 、Fo 数的表达式，并说明其物理意义。 答：（1）努谢尔特数，，它表示壁面法向无量纲过余温度梯度的大小，或反映对流换热的强弱。 （2）雷诺数，，它表示流体流动时惯性力与粘性力的相对大小。 （3）普朗特数，，它反映了流体的动量传递能力与热量 传递能力的相对大小。 （4）毕渥数，，它表示物体内部导热热阻与物体表面对 流换热热阻的比值。 （5）傅立叶数，，是非稳态导热过程的无量纲时间,它表示非稳态导热过程进行的深度。 3、热扩散系数是表征什么的物理量？它与导热系数的区别是什么？ 答：热扩散率，与导热系数一样都是物性参数， 它是表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向均匀一致的能力。热扩散率取决于导热系数和的综合影响；而导热系数λ是反映物体的导热能力大小的物性参数。 一般情况下，稳态导热的温度分布取决于物体的导热系数，但非稳态导热的温度分布不仅取决于物体的导热系数，还取决于物体的导温系数。 4、集总参数法的适用条件是什么？满足集总参数法的物体，其内部温度分布有何特点？ 答：集总参数法的适用条件是Bi<0.1，其特点是当物体内部导热热阻远小于外部对流换热热阻时，物体内部在同一时刻均处于同一温度，物体内部的温度仅是时间的函数，而与位置无关 8、影响强制对流换热的表面换热系数的因素有哪些？ 答：影响强制对流换热的表面换热系数的因素有流态、流体的物性、换热表面的几何因素等，用函数表示为： 9、沸腾换热的临界热流密度的含义是什么？ 答：在泡态沸腾阶段时，液体温度与壁面温度之差若进 一步增大，汽泡在表面上生成、长大，随后引因浮力作用而离开表面。沸腾的液体主体温度这时有一定的过热 度，故汽泡通过液体层时还会继续被加热、膨胀，直到 逸出液面，由于气泡的大量迅速生成和它的剧烈运动，换热强度剧增，热流密度随的提高而急剧增大，直到达到热流密度的峰值，此时的热流密度称为临界热流密度。当进一步增大时，热流密度又开始下降。 14、不凝结气体对表面凝结换热强弱有何影响？ 答：不凝结气体的存在，一方面使凝结表面附近蒸汽的分压力降低，从而蒸汽饱和温度降低，使得传热驱动力即温差减小；另一方面，凝结蒸汽穿过不凝结气体层到达壁面依靠的是扩散，从而增加了阻力。因此，上述两方面原因导致凝结换热时的表面传热系数降低。 15、空气横掠垂直管束时，沿流动方向管排数越多，换热越强，而蒸汽在水平管束外凝结时，沿液膜流动方向管排数越多，换热强度降低，为什么？ 答：空气横掠垂直管束时，沿流动方向管排数越多，气流扰动越强，换热越强，而蒸汽在水平管束外凝结时，沿液膜流动方向管排数越多，凝结液膜越厚，凝结换热热阻越大，换热强度降低。 16、写出时间常数的表达式，时间常数是从什么导热问题中定义出来的？它与哪些因素有关？ 答：时间常数的表达式为， 是从非稳态导热问题中定义出来的，它不仅取决于几何参数V/A,物性参数PC ，还取决于换热条件h 。 8、其它条件相同时，同一根管子横向冲刷与纵向冲刷相比，哪个的表面换热系数大？为什么？ 答：同一根管子横向冲刷比纵向冲刷相比的表面换热系数大。因为纵向冲刷时相当于外掠平板的流动，热边界层较厚，热阻较大；而横向冲刷时热边界层较薄且在边 界层由于分离而产生的旋涡，增加了流体扰动，因而换 热增强。 23、在寒冷的北方地区，建房用砖采用实心砖还是多孔的空心砖好？为什么？ 答：采用空心砖较好，因为空心砖内部充满着空气，而空气的导热系数相对较小，热阻较大，空心砖导热性较之实心砖差，同一条件下空心砖的房间的散热量小保温性好。 25、北方深秋季节的清晨，树叶叶面上常常结霜。试问树叶上、下表面的哪一面上容易结霜？为什么？ 答：霜会容易结在树叶的上表面，因为树叶上表面朝向太空，而太空表面的温度会低于摄氏零度；下表面朝向地面，而地球表面的温度一般在零度以上。相对于下表面来说，树叶上表面向外辐射热量较多，温度下降的快，一旦低于零度时便会结霜。 27、窗玻璃对红外线几乎是不透过的，但为什么隔着玻璃晒太阳却使人感到暖和？ 答：窗玻璃对红外线几乎不透过，但对可见光则是可透过的，当隔着玻璃晒太阳时，太阳光可以穿过玻璃进入室内，而室内物体发出的红外线却被阻隔在室内，因房 间内温度越来越高，从而感到暖和。 29、用热电偶监测气流温度随时间变化规律时，应如何选择热电偶节点的大小？ 答：在其它条件相同时，热电偶节点越大，它的温度变化一定幅度所需要吸收（或放出）的热量越多，此时虽然节点换热表面积也有所增大，但其增大的幅度小于体 λ l h Nu = ν ul =Re λ l h Bi =a ν=Pr 2δ τa Fo =c a ρλ=λc ρ),,,,,,,,(l c t t u f h p f w μαρλ=t ?t ?t ?hA cV ρτ=

