线性代数课后题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
相信自己加油
(1)
3811411
02
---; (2)b a c a c b c
b a
(3)
2
2
2
111
c b a c b a ; (4)
y
x
y x x y x y y x y x +++.
解 注意看过程解答(1)=---3
81141
1
2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?
)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4-
(2)
=b
a c
a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=
(3)
=2
2
2
1
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=
(4)
y
x
y
x x y x y y x y x
+++
yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业
(1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n
2 4 … )2(n ;
(6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.
解(1)逆序数为0
(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2
(3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3
(5)逆序数为2
)
1(-n n :
3 2 1个 5 2,5
4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… …
)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n
)1(-n 个
(6)逆序数为)1(-n n
3 2 1个 5 2,5
4 2个 ……………… …
)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n
)1(-n 个
4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… …
)2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个
3.写出四阶行列式中含有因子
2311a a 的项.
解 由定义知,四阶行列式的一般项为
43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p
已固定,
4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++
∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
4.计算下列各行列式:
多练习方能成大财
(1)??
???????
???711
00251020214214; (2)?????
?
???
???-26
0523********
12; (3)????
??????---ef cf bf
de cd bd ae ac ab ; (4)??
???
????
???---d c b
a
100
11
0011001 解
(1)
7110025102021421434327c c c c --0
1001423102
02110214---
=34)1(14
3102211014+-?---
=
14
3
10
2211014
--3
2
1132c c c c ++14
17
1720
1099-=0
(2)
26
5232112131412-24c c -2
6050321221
304
12-
24r r -0412
03212213
0412
- 14r r -0
000
032122130412-=0
(3)
ef
cf
bf
de cd bd ae ac ab
---=e
c
b
e c b e c b
adf ---
=1
1
1
111111
---adfbce
=abcdef 4
(4)
d
c b a 100110011001---21ar r +
d c
b a ab 1001
10011
010
---+
=1
2)
1)(1(+--d
c
a a
b 10
1
101--+
2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad a ab
=
2
3)
1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5.证明:
(1)111
2222b b a a b ab a +=3)(b a -;
(2)
bz
ay by ax bx
az by ax bx
az bz ay bx
az bz ay by ax +++++++++=y
x
z x z y
z y x
b a )(33+;
(3)
0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
2
2
2
2
2
2
2
22222222
=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;
(4)4
44422221111d c b a d c b a d c b a
))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1
2
2
1
100000100
001a x a a a a x x x n n n
+----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .
证明
(1)
1
22222221
312a b a b a a b a ab a c c c c ------=
左边
a
b a b a
b a ab 22)1(2
221
3-----=+ 2
1)
)((a
b a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz
ay by ax z by ax bx az y bx
az bz ay x a ++++++分开
按第一列
左边
bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++
++++++002
y by ax z
x bx
az y z bz ay x a 分别再分bz
ay y
x by
ax x z
bx
az z y b +++
z
y
x y x z
x z y b y x z
x z y z y x a 33+分别再分
右边=-+=233)1(y
x
z x z y
z
y x b y
x
z
x z y
z y x a
(3) 2
2222
2
2
2
22
222222
)3()2()12()3()2()12()3()2()
12()3()2()12(++++++++++++++++=
d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边
9644129644129
64
4129644122
222
141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c
9
64496449
64
4964422
2
2
2
++++++++d d d
d c c c c
b b b b a a a a 分成二项按第二列9
6441964419
64
41964412
2
22+++++++++
d d d c c c b b b a a a
9
4949
49494642
2
22
24232423d
d c c
b b a a
c c c c c c c c ----第二项
第一项
06416416416412
2
22=+
d d
d c c c
b b b a a a
(4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a a
d a c a b a ---------=左边
=
)
()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)
()()(111
))()((222a d d a c c a b b a
d a
c a
b a d a
c a b
++++++---
=?---))()((a d a c a b
)()()()()(0
0122222a b b a d d a b b a c c a b b b
d b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b
)
()()()(1
12
222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++
=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-
(5) 用数学归纳法证明
.,1
,22121
22命题成立时当a x a x a x a x
D n ++=+-=
=
假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即
,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D :1列展开按第则n D
1
110010
001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1
所以,对于n 阶行列式命题成立.
6.设
n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依
副对角线翻转,依次得
n
nn
n a a a a D 11111
=, 1
1112
n nn
n a a a a D = ,11
113
a a a a D n n
nn
=,
证明D D D D D n n =-==-32
)1(21
,)1(.
