高中数学函数知识点总结(经典收藏).doc
高中数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性 ”。
如：集合 A
x | y lg x ， B y | y lg x ， C ( x, y) | y lg x ， A 、 B 、 C
中元素各表示什么？
A 表示函数 y=lgx 的定义域，
B 表示的是值域，而
C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合 A
x|x 2
2x 3 0 ， B x|ax 1
若B A ，则实数 a 的值构成的集合为
（答：
1，0， 1
）
3
显然，这里很容易解出 A={-1,3}. 而 B 最多只有一个元素。故 B 只能是 -1 或者 3。根据条件，可以得到 a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个 B 为空集的情况，也就是 a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
（ 1）集合 a 1， a 2 ，， a n 的所有子集的个数是 2n ；
要知道它的来历：若 B 为 A 的子集，则对于元素
a 1 来说，有 2 种选择（在或者不在） 。同样，对于元素 a 2,
a 3,a n ,都有 2 种选择，所以，总共有 2n 种选择， 即集合 A 有 2n
个子集。
当然，我们也要注意到，这
2n 种情况之中，包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为 2n 1 ，非空真子集个数为 2n 2
（2）若A B AI B
A ，AUB
B ；
（3）德摩根定律：
C U AUB C U A I
C U B ，C U AI B
C U A U C U B
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于 x 的不等式
ax
5 0的解集为 M ，若 3 M 且 5 M ，求实数 a
x 2
a
的取值范围。
（∵
3 M ，∴
a · 3 5
3 2 a
1 ，
5
a
U9，25
）
∵ 5
M ，∴
a · 5 5
3
5 2 a
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；
如告诉你函数 f(x)=ax 2+bx+c(a>0)
在
(
,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是
x=1.或者，我说在上 ，也应该马上
可以想到 m ，n 实际上就是方程
的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且”( )和“非”( ). 若p q为真，当且仅当 p、q均为真
若p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当 p为假
命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
A { x | x 满足条件
p}
，
B{ x | x 满足条件 q} ，
若；则 p 是 q 的充分非必要条件 A _____ B ；
若；则 p 是 q 的必要非充分条件 A _____ B ；
若；则 p 是 q 的充要条件 A _____ B ；
若；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件___________ ；
7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A →B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有n m个。
如：若
A {1,2,3,4} ，
B { a,b, c}
；问：
A
到
B
的映射有个，
B
到
A
的映射有个；
A 到
B 的函数有个，若A{1,2,3} ，则 A 到 B 的一一映射有个。
函数 y( x) 的图象与直线x a 交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
x 4 x
例：函数 y 2 的定义域是（答：0，2 U 2，3 U 3，4 ）lg x 3
函数定义域求法：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数
余切函数
y tan x
x R, 且 x k
, k
2
y cot x x R,且 x k , k
反三角函数的定义域
函数 y ＝arcsinx 的定义域是
[ －1, 1] ，值域是 ，函数 y ＝ arccosx 的定义域是 [－ 1, 1] ，值域是 [0, π]
，函数 y ＝ arctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π).
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，
就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数 f (x)的定义域是 a ， b ， b a
0，则函数 F(x )
f (x) f ( x)的定
义域是 _____________。
（答： a ， a ）
复合函数定义域的求法：已知
y
f (x) 的定义域为 m,n ，求 y f g(x) 的定义域，可由
m g (x)
n 解出 x 的范围，即为 y
f g(x) 的定义域。
若函数 y
f ( x) 的定义域为
1
，则 f (log 2 x) 的定义域为
例
,2 。
2
分析： 由函数 y
f ( x) 的定义域为
1
,2
可知：
1
x 2
；所以
y
f (lo
g 2 x)
中有
2
2
1
log 2 x 2
。
2
1
解：依题意知：
log 2
x
2
2
解之，得
2 x 4
∴
f (lo
g 2 ) 的定义域为 x | 2 x 4
x
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数 y= 1
的值域
x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数 y= x
2
-2x+5 ，x [-1 ，2] 的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，
不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
a .
y b
型：直接用不等式性质
k+ 2
x
b.
y
x 2 bx
型 , 先化简，再用均值不等式
mx
n 1
例： y
x 2
1
1+ x 1
2
x+
x 2 x
c ..
y
2
m x
n 型 通常用判别式
x mx n
d. y x 2
mx n
x n
型
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
例： y
x 2
x 1 （ x+ 1 ）2（ x+ 1 ） + 1
（ x+ 1 ） 1
1
1 1
x
1 x 1 2
x
1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数 y= 3x 4
值域。
5x 6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
e x
1
2sin 1
，
y 2sin
1
的值域。
例 求函数 y=
， y
e x
1
1 sin
1
cos
y
e x 1 e x
1 y
e x 1
1 y
y
2 sin
1 | s in
| |
1
y |
1 ,
1 sin
2 y
y
2 sin
1
2 sin
1
y ( 1
cos
)
1 cos
2 sin
y cos
1 y
4
y 2
sin(
x )
1
y , 即 sin(
x )
1 y
4
y 2
又由知 sin( x ) 1
1 y
1
4
y
2
解不等式，求出，就是要求的答y 案
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数 y=
2
x 5
log 3
x 1 （2≤x ≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例 求函数 y=x+
x 1 的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点 P （ x.y ）在圆 x 2+y 2=1 上，
( 1)
y
的取值范围 x 2
( 2) y- 2x 的取值范围
y
解: (1) 令则是一条k 过, (y- 2,k0)(x 的直2),线 .
