2020年上海市复旦大学自主招生数学试题及答案

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷

一、解答题

1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O

为顶点，若OFAA S '=p ．

2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C

点，若CFAA S '=p ． 3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值． 二、填空题

4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1

()()(2)2

f x f x f x ++=，

则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 ．

5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a = ． 6．展开式231011

()x y x y

+

++中，常数项为 ． 7．111

lim[]1425(3)

n n n →+∞++?+=??+ ．

8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 ．

10．设,[,]44x y ππ

∈-，若3

33cos()20

2

4sin cos 0

x x a y y y a π?++-=???++=?，则cos(2)x y += ． 11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是 ． 12．在ABC ?中，1

cos 3

BAC ∠=，若O 为内心，且满足AO xAB y AC =+，则x y +的最大值为 ． 三、选择题

13．已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=，则( ) A ．m 和n 可能重合 B ．m 和n 不可能垂直

C ．存在直线m 上一点P ，以P 为中心旋转后与n 重合

D ．以上都不对 四、填空题

14．抛物线23y x =的焦点为F ，A 在抛物线上，A 点处的切线与AF 夹角为30?，则A 点的横坐标为 ． 15．已知点P 在直线6

||014

x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P

的坐标是 ．

16．已知x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，则1

2arctan 3

AOB ∠=的概率为 ．

17．3

arcsin 4

+= ． 18．已知三棱锥P ABC -的体积为10.5，且6AB =，4AC BC ==，10AP BP ==，则CP 长度为 ．

19．在ABC ?中，9AB =，6BC =，7CA =，则BC 边上中线长度为 ． 20．若2()1f x x =-，则(())f f x 的图象大致为 ．

21．定义1,()1,M x M

f x x M ∈?=?-??

，{|()()1}M

N M

N x f

x f x ==-?，已知{|A x x =<，

{|(3)(3)0}B x x x x =+->，则A B =? ．

22．方程34122020x y z ++=的非负整数解的组数为 ．

23．已知m ，n Z ∈，且011n ，若满足202020212312m n +=+，则n = ． 24．凸四边形ABCD ，则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 条件．

25．设函数()33x x f x -=-的反函数为1()y f x -=，则1()(1)1g x f x -=-+在[3-，5]上的最大值和最小值的和为 ．

26．若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 ．

27．已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且1AB =，2CD =，4AD =，5BC =，则PA 的长度为 ．

28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为 ． 五、选择题

29．下列不等式恒成立的是( ) A ．2211

x x x x

+

+

B ．1

||2x y x y

-+

-

C ．||||||x y x z y z --+-

D 312x x x x +++-六、填空题

30．向量数列{}

n a 满足1

n n a a d +=+，且满足113

||3,2a a d ==-，令11

()n

n i i S a a ==∑，则当n

S 取最大时，n 的值为 ．

31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 种．

32．直线1l ，2l 交于O 点，M 为平面上任意一点，若p ，q 分别为M 点到直线1l ，2l 的距离，则称(,)p q 为点M 的距离坐标．已知非负常数p ，q ，下列三个命题正确的个数是 ． （1）若0p q ==，则距离坐标为(0,0)的点有且仅有1个；

（2）若0pq =，且0p q +≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有2个； （3）若0pq ≠，则距离坐标为(,)p q 的点有且仅有4个．

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷答案

一、解答题

1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O 为顶点，若123OFAA S '=，求p ．

【分析】过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =，可得060A AF ∠'=，即可得3(

22

m p A +，33

)m ， 利用22732()422

m p m p =+可得23p m =，利用梯形面积公式即可得p ．

【解答】解：过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =， 21

cos 42

m A AF m ∠'==，060A AF ∴∠'=． 3(

22

m p A +，33

)m ， 由A 在抛物线22y px =上，22732()422

m p

m p =+，解得23p m =，或29p m =-（舍)， ||||32AF AA m p ∴='==， 123OFAA S '=，∴

1(2)312322

p

p p +=， 48

5

p ∴=

．

【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．

2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C 点，若123CFAA S '=，求p ．

【分析】过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =，可得060A AF ∠'=，即可得3(

22

m p A +，33

)m ， 利用22732()422

m p m p =+可得23p m =，利用梯形面积公式即可得p ．

【解答】解：过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，过B 作抛物线准线的垂线，垂足记为B '，过B 作AA '的垂线，垂足记为M ．设||BF m =，则||3AF m =，||2AM m =， 21

cos 42

m A AF m ∠'==，060A AF ∴∠'=． 3(

22

m p A +，33

)m ， 由A 在抛物线22y px =上，22732()422

m p

m p =+，解得23p m =，或29p m =-（舍)， ||||32AF AA m p ∴='==， 123CFAA S '=，∴(2)31232

P P P

+=，

22p ∴=．

【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．

3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值．

【分析】先把y 用x 表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可．

【解答】解：因为2

21(0)x xy x +=≠，故2

12x y x

-=，

所以22

2

2

22222211511511

()()2222442422

x x x y x x x x x x x -+=+=+-=+-?=，

当且仅当41

5

x =

等号成立，

所以22x y +12

-． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 二、填空题

4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1

()()(2)2

f x f x f x ++=，

则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 0a b c d ==== ． 【分析】先令0x =和14x =

可得0b d ==，再由1

()()(2)2

f x f x f x ++=得到0a c ==． 【解答】解：令1

0()02

x f d b d b =?=-=?=，

令1311

()()()02004442

x f f f d b d =

?+==?-=?==， 1

()sin 2sin 4,(2)sin 4sin82

f x a x c x f x a x c x ππππ+=-+=+， 1

()()(2)2sin 4sin 4sin8(2)sin 42sin 4cos42

f x f x f x c x a x c x c a x c x x ππππππ++=?=+?-=，

所以sin 4(22cos4)0x c a c x ππ--=恒成立，

所以2200c a c a c -==?==，综上所述0a b c d ====． 故答案为：0a b c d ====．

【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题． 5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a =

5

4

． 【分析】设三次方程的纯虚数根为(,0)bi b R b ∈≠，代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值．

【解答】解：设三次方程的纯虚数根为(,0)bi b R b ∈≠， 可得32450b i ab bi --++=， 即23(5)(4)0ab b b i -+-=， 可得250ab -=，且340b b -=， 解得2b =±，54

a =

．

故答案为：

54

． 【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题． 6．展开式231011

()x y x y

+

++中，常数项为 12600 ． 【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：223311

()()()()k k m m x y x y

，且2310k k m m +++=，由此求出k ，m 的值即可．

【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足： 223311

()()()()k k m m x y x y

，且2310k k m m +++=，k ，m N ∈．

即3410k m +=，m ，k N ∈．

解得21k m =??=?