证明 )det(ij a D =
n
nn n n
n n
nn
n a a a a a a a a a a D 2211
1111111
1
1)
1(
--==∴
=--=--n
nn n n
n n n a a a a a a a a 3311
22111121)1()1( nn n n
n n a a a a
111121)1()1()1(---=--
D D n n n n 2
)1()
1()2(21)1()
1(--+-+++-=-=
同理可证nn
n
n n n a a a a D 11
112
)1(2
)
1(--=D D n n T n n 2
)1(2
)1()
1()1(---=-=
D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22)
1(3
)1()
1()1()1(
7.计算下列各行列式(阶行列式为k D k ):
(1)a
a
D n
1
1
=,其中对角线上元素都是
a ,未写出的元素都是0;
(2)x
a
a
a x a a a x
D n
=
;
(3) 1
1
11)()1()()1(1111
n a a a n a a a n a a a D n n n n
n n
n ------=---+;
提示:利用范德蒙德行列式的结果.
(4)
n
n
n
n
n d c d c b a b a D
00
01
1
112=;
(5)
j
i a a D ij ij n -==其中),det(;
(6)n
n a a a D +++=
11
11
111
1
12
1 ,021≠n a a a 其中.
解
(1)
a
a a a a D n 0
1
000000000
000
1000
=
按最后一行展开
)
1()1(10
0000
000010000)1(-?-+-n n n a
a a
)
1)(1(2)1(--?-+n n n a a
a
(再按第一行展开)
n n n n
n a a a
+-?-=--+)
2)(2(1)1()1(
2--=n n a a )1(22-=-a a n
(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行,得
a x x a a x x
a a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上,得
a
x a x a x a a a a
n x D n ----+=00
0000
000
)1( )
(])1([1
a x a n x n --+=-
(3)从第1+n 行开始,第1+n 行经过n 次相邻对换,换到第1行,第n
行经)1(-n 次对换换到第2行…,经2
)
1(1)1(+=++-+n n n n 次行
交换,得
n
n n
n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(11
11
)
1(1112
)1(1-------=---++
此行列式为范德蒙德行列式
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()
1(j i n n n n j a i a D
∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?
-?-=---=1
12
1
)1(2
)1(1
12
)1()][()
1()
1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i
(4)
n
n
n
n
n d c d c b a b a D 0
1
1
112
=
n n n n n n
d d c d c b a b a a 000000
111
1
111
1
----
展开
按第一行
0)
1(11
1
1111
1
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+-+
2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开
由此得递推公式:
222)(--=n n n n n n D c b d a D
即 ∏=-=n
i i i i i n
D c b d a D 222)(
而 11111
1
1
12c b d a d c b a D -==
得 ∏=-=n
i i i i i n c b d a D 1
2)(
(5)
j
i a ij -=
4321401233101222101
13210)det( --------=
=n n n n n n n n a D ij n
,322
1r r r r --0
432111111
111111
1111
11111
--------------n n n n ,,141
312c c c c c c +++
1
524232102221002210002100001---------------n n n n n
=
212)1()1(----n n n
(6)n
n a a a D +++=
11
11111112
1
,,433
221c c c c c c ---
n
n n n a a a a a a a a a a +-------100001000100001
00010001000011433221
展开(由下往上)
按最后一列
))(1(121-+n n a a a a n
n n a a a a a a a a a --------0
0000000000
0000
000000
000
22433221
n n n a a a a a a a a ----+--00000000
0000000001133221 ++ n
n n a a a a a a a a -------00000000
0000
0001143
3
22
n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---
)1
1)((121∑+==n i i
n a a a a
8.用克莱姆法则解下列方程组:
?????
??=+++-=----=+-+=+++;
01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
????
???
??=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323
2121x x x x x x x x x x x x x
解 (1)112
1
3
513241211111
----=
D
8
1
20735032
1
1111------=
145008130032101111---=142142
000541003
2101111-=---=
11
21051324
12211151------=
D 112105
13290501
115----= 1121023313090509151------=2331309
5
112109151------=
120230046
100011210915
1-----=
14200038100112109151----=142-=
11
2
3
5122412111
5
12-----=
D 8
1
1507312032
7
1151-------=
31390011230023101151-=284284
0001910023101
151-=----=
426110135232422115113-=----=D
1420
21321322
12151114=-----=
D 1
,
3,
2,
14
43
32
211-========∴
D
D x D D x D D x D D x
(2)5
1000651000
6510
0651
00065=D 展开按最后一行
6
10005100
65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019
D D ''''-'''=1146566551141965=?-?=
(
,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)
5
1001651000
6510
06500006
11=D 展开按第一列
6
510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=
5
1
010
6
51000
6500
06010
00152=D 展开
按第二列510
06510065
0006
1-6
510065*********-
3655
106510
65?-=1145108065-=--=
511006
50000
6010
00510
01653=D 展开
按第三列510
065000610005
16
500061*********+
6
100510
6565106500
61+=703114619=?+=
5
10006
01000
0510
06510
10654=D 展开
按第四列6
100051006510065500
06100051
0065
1-
- 5
106510
6565--=395-=
1
1000
51000
6510
06511
00655=D 展开按最后一列D '+1
00
051006
510065
12122111=+= 665
212
;665
395
;665
703
;665
1145
;6651507
44321=
-=
=
-
==
∴
x x x x x . 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ???