x 2
d R(d 为圆心到直线的距离 , R 为半径 )
x b,即也y 是2直x 线b
0, R
( 2) 令y- 2
d d
2
2
例求函数 y=
(x 2) +
(x 8)
的值域。
解：原函数可化简得： y=∣x-2 ∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点
P （x ）到定点 A （ 2）， B （-8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时， y=∣x-2 ∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2 ∣+∣x+8∣＞∣ AB ∣=10 故所求函数的值域为： [10 ，+∞）
2
6 x
13 +
2
例求函数 y=
x
x
4x
5 的值域
(x 2
(0
2
2
2
解：原函数可变形为： y=
3) 2) + (x 2) (0 1)
上式可看成 x 轴上的点 P （x ， 0）到两定点 A （ 3， 2）， B （-2 ，-1 ）的距离之和，
2
2
由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y min =∣AB ∣=
(3 2) (2 1) = 43
，
故所求函数的值域为 [
43 ，+∞）。
注：求两距离之和时，要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式
a+b ≥2 ab ，a+b+c ≥3
3 abc （a ， b ，c ∈
R ），求函数的
( 应用公式a+b+c 3 3 abc 时，注意使者的乘积3变成常数）
要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例 求函数 y=
x
2
的值域
x 3
x 2( 3- 2x) ( 0< x< 1. 5)
= x x
( 3- 2x)
(
x
x+ 3- 2x ) 3
1
3
( 应用公式
abc
(
a
b c
) 3 时，应注意使
3 者之和变成常数）
3
y
x
2
x 3
x 2 0时，
1
x 2 1 2
1 2 0 1
y
x2 x
x y
2 2
x 2 0 时， y= 0 0
y
1
2
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错
误，与到手的满分失之交臂
如： f x 1 e x x ，求 f (x).
令t
x 1，则 t
∴x t 2 1
∴f (t ) e t 2 1 t 2
1
∴f (x) x
2
1
x 2
1 x 0
e
13. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解 x；②互换 x 、 y；③注明定义域）
1 x x 0 如：求函数 f ( x)
2 x
的反函数
x 0
（答： f 1
x 1x 1 ( x ) ）
x x0
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理 )函数y x 1 1( x 1) 的反函数是（B）
A．y= x2－ 2x+2( x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)
C． y=x2－ 2x ( x<1)D． y=x2－2x (x≥1)
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做
出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：
原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为 y>=1. 排除选项 C,D.现在看值域。原函数至于为 y>=1, 则反函数定义域为 x>=1, 答案为 B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？
14.反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）
2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）
3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（ y，x ）关于直线 y=x 对称
①互为反函数的图象关于直线y＝ x 对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设 y f(x) 的定义域为 A ，值域为 C，a A ， b C，则 f(a) = b f 1 (b) a
f 1 f ( a) f 1 ( b ) a， f f 1 (b ) f ( a) b
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04. 上海春季高考）已知函数 f ( x) log 3 ( 4
2) ，则方程 f 1(x) 4的解 x __________. x
15. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x 2，找出 f(x 1),f(x2)之间的大小关系
f (x1 ) f (x2 )
的正负号或者f ( x1 )
可以变形为求与1的关系
x1 x2 f ( x2 )
(2)参照图象：
①若函数 f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）
②若函数 f(x)的图象关于直线x＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数 f(x) 与 f(x) ＋c(c 是常数 ) 是同向变化的
②函数 f(x) 与 cf(x)(c 是常数 ) ，当 c ＞0 时，它们是同向变化的；当c＜ 0 时，它们是反向变化的。
③如果函数 f1(x) ， f2(x) 同向变化，则函数f1(x) ＋f2(x) 和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数 f1(x) ， f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数 f(x) 与 1 在 f(x) 的同号区间里反向变化。
f (x)
