高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总

第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:

1．正弦定理:2sin sin sin a b c

R A B C

=== (R 为三角形外接圆的半径).

步骤1.

证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA

得到b b

a a s i n s i n =

同理，在△ABC

中， b

b

c c sin sin =

步骤2.

证明：2sin sin sin a b c

R A B C

===

如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.

所以C R

c

D sin 2sin ==

故2sin sin sin a b c R A B C ===

2.正弦定理的一些变式：

()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b

ii A B C R R

==2c R =；

()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；

（4）R C

B A c

b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算

解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

1．余弦定理： 2222

222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-?

2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??

+-?

=??

?+-=

??

.

设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:

已知三角形的三边为a,b,c,

1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）

2.设)(2

1

c b a p ++=

,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)

例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(2

1

c b a p ++=，求证：

（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则p

c p b p a p r )

)()((---=

（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p a

h a ---=

))()((2

c p b p a p p b h b ---=

))()((2

c p b p a p p c

h c ---=

证明：（1）根据余弦定理的推论：222

cos 2a b c C ab

+-=

由同角三角函数之间的关系，2222

2

sin 1cos 1(

)2a b c C C ab

+-=-=-

代入1sin 2

S ab C =，得

2222

11(

)22a b c S ab ab

+-=- 222221

(2)()4ab a b c =

-+- 2222221

(2)(2)4ab a b c ab a b c =++---+

1

()()()()4

a b c a b c c a b c a b =+++-+--+

记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1

()2

a b c p c +-=-

代入可证得公式

（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式1

22

S p r pr =??= 其中1

()2

p a b c =++，所以()()()S p a p b p c r p p

---=

= 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角

形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=21

2121

（3）根据三角形面积公式1

2

a S a h =??

所以，22()()()a S h p p a p a p a a a =

=---，即2()()()a h p p a p a p a a =--- 同理2()()()b h p p a p a p a b =---，2

()()()c h p p a p a p a c

=---

【三角形中的常见结论】

（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

2cos 2sin

C B A =+,2

sin 2cos C

B A =+;A A A cos sin 22sin ?=, （3）若?>>

C B A c b a >>?C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>?c b a >>?C B A >> （大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60

(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （7）ABC ?中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .

(8) ABC ?为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:

题型1:判定三角形形状

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在ABC ?中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形

是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形

?

（注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2

π

=

+B A .

例1.在ABC ?中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ?形状.

题型2:解三角形及求面积

一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

例2.在ABC ?中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值

例3.在ABC ?中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3

π

=C ．

（Ⅰ）若ABC ?的面积等于3，求a ，b

（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ?的面积．

题型3:证明等式成立

证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.

例4.已知ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.

题型4:解三角形在实际中的应用

考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？

三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：

坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.

l

h

α

2.俯角和仰角：

如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.

3. 方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

4. 方向角：

相对于某一正方向的水平角.

5.视角：

第二章 数列 一、数列的概念 1、数列的概念：

一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,

,,

n a a a a ，简记为数列{}n a ，其中第一项1a 也成为首项；n a 是

数列的第n 项，也叫做数列的通项.

数列可看作是定义域为正整数集N *（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列. 2、数列的分类：

按数列中项的多数分为：

（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限. 3、通项公式：

如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 4、数列的函数特征：

一般地，一个数列{}n a ，

如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1n n a a +>，那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列{}n a 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列. 5、递推公式：

某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式． 二、等差数列 1、等差数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.

即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.

2、等差数列的通项公式：

设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：

()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、. 3、等差中项：

（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=

2

a b

A +; （2）若数列{}n a 为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是n a 与2n a +的等差中项，且

21=

2n n n a a a +++；反之若数列{}n a 满足2

1=2

n n n a a a +++，则数列{}n a 是等差数列. 4、等差数列的性质：

（1）等差数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；

（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列； （3）等差数列{}n a 的公差为d ，则

{}0n d a >?为递增数列，{}0n d a

（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++

++∈；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1

.,2n n n S n a S S n -=?=?