??=++=++=++0
200321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?
解 μλμμμλ
-==1
2111
1
13
D ,
齐次线性方程组有非零解,则03=D
即 0=-μλμ
得 10==λμ或
不难验证,当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.
10.齐次线性方程组取何值时问,λ???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(321
321321x x x x x x x x x λλλ
有非零解? 解
λ
λλ----=
11
1132421D λ
λλλ--+--=
10
1
112431
)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ
齐次线性方程组有非零解,则0=D
得 32,0===λλλ或
不难验证,当
32,0===λλλ或时,该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
???
??++=++=++=,
323,53,223213
32123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换.
解
由已知:?
???? ??????? ?
?=????? ??221321323513122y y y x x x
故 ????? ??????? ??=????? ??-3211
221323513122x x x y y y ?????
???????
?
?----=321423736
947y y y ???
??-+=-+=+--=3213
32123211423736947x
x x y x x x y x x x y
2.已知两个线性变换
???
??++=++-=+=,
54,232,
23213
3
212311y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
解 由已知
????? ???????
?
?-=????? ??221321514232102y y y x x x ????
?
??????? ??--?????
??-=321310102
013514232102z z z ????
? ???????
??----=321161109412316
z z z
所以有 ???
??+--=+-=++-=3213
32123
2111610941236z
z z x z z z x z z z x
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果! 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项: 1. 考前请将密封线内填写清楚; 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 ); 3.考试形式:开(闭)卷; 4. 本试卷共五大题,满分100 分,考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题(每小题 2 分,共 40 分)。 题 封 答1.设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵,则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2+ E =0,其中 E 是 n 阶单位矩阵,则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵,且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. -2n A. -2 D. 1 B. -2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵,且行列式det(A)=0 ,则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量,其对应分量成比例 C. 存在一个行向量,它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5.设向量组a1,a2, a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是【】名A.a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓
C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1- a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7.设 a 为 m n 矩阵,则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A . A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数( i =1, 2, 3),且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量,则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1,η2,η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系, 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1, η2, η3 线性表示的向量组 B. 与 η1, η2 , η3 等秩的向量组 C.η 1-η2, η2- η3, η3- η1 D. η 1, η1-η3, η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ,则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解, 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2
《线性代数》习题集(含答案) 第一章 【1】填空题 (1) 二阶行列式 2a ab b b =___________。 (2) 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 (3) 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 (4) 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 (5) 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2 a b -;4.3 3 3 3x y z xyz ++-;5.4abc 。 【2】选择题 (1)若行列式12 5 1 3225x -=0,则x=()。 A -3; B -2; C 2; D 3。 (2)若行列式11 1 1011x x x =,则x=()。 A -1 , B 0 , C 1 , D 2 ,
(3)三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=()。 A -70; B -63; C 70; D 82。 (4)行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -;B () 2 2 2a b -;C 4 4 b a -;D 44 a b 。 (5)n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =()。 A 0; B n !; C (-1)·n !; D () 1 1!n n +-?。 答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。 答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。 (2)τ(217986354)=18,此排列为偶排列。 (3)τ(987654321)=36,此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数: (1)135 (2n-1)246 (2n );(2)246 (2n )135 (2n-1)。 答案:(1) 12n (n-1);(2)1 2 n (n+1) 【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号:
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0,1,1,2,则||A E λ-= 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值,则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ;||A = -2 ;A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值,则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵,||A d =,则*AA 的特征值是,,,d d d ???(共n 个) 二、选择题 1.设1λ,2λ为n 阶矩阵A 的特征值,1ξ,2ξ分别是A 的属于特征值1λ,2λ的特征向量,则( D ) (A )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (B )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 (C )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (D )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则1 A -有一个特征值等于 ( C ) A 、2; B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B ) A 、充分条件; B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解:A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时,解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ,故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时,解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ,故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解:B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时,解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1)3 81141 1 02---; (2)b a c a c b c b a (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y y x y x + ++. 解 注意看过程解答(1) =---3 811411 2 811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2)=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n ; (6)1 3 …)12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何? 解:排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到,每一次邻换都 改变排列的奇偶性,故当2)1( n n 为偶数时,排列 1 1x x x n n 为奇排列,当2)1( n n 为奇数时,排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解:含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ,13223441 (1)t a a a a , 13213244 (1)t a a a a ,13213442 (1)t a a a a ,13243241 (1)t a a a a ,13243142 (1)t a a a a 六项, 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t , (3241)4t , (3124)2 t , (3142)3 t , (3421)5t ,(3412)4 t , 故所求为13223144 1a a a a , 132134421a a a a , 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解:根据行列式的定义,非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L , 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ,故行列式的值等于: (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解:展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式: 解 : (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …
(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。
第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 (1) 23112 =; (2) cos sin 1sin cos θθθ θ -=; (3) 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221 12211221 1221a a a b b a b b (4) 11121112 21222122 a a b b a a b b + 11221122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 (1)103 12 126231-=--; (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a (3)a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)3214; (2)614235. 123t 112217t (3)() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时,2n k ,排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n
其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数;k 为21k 与它前面数构成的逆序数;(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和; 113131k k k k 为2k ,22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时,21n k ,排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数; (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和;3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ,使6元排列2316i j 为奇排列. 解:4,5i j ,()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解:13213244a a a a ;13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式: (1) 0001 002003004000(4321) (1) 2424 (2) 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。
4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c
8线性代数练习题(带解题过程)
0 线性代数试题 一 填空题 ◆1. 设 A 为3阶方阵且 2 =A ,则 = -*-A A 231 ; 【分析】只要与* A 有关的题,首先要想到公式, E A A A AA ==**,从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意: 为什么是3 )1(- ◆2. 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β, 如 3 21,,ααα线性相关,则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关,则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题,最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘
1 法的关系,然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ,记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==, 切不可两边取行列式!!因为矩阵不一定 是方阵!! ◆3. 设非齐次线性方程b x A m =?4 ,2)(=A r ,3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解,且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案: T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ,形式不 唯一) 【分析】对于此类题,首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数(也是解空间的维数) 是多少,通解是如何构造的。其次要知 道解得性质(齐次线性方程组的任意两解的线性
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 (1)=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- (2)=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= (3)=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= (4)y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为 2 ) 1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2121,n c c b b =2121,则=++2 21 12 1 c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121. 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(. 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B . 4.????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333. 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1) 3811411 02 ---; (2)b a c a c b c b a (3) 2 2 2 111 c b a c b a ; (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答(1)=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2) =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0
线性代数试题 一 填空题 ◆1. 设A 为3阶方阵且2=A ,则=-*-A A 231 ; 【分析】只要与*A 有关的题,首先要想到公式,E A A A AA ==**,从中推 你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意: 为什么是3)1(- ◆2. 设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β, 如321,,ααα线性相关,则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关,则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题,最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系,然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ,记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==, 切不可两边取行列式!!因为矩阵不一定是方阵!! 你来做 下面的三个题: (1)已知向量组m ααα,,,21 (2≥m )线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。(答案:m 为奇数时无关,偶数时相关) (2)已知321,,ααα线性无关,试问常数k m ,满足什么条件时,向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关?线性相关?(答案:当1≠mk 时,无关;当1=mk 时,相关) (3)教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题 ◆3. 设非齐次线性方程b x A m =?4,2)(=A r ,321,,ηηη是它的三个解,且
线性代数习题一 说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2,则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3 D .6 2.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1 B .E -A C .E +A D . E -A -1 3.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( ) A .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1 ?? ???A B B .?? ??? A B 不可逆 C .?? ? ??A B 可逆,且其逆为-1-1?? ??? B A D .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是 ( ) A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关 B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)T B .(-2,0,-1,1)T C .(1,-1,-2,0)T D .(2,-6,-5,-1)T 6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( )
第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1.下列说法正确的是( C ) A.n 元齐次线性方程组必有n 组解; B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解; C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解; D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B ) A.当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解; B.当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解; C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题 1.已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解, 则λ= 1 ,μ= 0 . 2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1.832623x y x y +=??+=? 解: 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-, 28212 63 D = =- 所以,125,62D D x y D D = ===-
2.123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解: 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---, 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----, 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以, 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3.21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解: 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=, 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--, 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以, 3121,0,1D D D x y z D D D = =====
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
《线性代数》作业及参考答案一.单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…