⑥若函数 u＝φ(x) ，x[ α，β ] 与函数 y ＝ F(u) ，u∈[ φ( α) ，φ( β)] 或 u∈[ φ( β), φ( α)] 同向变化，则在[ α，β ] 上复合函数y＝F[ φ(x)] 是递增的；若函数u＝φ(x),x[ α，β ] 与函数 y＝ F(u) ，u∈[ φ( α) ，φ( β)] 或 u∈[ φ( β) ，φ( α)] 反向变化，则在 [ α，β ] 上复合函数y ＝F[ φ(x)] 是递减的。（同增异减）
⑦若函数 y＝f(x) 是严格单调的，则其反函数x ＝f －1(y) 也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数
增增增增增
增减减/ /
减增减/ /
减减增减减
如：求 y log 1 x 2 2x 的单调区间
2
（设 u x 2 2x，由 u 0则 0 x 2
且 log 1 u ， u x 1 2
1，如图：
2
u
O12x
当x ( 0， 1] 时， u ，又 log 1 u ，∴ y
2
当x [1，2) 时， u ，又 log 1 u ，∴ y
2
∴ ）
16.如何利用导数判断函数的单调性？
在区间 a，b 内，若总有 f '( x)0则 f ( x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若 f '( x )0呢？
如：已知 a 0，函数 f ( x) x 3ax在 1，上是单调增函数，则a的最大值是 __________。
（令 f '( x) 3x 2
a 3 x
a x
a 0
3
3
则x
a
或x
a
3
3
由已知 f ( x) 在[1，
)上为增函数，则 a
1，即 a 3
3
∴a 的最大值为 3）
17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x) 定义域关于原点对称）
若f ( x)
f ( x) 总成立 f ( x )为奇函数 函数图象关于原点对称
若f ( x) f ( x) 总成立
f (x )为偶函数
函数图象关于 y 轴对称
注意如下结论：
（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（ 2）若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则 f(0) 0。
如：若 f ( x)
a · 2 x a
2
为奇函数，则实数 a
2x 1
（∵ f ( x) 为奇函数， x
R ，又 0 R ，∴ f (0) 0
·
a 2
a 2
1）
即
0 1 0，∴ a
2
又如： f ( x) 为定义在 ( 1， 1)上的奇函数，当 x
2 x ，
(0， 1)时， f ( x)
4x
1
求f (x)在 1，1 上的解析式。
（令 x
1， 0 ，则 x
0， 1 ， f ( x)
2 x
4 x 1
又 f (x)为奇函数，∴ f (x )
2 x 2 x
4
x
1 1 4
x
2 x
x
( 1， 0)
又 f ( 0 )
0 ，∴ f ( x )
4 x 1
x 0
）
2 x
x
0 ， 1
4
x 1
判断函数奇偶性的方法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
这种方法可以做如下变形
f ( x) +f ( - x) =0 奇函数
f ( x) - f ( - x) =0 偶函数
f ( x) 1 偶函数
f ( - x)
f ( x) 1 奇函数
f ( - x)
三、复合函数奇偶性
f(g) g(x) f[g(x)] 奇奇奇
奇偶偶
偶奇偶
偶偶偶
18.你熟悉周期函数的定义吗？f ( x) ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
f(x)+g(x)f(x)*g(x)
奇
偶
非奇非偶
奇
非奇非偶
奇
偶偶
（若存在实数 T（ T 0），在定义域内总有 f x T f (x)，则 f (x)为周期函数， T 是一个周期。）
如：若 f x a f (x)，则
（答： f ( x)是周期函数， T 2a为 f ( x) 的一个周期）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.
f ( x ) f ( x t ) 0
f ( x ) f ( x 2 t )
推导：
f ( x t ) f ( x 2 t ) 0 ，
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如， f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线 x=a 对称。
又如：若图象有两条对称轴，
x a x b
f ( x )
即，
x ) f ( a x ) f ( b x ) f ( b x )
f ( a
f ( x ) f (2 a x )
f (2 a x ) f (2 bx )
f ( x ) f (2 b x )
令则
t 2 a x , 2 b x t 2 b 2 a , f ( t ) f ( t 2 b2 a )
即 f ( x ) f ( x 2 b 2 a )
所以函数以为周期因不知道的大小关系
( a , b , , f ( x ) 2 | b a |
为保守起见我加了一,个绝对值
19.你掌握常用的图象变换了吗？
f ( x)与f ( x ) 的图象关于y轴对称f ( x)与 f ( x)的图象关于x轴对称联想点（ x,y ）,(-x,y)
(k<0)y(k>0)
联想点（ x,y ） ,(x,-y)
y=b
O’ (a,b)
f ( x)与 f ( x) 的图象关于原点对称联想点（ x,y） ,(-x,-y)
O x
f ( x)与
f 1 ( x) 的图象关于直线 y x 对称联想点（ x,y ）, x=a
(y,x)
f ( x)与f (2a x )的图象关于直线
x a 对称联想点（x,y）,(2a-x,y)
f ( x)与 f (2a x) 的图象关于点 ( a，0) 对称联想点（ x,y ）,(2a-x,0)
将 y f (x)图象
左移 a(a 0) 个单位y f ( x a)
右移 a(a 0) 个单位y f ( x a)
上移 b( b 0)个单位y f (x a) b
下移 b( b 0)个单位y f (x a) b
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这