稳态导热习题(2020年整理).pdf

稳态导习题 1 固体内的一维导热问题 例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2，试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，x 坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为： 2v 2d 0d q t x λ += （1） 边界条件： x= -δ: t=t w1 x= δ: t=t w2 （2） 移项后积分该微分方程式两次可得其通解 v 1d d q t x C x λ =?+ 2v 122q t x C x C λ =?++ （3） 代入边界条件 2v w112()()2q t C C δδλ=??+?+ （4） 2v w2 122q t C C δδλ=?++ （5） 式（4）+式（5） 2 w1w2v 22δλ+= +t t q C （6） 式（4）－式（5） w2w1 12t t C δ ?= （7） C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式 22v w2w1w2w1(2)222 δλδ?+= ?++q t t t t t x x （8） 例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为t w ，试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为： 2v 2d 0d q t x λ += （1） 边界条件：x=0: d 0d t x =

传热学2章稳态导热总结问答题及答案

一、名词解释 稳态温度场：物体内各点温度不随时间变化的温度场。 等温面 ：温度场中同一瞬间温度相同点组成的面。 热扩散率（或导温系数）：表征物体内部温度趋于一致的能力，为c ρλα= 肋效率：肋片的实际散热量与假设整个肋片表面处于肋基温度下的散热量之比。 二、解答题和分析题 1．写出傅里叶定律的一般形式的数学表达式，并说明其中各个符号的意义。 答：傅里叶的一般表达式为：n n t gradt q ??-=-=λλ。 其中：q 是热流密度矢量；λ为导热系数，它表示物质导热本领的大小；gradt 是空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向，“-”号表示热量沿温度降低的方向传递。 2、写出傅里叶定律的文字表达式。 答：在导热中，单位时间内通过给定截面面积的导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。 3、等温面与等温线的特点，不同温度的等温面(线)能相交不？ 答：1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交； 2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上； 3）物体的温度场通常用等温面或等温线表示，若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线越密反映出该区域导热热流密度的越大。 不同温度的等温面(线)不能相交 4．得出导热微分方程所依据的是什么基本定律? 答：傅里叶定律和能量守恒定律。 5．解释材料的导热系数λ和导温系数α之间的区别和联系? （或热扩散率α的定义及物理意义。） 答：从表达式看，导温系数c ρλ/a =与导热系数成正比关系，但导温系数不但与材料的导热系数有关，还与材料的热容量(或储热能力)也有关；从物理意义看，导热系数表征材料导热能力的强弱，导温系数表征材料传播温度变化的能力的大小，两者都是物性参数。