，故常数项为：2413

10

84312600C C C C =． 【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用．属于基础题．

7．111lim[]1425(3)n n n →+∞++?+=??+

1118

． 【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可． 【解答】解：

1111

()(3)33

n n n n =-++

1111111111111(1)1425(3)342536473n n n n ++?+=-+-+-+-+?+-??++ 111111(1)323123

n n n =++---+++． 111111111lim[]lim (1)1425(3)323123n n n n n n n →+∞→∞++?+=++---??++++ 11111(1000)32318

=++---=． 故答案为：

11

18

． 【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．

8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 【分析】不妨设(1,1)A ，(4,5)B ，则(3,4)AB =，在AB 在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出AC 所对应的复数2z ，进而求出AC 的

坐标，再求C 点坐标，即为答案．

【解答】解：不妨设(1,1)A ，(4,5)B ，则(3,4)AB =，

在复平面对应的复数为34

345(cos sin ),cos ,sin 55

z i i θθθθ=+=+==，

则顺时针旋转60?，则25(cos()sin())33z AC i ππ

θθ==-+-，

cos()cos cos sin sin 333πππ

θθθ-=+

sin()sin cos cos sin 333

πππ

θθθ-=-，

因此AC =，

从而可得点C =． 【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 两条射线 ．

【分析】直接利用转换关系，消去ρ，整理成三角函数关系式，进一步求出结果． 【解答】解：根据方程5cos 43cos2ρθρρθ=+， 整理得25cos 43(2cos 1)θθ=+-， 即26cos 5cos 10θθ-+=， 解得1cos 2θ=

或1cos 3

θ=． 所以该曲线为两条射线． 故答案为：两条射线．

【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．设,[,]44x y ππ

∈-，若3

33cos()20

2

4sin cos 0

x x a y y y a π?++-=???++=?，则cos(2)x y += 1 ． 【分析】设3()sin f x x x =+，把已知条件转化为()(2)0f x f y +=，又因为函数()f x 在R 上是单调递增的奇函数，

故20x y +=，进而求出cos(2)1x y +=．

【解答】解：原式可得变形为33

sin 20

(2)sin 220x x a y y a ?++=?+-=?

，

设3()sin f x x x =+，

因为33()()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-， 所以()f x 为奇函数， 当0x > 时，2()3cos f x x x '=+ ①当02

x π

<<时，cos 0x >，所以()0f x '>；

②当2

x π

>

时，233x >，cos 1x <，所以()0f x '>．

所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数，

又因为奇函数关于原点对称，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数， 因此()(2)0f x f y +=，则20x y +=，则cos(2)1x y +=． 故答案为：1．

【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题目，属于中档题．

11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，

则实数a 的取值范围是 6, ．

【分析】根据x ，y 满足的表达式可设cos x θ=，sin y θ=，进而求出2x y +的范围，再由条件可知20x y a +-，且620a x y +--，则可求出a 的取值范围． 【解答】解：因为实数x ，y 满足221x y +=，设cos x θ=，sin y θ=，

则2cos 2sin )x y θθθα+=+=+，其中arctan2α=，

所以25x y

+，

因为|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关， 所以|2||62|2626x y a a x y x y a a x y +-++--=+-++--=， 即此时2620x y a

a x y +??+--?

，所以262x y a x y +-+，

65a -，

故答案为：6,

【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题．

12．在ABC

?中，

1

cos

3

BAC

∠=，若O为内心，且满足AO xAB y AC

=+，则x y

+的最大

值为

33

2

-

．

【分析】设AD AO xAB y AC

λλλ

==+，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．【解答】解：延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE OF

=，则OE OD，

设AD AO xAB y AC

λλλ

==+，

因为B、C、D三点共线，

所以1

x y

λλ

+=，即

1111

111sin

2

AO AO AO

x y

OE OF A

AD AO OD AO OE

OA OA

λ

+======

+++++

，因为2

1

cos12sin

23

A

A=-=，所以

3

sin

2

A

=，

所以

33

3

1

x y

-

+=

+

．

故答案是：

33

-

．

【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题．

三、选择题

13．已知直线:cos

m y xα

=和:3

n x y c

+=，则()

A．m和n可能重合

B．m和n不可能垂直

C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合

D ．以上都不对

【分析】求出直线m 与直线n 的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合； 由斜率之积为1-，得出两直线垂直；

由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线m 以交点P 为中心旋转后与n 重合． 【解答】解：直线:cos m y x α=，斜率为1cos k α=； 直线:3n x y c +=，斜率为23k =-； 12k k ≠，所以m 和n 不可能重合，A 错误；

1

cos 3

α=

时，121k k =-，m 和n 垂直，所以B 错误； 由12k k ≠知m 和n 不平行，设m 、n 相交于点P ， 则直线m 以P 为中心旋转后与n 重合，所以C 正确． 故选：C ．

【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题． 四、填空题

14．抛物线23y x =的焦点为F ，A 在抛物线上，A 点处的切线与AF 夹角为30?，则A 点的横坐标为

1

4

． 【分析】设A 的坐标求导可得A 的切线的斜率，设切线的倾斜角为α，求出准线AF 的斜率，由题意可得tan(30)AF k α=?+，可得A 的横坐标． 【解答】解：抛物线23y x =可得23

x y =

，所以焦点F 坐标1

(12，0)，设0(A x ，0)y ，设00y >

y =

y '=，所以在A

处的切线的斜率为：k =， 设在A 处的倾斜角为α

，则tan k α==

，

0000112

12

AF y k x x =

=

=

-

-

，

tan 30tan tan(30)1tan 30tan 31123

x α

αα

?+?+=

=

=

-

?-

，

由题意可得tan(30)AF k α=?+，

0=

，整理可得：0(11)0x -+=，解得：014

x =

，

所以A 的横坐标为：14

， 故答案为：

14

． 【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题． 15．已知点P 在直线6

|

|014

x y -=-上，且点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，则点P

的坐标是 (1,2) ．

【分析】由二项展开式性质得点P 在直线460x y +-=，设(,46)P a a -+，由点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，能求出点P 的坐标．

【解答】解：点P 在直线6

|

|014

x y -=-

上，

∴点P 在直线460x y +-=，

设(,46)P a a -+，

点P 到(2,5)A 、(4,3)B 两点的距离相等，

∴，

解得1a =，

∴点P 的坐标是(1,2)．

故答案为：(1,2)．

【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16．已知x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，则1

2arctan 3

AOB ∠=的概率为 19 ．

【分析】先由题设条件求出数对(,)x y 总的个数，然后利用1

2arctan 3

AOB ∠=求出满足题意

的数对(,)x y 的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果．

【解答】解：x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，∴数对(,)x y 共有9872?=个．

12arctan 3AOB ∠=，22

33tan 141()3AOB ∴∠=

=-，4cos 5AOB ∠=， 又连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，得(,)OA x y =，(,)OB y x =，

则22

24cos 5||||

OA OB xy AOB x y OA OB ∠=

==+，即(2)(2)0x y x y --=，即2y x =，或1

2y x =， ∴满足1

2arctan

3

AOB ∠=的数对有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共8个，

12arctan 3AOB ∴∠=

的概率81

72

9P ==．

故答案为：1

9

．

【点评】本题主要以集合为背景考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属于中档题． 17．3arcsin

arcsin 84+=

34

π

．

【分析】由题意判断出3

arcsin 2

4

π

π<+<，

求出3

arcsin )4的值，

即可得出

3

arcsin 4

+的值．

【解答】解：由arcsin1<<，

所以

arcsin

4

82

π

π<<， 又3

arcsin arcsin14<<，

所以3arcsin 442

ππ<<，

所以

3

arcsin 2

4

π

π<+<，

所以3

arcsin )4

33))44

=+

34=

3

4

=

=

=

，

所以33arcsin 44π

+=

． 故答案为：34

π

．

【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 18．已知三棱锥P ABC -的体积为10.5，且6AB =，4AC BC ==，10AP BP ==，则CP

长度为 7 或

【分析】先根据题意证明平面ABC ⊥平面PCD ，进而得到P 点到CD 的距离即P 点到平面ABC 的距离，再利用三棱锥P ABC -的体积为10.5，求出sin PDC ∠，利用同角的三角函