么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
f ( x ) | f ( x ) | 把轴下方的图像翻到上面x
f ( x ) f (| x |) 把轴右方的图像翻到上面y
如： f ( x) log 2 x 1
作出 y log 2 x 1 及y log 2 x 1的图象19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（1）一次函数： y y 率， b 为直线与
kx b k 0 (k为斜
y 轴的交点 ) y=log 2x
O1x 的双曲线。（2）反比例函数： y
k
k x
b 2
b 2
（ 3）二次函数 y ax 2
bx c a
a x
4ac
2a
4a 图象为抛物线
顶点坐标为
b ， 4a
c b 2 ，对称轴 x
b
2a
4a
2a
开口方向：
a
0 ，向上，函数
y
min 4 ac
b 2
4 a
a ，向下， y
max
4ac b 2
4a
根的关系： x
b V
2 a
x 1 x 2 b x 2
c ,| x 1 x 2 |
V
, x 1
a
a
| a |
二次函数的几种表达形式：
f ( x ) ax 2 bx
c ( 一般式 )
f ( x ) a ( x m ) 2
n ( 顶点式，（，）为顶点 n
m
f ( x )
a ( x x 1 )( x x 2 )( x 1 , x 2 是方程的个根）
2
f ( x )
a ( x
x 1 )( x x 2 ) h (函数经过点（ x 1 , h )( x 2 , h ) 应用：
①“三个二次 ”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系 —— 二次方程
ax 2 bx c 0，
0时，两根 x 1 、x 2 为二次函数 y
ax 2
bx c 的图象与 x 轴
的两个交点，也是二次不等式 ax 2
bx c 0 ( 0)解集的端点值。
②求闭区间［ m ，n ］上的最值。
区间在对称轴左边（）
n b f ( m ), f min
f ( n ) f max
2 a
区间在对称轴右边（）
m
b f ( n ), f min
f ( m )
f max
2 a 区间在对称轴边
2 （） n
b
m
b
2
2 a
4 a c
, f max
max( f ( m ),
f ( n ))
f min
4 a
也可以比较和对称m,轴的n 关系，距离越远，值越大
( 只讨论的情a 况）0
y
(a>0)
③求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。
O
kx 1
x 2
x
④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程ax2bx c 0的两根都大于k
b
k 2a
f ( k)0
（ 4）指数函数： y a x a 0，a 1
（5）对数函数 y log a x a 0，a 1
由一根大于 k，一根小于 k f (k ) 0 图象记性质！（注意底数的限定！）
k k 0
（ 6）“对勾函数” y x 0 b y
利用在区间（，）内有根x m n 它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的
区别m n 2 2a 是什么？
f (m) 0
（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
f (n) 0
k
20. 你在区间（，）内有1根
f (m) f ( n) 0
m n O k x
1 (a 0
y
指数运算： a0
y=a x(a>1)
(0
1
对数运算：log，a (M N )
O 1 x
M
(0 a N log a M log a 对数恒等式： a log a x x 对数换底公式： log a b 1 log a x log x a m m 1 a n n a m (a 0)， a n ( a 0) n a m 21.如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（ 1） x R， f ( x)满足 f ( x y) f ( x) f ( y )，证明 f (x)为奇函数。 （先令 x y 0 f ( 0) 0再令 y x，） （ 2）x R，f ( x) 满足 f (xy ) f ( x) f (y) ，证明 f ( x) 是偶函数。 （先令 x y t f ( t )( t) f (t·t ) ∴f ( t) f ( t ) f ( t) f ( t) ∴f ( t) f (t )） （ 3）证明单调性： f (x 2 ) f x 2x 1x 2 （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、代y=x， 2、令x=0或1来求出f(0)或f(1) 3、求奇偶性，令y= —x ；求单调性：令x+y=x 1 几类常见的抽象函数 1.正比例函数型的抽象函数 f （x）＝ kx（ k ≠0）--------------- f（ x ±y）＝ f （x）± f（ y） 2.幂函数型的抽象函数 f （x）＝ x a---------------- x f ( x) f （xy）＝ f（ x） f（ y）；f （）＝ y f ( y) 3.指数函数型的抽象函数 f （x）＝ a x------------------- f （x＋y）＝ f （x ） f（ y）； f（ x －y）＝f( x) f ( y) 4.对数函数型的抽象函数 x f（ x）＝ lo g a x（a>0 且 a≠1）----- f（ x ·y）＝ f （x）＋ f（ y）；f （）＝ f （x）－ f（ y） y 5.三角函数型的抽象函数 f (x) f ( y) f（ x）＝ tgx--------------------------f（ x＋ y）＝ 1 f ( x) f ( y) f (x) f ( y) 1 f（ x）＝ cot x------------------------f（ x＋ y）＝ f (x) f ( y) 例 1 已知函数 f（x）对任意实数x、y 均有 f（x＋ y）＝ f（ x）＋ f（y），且当 x>0 时， f(x)>0，f(－ 1)＝－ 2 求f(x)在区间 [－ 2,1] 上的值域 . 分析：先证明函数f（x）在 R 上是增函数（注意到f（x2）＝ f[ （x2－x1）＋ x1]＝f（x2－ x1）＋ f （x1））；再根据区间求其值域 . 