传热学 第3章-非稳态导热分析解法

第三章 非稳态导热分析解法 1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ 2）物体的温度随时间而作周期性变化 1）物体的温度随时间而趋于恒定值 如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的 表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为 0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。 首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升， 而其余部分仍保持原来的t 0 。 如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温 度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也 逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。 最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定， 如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面 参与换热与不参与换热的两个不同阶段。 （1）第一阶段（右侧面不参与换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （2）第二阶段，（右侧面参与换热） 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。

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【最新整理，下载后即可编辑】 第三章 思考题 1. 试说明集中参数法的物理概念及数学处理的特点 答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。 2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数 hA cv c ρτ= ,形状 上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。 3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。

4.什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物 理过程及数学处理上都有些什么特点? 答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x)和边界条件(Bi数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。 5.有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算 所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 6.试说明Bi数的物理意义。o Bi→及∞ Bi各代表什么样的换热 → 条件?有人认为, ∞ → Bi代表了绝热工况,你是否赞同这一观点,为什么?

稳态导热例题

“稳态导热”例题 例题1：某加热炉炉墙由厚460mm 的硅砖、厚230mm 的轻质粘土砖和厚5mm 的钢板组成，炉墙内表面温度为1600℃，外表面温度为80℃，三层材料的导系数分别为 1.85 W/(m ? K)、0.45 W/(m ? K)和40 W/(m ? K)。已知轻质粘土砖最高使用温度为1300℃，求该炉墙散热的热流密度？并确定轻质粘土砖是否安全？ 解： (1) 3 322114131 4 1λδλδλδλδ++-= -=Φ= ∑=w w i i i w w t t t t A q 2 W/m 200040 /05.045.0/23.085.1/46.080 1600=++-= (2) 1 12 1λδw w t t q -= 1300110285 .146.0200016001112<=?-=-=?λδq t t w w ℃ 因此，轻质粘土砖是安全的。 例题2：某炉壁由厚度=1 δ250mm 的耐火粘土制品层和厚度=2 δ500mm 的红砖层组成。内壁温度=w1t 1000℃，外壁温度=w3 t 50℃。已知耐火粘土制品的导热系数可表示为

t 000233.028.01+=λ，红砖的导热系数近似为 7.02 =λW/(m ? K)。试求稳定运行时，该炉壁单位面积上的散热损失和层间接触界面的温度。 解：由于接触界面温度w2 t 未知，因此无法计算耐火粘土制品层的平均温度，进而无法求得该层的导热系数。现用工程计算中广泛应用的试算法求解。 假设接触界面温度600w2 =t ℃，则耐火粘土制品层的导热系数为 ) K W/(m 466.0 ]2/)6001000[(000233.028.0 ] 2/)[(000233.028.0000233.028.0w2w11?=+?+=++=+=t t t λ 两层炉壁单位面积的散热损失为 2 3 32 2 11w3 w1 W/m 760 7 .010500466.01025050 1000=?+ ?-= +-= --λδλδt t q 校核所假设接触界面的温度w2 t ，得 1 1w2 w1/λδt t q '-= ℃ 593 466 .01025076010003 11w1w2 =?? -=-='-λδq t t 593w2 ='t ℃与假设600 w2 =t ℃相差不大，可认为上述

稳态导热问题

第二章部分答案-稳态导热 2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103?W/m 3。已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ?，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2?，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？ 解： (1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为： 022=Φ+λ&dx t d 边界条件为：0=x ，0=dx dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ 2&（根据热平衡求得：δΦ=-∞&)(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为： ∞+Φ+-Φ=t h x t δδλ&&)(222 (2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即 0=dx dt )： 117.5 30450)107()103()107(182103225252=+???+????=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ&&℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有ax e -Φ=Φ0&&的内热源，其中0Φ&是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。 解：由题意导热微分方程 0022=Φ+-ax e dx t d &λ 又x=0处t=t1,x=δ处t=2t 积分并结合边界条件可得 λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=--&&&& 令0=dx dt

