近世代数之我见

一对课程的看法：

1作用与意义

近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位，而且在其他学科中也有着广泛的应用，如理论物理、计算机科学等。其研究的方法和观点，对这些学科产生了越来越大的影响。

本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解，为学生进一步的学习打下必要的基础。要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论，包括其定义和基本的性质，并对模的概念有所理解。要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。

2.本课程的主要内容

本课程讲授四类典型的代数系统：集合与运算、群、环和域。其内容包括：

群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，子群与陪集，Lagrange定理，不变子群的定义及其性质，群同态和同构基本定理，能够计算群元素的阶；

环、域、理想、唯一分解环的定义，环中的可逆元，零因子、素元的定义，判别唯一分解环的方法。

3.教学重点与难点

重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。

难点：商群、商环。

二、对教法的看法：

“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。

一、通过例子来加深对基本理论的理解

针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。

二、通过变换角度来寻求问题的解法

通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法：

例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1=-1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。

对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。

三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类

“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。这样就可以将对其中一个结构进行分析得到的性质迁移到其它结构上去。例如，在群结构理论下，一个由元a所生成的循环群G，它的构造完全可以由a的阶来决定:如果a的阶无限，那么G与整数加群同构；如果a的阶是有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。这样研究了整数加群和以n为模的剩余类加群，整个循环群就都在我们掌握之中了。

运用同构的观点来学习“近世代数”，有利于弄清群、环、域间的纵横关系，有利于全面、深刻、系统的理解所学的知识，也有利于培养分析、综合、抽象、概括的能力。

四、通过重复加深理解

对于“近世代数”中很抽象的内容，需要反复阅读，逐渐推敲，从不同角度去理解本质所在。经常会出现这样的情况，读第一遍时明白了，而读第二遍时又糊涂了，这时要联系前后内容认真思考未明白的地方。实际上是第一遍没有真正明白，或者只明白了表面的东西，尚未理解本质所在。

三、学习心得

学习近世代数一个学期了，如果问我对于这门课程是否有深刻的了解，是否从中真正地学到了一些数学基本知识。说真的，对于诸如此类的问题，我真的无法回答，因为这一学期下来，我就只认真做了一些老师布置的作业，没有深入的学习、研讨这门课程，而且所获得的知识也有点支离破碎的感觉，很难将它们连贯起来。但有一点是肯定的，我确实从这门课程中收获了一些东西，它对我思维能力的培养确实起了很大的作用。例如数学直觉思维、发散思维、逆向思维。

1培养数学直觉思维

直觉思维是一种敏锐快速的综合思维，它常常是创造性思维的前奏，它既需要知识组块和逻辑推理的支持，也需要形象经验和似真推理的推动，在教学过程中可以从以下几方面来培养直觉思维．首先，解决数学问题时要教会学生从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与体系关系，从思维策略的角度确定解题的人手方向或总体思路，在整体分析的基础上进行大胆尝试，当相应知识和能力达到一定的熟练程度后再培养思维跳跃与创新能力，在练习中注意方法探索、思路寻找与类型识别，逐步培养直觉判断和洞察能力．其次，提供丰富的背景资料，恰当地设置教学环境，促使学生整体思考，引导学生寻找并发现事物的内在联系，从而为直觉思维留下广阔的天地．第三，鼓励学生大胆猜测，重视直觉猜想的合理性与必要性，养成归纳、分析、推测、类比的思维习惯．

2加强发散思维训练

发散思维是创造性思维的起点，培养发散思维有助于发展学生的创造力．其中，一题多解是训练发散思维的有效形式，多向求解之所以能提高学生的创造性思维，主要是因为它要求学生的思路不局限于单一角度，不受一种思路的束缚，为了问题的解决，多找几个途径，最后达到殊途同归的目的，这对于培养学生的创造性思维是大有好处的．比如，对于除环这个概念的理解，可以从环的定义再附加三个条件(①至少包含一

个非零元；②有一个单位元；③每一个非零元有一个逆元)的角度理解，也可以从除环由两个群(加群和乘群)凑合而成的角度理解．对于证明有限集合作成除环的题目来说，利用第二种角度去证明会相对简单些，例如，课本…％习题3和气例1．另外，一题多变是激活发散性思维的又一形式．一题多变，可引导学生克服静止、孤立地看问题的习惯，向远处着想，

