一元函数微分学习题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
第二部分 一元函数微分学
[选择题]
容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。
1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( )
(A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D
2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0
(A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C
3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( )
(A )必要条件。 (B) 充分条件。
(C )充要条件。 (D )既非必要,又非充分条件。 答B
4.设n 是曲线x x x y arctan 2
2
2
-=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D
5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ,则0=x 必是 )(x f 的( )
(A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C
6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A
7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C
8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量
(C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义
答C
9.x
(,其定义域是0
)
x
f=
x,其导数的定义域是()
≥
(A)0
x
≥
(B)0
x
≠
(C)0
x
>
(D)0
x
≤
答C
x不可导,则()
10.设函数)
(x
f在点
x没有切线
(A))
(x
f在点
x有铅直切线
(B))
(x
f在点
x有水平切线
(C))
(x
f在点
(D)有无切线不一定
答D
11.设'=''='''>
00, 则( )
()(),()
f x f x f x
000
(A) x
是'f x()的极大值点
(B) x
是f x()的极大值点
(C) x
是f x()的极小值点
(D) (,())
x f x
是f x()的拐点
00
[D]
12.(命题I): 函数f在[a,b]上连续. (命题II): 函数f在[a,b]上可积.则命题II是命题
I的()
(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件
(C )充分必要条件 (D )既非充分又非必要条件
(答 B )
13.初等函数在其定义域内( )
(A )可积但不一定可微 (B )可微但导函数不一定连续 (C )任意阶可微 (D )A, B, C 均不正确 (答 A )
14. 命题I ): 函数f 在[a,b]上可积. (命题II ): 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命 题 II 的 ( )
(A )充分但非必要条件 (B )必要但非充分条件 (C )充分必要条件
(D )既非充分又非必要条件
(答 A )
15.设 )(x u e y = 。则 ''y 等于( )
(A ) )(x u e (B ) )(x u e )(''x u (C ))(x u e )]('')('[x u x u + (D ))(x u e )](''))('[(2x u x u + (答 D )
16.若函数 f 在 0x 点取得极小值,则必有( ) (A ) 0)('0=x f 且 0)(''=x f (B )0)('0=x f 且 0)(''0
(答 D ) 17. ≠)('a f ( ) a x a f x f A a
x --→)()(lim
)(; x
x a f a f B x ??--→?)
()(lim ).(0;
t a f a t f C t )()(lim ).(0--→; s
s a f s a f D S )
2()2(lim ).(0--+→ 答(C ) 陆小 18. y
在某点可微的含义是:( )
(A ) a x a y ,?≈?是一常数; (B ) y ?与x ?成比例
(C ) x a y ?+=?)(α,a 与x ?无关,0→α)0(→?x .
(D ) α+?=?x a y ,a 是常数,α是x ?的高阶无穷小量).0(→?x 答( C )
19.关于dy y =?,哪种说法是正确的( ) (A )
当y 是x 的一次函数时dy y =?. (B )当0≈?x 时,dy y =?
(C ) 这是不可能严格相等的. (D )这纯粹是一个约定. 答( A )
20.哪个为不定型( ) (A )
0∞ (B )∞
(C )∞0 (D )0∞ 答( D )
21.函数f x x x x x ()()=---232不可导点的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
[C]
22.若)(x f 在0x 处可导,则=--→h
x f h x f h )
()(lim 000
( )
(A ))(0x f '-; (B ))(0x f -'; (C ))(0x f '; (D ))(0x f -'-.
答案:A
23.)(x f 在),(b a 内连续,且),(0b a x ∈,则在0x 处( )
(A ))(x f 极限存在,且可导; (B ))(x f 极限存在,且左右导
数存在;
(C ))(x f 极限存在,不一定可导;
(D ))(x f 极限存在,不可导.
答案:C
24.若)(x f 在0x 处可导,则|)(|x f 在0x 处( )
(A )必可导;(B )连续,但不一定可导;(C )一定不可导; (D )不连
续. 答案:B
25.设|)(|)()(0x x x x f ?-=,已知)(x ?在0x 连续,但不可导,则)(x f 在0x 处( ) (A )不一定可导;(B )可导;(C )连续,但不可导; (D )二阶可导. 答案:B
26.设)()()(bx a g bx a g x f --+=,其中)(x g 在),(+∞-∞有定义,且在a x =可导,则
)0(f '=( )
(A )a 2; (B ))(2a g ';
(C ))(2a g a '; (D ))(2a g b '.