数关系求出cos PDC ∠，在PDC ?中运用余弦定理即可求出PC 的长度． 【解答】解：取AB 中点D ，因为AB CD ⊥，AB PD ⊥， 又因为PD

CD D =且PD ，CD ?平面PCD ，

则AB ⊥面PDC ，又因为AB ?平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PCD ，

那么P 点到CD 的距离即P 点到平面ABC 的距离，

依题意可得1

372

ABC CD PD S AB CD ?====

=， 所以11213sin sin

332P ABC ABC V S h PD PDC PDC -?==?∠=?∠=，

那么cos

PDC ∠=

由余弦定理可得2cos 7

PDC PC ∠=

?= 或．

故答案为：7 或73．

【点评】本题考查线面垂直及面面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．

19．在ABC ?中，9AB =，6BC =，7CA =，则BC 边上中线长度为 214 ． 【分析】利用余弦定理求出cos BAC ∠的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度．

【解答】解：ABC ?中，9AB =，6BC =，7CA =，如图所示；

所以22297647

cos 29763BAC +-∠==

??； 设AD 是BC 边上的中线， 则1

()2

AD AB AC =+，

所以2221147

(2)(8129749)564463

AD AB AB AC AC =?++=?+???+=，

解得||214AD =，

所以BC 边上的中线长度为214 故答案为：214

【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．

20．若2()1f x x =-，则(())f f x 的图象大致为

．

【分析】求出(())f f x 的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出0x >时的单调性，由对称性即可作出大致图象．

【解答】解：2242(())(1)12f f x x x x =--=-， 令42()2g x x x =-，()0g x =，可得2x =±或0， 由()()g x g x -=，可得()g x 为偶函数， 当0x 时，3()444(1)(1)g x x x x x x '=-=+-， (0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， (1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，

由偶函数关于y 轴对称，可得(())f f x 的图象大致为

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题．

21．定义1,()1,M x M

f x x M ∈?=?-??

，{|()()1}M

N M

N x f

x f x ==-?，已知{|A x x =<，

{|(3)(3)0}B x x x x =+->，则A B =? (-∞，3][0-，1)(3?，)+∞． ．

【分析】求出集合A ，B ，利用新定义求出A B ?即可．

【解答】解：(,1)A =-∞，{|(3)(3)0}(3B x x x x =-+>=-，0)(3?，)+∞；

[1R

A =，)+∞，

(R

B =-∞，3][0-，3]．

因为()()1A B f x f x =-，

所以当()1A f x =-，()1B f x =，{|3}R

A B B A x x ==>?，

当()1A f x =，()1B f x =-，{|3R

A B A

B x x ==-?或01}x <，

故(A B =-∞?，3][0-，1)(3?，)+∞． 故答案为：(-∞，3][0-，1)(3?，)+∞．

【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题． 22．方程34122020x y z ++=的非负整数解的组数为 14365 ．

【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的3412?=进行分析入手即可． 【解答】解：因为34122020x y z ++=， 所以3

35054

x y z ++=，

因为x ，y ，z 均为整数， 所以3

4

x 也是整数，

所以设4x k =， 则33505k y z ++=， 所以3()505k z y ++=， 易知50531681÷=?， 则k z +可取的值为0~168， 当0k z +=时，0k z ==， 当1k z +=时，0,1,k z =??=?或1,

0,k z =??=?

，

当k z n +=时，k 的取值集合为{0，1，2，?，}n ，对应z n k =-， 故当k z +取遍0~168时，z 的所有可能取值数为169(1691)

143652

?+=种，

故所有的非负整数解为14365种， 故答案为14365．

【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐藏条件的判断，属于中档题． 23．已知m ，n Z ∈，且011n ，若满足202020212312m n +=+，则n = 7 ． 【分析】通过研究123n n ++除以12的余数的规律得到结果． 【解答】解：归纳：122312011+=?+， 23231227+=?+， 34231275+=?+， 452312217+=?+， 562312635+=?+， 6723121877+=?+， 7823125575+=?+，

?

由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环； 易知2n 中n 为奇数对应余数为5，n 为偶数对应余数为7； 2020为偶数，故余数为7． 故答案为7．

【点评】本题考查归纳推理，属于中档题．

24．凸四边形ABCD ，则BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的 充要 条件．

【分析】根据四点共圆的性质，对BAC BDC ∠=∠，DAC DBC ∠=∠进行逻辑判断即可． 【解答】解：在凸四边形ABCD 中，若BAC BDC ∠=∠，则ABCD 四点共圆，则必有DAC DBC ∠=∠；

在凸四边形ABCD 中，若DAC DBC ∠=∠，则ABCD 四点共圆，则必有BAC BDC ∠=∠； 所以：BAC BDC ∠=∠是DAC DBC ∠=∠的充要条件． 故答案为：充要．

【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题．

25．设函数()33x x f x -=-的反函数为1()y f x -=，则1()(1)1g x f x -=-+在[3-，5]上的最大

值和最小值的和为 2 ．

【分析】由35x -，可得414x --，令4()4f x -，结合函数()f x 的单调性可得此时33(52)(52)log x log -，再由反函数的性质即可得解．

【解答】解：由35x -，可得414x --，

令4()4f x -，由())33x x f x -=-单调递增可得，52325x -+，

∴33(52)(52)log x log -，

()g x ∴在[3-，5]上的最大值与最小值之和为

31(52)1log(52)2log[(52)(52)]2log +-+++=+-+=，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题．

26．若4k >，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 17

(4

，)+∞ ．

【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，

求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k 值

【解答】解：如图所示：

直线:2280L kx y k --+= 即(2)280k x y --+=，过定点(2,4)B ， 与y 轴的交点(0,4)D k -，与x 轴的交点8

(2A k

-

，0)， 直线22:2440M x k y k +--=，即22(4)40x k y +--=， 过定点(2B ，4 )，与x 轴的交点2(22E k +，0)，

与y 轴的交点24

(0,4)C k

+

， 由题意，四边形OABC 的面积等于OCE ?面积ABE -?面积，

∴

所求四边形的面积为

2222214184161

(4)(22)4(222)84(2)822S k k k k k k k

=?++-??+-+=-+=--，

4k >， 1104

k ∴<

< 则1784

S >>

故4k >时，直线2280kx y k --+=与222440x k y k +--=和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是17

(4

，8)．

【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题．

27．已知A 、B 、C 、D 四点共圆，且1AB =，2CD =，4AD =，5BC =，则PA 的长度为

14

3

．

【分析】连接AC ，BD ，由圆内接四边形的性质可得PAB BCD ∠=∠，PBA ADC ∠=∠，在ABD ?和BCD ?中运用余弦定理，结合诱导公式求得cos PAB ∠，sin PAB ∠，同理可得cos PBA ∠，sin PBA ∠，再由两角和的正弦公式求得sin P ，在PAB ?中运用余弦定理可得所

求．

【解答】解：连接AC ，BD ，由A ，B ，C ，D 四点共圆，可得PAB BCD ∠=∠，PBA ADC ∠=∠， 由2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠， 2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-∠，