例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（x＋ y）＋ 2＝ f （x）＋ f（y），且当 x>0 时， f(x)>2 ，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－ 2a－ 2）<3 的解 . 分析：先证明函数f（x）在 R 上是增函数（仿例1）；再求出 f（ 1）＝ 3；最后脱去函数符号. 例 3 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 都有 f（xy）＝ f（x） f（y），且 f（－ 1）＝ 1，f（27）＝ 9，当 0≤x＜ 1 时， f（ x）∈ [0， 1]. （1）判断 f （ x）的奇偶性； （2）判断 f （ x）在 [0，＋∞ ] 上的单调性，并给出证明； （3）若 a≥0 且 f（a＋ 1）≤ 39，求 a 的取值范围 . 分析：（ 1）令 y＝－ 1； （2）利用 f（ x1）＝ f（x 1·x 2）＝ f（ x 1）f（x 2）；x2x2 （3）0≤ a≤ 2. 例 4 设函数 f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得 f（ x1）≠ f （ x2）；对任何 x 和y，f（x＋ y）＝ f（x） f（ y）成立 . 求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析： （ 1）令 x= y＝0；（ 2）令 y＝x≠ 0. 例 5 是否存在函数 f（x），使下列三个条件：①f（x） >0,x∈N；② f（a＋ b）＝ f （a） f（ b）， a、b∈N；③ f（2）＝ 4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由 . 分析：先猜出 f（x）＝ 2x；再用数学归纳法证明 . 例 6 设 f（ x）是定义在（ 0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x· y）＝ f（ x）＋ f（y），f（ 3）＝ 1，求：（1）f（1）； （2）若 f（x）＋ f（x－ 8）≤ 2，求 x 的取值范围 . 分析：（1）利用 3＝ 1× 3； （ 2）利用函数的单调性和已知关系式 . 例 7 设函数 y＝ f（x）的反函数是 y＝ g（x） .如果 f （ ab）＝ f （a）＋ f（b），那么＝g（ a）·g（ b）是否正确，试说明理由 . 分析：设 f（a）＝ m，f（ b）＝ n，则 g（ m）＝ a， g（ n）＝ b， 进而 m＋n＝ f（ a）＋ f（ b）＝ f（ ab）＝ f [ g（ m）g（n） ] . f ( x) f ( y)g（ a＋b） 例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ①x1、 x2是定义域中的数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 f（x1－x2）＝； f ( x2 ) f ( x1 ) ②f（ a）＝－ 1（a＞0， a 是定义域中的一个数）； ③当 0＜ x＜2a 时， f（x）＜ 0. 试问： （1）f（x）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（ 0，4a ）上， f （ x ）的单调性如何？说明理由 . 分析：（ 1）利用 f [ －（ x 1－ x 2） ]＝ －f [（x 1－x 2 ）] ，判定 f （ x ）是奇函数； （3） 先证明 f （x ）在（ 0，2a ）上是增函数，再证明其在（ 2a ，4a ）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意 .有些抽象函数问题，对应 的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数 .因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地 解决抽象函数问题 . 例 9 已知函数 f （x ）（ x ≠0）满足 f （ xy ）＝ f （x ）＋ f （y ）， （1） 求证： f （1）＝ f （－ 1）＝ 0； （2） 求证： f （x ）为偶函数； （3） 若 f （ x ）在（ 0，＋∞）上是增函数，解不等式 f （ x ）＋ f （ x － 1 ）≤ 0. 2 分析：函数模型为： f （x ）＝ lo g a |x|（a ＞0） （1） 先令 x ＝y ＝ 1，再令 x ＝y ＝ － 1； （2） 令 y ＝ －1； （3） 由 f （ x ）为偶函数，则 f （ x ）＝ f （|x|） . 例 10 已知函数 f （x ）对一切实数 x 、 y 满足 f （ 0）≠ 0， f （x ＋ y ）＝ f （ x ）· f （y ），且当 x ＜0 时， f （ x ） ＞ 1，求证： （1） 当 x ＞0 时， 0＜f （ x ）＜ 1； （2） f （ x ）在 x ∈ R 上是减函数 . 分析：（ 1）先令 x ＝ y ＝0 得 f （ 0）＝ 1，再令 y ＝－ x ； （2 ）受指数函数单调性的启发：由 f （x ＋ y ）＝ f （x ） f （ y ）可得 f （ x －y ）＝ f (x 1 ) ＝f （x 1－x 2 ）＞ 1. 进而由 x 1＜ x 2，有 f (x 2 ) 练习题： 1.已知： f （ x ＋y ）＝ f （x ）＋ f （ y ）对任意实数 x 、y 都成立，则（ ） （A ） f （0）＝ 0 （B ） f （ 0）＝ 1 （C ） f （ 0）＝ 0 或 1 （D ）以上都不对 2. 若对任意实数 x 、y 总有 f （xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），则下列各式中错误的是（ ） （A ） f （1）＝ 0 （ B ）f （ 1 ）＝ f （ x ） x （C ） f （ x （ D ） f （x n ）＝ nf （ x ）（ n ∈N ） ）＝ f （x ）－ f （y ） y 3.