-≥? （3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()

111=.22

n n n a a n n S na d +-=+ 6、等差数列前n 和的性质：

（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++

++++

21223m m m a a a ++++

+,仍为等差数列（即232,,,

m m m m m S S S S S --成等差数列）；

（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -?

?++- ??

?当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；

（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n

++-奇奇偶偶中间项且 若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1

==.n n

S a S S nd S a +-偶奇偶奇且

（4）等差数列{}n a {}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数），则12112121121

12121()22()22

n n n n n n n n a a n a a a S b b n b b b T ------++===++

（5）在等差数列{}n a 中.n S =a ，m S b =，则()n m n m

S a b n m ++=--，

特别地，当n m S S =时，0n m S +=，当n S =m ，m S =n 时()n m S n m +=-+ （6）若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n

S n

也为等差数列. 7、等差数列前n 项和n S 的最值问题： 设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则

（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和. 三、等比数列 1、等比数列的概念：

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）. 即

()1

n n

a q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据. 2、等比数列的通项公式：

设等比数列

{}

n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：

()11,,n n m n m a a q a q n m n m N --+==≥∈、. 3、等比中项：

（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ;

（2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是n a 与2n a +的等比中项，且

212=n n n a a a ++?；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++?，则数列{}n a 是等比数列.

4、等比数列的性质：

（1）若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1

{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n

a b (k

为非零常数) 均为等比数列.

（2）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ?=?，若2m n p +=，则

2m n p a a a ?=；

（3）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ?也为等比数列； （4）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则

{}1100101n a a a q q ><

011n a a a q q >??

或为递减数列， {}1n q a =?为常数列. 5、等比数列的前n 项和：

（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++

++∈；

（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1

.,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥? （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q =??

=-?≠?

-?

由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.

6、等比数列的前n 项和性质：

设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++

++++

21223m m m a a a ++++

+,仍为等比数列（即232,,,

m m m m m S S S S S --成等差数列）；

（2）当1q ≠时，()()11111111111111

n n n n n a q a a a a a

S q q q q

q q q q q -==

?-=-?=?-------， 设

1

1

a t q =-，则n n S tq t =-.

四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：

一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式：

对于任意的数列{}n a 恒有：

（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-

（2）()234

1123

1

,0,n

n n n a a a a a a a n N a a a a +-=?

????

≠∈ 3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥

类型二（累加法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：

()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=- 利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+

+-可得：

()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-

类型三（累乘法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且

()()1

,n n

a f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式

()()1

,n n

a f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()234123

1

1,2,3,,

1.n

n a a a

a f f f f n a a a a -====- 利用公式()234

1123

1

,0,n

n n n a a a a a a a n N a a a a +-=?

????

≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =?????-

类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以

用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①q pa a n n +=+1解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

②n n n q pa a +=+1解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：

q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n

b （其中n n n q a b =），得：q

b q p b n n 1

1+=+再应用q pa a n n +=+1的方法解决。

类型五（倒数法）：已知：数列{}n a 的首项1a ,且()1,0,n

n n pa a r n N qa r

++=

≠∈+，求n a 通项. 11111111n n n n n n n n n n pa qa r r q r q

a qa r a pa a pa p a p a p +++++=

?=?=+?=?++

设1111,.n n n n b b a a ++=

=则1n n r q b b p p

+∴=?+， 若,r p =则11=n n n n q q

b b b b p p

++=+

?-，即数列{}n b 是以q p 为公差的等差数列.

若,r p ≠则1n n r q

b b p p

+=

+（转换成类型四①）. 五、数列常用求和方法

第一类：公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式

2

)1(2)(11d

n n na a a n S n n -+=+=

2、等比数列的前n 项和公式

??

?

??≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n

3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(2

1

3211+=

+?+++==∑=n n n k S n

k n

（2）、)12)(1(6

1

321222212++=

+?+++==∑=n n n n k S n

k n （3）、233331

3)]1(21

[321+=+?+++==∑=n n n k S n

k n

第二类：乘公比错项相减（等差?等比）

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列

}{n n b a ?或}{n n b a

的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。

例：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0

Ⅱ、若q =1，则)1(2

1

321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，

则12321-+?+++=n n nq q q S ①

n n nq q q q qS +?+++=3232 ②

①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

?)1(11

132n n n nq q q q q q

S -+?++++-=

- ?)11(11n n

n nq q

q q S ----=

?q nq q q S n

n n ----=1)

1(12

综上所述：????