答案:D
27.设))(cos()(cos x f x f y ?=,且f 可导, 则y '=( )
(A ))())(sin(sin )(cos x f x f x x f '??';
(B )+?'))(cos()(cos x f x f ))](sin([)(cos x f x f -?;
(C )-??'-))(cos(sin )(cos x f x x f )())(sin()(cos x f x f x f '??; (D )-?'))(cos()(cos x f x f )())(sin()(cos x f x f x f '??.
答案:C
28.哪个为不定型( )
(A )
0∞ (B )∞
(C )∞0 (D )0∞ 答( D )
29.设)100)(99()2)(1()(----=x x x x x x f ,则).(
)0('=f
( A ) 100 (B ) 100! (C ) -100 (D ) -100! 答案:B
30.设)(x f 的n 阶导数存在,且)()
(lim
)()1(a f a
x x f n n a x =--→,则)()()1(=-a f n
(A ) 0 ( B ) a (C ) 1 (D ) 以上都不对 答案: A
31.下列函数中,可导的是( )。
( A ) x x x f =)( (B ) x x f sin )(=
(C ) ?????>≤=0,0,)(2
x x x x x f (D ) ?????=≠=0,
00
,1sin )(x x x
x x f 答案:A
32.初等函数在其定义域区间内是( )
( A ) 单调的 (B ) 有界的 (C ) 连续的 (D ) 可导的 答案:C
33.若)(x f 为可导的偶函数,则曲线)(x f y =在其上任意一点),(y x 和点),(y x -处 的切 线斜率( )
(A ) 彼此相等 (B ) 互为相反数 (C ) 互为倒数 ( D )以上都不对 答案:B
34. 设函数)(x f y =在点0x 可导,当自变量由0x 增至x x ?+0时,记y ?为)(x f 的增量,
dy 为)(x f 的微分,则
)(→?-?x
dy
y (当0→?x 时)。
(A ) 0 ( B ) 1- (C ) 1 (D ) ∞
答案:A 35. 设x
x
x f log log log )(=
,则)()('=x f
(A )
2)(log log log x x x x - (B ) 2)(log log log 1x x x
-
(C ) 2)(log log log x x x x + ( D ) 2
)
(log log log 1x x x
+ 答案:B
36.若??
?>-≤.
1,
;
1,
)(2x b ax x x x f 在x =1处可导,则a b , 的值为( )。 (A).a b ==12,; (B).a b ==-21,; (C).a b =-=12,; (D).a b =-=21,。 答案:B
37.若抛物线y ax =2与y x =ln 相切,则a =( )。
(A). 1 ; (B). 1/2; (C). 2
1e ; (D).2e . 答案:C
38.若f x ()为(,)-l l 内的可导奇函数,则'f x ()( )。
(A).必为(,)-l l 内的奇函数; (B).必为(,)-l l 内的偶函数;
(C).必为(,)-l l 内的非奇非偶函数;(D).可能为奇函数,也可能为偶函数。 答案:B
39.设f x x x ()=, 则'=f ()0( )。
(A). 0; (B). 1 ; (C). -1 ; (D). 不存在。 答案:A
40.已知)(x f 在),(+∞-∞上可导,则( )
(A) 当)(x f '为单调函数时,)(x f 一定为单调函数. (B) 当)(x f '为周期函数时,)(x f 一定为周期函数. (C) 当)(x f '为奇函数时,)(x f 一定为偶函数. (D) 当)(x f '为偶函数时,)(x f 一定为奇函数. 答C
41.设)(x f 在),(+∞-∞内可导,则( )
(A ) 当+∞='+∞
→)(lim x f x 时,必有+∞=+∞
→)(lim x f x 。
(B ) 当+∞=+∞
→)(lim x f x 时,必有+∞='+∞
→)(lim x f x 。
(C ) 当-∞='-∞
→)(lim x f x 时,必有-∞=-∞
→)(lim x f x 。
(D ) 当-∞=-∞
→)(lim x f x 时,必有-∞='-∞
→)(lim x f x 。
答A
42.设周期函数)(x f 在),(+∞-∞内可导,周期为3,又12)
1()1(lim 0
-=--→x
f x f x ,则曲线
在点))4(,4(f 处的切线斜率为( )
(A )2. (B )1. (C) 1-。 (D )2-。 答A
43.设)(x f 有二阶连续导数,且11
)
(lim
,0)1(1
-=-''='→x x f f x ,则( ) (A ))1(f 是)(x f 的一个极大值。 (B ))1(f 是)(x f 的一个极小值。 (C )1=x 是函数)(x f 的一个拐点。
(D )无法判断。 答A
44.设)2()2()(22-+-+=x x x x x x f ,则)(x f 不可导点的个数是( )
(A )0. (B )1 。 (C )2。 (D )3。 答B
45.设x x x f =)(,则其导数为( ) (A )x x x f =')( (B )x x x f x ln )(=' (C ))1(ln )(+='x x x f x (D )1)(-='x x x f 答C
46.设x x y 44cos sin +=,则( ) (A )1),2
4cos(41)(≥+
=-n n x y n n π
(B )1),4cos(41)(≥=-n x y n n (C )1),2
4sin(41)(≥+=-n n x y n n π
(D )1),2
4cos(4)(≥+=n n x y n π
答A
47.设2
1)(x e x f --=,则( ) (A )1)0(±='±f (B )1)0( ='±f (C )0)0(='±f (D ))0(±'f 不存在
答A
48.设1
arcsin )1()(+-=x x
x x f ,则( ) (A )0)1(='f (B )1)1(='f (C )4
)1(π
=
'f
(D ))1(f '不存在 答C
49.下列公式何者正确( ) (A )x x x cot csc )(csc -=' (B )x x x sec tan )(sec -=' (C )x x 2csc )(tan =' (D )x x 2csc )(cot =' 答A
50.设f x g x e x x x
()()=-≠=??