向深处发掘，不断变换条件和结论，由浅入深，由特殊到一般，达到由此及彼、触类旁通的目的，这对于学生的创造性思维能发挥积极的推动作用．比如，在讲群的定义时，课本中举例说明全体非零整数对于普通乘法不作成一个群，可以引导学生去思考，若把条件变为全体非零有理数(或实数或复数)则会有什么结论，从而进一步思考要作成一个群，集合要满足什么条件．通过这样的引导，使学生养成对问题深入思考的习惯，有助于学生创造性思维的培养．开放性问题的训练也有助于创造性思维能力的提高．开放性问题表现为条件不完备或答案不固定，要求学生能动态分析可能的条件与面临问题间的复杂关系，要求学生主动参与问题的建构与引申，这就不仅需要逻辑思维，还需要形象思维和直觉思维的参与．比如，在讲一一映射这一节时，可以引导学生去思考一个集合与它的真子集之间是否存在一一映射，这个问题的条件是不完备的，当这个集合是有限集时，答案是否定的；当这个集合是无限集时答案是肯定的．

3引导学生逆向思维

逆向思维是指思维活动从一个方向转向相反方向，这种思维的运动性是创造性思维的一个重要组成部分，也是培养学生创造新思维的有效方法之一．因此，在教学中必须加强培养逆向思维，使问题得到更为简便巧妙的解决．反向逆推，探讨某些命题的逆命题的真假，是逆向思维的方法之一，也是学生理解概念、定理的一种行之有效的方法．例如，课本第二章第十节在讲到群的中心是不变子群时，可以引导学生去反向思考：不变子群是否一定是群的中心?若不一定，则举出反例．通过这样的反问逆推，引导学生去发问，去发现，从而使学生深入理解所学知识．运用反证法，证明事实和结论的正确性，也是逆向思维的方法之一．反证法是正向逻辑思维的逆过程，是一种典型的逆向思维．反证法首先假设与已知数学事实和结论相反的结果成立，然后推导出一系列与客观数学事实、原理和规律相矛盾的结果，进而导致否定原来的假设，从而更加有力地证明已知事实和结论的正确性．反证法在近世代数中有着极其广泛的应用，对于“唯一性”、“只有”、“都一样”、“最大”之类的命题的证明都用到反证法．在解决问题时，当正向思维较困难时，运用逆向反推可起到化难为易、事半功倍之效果，进而可培养学生的逆向思维能力．

多所高校近世代数期末考试题库[]

多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法

近世代数第二章答案分解

近世代数第二章群论答案 §1.群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如 () 321110 --=-= --=-=() 321312 ()() --≠-- 321321 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G=,e a {},G的乘法由下表给出 首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为，由于ea ae a ==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有 ()aa a ea a == a aa ae a ==() 而(1)仍成立。 其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。 读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的

定义： IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 =ae a 对于G 的任何元a 都成立； V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 1=aa e - 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。 解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 ()()()2 ==ab ab ab e 另一方面 ()()22====ab ba ab a aea a e 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得 =ab ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。 考察1a -。我们有 ()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数

近世代数第一章练习题

近世代数试题 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填 在题干的括号内。每小题3分，共15分) 1.设A=R（实数域），B=R+（正实数域） φ:a→10a?a∈A 则φ是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x 3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个 5.剩余类加群Z18的子群有( )。 A.3个 B.6个 C.9个 D.12个 二、填空题(每空3分，共27分) 1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个. 2.n次对称群S n的阶是____________. 3.一个有限非可换群至少含有____________个元素. 4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个. 5.除环的理想共有____________个. 6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________. 8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元. 9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________. 三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分) 1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群. 2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？ 3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数学习系列二十二群论与魔方

群论与魔方：群论基础知识要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1) 如果(G, ?)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b 而言，a ? b = b ? a，我们便说(G, ?)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1(新)