?????

≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21

)0(02

q q q nq q q q n n q S n

n n 且

第三类：裂项相消法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如：

（1）、1

1

1)1(1+-=+=

n n n n a n

（2）、)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （3）、])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++=

n n n n n n n a n

（4）、n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则 2、根式形式，如：n n n

n a n -+=++=

111

例：求数列

311?，421?，531

?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和n S

解：由于：

)2(1+n n =2

1

1(21+-n n ）

则：??

????+-+???+-+-=

)211()4121()311(21n n S n ? )2111211(21+-+--=

n n S n ? 4

21

22143+-+-

=n n S n 第四类：倒序相加法

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），

再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +。

例：若函数)(x f 对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。

（1）)1()1()2()1()0(f n

n f n f n f f a n +-+?+++=，

数列}{n a 是等差数列吗？是证明你的结论；

（2）求数列}1

{

1

+?n n a a 的的前n 项和n T 。

解：（1）、)1()1

(

)2()1()0(f n n f n f n f f a n +-+?+++=（倒序相加） ?)0()1

()2()1()1(f n

f n n f n n f f a n ++?+-+-+= 12

21101=?=-+=-+=+n

n n n n n

则，由条件：对任意R x ∈都有2)1()(=-+x f x f 。

?）（

1222222+=+?+++=n a n ?1+=n a n ?21+=+n a n ?11=-+n n a a

从而：数列}{n a 是1,21==d a 的等差数列。 （2）、

2

1

11)2)(1(111+-+=++=?+n n n n a a n n

?n T =

)

2(11541431321+?++?+?+?+?n n ）（ ?n T =4

22121211141313121+=+-=+-++

?+-+-n n

n n n 故：n T =4

2+n n

第五类：分组求和法（等差+等比）

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例：求数列{

)

1(1

+n n +12-?n n }的前n 项和n S

解：令1)

n(n 1

+=n a 12-?=n n n b

)()()()(332211n n n b a b a b a b a S ++?++++++=

?)()(321321n n n b b b b a a a a S +?+++++?+++=

?)223221()111313121211(12-?+?+?+?+++-+?++-+-

=n n n n n S ?)223221()1

1

1(12-?+?+?+?+++-

=n n n n S 令12223221-?+?+?+?+=n n n T ①

n n n T 223222232?+?+?+?+= ②

①式—②式：n n n n T 222221)21(132?-+?++++=--

?)222221(132n n n n T ?-+?++++-=-

?)22

121(

n n

n n T ?----= ?12)1(+?-=n n n T

故：n n n n n n n S 2)1(1

1212)1()111(?-++-=+?-++-

= 第六类：拆项求和法

在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

例：求数列9，99，999，… 的前n 项和n S

分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式110-=n n a 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。

解：由于：110-=n n a 则：?+++=99999n S

?)110()110()110()110(321-+?+-+-+-=n n S ?)1111()10101010(321+?+++-+?+++=n n S

?n S n n --?-=

10110

1010 ?n S n n --=

+9

10

101 例8：n S =n n 2

1

813412211+???+++

解：由于：n n n n n a 2

1

21+==

则：n S =)2

1

814121()321(n n +???+++++?+++（等差+等比，利用公式求和）

=2

11)

)21(1(21)1(2

1--++n n n

=n n n )21(1)1(21-++

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全

高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

高二语文必修五知识点总结

精心整理 高二语文必修五知识点总结 【一】 一、文言实词 (2)众人匹之 古义：一般人今义：多数人，大家 (3)虽然，犹有未树也。

古义：虽然这样今义：转折连词 (4)穷发之北 古义：毛，草木今义：头发 (5)小年不及大年 生物之以息相吹也(名词，气息) 4.词类活用 (1)名词用作动词。而后乃今将图南(往南飞)/奚以之九万里而南为(往南飞) (2)使动用法。德合一君(使……满意)/彼于致福者(使……到