已知函数 f （x ）对一切实数 x 、y 满足： f （0）≠ 0，f （ x ＋y ）＝ f （x ） f （y ），且当 x ＜0 时， f （ x ）＞ 1，则当 x ＞0 时， f （ x ）的取值范围是（ ） （A ）（ 1，＋∞） （B ）（－∞， 1） （C ）（ 0， 1） （D ）（－ 1，＋∞） 4.函数 f （x ）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的 x 1、 x 2 都有 f (x 1 ) f ( x 2 ) ，则 f （ x ）为（ ） f （ x 1－ x 2 ）＝ 1 f ( x 1 ) f ( x 2 ) （A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f （ x ）对任意实数 x 、 y 满足 f （ x ＋y ）＋ f （ x －y ）＝ 2[f （ x ）＋ f （ y ）] ，则函数 f （x ）是（ ） （A ）奇函数非偶函数 （B ）偶函数非奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数 参考答案： 1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B 2 2U 2 2 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 α，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （ l ·R ，S 扇 1 l · R 1 ·R 2） (和三角形的面积公式很相似， 可以比较记忆 .要知 2 2 道圆锥展开图面积的求法 ) R 1 弧度 O R 第五节 函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0 2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 高中数学教学个人工作总结_高中数学教师工作总结范文 除了认真执行学校教育教学工作计划，作为高中数学教师还要学会回顾自己过去的工作，总结更好的教学经验。下面学识网小编为大家带来高中数学教学个人工作总结，欢迎大家参考! 高中数学教学个人工作总结篇1 本学期我任教高三17,18班的两个班的文科数学课，17班是一个实验班，学生基础比较好，学习自觉性比较高，有良好的思维习惯。18班是一个普通班，基础差，不能坚持长时间学习，学习自觉性比较差。回顾一学期的教学工作,我们有成功的经验,也发现了不足之处.下面就我上学期的具体做法谈谈自己的一点看法,总结如下： 一、研读高考考纲，梳理知识模块 仔细推敲考纲对考试内容的三个不同层次的要求，准确把握所考的知识点，准确把握所考知识点的深度，做到考纲考什么，讲课就讲什么，练习就练什么，小考就考什么。帮助学生梳理知识，加强知识板块之间的联系，通过梳理知识，让学生牢固记住所学的所有知识和典型例题的通法通解。建立起数学知识的框架。复习时要求全面周到，准确把握考试内容，做到复习不超纲，不做无用功，使复习更有针对性。在复习过程中，除了注重学生基础知识的掌握情况，还注重了学生能力的培养，充分调动学生分析问题、思考问题的积极性，最大限度地调动学生学习的积极性。 二、加强集体备课，优化课堂教学 积极参加每周一学校组织的教研活动，认真聆听同头老师的建议和安排，认真做好教研记录。集体备课时，积极参与发言。解决教学过程中出现的疑难问题。服从教研组长的教学安排，做到同学科，同教案，同进度，同练习，同考试。严格按照学校的“四步十六字”方针，认真落实“四步导学练”，积极调动学生学习的积极性，主动性，让学生在学中练，练中学，培养独立解题的习惯，养成良好的数学思维。 三、加强限时训练，提高解题能力 认真对待学校组织的月考，考完后认真总结本次考试的得失，让学生再次做考题，争取做到二次一百分。课下精心选题，选题的原则是低难度，低梯度，小综合，以复习过的 一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 这份资料是全部内容已经完成的一部分， 写中。此资料是必修一函数部分的总结， 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域：求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。 1、函数y=的值域是（）。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D（0,4） 解析：本题是指数函数与幂函数复合， 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q＞16-4＜；要根号有意义，16-4 综上可知：16-4＜ 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ，则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是（）。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析：本题是复合函数求值域，可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一：定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令＞ ＞，∴＞。当＞时，求得＜ ＜，＜。此时＜，函数递减。 当＜时，求得＞＞，＞。 此时＞，函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时，函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是（） 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是（）。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ，参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b，则函数 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B = 高中数学老师个人工作总结范本 时间过得真快，转眼又过了一学期。这是忙碌的一学期，也是充实的一学期，收获的一学期。在学校教务处的安排下，这一学期由我负责高二两个班的教学工作。