?-000
, 其中g x ()有二阶连续导数, 且g (),01=
'=-g ()01, 则 (A) f x ()在x =0连续, 但不可导,(B)'f ()0存在但'f x ()在x =0处不连续 (C) 'f ()0存在且'f x ()在x =0处连续, (D) f x x ()在=0处不连续
[C]
51.设f x ()可导, 且满足条件lim
()()
x f f x x
→--=-0
1121, 则曲线y f x =()在
(,())11f 处的切线斜率为 (A) 2, (B) -1, (C)
1
2
, (D) -2 [D]
52.若f x ()(,)为-∞+∞的奇数, 在(,)-∞0内'>f x ()0, 且'' (D) '<''>f x f x (),()00 [C] 53.设f x ()可导, 且满足条件lim ()() x f f x x →--=-0 1121, 则曲线y f x =()在 (,())11f 处的切线斜率为 ( ) (A) 2, (B) -1, (C) 1 2 , (D) -2 [D] 54.设f x g x e x x x ()()=-≠=?? ?-000 , 其中g x ()有二阶连续导数, 且g (),01= '=-g ()01, 则 (A) f x ()在x =0连续, 但不可导 (B)'f ()0存在但'f x ()在x =0处不连续 (B) 'f ()0存在且'f x ()在x =0处连续 (C) (D) f x x ()在=0处不连续 [C] 55.设f x ()可导, F x f x x ()()(sin )=+1, 若使F x x ()在=0处可导, 则必有 (A) f ()00= (B) '=f ()00 (C) f f ()()000+'= (D) f f ()()000-'= [A] 56.设f x x x x x g x x ()cos () =->≤??? ??100 2, 其中g x ()是有界函数, 则f x ()在x =0处( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在, 但不连续 (C) 连续, 但不可导 (D) 可导 [D] 57.设 x x y ln =, 则 )10(y 等于( ) (A ) 9-x (B ) 9--x (C ) 8!9-x (D ) -8!9-x (答 C) 58.若?????=≠=0 01sin )(x x x x x f p ,在点0=x 处连续,但不可导,则=p ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 答( B ) 59.判断???>≤+=121 2)(2x x x x x f 在1=x 处是否可导的最简单的办法是( ) ( A )由3)1(=f 得0'3)1('==f ,故可导(导数为0) ( B )因)01()01(-≠+f f ,故)(x f 在该点不连续,因而就不可导 ( C )因1 ) 1()(lim 1)1()(lim 010 1--≠---→+→x f x f x f x f x x ,故不可导 ( D )因在1=x 处)'2()'2(2x x ≠+,故不可导 答( B ) 60.若x y ln =,则 dx dy =( ) ( A )不存在 ( B ) x 1 ( C ) x 1 ( D )x 1 ± 答( B ) 61.若)(x f 是可导的,以C 为周期的周期函数,则)('x f =( ) ( A )不是周期函数 ( B )不一定是周期函数 ( C )是周期函数,但不一定是C 为周期 ( D )是周期函数,但仍以C 为周期 答( D ) 62.设)('t f x =,),()('t f t tf y -=记 2222'',','','dt y d y dt dy y dt x d x dt dx x ====,则 =22dx y d ( ) ( A )22)' ' (t x y = ( B ))(''')(''''''t f t f t x y += ( C ) 1 '' '''''2 =-x y x y x ( D ))(''1'''''''3t f x y x y x =- 答( D ) 63.在计算23 dx dx 时,有缺陷的方法是:( ) (A )原式x x dx x d x d dx 2 3))(3 2(1 )(1 )(31 33 3333 23 2 = = = = - (B) 原式x x dx x d 2 3)(23)(2 123 222=== (C) 原式x x x dx dx dx dx 2 3 23223 === ( D) 因,2,32 2 3 xdx dx dx x dx ==故x xdx dx x dx dx 2 3 23223== 答( B ) 64.以下是求解问题 “b a ,取何值时,???>+≤=33 )(2x b ax x x x f 处处可微” 的四个步骤.