可得：当()??????-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。 2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ&来表示，且ax e -Φ=Φ 0&&，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试： 导出器壁中温度分布的表达式。 确定x=0处的温度。 确定x=δ处的热流密度。 解： 022=Φ+λ&dx t d （1） 边界条件 r=0,0=dx dt (2) 00,t t r r == (3) 三式联立得 ()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ 当x=δ时，2t t = 所以 ()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ&，导热系数为1λ。导线外包有一层 绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。过程是稳态的，试： 列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。 求解导线与绝缘材料中温度分布。 提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。 解：导线中温度场的控制方程为：0111=???? ??Φ+λ&dr dt r dr d r ； 环形绝缘层中温度场的控制方程为：012=??? ??dr dt r dr d r 。 边界条件：对为有限；时，，110t r t = dr dt dr dt t t r r 2211211,λλ-=-==时，。

第三章非稳态导热分析解法

第三章非稳态导热分析解法 本章主要要求： １、重点内容：①非稳态导热的基本概念及特点； ②集总参数法的基本原理及使用； ③一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容：①确定瞬时温度场的方法； ②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。 许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。 §3—1 非稳态导热的基本概念 一、非稳态导热 1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分： 1 ）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即： 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化 如图 3-1 所示，设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温 度突然升高到 并保持不变，而右侧仍和温度为 的空气接触，试分 析物体的温度场的变化过程。 首先，物体和高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍 保持原来的 t 0 。 如图中曲线 HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范 围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线 HCD 、 HE 、 HF 。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线 HG （若λ=const ，则 HG 是直线）。 由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参和换热和不参 和换热的两个不同阶段。 （ 1 ）第一阶段（右侧面不参和换热） 温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受 t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。 （ 2 ）第二阶段，（右侧面参和换热） 当右侧面参和换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。 2 ）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。 3 、特点； 非稳态导热过程中，在和热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。 原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以，在热流量传递的方向上。 二、非稳态导热的数学模型 1 、数学模型 非稳态导热问题的求解规定的 { 初始条件，边界条件 } 下，求解导热微分方程。 2 、讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题 在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征和边界条件参数的关系。 已知：平板厚 2 、初温 to 、表面传热系数 h 、平板导热系数，将 其突然置于温度为的流体中冷却。 试分析在以下三种情况：<<1/h 、>>1/h 、=1/h 时，平板中温度场 的变化。 1 ） 1/h<< 因为 1/h 可忽略，当平板突然被冷却时，其表面温度就被冷却到，随着时

非稳态导热例题

“非稳态导热”例题 例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉 内被加热。已知圆钢的导热系数为35 W/(m ?K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460kJ/(kg ?K)， 加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2?K)。现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。 解 特征尺寸A V /为 m 0136.0)1060(14.34 13.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=???+???????=?+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为 05.02 11.01.0039.0350136.0100)/(v =?=<=?==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。 θθρτ0ln hA cV = 即 s 548.14 1250 850125020ln 100)10460.0(78003=--??=τ 则该圆钢在加热炉内的通过速度为 m /s 0109.014 .5486===τL v 例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。平板 两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。 已知铜和钢的热扩散率分别为610103-?m 2/s 和6 109.12-?m 2/s 。