且180BAD BCD ∠+∠=?，可得cos cos BAD BCD ∠=-∠，

复旦大学自主招生自荐信范文

复旦大学自主招生自荐信范文 20xx年复旦大学自主招生自荐信范文 2013-4-27 10:59:49 来源：网络字号： 大|中|小 尊敬的领导， 你们好！ 我的父母在改革开放初期的19xx年幸运地考上了大学。对于出生于外省小镇的父亲和母亲来说，大学不仅是他们的梦想，更是改变他们命运的神圣殿堂。那个时候大学录取率只有3%左右，他们从许多人中脱颖而出，经过一步步脚踏实地的拼搏，然后凭着学历和专业成就以人才引进的方式来到上海，在这里发挥着自己的专业特长，实现了安居乐业的人生理想。 但是，每一次我跟着父母回故乡，都会看到我父母当年同学和朋友中的许多人依然过着贫苦的日子，或者外出打工勉强养家活口，或者固守一方土地维持最低温饱，或者成为小商小贩游走在纷乱的街头，就这样沿着他们父辈的生活轨迹，艰难挣扎在物质生活中，默默消失在人海里。相对来说，“知识改变命运”这一信条在我的父辈这一代人中体现得尤为突出。大学，是他们改变自身命运的重要一步。 我要感谢我的父母为我创设了良好的生活环境，我能在

上海成长很大程度上缘自于他们多年的奋斗和努力。上海的高考环境令许多外地考生羡艳不已，考大学不再是一件稀奇事。我不必为考不上大学而过分担忧，我也不必为自己的物质生活操心。随着高考的一步步走近，我经常在内心叩问自己，我要追求的到底是什么？ 比起我的父辈，也许改变命运的紧迫性在我的身上已经不再强烈，但是人生一世应该有自己的渴望与追求，有自己的价值实现。我渴望进一步完善自己的知识体系，丰富自己的人文情怀，为使自己真正成为社会财富的创造者、人类文化的保护者做好充分的准备。作为一个未来的创造者，我要继承父辈那种百折不挠的奋斗精神，学有所成，不仅让我的亲人幸福，也为千千万万的草根服务。 所以，我的大学梦应该是责任与行动。在世界范围内，贫富差距的拉大使许多与我同龄的学生至今无法如愿地接受良好的教育。当我梦想着我的大学时，心中也深感我的大学梦之重。大学的学习注定将是责任的再一次担当，而责任付诸实践，便产生行动。我要用在大学练就的本领服务于社会，帮助更多的人实现大学梦。 作为一个理科学生，我希望自己所选的学科既朝科学的方向靠拢，又不失人文精神——经济学将是我的第一选择。曾经有一个诺贝尔奖得主说，经济学家应当是拥有良知的一群人，而非受利益所趋。虽然我并不一定能够如他一样成为

复旦大学自主招生自荐信

复旦大学自主招生自荐信 复旦大学自主招生自荐信 复旦大学自主招生自荐信 尊敬的复旦大学自主招生领导： 尊敬的领导， 你们好! 我的父母在改革开放初期的1980年幸运地考上了大学。 对于出生于外省小镇的父亲和母亲来说，大学不仅是他们的梦想，更是改变他们命运的神圣殿堂。 那个时候大学录取率只有3%左右，他们从许多人中脱颖而出，经过一步步脚踏实地的拼搏，然后凭着学历和专业成就以人才引进的方式来到上海，在这里发挥着自己的专业特长，实现了安居乐业的人生理想。 但是，每一次我跟着父母回故乡，都会看到我父母当年同学和朋友中的许多人依然过着贫苦的日子，或者外出打工勉强养家活口，或者固守一方土地维持最低温饱，或者成为小商小贩游走在纷乱的街头，就这样沿着他们父辈的生活轨迹，艰难挣扎在物质生活中，默默消失在人海里。 相对来说，“知识改变命运”这一信条在我的父辈这一代人中体现得尤为突出。 大学，是他们改变自身命运的重要一步。 我要感谢我的父母为我创设了良好的生活环境，我能在上海成长很大程度上缘自于他们多年的奋斗和努力。 上海的高考环境令许多外地考生羡艳不已，考大学不再是一件稀奇事。 我不必为考不上大学而过分担忧，我也不必为自己的物质生活操心。

随着高考的一步步走近，我经常在内心叩问自己，我要追求的到底是什么? 比起我的父辈，也许改变命运的紧迫性在我的身上已经不再强烈，但是人生一世应该有自己的渴望与追求，有自己的价值实现。 我渴望进一步完善自己的知识体系，丰富自己的人文情怀，为使自己真正成为社会财富的创造者、人类文化的保护者做好充分的准备。 作为一个未来的创造者，我要继承父辈那种百折不挠的奋斗精神，学有所成，不仅让我的亲人幸福，也为千千万万的草根服务。 所以，我的大学梦应该是责任与行动。 在世界范围内，贫富差距的拉大使许多与我同龄的学生至今无法如愿地接受良好的教育。 当我梦想着我的大学时，心中也深感我的大学梦之重。 大学的学习注定将是责任的再一次担当，而责任付诸实践，便产生行动。 我要用在大学练就的本领服务于社会，帮助更多的人实现大学梦。 作为一个理科学生，我希望自己所选的学科既朝科学的方向靠拢，又不失人文精神——经济学将是我的第一选择。 曾经有一个诺贝尔奖得主说，经济学家应当是拥有良知的一群人，而非受利益所趋。 虽然我并不一定能够如他一样成为这个领域的拔尖人才，但是在我的能力范围之内，我将始终用自己的`学识和能力帮助弱势群体——最起码在经济上，我与志同道合者的努力能使他们不为学习的费用而发愁，能够圆他们的大学梦。 去年诺贝尔和平奖得主穆罕穆德“尤努斯的成就坚定了我的梦想。 中国传统文化有一种声音，知识分子应当时刻行动，墨家的实践者的脚步应该在当代知识分子的身上回响。 康德也曾经说过，知识分子应当是社会的良心。 踏入大学，我就将成为社会知识分子的后备力量。 我将对社会更多地关注，并且参与其中。

复旦大学2011年自主招生面试题

复旦大学2011年自主招生面试题 1.同一架飞机，从纽约飞到上海和从上海飞到纽约，航线一样，哪一次航行时间短一点？ 2.如果你遇到了劫匪，你打算如何用智慧把他们制服？当媒体把你的事迹报道出去后，你觉得会产生哪些正面效应和负面效应？ 3.有理数和无理数的定义和区别是什么？ 4.平面镜在什么情况下，会出现头下脚上的情况？ 5.在沙漠中如何给手提电脑供电？ 6.最近全社会都在关注儿童当乞丐的问题。如果你是家长，你会把孩子送去当童乞么？ 7.你对“一沙一世界，一花一天堂”是怎么看的？ 8.你知道姓名、字、号的来历么？ 9.你有没有参加过社会活动？ 10.不打开酒瓶的盖子或塞子，怎么取里面的酒？ 11.有两辆重20吨的卡车，有一辆坏了，要一辆车拖着另一辆车走，在不用起重机的前提下，请问如何让这两辆车通过限重35吨的大桥？ 12.你对自己的人生有什么规划？ 13.你是如何选择你进复旦后学的专业的，是怎么考虑这些专业排列的先后顺序的？ 14.请用30秒钟时间准备，然后用英语背诵以前学过的一段文学作品。 15.你的自荐材料里写了你曾组织学生去敬老院参加社会活动，现在很多中学生不愿意参加社会活动，你是怎么组织同学去参加的? 16.你如何看待当前的房价？毕业后会马上买房么？由父母付首付，子女付房贷，你认同吗？ 17.请快速地说出7的平方、7的3次方、7的四次方、7的5次方的结果分别是多少？ 18.请你对自己今天面试过程做个简单小结。 19.一位考生的首选专业是经济管理，面试官让他分析一下杭州的工业结构。 20.如果你是杭州市市长，你觉得杭州要怎样发展比较好？