近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

近世代数1

第一章 §1.1集合 §1.2映射与变换 教学内容：集合，子集，集合相等的概念 集合关系及运算的定义和性质 映射，单射，满射，双射，逆映射的定义及例子 变换，置换等的定义及例子 映射的象及逆象的定义，映射的乘法 教学重点：集合的关系及运算，映射变换的定义，映射的乘法在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一个统一的规定。 1、用Z表示整集合，Z*表示非零整数集，用ψ表示有理数集，ψ*表示非零有理数数集等。 Z+ ，ψ+…R,C… 2、AB表示A是B的子集，A=B或AB AB表示A是B的真子集，即B中有不存在A的元素 AB表示A不是B的子集 AB表示A不是B的真子集 A=BAB且BA 3、如果集合A含有无穷多个元素，则记为=,如果A含有n个元素，则记为=n。（A的阶），有+=+ 4、称集合A-B={aaA, aB}为集合A与B的差集。易知有A-B=A 5、集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。=（=n） 映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合 6、定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称为从A到B的映射。这种关系常表示为 ：AB 或：xy 或y=（x） xy 且称y为x在之下的像，称x为y在之下的原像或逆像。 由定义可知，映射必须满足三个条件： ①A中每个元素都有像，②A中元素的像是唯一的，③A中元素的像在B里。 例：P6例1-6

例1.不是映射，不满足①例2.不是映射，不满足②例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满例4.是映射，不单，满例6.是映射， 单不满 7、映射是函数概念的推广，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。A中不同元 素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆 像，则称为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。 例：P7，例 4-8 例7，双射，例8，满射，不单。 8、设有映射：AB，A，B.用（）表示中所有元素在之下的像的全体组成的集合，称为在之下的像，（）B。用（）表示中所有元素在之下的逆像全体组成的集合，称为在之下的逆像，（）A。 易知：是满射（A）=B. 9、设：AB是双射，（思考，为什么？），则：BA 也是一个映射,且为双射（为什么？）， xy=(x) yx 称为的逆映射。 注意：双射才有逆映射。 定理：设A,B是两个有限集合，且=，是A到B的一个映射，则是单射是满射是双射 证明：略。 10、设б与都是A到B的映射，如果xA,都有б（x）=(x),则称б与相等，记作б= 11、设：AB б：C 则AC x(x) y(y)， x(x)（(x)） 是一个A到C的映射，记为，即：AC 并称为与的合成或乘积。 x（(x)） 12、集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，：AB 它是一个一一变换。 xx，

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数习题第二章

第二章 群论 近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52 题，最后提交时间为11月25日 1、设G 是整数集，则G 对运算 4++=b a b a 是否构成群？ 2、设G 是正整数集，则G 对运算 b a b a = 是否构成群？ 3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群. 4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元. 5、G 是整数集，则G 对运算 1=b a 是否构成群？ 6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =. 7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a = 也作成群. 8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限. 9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限. 10、设群G 中元素a 阶数是n ，则 m n e a m |?=. 11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ) ,(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l. 12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数. 13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数. 14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2 ，则G 是交换群. 对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx. 或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba 15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n . 16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数. 17、设群G 中元素a 阶数是n ，则 )(|t s n a a t s -?=. 18、群G 的任意子群交仍是子群.

近世代数习题解答

近世代数习题解答 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a

c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? 解? d d c = , a c d = a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数学习系列二十二 群论与魔方

群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)

近世代数习题解答张禾瑞二章

近世代数习题解答 第二章群论 1群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 证不是一个群，因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证G={1,-1}对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明，我们也可以用条件1,2以及下面的条件 4,5'来作群的定义： 4'. G至少存在一个右单位元e,能让ae = a 对于G的任何元a都成立 5 . 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 a ,能让aa e A_1 证(1) 一个右逆元一定是一个左逆元，意思是由aa e 得a a = e 因为由4 G有元a能使a'a =e 1 1 1 ' 所以(a a)e = (a a)(a a ) 即a a = e (2)一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元，意即 由ae = a 得ea = a 即ea = a 这样就得到群的第二定义. (3)证ax二b可解 取x = a 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到4,5'是不困难的. 2单位元，逆元，消去律 1. 若群G的每一个元都适合方程x2二e,那么G就是交换群. 证由条件知G中的任一元等于它的逆元，因此对a,b^G有ab = (ab)，= b°a，= ba . 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. _1 n —1 n n —1 —1 证(1)先证a的阶是n则a 的阶也是n . a e= (a ) (a ) e e 若有m n 使(a ')m= e 即(a m)' = e因而a m=e‘ ? a m=e 这与a的阶是n矛盾「a的阶等于a °的阶 _4 _4 2 (2) a的阶大于2,则a=a 若a=a : a=e 这与a的阶大于2矛盾 (3) a b 贝U a「b' 斗