我结合学生的实际情况，有针对性地制订了教学计划，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展，在考试中xxx班数学成绩在普通班中取得了第二名，xxx 班数学成绩超过重点班200班，达到全年级第二名，较好地完成了教学任务。现将本学期教学工作总结如下： 一、充分的课前备课上好新课的前提是备好课，根据教材内容及学生的实际，精心设计教学过程和拟定教学方法尤为重要，因此，我把备课当作关键的关键。本学期，我加强了理论学习，特别是报名参加了省级数学骨干教师培训班的学习，受益匪浅，学习了中小学常用的教学方法，包括讲授法，讨论法，直观演示法，练习法，读书指导法；而课堂教学常用方法包括讲授式的教学方法，问题探究式教学方法，训练与实践式教学方法，基于现代信息技术的教学方法。通过学习，这也为我增加了不少自信。我本着干什么、学什么，缺什么，补什么的原则，在学期初上新课前，认真研究教材、教参、教案，试题，吃透知识，力求每一课都备的完美。课后，我认真反思，对每节课进行了再备课。 二、高效率的课堂教学上好课就要抓好每一次课堂教学。在教学中，我注重理清知识的条理和逻辑，坚持每个知识点讲清楚，分析透，通过多种方式将课本知识化难为易，不给学生吃夹生饭，增加情景教学，努力增强课堂教学的效果。 学习了课堂教学常用方法包括讲授式的教学方法，问题探究式教学方法，训练与实践式教学方法，基于现代信息技术的教学方法后，在课堂上我有意识选择去实践些教学方法。根据数学课程的特点，实施较多的是讲授式的教学方法和问题探究式教学方法，比如概念性课题，一般采用问题探究式教学方法。我在上选修2-3《排列与组合》这一课时，就采用了问题探究式教学方法。新课引入通过提出问题。我们班级50名同学中选出5名同学参加数学竞赛有多少种选法？这是什么方面的问题。学生作答，得出能描述的是只需要选出来，不需要研究顺序，故而是一个组合问题。如果竞赛选手获奖后要求拍照纪念励志网，共有多少种排座方式，这个是什么问题？你能举出其他例吗？引导学生阅读教材。那么需要研究顺序的问题就是排列问题，又该如何去求呢？从而较自然的引导学生了解排列数公式与组合数公式。在知识点讲授完后对先天作业进行讲评，同时增加了一问：探究什么问题与顺序有关，什么问题又与顺序无关是解决排列组合问题的关键。最后课堂上布置相关习题指导学生练习，学生完成得很好。 三、完善的课后反思看过一句这样的话思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进。学期初我虚心地向数学组长张建辉老师取经学习，学习他的教法和课堂处理艺术，同时也得到了很多同行的指导，比如卓志波老师的课堂提问效果很好，比如彭一秋老师的黑板板书真的狠棒，杨立群老师的阶梯式作业布置很有特色，都值得我好好的学习借鉴。我上完每节课后都反思自己的教学行为，总结教学的得失与成败，对整个教学过程进行回顾、分析和审视，才能逐渐形成自我反思的意识和自我监控的能力，才能不断丰富自我素养，提升自我发展能力，逐步完善教学艺术，以期实现教师自身的教学水平提升。 高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学个人工作总结 高中数学个人工作总结篇一 时间过得真快，转眼又过了一学期。这是忙碌的一学期，也是充 实的一学期，收获的一学期。在学校教务处的安排下，这一学期由我 负责高二两个班的教学工作。我结合学生的实际情况，有针对性地制订了教学计划，使教学工作有计划，有组织，有步骤地开展，在考试 中xxx班数学成绩在普通班中取得了第二名，xxx班数学成绩超过重点班200班，达到全年级第二名，较好地完成了教学任务。现将本学 期教学工作总结如下： 一、充分的课前备课 上好新课的前提是备好课，根据教材内容及学生的实际，精心设计教学过程和拟定教学方法尤为重要，因此，我把备课当作关键的关键。本学期，我加强了理论学习，特别是报名参加了省级数学骨干教 师培训班的学习，受益匪浅，学习了中小学常用的教学方法，包括讲 授法，讨论法，直观演示法，练习法，读书指导法；而课堂教学常用 方法包括讲授式的教学方法，问题探究式教学方法，训练与实践式教学方法，基于现代信息技术的教学方法。通过学习，这也为我增加了 不少自信。我本着干什么、学什么，缺什么，补什么的原则，在学期 初上新课前，认真研究教材、教参、教案，试题，吃透知识，力求每 一课都备的完美。课后，我认真反思，对每节课进行了再备课。 二、高效率的课堂教学 上好课就要抓好每一次课堂教学。在教学中，我注重理清知识的条理和逻辑，坚持每个知识点讲清楚，分析透，通过多种方式将课本 知识化难为易，不给学生吃夹生饭，增加情景教学，努力增强课堂教 学的效果。学习了课堂教学常用方法包括讲授式的教学方法，问题探究式教学方法，训练与实践式教学方法，基于现代信息技术的教学方法后，在课堂上我有意识选择去实践些教学方法。 根据数学课程的特点，实施较多的是讲授式的教学方法和问题探究式教学方法，比如概念性课题，一般采用问题探究式教学方法。我 在上选修2-3《排列与组合》这一课时，就采用了问题探究式教学方法。新课引入通过提出问题。 1：我们班级50名同学中选出5名同学参加数学竞赛有多少种选法？这是什么方面的问题。学生作答，得出能描述的是只需要选出来，不需要研究顺序，故而是一个组合问题。 2：如果竞赛选手获奖后要求拍照纪念励志网，共有多少种排座 方式，这个是什么问题？你能举出其他例吗？引导学生阅读教材。 3：那么需要研究顺序的问题就是排列问题，又该如何去求呢？ 从而较自然的引导学生了解排列数公式与组合数公式。在知识点讲授完后对先天作业进行讲评，同时增加了一问：探究什么问题与顺序有关，什么问题又与顺序无关是解决排列组合问题的关键。最后课堂上布置相关习题指导学生练习，学生完成得很好。 三、完善的课后反思 看过一句这样的话思之则活，思活则深，思深则透，思透则新， 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有 2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1 高中数学个人教学工作总结 高中数学个人教学工作总结1 又一个学期过去了，回想起来，我毕业已经一年了，在这一年的数学教学中，我担任了高一(_)、(_)、(_)三个班的数学教师，虽然我付出了许许多多的汗水，同时也收获了很多很多。由于担任学校普通班的数学课，学生基础很差，上课常常感到很吃力、压力之大，责任之重，可想而知。现将本学期教学情况简要总结如下，以便总结经验，寻找不足。 