21、在你的成长经历中，你认为最让你感到沮丧的事情是什么？为什么?假如你现在遇到的话，你会怎么办？ 22、假如要你对一位语言不通的人解释中国话和外国话的区别，你会怎么做？ 23、一群小学生在分披萨吃，一个小学生说：“披萨能够下肚，是重力的原因。”另外一个说：“披萨之所以能够被吃下去，是因为肠道的蠕动。”你如何解释呢？ 24、21世纪材料、能源和信息三大领域的发展趋势是什么？为什么？ 25、鸡可以用来做哪些菜？ 26、设想20年以后一个典型的早晨。 27、10个体积相同的球中，有一个与其他质量不同，你怎么找出这个不同的球？ 28、如果你是一个司机，车站上有三个人，一个是要赶去救人的医生，一个是你倾慕已久的帅哥或美女，还有一个是患了绝症将不久于人世的老人，你只能载一个，会选择哪个？ 29、番茄酱如何翻译成英语？ 30、为什么镜子里的人是左右相反的？ 31、如何调查巨大广场上一个球体建筑物的体积和表面积？ 32.征收房产税在法律方面的依据是什么？ 33.幸福是什么？人生的意义是什么？

复旦大学综合评价自我陈述

复旦大学综合评价自我陈述 篇一：复旦大学自主招生个人陈述自荐信优秀范文 复旦大学自主招生 优秀原创范文 （自主招生个人陈述自荐信） 希望这篇原创范文能助同学们一臂之力！ ============================================尊敬的复旦大学招生老师：您好！ 我叫某某某，今年××岁，是来自××省××市××中学的一名高三学生。我出生在一个朴素（农民/工人/干部/职工）的家庭，勤劳、诚实、质朴父母的谆谆教诲，让我养成了吃苦耐劳精神。在××中学三年的熏陶，让我形成了稳重踏实的作风、严谨求学的态度；同时学习生活中所遭遇的挫折与不幸，磨练了我积极乐观的人生态度。在××中学三

年时光里，我积极参加各种学科竞赛，并获得过多次奖项。其中：××××××（列举有代表性的获奖证书）。在高中各项学科竞赛中我养成了求真务实、努力拼搏的求学精神，并在社会实践活动中加强自己的创新能力和实际操作动手 能力。 在学习上，我刻苦进取、兢兢业业，无论是高一高二月考、期中考、期末考，还是高三联考，我的成绩都能在年级名列前茅。（这里列举有代表性的考试名次和高中学业水平考试或会考的成绩）在平时，我自学一些关于×××专业相关知识（表现大学某专业的兴趣），并在实践中锻炼自己。在班级工作上，我曾担任过班级班长、学生会×××、××协会等职务，从中锻炼自己的组织管理能力。 篇二：复旦大学自主招生个人陈述自荐信范文 注：自荐信的撰写，简言之，就是对高校提出的招生要求的一个圆满答复。希望本范文模板能给考试提供帮助。 复旦大学 自主招生个人陈述自荐信 尊敬的招生办领导、老师们：

您们好！我叫，是×××省×××市×××中学高三理科\文科班的一名男生\女生，非常感谢您们在百忙之中看我的陈述材料。 今天，我怀着对贵校的敬仰与向往，写下了这封自荐信。作为一名高中生，我对复旦大学的向往由来已久，（此处可写报考学校的治学精神和教学传统，可去学校官网查看），复旦大学悠久的历史，深厚的文化底蕴，丰富的教学资源，良好的学术氛围，强烈的时代气息，无不深深吸引着我。我将选择贵校为第一志愿，非常渴望能在7月拿到贵校的录取通知书，成为一名光荣的复旦大学生，成为一名对社会、对祖国有用的人才。 厚德做人篇 我们祖国不仅需要精通科研的高新人才，更需要一批撑起华夏脊梁的“钢筋水泥”！德行是灵魂的力量和生气，做一个有道德的善良的人一直是我丈量人生尺度的标尺。我曾利用假期与同学一道深入社区到有困难或残疾人家庭，帮助他们做家务；我曾为班集体赞助过体育用品；我曾帮助盲人篇三：20XX年复旦大学自主招生个人陈述自荐信范文 注：自荐信的撰写，简言之，就是对高校提出的招生要求的一个圆满答复。希望本范文模板能给考试提供帮助。

复旦大学自主招生条件

复旦大学自主招生条件 复旦大学2017年自主招生条件 复旦大学2017年自主招生简章预计在明年3月份左右公布，招生简章公布才能知道具体招生条件。因复旦2017年自主招生简章还未公布，所以具体招生条件未知。建议大家参考复旦2016年自主招生简章来对照查看。 复旦2016年自主招生分四个项目来展开，不同项目招生条件不同。具体如下： (一)“望道计划”体验营 “望道计划”体验营报名条件 学科特长突出、具有创新潜质、成绩优秀，并有志于将来从事相关学科学术研究的高中毕业生均可在数学、物理、化学、生命科学或基础医学中选择其一报名“望道计划”体验营，并提供本人具有学科特长、创新潜质的证明材料。 复旦将组织专家组审核学生报名材料，通过审核的学生将获得“望道计划”体验营入营资格。审核依据为报名材料符合或证明下列条件之一： 条件一：高中阶段获得数学、物理、化学、生物、信息学奥林匹克竞赛国家级或两项及以上不同学科省级一等奖(必须包含所报名学科奖项，并经教育部阳光高考信息平台学科竞赛获奖名单公示)。 条件二：高中阶段相关学科学习成绩特别优秀，或具有其他方面特长、创新、发明等成果的个别特别优秀学生，其提交证明材料经复旦专家组集体审定。 (二)“博雅杯”人文学科体验营

高中阶段文科学习成绩特别优秀、人文学科特长显著，对文史哲学术研究具有浓厚兴趣与发展潜质，并能提供相关证明材料的高中 毕业生均可报名参加“博雅杯”人文学科体验营。 (三)奥林匹克竞赛全国决赛获奖生 在奥林匹克竞赛全国决赛中获得数学、物理、化学或信息学银牌(二等奖)及以上等级奖项的参赛选手均可报名，部分获铜牌(三等奖)的参赛选手经复旦相关学科院系教学指导委员会审定后也可报名参加。 (四)东润丘成桐科学奖全国决赛获奖生 根据国务院、教育部关于高考综合改革的文件精神，复旦认同东润丘成桐科学奖“舍弃试卷和标准答案，强调创新与团队精神，让 学生以提交研究报告的形式参与竞赛”的组织与选拔模式，和“有 利于推进中学科学的发展，激发和提升中学生对科学研究的'兴趣和 创新能力”的作用，本年度试点将东润丘成桐全国决赛金奖、银奖 获得者纳入复旦自主招生，给予自主招生报名资格。 东润丘成桐科学奖全国决赛获奖生报名条件 高中阶段获得东润丘成桐科学奖数学或物理全国总决赛金奖或银奖的高中毕业生均可报名。 在关注复旦自主招生招生条件后，大家还普遍关注复旦大学的自主招生通过率如何，下面具体说明。 复旦大学2016年自主招生通过率如何? 2016年复旦大学自主招生计划招收155人，有233人通过初审，最终131人入选，通过率56.22%。