(125.0==铜 钢钢铜a a ττ) 例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。试说明 该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？ 例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ?K)，导热系数为53.5W/(m ?K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间 的表面传热系数为407 W/(m 2?K)。试求单面加热30min 时该钢板的中心温度以及两面加热 到相同的中心温度需要的时间。 解：(1) 考虑单面加热时，特征尺寸为1m .0cm 10==δ，则毕渥数Bi 为 1.076.05 .531.0407>=?==λδ h Bi 因此不能采用集总参数法求解，可采用图解分析法。钢板中心处无量纲尺寸η为 5.01.01052 =?==-δηx 30min 时的傅里叶数Fo 为 68.21.0)6030()]5.4607800/(5.53[)/(2 22=???= ==δρλδτc a Fo 而毕渥数的倒数1-Bi 为 31.176.011==-Bi 查诺模图可得 93.0 ,21.0m 0m ==θθθθ 则钢板中心的无量纲过余温度0/θθ为 195.093.021.0m 0m f 0f 0=?==--=θθθθθθt t t t 因此钢板中心温度t 为 970)120020(195.01200)(f 00 f =-?+=-+=t t t t θθ℃ (2) 考虑两面加热时，特征尺寸为0.05m cm 2/102/==δ，则毕渥数Bi 为 1.038.05 .5305.0407>=?==λδ h Bi 因此仍不能采用集总参数法求解，可应用图解分析法。此时钢板中心的无量纲过余温度为

稳态导热习题解析

稳态导热习题解析 1 固体内的一维导热问题 例1 具有均匀内热源强度q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 t w1和t w2。 试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，这是导热系数为常数但有均匀内热源强度的稳态导热现象，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为 2v 2d 0d q t x λ += （1） 边界条件： x= -δ: t=t w1 x= δ: t=t w2 （2） 移项后积分该微分方程式两次可得其通解 v 1d d q t x C x λ =-+ 2v 122q t x C x C λ =-++ （3） 代入边界条件 2v w112()()2q t C C δδλ=--+-+ （4） 2v w2 122q t C C δδλ=-++ （5） 式（4）+式（5） 2 w1w2v 22δλ+= +t t q C （6） 式（4）－式（5） w2w1 12t t C δ -= （7） C 1和C 2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式 22v w2w1w2w1(2)222 δλδ-+= -++q t t t t t x x （8） 例2具有均匀内热源q v 的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数， 两侧壁温各自均布且相同，均为t w 。 试求该平壁内的温度分布表达式。 解: 根据题意，所用的导热微分方程式同上。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x 坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为 2v 2d 0d q t x λ += （1）

稳态导热问题

第二章部分答案-稳态导热 2-46. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103?W/m 3。已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ?，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2?，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？ 解： (1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为： 022=Φ+λ dx t d 边界条件为：0=x ，0=dx dt ； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ 2 （根据热平衡求得：δΦ=-∞ )(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为： ∞+Φ+-Φ= t h x t δδλ )(222 (2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即 0=dx dt )： 117.5 30450)107()103()107(182103225252=+???+????=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ ℃ 2-47 核反应堆的辐射防护壁因受γ射线的照射而发热，这相当于防护壁内有 ax e -Φ=Φ0 的内热源，其中0Φ 是X=0的表面上的发热率，a 为已知常数。已知 x=0处t=t1,x=δ处t=2t ,试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数λ为常数。 解：由题意导热微分方程 0022=Φ+-ax e dx t d λ 又x=0处t=t1,x=δ处t=2t

积分并结合边界条件可得 λδλλλδ2012020210a t x a e a t t a e t a ax Φ++Φ-Φ+--Φ=-- 令0=dx dt 可得：当()??????-+Φ--=-δδλδa e t t a a x a 1ln 1021时，t 最大。 2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为δ的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，外表面维持在恒定温度2t 。γ射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源Φ 来表示，且ax e -Φ=Φ0 ，a 为常数，x 是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试： 导出器壁中温度分布的表达式。 确定x=0处的温度。 确定x=δ处的热流密度。 解： 022=Φ+λ dx t d （1） 边界条件 r=0,0=dx dt (2) 00,t t r r == (3) 三式联立得 ()()20201t x a e e a t ax a +-Φ+-Φ=--δλδλδ x=0时；()202011t a e a t a +Φ+-Φ=-λδλδ 当x=δ时，2t t = 所以 ()110-Φ-=-=-ax e a dx dt q λ 2-49 一半径为1r 的长导线具有均匀内热源Φ ，导热系数为1λ。导线外包有一层 绝缘材料，其外半径为2r ,导热系数为2λ。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h ，环境温度为∞t 。过程是稳态的，试： 列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。