指出哪一步骤是不严密的:( ) (A ) 在3=x 处)(x f 可微)(x f ?连续)(lim 3 x f x →?存在 (B ) )(lim 3 x f x →存在93)03()03(=+?-=+?b a f f (C ) 在3=x 处)(x f 可微)03(')03('-=+?f f 答( D ) 65. 若)(x f 与)(x g ,在0x 处都不可导,则=)(x ?)()(x g x f +、 =)(x ψ)()(x g x f -在0x 处( ) (A )都不可导; (B )都可导;(C )至少有一个可导;(D )至多有一个可导. 答案:D 66.若?? ?<≥+=-0 sin 0 )(2x ax x b e x f x ,在00=x 可导,则b a ,取值为( ) (A )1,2==b a ; (B )1,1-==b a ; (C )1,2-=-=b a ; (D )1,2=-=b a . 答案:C 67.设函数)(x y y =由方程04ln 22 =++x y x y 确定,则=dx dy ( ) (A ) ) ln (222 x x y x y y +?-; (B ) x x y ln 2; (C ) x x y ln 2-; (D )) 1(ln 22 +-y x x x y . 答案:C 68.若},{max )(22 0x x x f x <<=,则=')(x f ( ) (A )??? ? ?? ?<<< <='221,2 1 0,1)(x zx x x f ; (B )??? ? ?? ? <<≤ <='22 1 ,2 10,1)(x zx x x f ; (C )?? ?<<<<='21, 10, 1)(x zx x x f ; (D )?? ?<<≤<='2 1, 10, 1)(x zx x x f ; 答案:C 69.设||25)(34x x x x f -=,则使)0() (n f 存在的最大n 值是( ) (A )0; (B )1; (C )2; (D )3. 答案:D 70.设)(x f y =有反函数,)(y g x =,且)(00x f y =,已知1)(0='x f ,2)(0=''x f , 则='')(0y g ( ) (A )2; (B )-2; (C ) 21; (D )2 1 -. 答案:B 71.设函数),()()(x a x x f ?-=其中)(x ?在a 点连续,则必有 ( )。 (A))()(x x f ?='; (B))()(a a f ?='; (C))()(a a f ?'='; (D))()()()(x a x x x f ??'-+='. 答 ( B ) 72.函数)(x f y =在点0x 处可导是)(x f 在点0x 处连续的( )。 (A) 必要条件,但不是充分条件。 (B) 充分条件, 但不是必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分条件, 也非必要条件. 答(B ) 73.函数x x x f sin )(= 在π=x 处的 ( )。 (A) 导数;)(ππ='f (B) 导数;1 )(π π= 'f (C) 左导数;)0(ππ=-'f (D) 右导数;1 )0(π π=+'f 答(D ) 74.设函数???≤+>-=,2,, 2,1)(2x b ax x x x f 其中b a ,为常数。现已知)2(f '存在,则必有 ( )。 (A) .1,2==b a (B) .5,1=-=b a (C) .5,4-==b a (D) .3,3-==b a 答( C ) 75.设曲线x y 1 = 和2x y =在它们交点处两切线的夹角为?,则=?tan ( )。 (A) -1. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答(D ) 76.设函数x x x f =)(,),(+∞-∞∈x ,则 ( ) (A)仅在0=x 时, (B) 仅在0>x 时, (C) 仅在0≠x 时, (D)x 为任何实数时,)(x f '存在。 答( C ) 77.设函数)(x f 在点a x =处可导,则=--+→x x a f x a f x ) ()(lim ( ) (A) ).(2a f ' (B)).(a f ' (C)).2(a f ' (D) 0. 答( A ) 78.设函数)(x f 是奇函数且在0=x 处可导,而x x f x F ) ()(= ,则 ( )。)(x F 在0→x 时极限必存在,且有)()(lim 0 x f x F x ''=→ (A) )(x F 在0=x 处必连续。 (B) 0=x 是函数)(x F 的无穷型间断点。 (C) )(x F 在0=x 处必可导,且有)0()0(f F '='。 答( A ) 79.设a 是实数,函数 则)(x f 在1=x 处可导时,必有 ( )