交大自主招生面试题

交大自主招生面试题 2008 日前，复旦大学正式对外公布“2008年自主选拔录取改革方案”，同时公布的还有复旦水平测试成绩。测试成绩排名前1千名考生，将获得参加复旦于2月20日、21日举行的自主招生面试资格。和去年相比，虽然入围面试学生减少，但是考生参加自主招生面试后,被预录取机会大大增加。本次升学周刊，就考生和家长关心的问题采访了复旦招生办相关负 责人等专家，揭秘复旦自主招生。 面试资格线提高70分 今年，上海共有6900余名考生参加了复旦水平测试。此次复旦水平测试成绩仍采用“标准分”计分方法，最高分为800分，最低分为200分。与去年不同的是，今年的面试资格线 为615分，与去年545分资格线相比，提高了70分。 据了解，面试资格分提高与入围面试的考生减少有关。2007年，在参加复旦水平测试后，共有2千名考生入围复旦自主招生面试，而今年划定入围面试的学生只有1千名。 为何要将面试学生大幅“缩水”呢？对此复旦招生办相关负责人解释，学校的本意是希望 有参加面试遴选的学生能多些，因为无论选拔结果如何，参与申请和面试的过程是学生了解 大学的过程，对将来的择校有莫大的益处，但是考虑到准备入学申请、参与面试等过程会花

费学生很多时间和精力。减少面试遴选的人数，主要还是从维护学生的利益出发。让未能通 过自主招生选拔的学生能尽快将注意力恢复到正常高考复习上，毕竟大部分学生还是通过正 常高考途径考入复旦的。 学生享优惠机会增加 虽然入围面试考生人数减少，但是这部分学生获得复旦高考优惠政策的机会却大幅提 高。 据了解，2007年参加复旦面试的学生为2千人，最后享受该校高考优惠政策的比例为 4：1。此次参加复旦自主招生面试的学生总数为1300人，其中有1千人是通过复旦水平测试入围的考生，还有300名考生是不需参加复旦水平测试就获面试资格的由重点中学直接 推荐的“直推生”。这1300名考生参加面试将“一视同仁”。 而复旦方提供的是500个淡化高考成绩的自主招生“预录取”名额，和150个只要高考分数达到本市一本分数线就能被复旦录取的“5%自主招生”优惠名额。如此一来，考生能享受 到复旦高考优惠政策的机会是2：1，较往年大幅增加。 预录取考生将被确定专业 与去年相比，2008年的方案中强调了被自主招生预录取的500名考生将被确定专业。复旦今年招生的专业有65个，除去艺术设计专业外都向此次自主选拔录取的考生开放。这

历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

复旦大学2018年保送生招生（自主招生）测试 数学试题（理科） 一、填空题（每小题10分，共60分） 1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππ ααα+++-＝______________． 3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞ ++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成 等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________． 5．正实数x ,y 满足关系式x 2xy 4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________． 6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从 站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了 ______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分） 1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ． 2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它 圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于 1 2arcsin 2 ，求该棱锥的体 积． ( 1 cos 124 π =) 4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形． 5 ．设(1n n x y =+x n,y n为整数，求n→∞时，n n x y 的极限． 6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．

2007复旦附中自主招生试题

2007年复旦附中自主招生试题 （语文、英语、数学、历史、物理、地理、化学、政治、生物、计算机） 语文： 1．[唐]韩愈《进学解》：“业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。”这一句子中“于”的意思是。 A．在 B.从 C.由于 D.对于 2．［当］王充《论衡·量知篇》：“人之学问，知能成就，犹骨象玉石，切磋琢磨。”其中“磋”字的准确含义是。 A．搓弄 B.商量讨论 C.摘取 D.把象牙加工成器物 3．《左传·宣公十五年》：“我无尔诈，尔无我虞。”句中前一个“尔”的意思是。A．如此 B.而已 C.你 D.那样 4．“苦口老师归寂日，知恩弟子庆生辰。”（［宋］惠洪《石门文字禅·云庵生辰》）其中“苦口”一词的含义是。 A.佛口 B.说话太多口变苦 C.口气沉重 D.不辞烦劳、反复恳切地说 5．当代小说家毕淑敏在《提醒幸福》中写道：“幸福有时会同我们开一个玩笑，乔装打扮而来。机遇、友情、成功、团圆……它们都酷似幸福，但它们并不等同于幸福。”与这里的“乔装打扮”一语的意思最远的一顶是。 A.涂脂沫粉 B.改头换面 C.庐山面目 D.面目全非 6．韩小蕙在《悠悠心会》中写道：“有的夫妻一个屋檐下厮守一辈子，有的同事一个办公室对坐几十年，就是没话，心灵始终隔膜着一片寸草不生的荒漠。”与这里的“寸草不生”一语的意思最近的一项是。 A. 赤地千里 B.天府之国 C.鱼米之乡 D.山穷水尽 7.2004年的印度洋地震海啸令当地人民不及防，造成了巨大的人员伤亡和财产损失，但海啸无情人有情，通过中国国际救援队队员等多方救助后情况就得到了改善。句中方框应填入的字是。 A.防 B.措 C.猝 D.促 8．［清］刘熙载《艺论》：“是其苦心孤诣，且不欲徇非常人意，况肯徇非常人之意乎？”句中“苦心孤诣”一语的结构属于。 A.并列式 B.偏正式 C.补充式 D.主谓式 9．蒋子龙在《乔厂长上任记》中写道：“但是，他相信生活不是命运，也不是赶机会，而是需要智慧和斗争的无情逻辑！因此他要采取大会战孤注一掷。”这里的“孤注一掷”在句中

2020年上海市复旦大学自主招生数学试题及答案

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷 一、解答题 1．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，O 为顶点，若OFAA S '=p ． 2．抛物线22y px =，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，满足3AF FB =，过A 作抛物线准线的垂线，垂足记为A '，准线交x 轴于C 点，若CFAA S '=p ． 3．已知实数x ，y 满足221x xy +=，求22x y +最小值． 二、填空题 4．已知()sin(2)cos(2)sin(4)cos(4)f x a x b x c x d x ππππ=+++，若1 ()()(2)2 f x f x f x ++=， 则在a ，b ，c ，d 中能确定的参数是 ． 5．若三次方程32450x ax x +++=有一个根是纯虚数，则实数a = ． 6．展开式231011 ()x y x y + ++中，常数项为 ． 7．111 lim[]1425(3) n n n →+∞++?+=??+ ． 8．点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度，所得的点的坐标为 ． 9．方程5cos 43cos2ρθρρθ=+所表示的曲线形状是 ． 10．设,[,]44x y ππ ∈-，若3 33cos()20 2 4sin cos 0 x x a y y y a π?++-=???++=?，则cos(2)x y += ． 11．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是 ． 12．在ABC ?中，1 cos 3 BAC ∠=，若O 为内心，且满足AO xAB y AC =+，则x y +的最大值为 ． 三、选择题 13．已知直线:cos m y x α=和:3n x y c +=，则( ) A ．m 和n 可能重合 B ．m 和n 不可能垂直 C ．存在直线m 上一点P ，以P 为中心旋转后与n 重合