来)/而徵一国者(使……信任)二、文言虚词 1.之 (1)助词，的。鹏之背，不知其几千里也/其翼若垂天之云(助词，的) 悲乎 /而彭祖乃今以久特闻 (3)连词，表并列。若夫乘天地之正，而御六气之辩 (4)连词，表承接。而控于地而已矣 3.则

(1)连词，就。海运则将徙于南冥 (2)连词，或者。时则不至 (3)连词，那么。则其负大舟也无力 4.然 (2)副词，还。彼且恶乎待哉 (3)副词，将要。且适南冥也 7.于 (1)介词，对于。彼其于世/彼其于世

(2)介词，在。覆杯水于坳堂之上 8.其 (1)用在选择问句中，或许……或说得过去，是……还是……其正色邪?其远而无所至极邪 ) ) ) 朝来暮去颜色故。(古义：容貌。今义：色彩。) 又闻此语重唧唧。(古义：叹息声。今义：一般指虫鸣。) 凄凄不似向前声。(古义：刚才。今义：朝着前面。) 河内凶，则移其民于河东。(古：黄河。今义：泛指河流。)

(古：谷物收成不好。今义：凶恶，厉害。) 弃甲曳兵而走。(古：逃跑。今义：行，走路。) 是使民养生丧死无憾也。(古：供养活着的人。今义：保养身体。) 五十者可以衣帛矣。(古：可以凭借。今义：表示同意、认可。) ) ) ) ) ) 赢粮而景从。(古：背负，担负。今义：获得，获胜。) 山东豪俊遂并起而亡秦族矣。(古：崤山以东。今义：山东省。) 古之学者必有师。(古：求学的人。今义：有专门学问的人。) 吾从而师之。(古：跟随并且。今义：表因果的连词。)

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学必修1知识点

高中数学必修1知识点 1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 2、元素与集合的关系：∈、? 3、数集的符号：自然数集N ；正整数集* N 或N +；整数集Z ；有理数 集Q ；实数集R . 4、集合与集合的关系：?、≠?、= 5、若集合中有n 个元素，则它的子集个数为2n ；真子集个数为21n -；非空子集个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 7、子集的性质： （1）A ?A （即任何一个集合是它本身的子集）； （2）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； （3）若A ≠?B ，B ≠?C ，则A ≠?C. 8、集合的基本运算 （1）并集：}{x x x A B =∈A ∈B 或 （2）交集：}{x x x A B =∈A ∈B 且 （3）补集：}{U x x U x A =∈?A 且e （4）性质：①A A =A ，A ?=A ；②A A =A ，A ?=?； ③()U A A =?e，()U U A A =e，() U U A =A 痧， ()()()U U U A B =A B 痧?，()()()U U U A B =A B 痧?. 9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 10、（一）求函数定义域的原则： （1）若 ()f x 为整式，则其定义域是R ； （2）若 ()f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若()f x 是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； （4）若()0f x x =，则其定义域是 }{0x x ≠； （5）若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是R ；

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

高中数学必修一至必修五知识点总结

必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念

定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享

高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0

的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里

数学必修五第三章不等式知识点总结

数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）

5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，

人教版高中数学必修五知识点总结

必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.

三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：

北师高中数学必修五知识点归纳(纯)

必修5知识点 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的 半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． —1—

第二章 数列 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列． 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差 中项．若2 a c b +=，则称b 为a 与 c 的等差中项． 19、若等差数列 {}n a 的首项是1 a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1 1 n a a d n -=-； ④1 1n a a n d -=+；⑤n m a a d n m -=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{} n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+． —2—

高中数学必修1知识点、考点、题型汇总

集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。

高一数学必修五数列知识点

高一数学必修五数列知识点 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的 观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解 析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用 一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 1、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角 形的形状是()

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2、在等比数列{an}中，a6a5a7a548，则S10等于() A.1023 B.1024 C.511 D.512 3、三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为() A.3，12，48 B.4，16，27 C.8，12，18 D.4，12，36 4、一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于() A.0 B.15 C.30 D.60 5、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则a1的值是()a4 A.1 B.2 C.3 D.4 6、某种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是() A.29% B.30% C.31% D.32% 7、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。