非稳态导热习题

第三章 非稳态导热习题 例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。通电时其温度为t 0。试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 [解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 电热器以辐射换热方式散失的热量为： 44r f ()A T T σΦ=- （1） 以对流换热方式的热量为： c f ()hA T T Φ=- （2） 电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。若只考虑电热器的热力学能 r c d d T cV ρτ -Φ-Φ= （3） 因此，相应的微分方程式为： 44f f d ()()d T A T T hA T T cV σρτ -+-=- （4） 初始条件为： τ=0， t =t 0 （5） 上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。 例 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。 [解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为： c f ()hA T T Φ=- （1） 保险丝的内热源为： Q 0=IR 2 （2） 式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。 根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。若只考虑保险丝的热力学能 c 0d d T Q cV ρτ -Φ+= （3）

传热学问答题目解析

第一章 思考题 1． 试用简练的语言说明导热、对流换热及辐射换热三种热传递方式之间的联系和区别。 答：导热和对流的区别在于：物体内部依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递现象，称为导热；对流则是流体各部分之间发生宏观相对位移及冷热流体的相互掺混。联系是：在发生对流换热的同时必然伴生有导热。 导热、对流这两种热量传递方式，只有在物质存在的条件下才能实现，而辐射可以在真空中传播，辐射换热时不仅有能 量的转移还伴有能量形式的转换。 2． 以热流密度表示的傅立叶定律、牛顿冷却公式及斯忒藩－玻耳兹曼定律是应当熟记的传 热学公式。试写出这三个公式并说明其中每一个符号及其意义。 答：① 傅立叶定律：dx dt q λ-=，其中，q －热流密度；λ－导热系数；dx dt －沿x 方 向的温度变化率，“－”表示热量传递的方向是沿着温度降低的方向。 ② 牛顿冷却公式： )(f w t t h q -=，其中，q －热流密度；h －表面传热系数；w t －固体表面温度；f t －流体的温度。 ③ 斯忒藩－玻耳兹曼定律：4T q σ=，其中，q －热流密度；σ－斯忒藩－玻耳 兹曼常数；T －辐射物体的热力学温度。 3． 导热系数、表面传热系数及传热系数的单位各是什么？哪些是物性参数，哪些与过程有 关？ 答：① 导热系数的单位是：W/(m.K)；② 表面传热系数的单位是：W/(m 2.K)；③ 传热系数的单位是：W/(m 2.K)。这三个参数中，只有导热系数是物性参数，其它均与过程有关。 4． 当热量从壁面一侧的流体穿过壁面传给另一侧的流体时，冷、热流体之间的换热量可以 通过其中任何一个环节来计算（过程是稳态的），但本章中又引入了传热方程式，并说它是“换热器热工计算的基本公式”。试分析引入传热方程式的工程实用意义。 答：因为在许多工业换热设备中，进行热量交换的冷、热流体也常处于固体壁面的两侧，是工程技术中经常遇到的一种典型热量传递过程。 5． 用铝制的水壶烧开水时，尽管炉火很旺，但水壶仍然安然无恙。而一旦壶内的水烧干后， 水壶很快就烧坏。试从传热学的观点分析这一现象。 答：当壶内有水时，可以对壶底进行很好的冷却（水对壶底的对流换热系数大），壶底的热量被很快传走而不至于温度升得很高；当没有水时，和壶底发生对流换热的是气体，因为气体发生对流换热的表面换热系数小，壶底的热量不能很快被传走，故此壶底升温很快，容易被烧坏。 6． 用一只手握住盛有热水的杯子，另一只手用筷子快速搅拌热水，握杯子的手会显著地感 到热。试分析其原因。 答：当没有搅拌时，杯内的水的流速几乎为零，杯内的水和杯壁之间为自然对流换热，