历年自主招生考试数学试题大全2017年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

2017年复旦大学自主招生考试 数学试题 一、填空题（每题8分，共80分） 1．设842421(21)(1)x x x x ax +=+++，则a = ． 2．已知|5x +3|+|5x ?4|=7，则x 的取值范围是 ． 3．椭圆22 1169 x y +=内接矩形的周长最大值是 ． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出6只正好能形成2双，有 种取法． 5．已知等比数列{}n a 中a 1=3，且第l 项至第8项的几何平均数为9，则第3项为 ． 6．若2 (1)0x a x a -++<的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是 ． 7．己知22 (4)149 x y -+=，则2249x y +的最大值为 ． 8．设x 1、x 2是方程2x ?x sin 35π＋cos 35π=0的两个实数解，那么arctan x 1+ arctan x 2= ． 9．方程3z z =的非零解是 ． 10．方程112x x y -+=的值域是 ． 二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：5log (3)1x x -=．

2．已知12sin(),13αβ+= 4sin(),5αβ-=-且0,0,,2παβαβ>>+<求tan 2α． 3．已知过两抛物线C 1：x ＋1=（y ?1）2，及C 2： （y ?1）2＝?4x ?a +11的一个交点的两条切线互相垂直，求a 的值． 4．若存在M ，使任意x ∈D （D 为函数f （x ）的定义域），都有|f （x ）|≤M．则称函数f （x ）有界，函数f （x ）= 11sin x x 在10,2x ??∈ ???上是否有界？ 5．求证: 13++

2018年复旦大学自主招生试题解析

2018年复旦大学自主招生试题 1.设x ∈R ，求函数f x =16x +41-x +4?2x +14x +21-x 的最小值.【答案】103 .【考点】求函数最小值问题. 【解析】f x =2x 4+22x 2+4?2x +12x 2+22x =2x 2+22x 2+12x 2+22x =2x 2+22x +12x 2+22x ，令t =2x 2+22x =2x 2+12x +12x ≥3，则f x ≥103 . 当x =0时，函数f x 的最小值为103 . 2.设f x =4x +2x +1?8，求A =x ∈?6,6 |f x >0 的区间长度. 【答案】5 【考点】函数定义域的应用. 【解析】f x =4x +2x +1-8=2x -2 2x +4 >0?x >1，所以A 的区间长度为5. 3.求能放入一个半径为r 的球体的圆锥体积最小值. 【答案】8πr 23 【考点】立体几何问题.【解析】如图所示，设圆锥的底面半径为R ，圆锥的顶点A 到球体的球心距离为m ，所以△ABO 1～△AOD , 所以OD AD =BO 1AO 1 ，即R m +r =r m 2-r 2 ?R 2=r 2m +r m -r ，则V ABC =πr 23 m +r 2m -r =πr 23 m -r +4r 2m -r +4r ≥8πr 23 . 4.极坐标系中，曲线C :ρ2-6ρcos θ-8ρsin θ+16=0上一点与曲线D :ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上一点的距离最大值是多少？【答案】4+22 . 【考点】圆的参数方程的问题. 【解析】C :x -3 2+y -4 2=9,D :x -1 2+y -2 2=1，则两个动点的距离最大值为圆心距加两个半径，即为4+22 . 5.△ABC 中，D 为BC 上一点，AB =c ,AC =b ,AD =h ,BD =x ,CD =y ,则x 2+y 2+2h 2=b 2+c 2是AD 为中线的什么条件？ 【答案】必要不充分条件 【考点】三角函数问题和余弦定理的应用. 【解析】△ADB 中，由余弦定理cos ∠ADB =x 2+h 2-c 22xh , 在△ADC 中，由余弦定理cos ∠ADC =y 2+h 2-b 22yh ,A B C D O O 1

复旦大学自荐信范文

尊敬的复旦大学自主招生领导： 尊敬的领导， 你们好! 我的父母在改革开放初期的1980年幸运地考上了大学。对于出生于外省小镇的父亲和母亲来说，大学不仅是他们的梦想，更是改变他们命运的神圣殿堂。那个时候大学录取率只有3%左右，他们从许多人中脱颖而出，经过一步步脚踏实地的拼搏，然后凭着学历和专业成就以人才引进的方式来到上海，在这里发挥着自己的专业特长，实现了安居乐业的人生理想。 但是，每一次我跟着父母回故乡，都会看到我父母当年同学和朋友中的许多人依然过着贫苦的日子，或者外出打工勉强养家活口，或者固守一方土地维持最低温饱，或者成为小商小贩游走在纷乱的街头，就这样沿着他们父辈的生活轨迹，艰难挣扎在物质生活中，默默消失在人海里。相对来说，“知识改变命运”这一信条在我的父辈这一代人中体现得尤为突出。大学，是他们改变自身命运的重要一步。 我要感谢我的父母为我创设了良好的生活环境，我能在上海成长很大程度上缘自于他们多年的奋斗和努力。上海的高考环境令许多外地考生羡艳不已，考大学不再是一件稀奇事。我不必为考不上大学而过分担忧，我也不必为自己的物质生活操心。随着高考的一步步走近，我经常在内心叩问自己，我要追求的到底是什么? 比起我的父辈，也许改变命运的紧迫性在我的身上已经不再强烈，但是人生一世应该有自己的渴望与追求，有自己的价值实现。我渴望进一步完善自己的知识体系，丰富自己的人文情怀，为使自己真正成为社会财富的创造者、人类文化的保护者做好充分的准备。作为一个未来的创造者，我要继承父辈那种百折不挠的奋斗精神，学有所成，不仅让我的亲人幸福，也为千千万万的草根服务。 所以，我的大学梦应该是责任与行动。在世界范围内，贫富差距的拉大使许多与我同龄的学生至今无法如愿地接受良好的教育。当我梦想着我的大学时，心中也深感我的大学梦之重。大学的学习注定将是责任的再一次担当，而责任付诸实践，便产生行动。我要用在大学练就的本领服务于社会，帮助更多的人实现大学梦。 作为一个理科学生，我希望自己所选的学科既朝科学的方向靠拢，又不失人文精神——经济学将是我的第一选择。曾经有一个诺贝尔奖得主说，经济学家应当是拥有良知的一群人，而非受利益所趋。虽然我并不一定能够如他一样成为这个领域的拔尖人才，但是在我的能力范围之内，我将始终用自己的学识和能力帮助弱势群体——最起码在经济上，我与志同道合者的努力能使他们不为学习的费用而发愁，能够圆他们的大学梦。去年诺贝尔和平奖得主穆罕穆德“尤努斯的成就坚定了我的梦想。中国传统文化有一种声音，知识分子应当时刻行动，墨家的实践者的脚步应该在当代知识分子的身上回响。康德也曾经说过，知识分子应当是社会的良心。踏入大学，我就将成为社会知识分子的后备力量。我将对社会更多地关注，并且参与其中。而这一切，正是我的父辈们对我的最大期望。 为此，我要努力考进复旦这样的理想的大学，助我实现人生的理想。我理想中的大学，是大之有道、大之有所谓。梅贻琦先生曾经说，“大学者，非谓有大楼之谓也，有大师之谓也。”杨福家教授在他的基础上这样解释大学：大学有大楼、大师、大爱。在我的眼中，大