近世代数第一章基本概念自测练习答案

自测练习参考答案 一、判断题 1.(× ) 2. (√ ) 3.(× )解释:同时还要适合结合律 4. (√ ) 5. (√ ) 6. (√ ) 7.(× ): 二、选择题 1. （D ） 2. （D ） 3. （C ） 4. （B ）解释:和第9节课后习题1完全类似，但也是大家作业中出现问题最多的一道题。详细答案如下：（按解答题格式写） 解：首先，A 的一一变换有3!=6个，具体为 :,,?→→→1112233 :,,?→→→2122331 :,,?→→→3133221 :,,?→→→4122133 :,,?→→→5112332 :,,?→→→6132231 其次，如果是的自同构，则必保持运算即.A ??,,()()(),x y A x y x y ???∈= 也即（这是是自同构的必要条件） ().??=11.可见，只有和??15满足此条件. 说明和??15可能为的自同构.A 经验证，和的确是的自同构.A ??15 5. （C ） 三、简答题 1.105,84,63;42;21:1→→→→→Φ 105,84,63,42,01:2→→→→→Φ则1Φ，2Φ是X 到Y 的两个单射。

2. A a a a a a a ∈→Φ212121,},,min{),(:，就是一个A A ?到A 的一个满射。 3. 设Z 为整数集，2Z 为偶数集，x x 2:1→Φ， )1(2:2+→Φx x ，其中Z x ∈，则1Φ，2Φ就是Z 到2Z 的两个不同的映射。 4. (1) ()2,f x x x Z =?∈；（2）,2(),21k x k f x k x k =?=?=+? (3) ()1,f x x x Z =+?∈ 5. 解:1R 不是等价关系，因为1),(R c c ?，即不具有反身性，尽管具有对称性、传递性； 2R 是等价关系，因为具有反身性、对称性、传递性； 3R 不是等价关系，因为3),(R c a ?，即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性； 4R 不是等价关系，因为4),(R b c ?，即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性．

近世代数之我见

一对课程的看法： 1作用与意义 近世代数的理论和方法不仅在数学理论本身中占有及其重要的地位，而且在其他学科中也有着广泛的应用，如理论物理、计算机科学等。其研究的方法和观点，对这些学科产生了越来越大的影响。 本课程旨在使学生对近世代数的基础理论和基本的思想、方法有一个初步的了解，为学生进一步的学习打下必要的基础。要求学生能熟练掌握群、环、域的基本理论，包括其定义和基本的性质，并对模的概念有所理解。要求学生对数学中的公理化思想有初步认识。 2.本课程的主要内容 本课程讲授四类典型的代数系统：集合与运算、群、环和域。其内容包括： 群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，子群与陪集，Lagrange定理，不变子群的定义及其性质，群同态和同构基本定理，能够计算群元素的阶； 环、域、理想、唯一分解环的定义，环中的可逆元，零因子、素元的定义，判别唯一分解环的方法。 3.教学重点与难点 重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理。 难点：商群、商环。 二、对教法的看法： “近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。为此，下面介绍五种常用的学习方法。 一、通过例子来加深对基本理论的理解 针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。 二、通过变换角度来寻求问题的解法 通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。下面举例说明这种方法：

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ?”表示“x 不是集合A 的元”。 设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈?）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ?。若B A ?且A B ?，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。若B A ?，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ?。 不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。例如： {}c b a A ,,=； {})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ； 非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==* Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ； 有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。 一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。用∞=A 表示A 是无限集，∞

近世代数习题解答张禾瑞二章

近世代数习题解答 第二章 群论 1 群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义: '4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立 '5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得 e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---= 即 e a a =-1 (2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = 即 a ea = 这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-= 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到''5,4是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有 ba a b ab ab ===---111)(. 2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数. 证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===?=---111)()( 若有n m ? 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =?=-21 这与a 的阶大