黄金三角形及其应用
黄金三角形是指一种特殊的三角形,其两边长度之比等于黄金分割比例(约为1:1.618),而第三边长度则为两者之和。黄金三角形在建筑、美术和设计等领域中被广泛应用。
在建筑设计中,黄金三角形常常被用来布局建筑。例如,在某个房间里,可以将墙面分为两个黄金三角形,然后将家具、装饰摆放于其中,以营造出一种美感和平衡感。此外,一些建筑也采用了黄金三角形的比例,如埃及金字塔和巴洛克风格的建筑等。
在美术领域,黄金三角形也被广泛应用于构图。艺术家可以通过将画面分为黄金三角形来组织画面的元素和空间,以达到一种和谐、美观的效果。
在设计领域,黄金三角形被用来设计产品、网页和广告等。例如,在网页设计中,黄金三角形可以帮助设计师塑造用户界面的布局,以提高用户体验和美观度。
总之,黄金三角形是一种被广泛应用于建筑、美术和设计等领域的比例关系,它不仅美观,而且有助于提高作品的品质和受众体验。
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黄金三角形 两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现:将一条线段(AB )?分割成大小两条线段(AP 、PB ),如图(1)所示,若小段与大段的长度比等于大段的长度与全长之比,即PB AP AP AB =,则点P 叫做线段AB 的黄金分割点. (1)设AP=x ,AB=1,求出AP AB 的值; (2)在等腰△ABC 中,若AB=AC ,且BD=BC=AD ,则△ABC 为黄金三角形. ①试求出∠A 的度数;②求证:D 为AC 的黄金分割点. (3)在矩形ABCD 内以AB 为边作正方形ABEF ,得到小矩形ECDF .若矩形ABCD ? ∽矩形ECDF .则矩形ABCD 为黄金矩形,求出AB BC 的值. 【分析】(1)由已知条件 PB AP AP AB =,把AP 高为x ,AB 设为1,代入上式,得到关于x 的方程,?可得x 的值,易求AP AB 的值. (2)由外角知识可求∠A 的度数.由△BCD ∽△ABC 可求 CD BC CB AC =.由BC=AD ,可得CD AD AD AC = ,则D 为AC 的黄金分割点. (3)设AB=a ,BC=b ,则CE=b-a ,由条件得到关于a 、b 的方程,a 2+ba-b 2=0,把它看 成关于主元a 的一元二次方程,可求得a= 512±-b ,从而求出AB BC 的值. 【解】(1)由题意,得PB=1-x , ∵PB AP AP AB = ∴11x x x -=, ∴x 2=1-x 即 x 2+x-1=0
∴x= 15 2 -± ∵x>0 ∴x= 51 2 - ∴ AP AB =x= 51 2 - (2)①设∠A的度数为x, ∵AD=BD, ∴∠ABD=∠A=x ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x ∵BD=BC, ∴∠C=∠BDC=2x ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=2x 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180° ∴x=36°,即∠A=36° ②由①可知∠BDC=∠ABC, ∵∠C=∠C ∴△BDC∽△ABC ∴CD BC CB AC = ∵AD=BC ∴CD AD AD AC = ∴D为AC的黄金分割点.(3)设AB=a,BC=b, ∵ABEF为正方形 ∴BE=AB=DC=a ∴EC=b-a, ∵矩形ABCD∽矩形ECDF ∴EC AB DC CB = ∴b a a a b - = ∴a2=b2-ab 即a2+ba-b2=0解得a= 51 2 ±- b ∵a>0,b>0 ∴a= 51 2 -- b舍 ∴a=51 2 - b即 a b = 51 2 - ∴ AB BC = 51 2 -
.黄金三角形 如果等腰三角形的底与腰之比等于0.618,那我们就称这个三角形为黄金三角形,经过证明和计算,我们可以得知,黄金三角的顶角为36°,两底角分别为72°。这样的三角形有许多有趣的性质。 性质一:黄金三角形ABC中,顶角∠A=36°,∠C平分线交AB于D,则△CDB也是黄金三角形(图125)。 性质二: ??如图125右中,△ABC,△, 每两个相邻的黄金三角形 0.618。 性质四:把黄金三角形套中的一连串三角依次编号为△1、△2、△3、…△n、…△n+3,那么△n+3的左腰平行于△n的右腰(在图125右中,△4的左腰DF平行于△1的右腰AC)。 2.黄金矩形 矩形的宽与长之比如果等于黄金数,我们就称之为黄金矩形。黄金矩形也类似于黄金三
角形的性质: 性质一:如图126,在黄金矩形ABCD内,作正方形CDEF,则矩形ABFE也是黄金矩形。 性质二:按性质一的方法,在黄金矩形ABEF内,再作一正方形AHGE,则矩形BFGH 也是黄金矩形,这个过程可以无限制地进行下去,于是得到一连串的黄金矩形。这叫做黄金矩形套。 性质三: 黄金数。 3 在其他国家的旗帜上或一些建筑物尖顶上, 之一。究其原因,是因为它与黄金比例有着密切的关系。 ???在一个圆中作正五边形。ABCDE,把对角线两两连接起来,就得到一个正五角星。可以很容易地证明出,图127中有许多黄金三角形。不仅正五边形各边与对角线组成的三角形,如△ACD、△BDE等是黄金三角形,就连对角线交叉后形成的5个小三角形,如△AFJ、△BFG等也都是黄金三角形。甚至连以边长为腰的几个三角形,如△ABG、△CBF等也都是黄金三角形。在这个简单的图形中,黄金分割点比比皆是。例如:F点,即是AC、BE的黄金分割点,也是AG、BJ的黄金分割点。也就是说,在五角星的一条边中,可以列出多个黄金比例,以AC边为例,就有:正五边形的边长
黄金三角形 定义: 所谓黄金三角形是一个等腰三角形,其底与腰的长度比为黄金比值;对应的还有:黄金矩形之类,正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2.约为0.618而获得了此名称。 黄金三角形的画法: 1、作正方形ABCD 2、取AB的中点N 3、以点N为圆心NC为半径作圆交AB延长线于E 4、以B为圆心BE长为半径作⊙B 5、以A为圆心AB长为半径作⊙A交⊙B于M 则△ABM为黄金三角形。(如下图) 黄金三角形的分类 黄金三角形有2种: 等腰三角形,两个底角为72°,顶角为36°;这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比:(√5-1)/2. 等腰三角形,两个底角为36°,顶角为108°;这样的三角形的一腰与底之长之比为黄金比:(√5-1)/2. 黄金三角形的特征编辑 黄金三角形是一个等腰三角形,它的顶角为36°,每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比.当底角被平分时,角平分线分对边也成黄金比,并形成两个较小的等腰三角形.这两三角形之一相似于原三角形,而另一三角形可用于产生螺旋形曲线. 黄金三角形的一个几何特征是:它是唯一一种能够由5个全等的小三角形生成其相似三角形的三角形。