一、加强理论学习，积极学习新课程 我是第一年接触到新课程的新授课，对新课程的认识了解还不够，因此，必须积极学习新课程改革的相关要求理论，仔细研究新的课程标准，并结合__省的考试说明，及时更新自己的大脑，以适应新课程改革的需要。同时为了和教学一线的同行们交流，积极利用好互联网络，养成了及时写教学反思的好习惯。作为一位年轻的数学教师，我发现在教学前后，进行教学反思尤为重要，在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会独特的见解，教学前后，都要进行反思，对以后上课积累了经验，奠定了基础。同时，这些见解也是对课堂教学非常重要的一部分，积累经验，教后反思，是上好一堂精彩而又有效课的第一手材料。 二、关心爱护学生，积极研究学情 作为教师不仅仅要担任响应的教学，同时还肩负着育人的责 任。如何育人?我认为，爱学生是根本。爱学生，就需要我们尊重学生的人格、兴趣、爱好，了解学生习惯以及为人处世的态度、方式等，然后对症下药，帮助学生树立健全、完善的人格。只有这样，了解了学生，才能了解到学情，在教学中才能做到有的放矢，增强了教学的针对性和有效性。多与学生交流，加强与学生的思想沟通，做学生的朋友，才能及时发现学生学习中存在的问题，以及班级中学生的学习情况，从而为自己的备课提供第一手的资料，还可以为班主任的班级管理提高一些有价值的建议。 三、充分备课，精心钻研教材及考题 一节课的好坏，关键在于备课，备课是教师教学中的一个重要环节，备课的质量直接影响到学生学习的效果。备课中我着重注意了这样几点：新课程与老课程之间的联系与区别;本节内容在整个高中数学中的地位;课程标准与考试说明对本节内容的要求;近几年高考试题对本节内容的考查情况;学生对本节内容预习中可能存在的问题;本节内容还可以补充哪些典型例题和习题;本节内容在数学发展有怎样的地位;本节内容哪些是学生可以自学会的，哪些是必须要仔细讲解的;哪些是可以不用做要求的;本节内容的重点如何处理，难点如何突破，关键点如何引导，疑惑点如何澄清等。 四、落实常规，确保教学质量 在教学过程中，特别关注学生的落实情况，学生的落实在教师教学的最后一个环节，也是最出成绩的一环。因此，教学中特别抓好了一下几点：书面作业狠抓质量和规范，注重培养学生的满分意识， 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 高中数学老师个人工作总结 一学期即将过去，可以说紧张忙碌而收获多多。总体看，全体数学教师认真执行学校教育教学工作计划，转变思想，积极探索，改 革教学，在继续推进我校“自主——创新”课堂教学模式的同时， 把新课程标准的新思想、新理念和数学课堂教学的新思路、新设想 结合起来，转变思想，积极探索，改革教学，收到很好的效果。 一、课程标准走进教师的心，进入课堂 我们怎样教数学，《国家数学课程标准》对数学的教学内容，教学方式，教学评估教育价值观等多方面都提出了许多新的要求。无 疑我们每位数学教师身置其中去迎接这种挑战，是我们每位教师必 须重新思考的问题。开学初组织攻关教师和教研组长参加处组织的 新课程标准及新教材培训学习，并参加处研究性学习培训。在各年 级组织认真学习的基础上全体数学教师集中由黄丽娜陈艳红两位教 师二次分学段培训，鲜明的理念，全新的框架，明晰的目标，有效 的学习对新课程标准的基本理念，设计思路，课程目标，内容标准 及课程实施建议有更深的了解，本学期各年级在新课程标准的指导 教育教学改革跃上了一个新的台阶。 二、课堂教学，师生之间学生之间交往互动，共同发展。 本学期我们每位数学教师都是课堂教学的实践者，为保证新课程标准的落实，我们把课堂教学作为有利于学生主动探索的数学学习 环境，把学生在获得知识和技能的同时，在情感、态度价值观等方 面都能够充分发展作为教学改革的基本指导思想，把数学教学看成 是师生之间学生之间交往互动，共同发展的过程，组织了第六届同 组共研一课活动，在教研组长的带领下，紧扣新课程标准，和我校“自主——创新”的教学模式。在有限的时间吃透教材，分工撰写 教案，以组讨论定搞，每个人根据本班学生情况说课、主讲、自评；积极利用各种教学资源，创造性地使用教材公开轮讲，反复听评， 从研、讲、听、评中推敲完善出精彩的案例。五年级教研组《循环 高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 高中数学教师个人年度工作总结 一年来，本人热爱党，热爱人民,坚持党的教育方针，忠诚党的教育事业。思想端正，作风正派，服从领导的工作安排，办事认真负责。 一、政治思想方面： 认真学习新的教育理论，及时更新教育理念。积极参加校本培训，并做了大量的政治笔记与理论笔记。新的教育形式不允许我们在课堂上重复讲书，我们必须具有先进的教育观念，才能适应教育的发展。所以我不但注重集体的政治理论学习，还注意从书本中汲取营养，认真学习仔细体会新形势下怎样做一名好教师。 二、教育教学方面： 1、课前准备：备好课。 2、认真钻研教材，对教材的基本思想、基本概念，每句话、每个字都弄清楚，了解教材的结构，重点与难点，掌握知识的逻辑，能运用自如，知道应补充哪些资料，怎样才能教好。 3、了解学生原有的知识技能的质量，他们的兴趣、需要、方法、习惯，学习新知识可能会有哪些困难，采取相应的预防措施。 4、考虑教法，解决如何把已掌握的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。 5、课堂上的情况。组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的有意注意，使其保持相对稳定性，同时，激发学生的情感，使他们产生愉悦的心境，创造良好的课堂气氛，课堂语言简洁明了，克服了以前重复的毛病，课堂提问面向全体学生，注意引发学生学数学的兴趣，课堂上讲练结合，布置好家庭作业，作业少而精，减轻学生的负担。 6、要提高教学质量，还要做好课后辅导工作，小学生爱动、好玩，缺乏自控能力，常在学习上不能按时完成作业，有的学生抄袭作业，针对这种问题，就要抓好学生的思想教育，并使这一工作惯彻到对学生的学习指导中去，还要做好对学生学习的辅导和帮助工作，尤其在后进生的转化上，对后进生努力做到从友善开始，比如，握握他的手，摸摸他的头，或帮助整理衣服。从赞美着手，所有的人都渴望得到别人的理解和尊重，所以，和差生交谈时，对他的处境、想法表示深刻的理解和尊重，还有在批评学生之前，先谈谈自己工作的不足。 7、积极参与听课、评课，虚心向同行学习教学方法，博采众长，提高教学水平。高中数学,函数图形考点及题型全归纳
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