复旦自主招生历史题

2006 59．一位中国哲人所提出的“民为邦本”地思想，被日本学者宇野重昭称为“首次在世界思想史上明确表达了人民主义革命理论”。问：这位哲人是_______。 A．孔子B．孟子C．荀子D．老子 60．1877年，德国地理学家李希霍芬在《中国》一书中，首次将中国通往西域之路称为“丝绸之路”。 问：下列哪位历史人物出使西域，为“丝绸之路”的形成建立了史诗般功业？______。 A．张蹇B．张謇C．张衡D．张骞 61．黄遵宪在《日本国志》中写道：“三代已还，一坏于秦之焚书，再坏于魏晋之清淡，三坏于宋明之性命，至诋工艺之末为卑无足道，而古人之实学益荒矣。” 问：以下哪项，属于“宋明之性命”？______。 A．佛学B．理学C．医学D．经学 62．国学大师王国维在《观堂集林》中，用一句话精辟地概括了清代学风：“国初之学大，乾嘉之学精，而道咸以降之学新。” 问：“道咸以降之学新”，主要“新”在哪方面？________。 A．注重经典考证B．针砭社会时弊C．学习西方文化D．批判理学旧说63．1915年9月15日，作为新文化运动兴起之标志的《青年》杂志在上海创刊（翌年9月改为《新青年》）后，载文提出：“我们现在认定只有这两位先生可以救治中国政治上、道德上、学术上、思想上一切的黑暗。” 问：“这两位先生”是以下哪“两位先生”？ A．李大钊、陈独秀B．马克思、列宁C．科学、民主D．新文学、新道德64．“Fourscore and seven years ago, our fathers brought forth upon this continent a new Nation, conceived in Liberty, and dedicated to the proposition that all men are created equal.” ——from Gettysburg Address, Delivered on the 19th Day of November, 1863 A．America B．France C．Britain D．Germany 65．希特勒在《我的奋斗》中写道：“我是日尔曼人，但为什么我们要和其他日尔曼人分裂？我们不是同一族吗？我挥着铁拳：为什么日尔曼人不一致投向俾斯麦帝国的怀抱？” 问：文中所谓的“俾斯麦帝国”最终战胜哪个国家，完成了德国统一？________。 A．英国B．法国C．俄国D．奥地利 66．贝尔·琼斯和丹尼斯·凯文在《今日英国政治》中指出，今日英国能够走“第三条道路”，与长期以来保守党和工党政治的趋同性不无关系。 问：保守党的前身是下列哪个政党？________。 A．托利党B．辉格党C．自由党D．民主党 67．复旦大学校训“博学而笃志，切问而近思”，出自中国某典籍，全句是“博学而笃志，切问而近思，仁在其中矣”。 问：按语义判断，复旦校训当出自以下哪部典籍？________。 A．《尚书》B．《墨经》C．《老子》D．《论语》 68．公元前230年至公元前221年，“秦皇扫六合”，陆续灭掉齐、楚、赵、韩、魏、燕六国，建立了大一统的中华帝国。

交大复旦同济自主招生数学试题(完美版)

交通大学2000年保送生数学试题 一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项 的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998 天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ， E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( ) A ． 4813! B ． 21613! C ． 172813! D ．813! 3．方程cos 2 x -sin 2 x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18 m ≤ B ．m >-3 C ．m >-1 D ．138 m -≤≤ 4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2 +px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- ( ) A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．4 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f (x )1，则1 (2)f x dx =?__________． 2．设(0, )2 x π ∈，则函数(2 2 2 2 11sin )(cos )sin cos x x x x + + 的最小值是__________． 3．方程316281536x x x ?+?=?的解x ＝__________． 4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+ 上的投影()b a = __________． 5．函数2y x =+的单调增加区间是__________． 6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x 2 -(k +13)x +k 2 -k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________． 8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的 出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分） 1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232 n a a a n +++= ，1212 n n a a a += ． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1． 2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．

复旦大学自主招生面试题

高中物理学习材料 （马鸣风萧萧**整理制作） 复旦大学2011年自主招生面试题 复旦大学2011年自主招生面试题 1.同一架飞机，从纽约飞到上海和从上海飞到纽约，航线一样，哪一次航行时间短一点？ 2.如果你遇到了劫匪，你打算如何用智慧把他们制服？当媒体把你的事迹报道出去后，你觉得会产生哪些正面效应和负面效应？ 3.有理数和无理数的定义和区别是什么？ 4.平面镜在什么情况下，会出现头下脚上的情况？ 5.在沙漠中如何给手提电脑供电？ 6.最近全社会都在关注儿童当乞丐的问题。如果你是家长，你会把孩子送去当童乞么？ 7.你对“一沙一世界，一花一天堂”是怎么看的？ 8.你知道姓名、字、号的来历么？ 9.你有没有参加过社会活动？ 10.不打开酒瓶的盖子或塞子，怎么取里面的酒？ 11.有两辆重20吨的卡车，有一辆坏了，要一辆车拖着另一辆车走，在不用起重机的前提下，请问如何让这两辆车通过限重35吨的大桥？ 12.你对自己的人生有什么规划？ 13.你是如何选择你进复旦后学的专业的，是怎么考虑这些专业排列的先后顺序的？ 14.请用30秒钟时间准备，然后用英语背诵以前学过的一段文学作品。 15.你的自荐材料里写了你曾组织学生去敬老院参加社会活动，现在很多中学生不愿意参加社会活动，你是怎么组织同学去参加的 16.你如何看待当前的房价？毕业后会马上买房么？由父母付首付，子女付房贷，你认同吗？ 17.请快速地说出7的平方、7的3次方、7的四次方、7的5次方的结果分别是多少？ 18.请你对自己今天面试过程做个简单小结。 19.一位考生的首选专业是经济管理，面试官让他分析一下杭州的工业结构。 20.如果你是杭州市市长，你觉得杭州要怎样发展比较好？ 21、在你的成长经历中，你认为最让你感到沮丧的事情是什么？为什么假如你现在遇到的话，你会怎么办？ 22、假如要你对一位语言不通的人解释中国话和外国话的区别，你会怎么做？ 23、一群小学生在分披萨吃，一个小学生说：“披萨能够下肚，是重力的原因。”另外一个说：“披萨之所以能够被吃下去，是因为肠道的蠕动。”你如何解释呢？

历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

2018年复旦大学自主招生考试 数学试题 选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20 B ．26 C ．30 D ．36 2．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a ?1）+lg （b ?1）= ． A ．lg2 B ．1 C ．不是与a 、b 无关的常数 D ．0 3．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则 z 1 的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254 253- 4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23 +π ） ，其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ． A ． 3 π B ． 2 π C ．π D ．2π 5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2 ｝，B={（x ，y ）∣x 2 +（y ?a ）2 ≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ． A ．a= 4 5 B ．a≥ 4 5 C ．0

复旦附中自主招生物理真题整理

复旦附中自主招生物理真题整理 【例1】一斜面长10米，高1米，一重100牛的物块恰好能沿此斜面匀速向下滑动，若以平行于斜面的力F将此物块匀速推上斜面，则F= ________ N 。 【例2】如图所示，试管A漂浮在水面上，试管B悬浮在水中，试管A与试管B都封闭有一定量的空气，以下说法正确的是（） A. 将试管A上提一微小距离，放手后试管A不会回到原来位置 B. 将试管A下压一微小距离，放手后试管A会回到原来位置 C. 将试管B上提一微小距离，放手后试管B会回到原来位置 D. 将试管B下压一微小距离，放手后试管B会回到原来位置 【例3】下雨了。如果忘了带伞又必须在雨中行走，是走还是跑才能被雨少淋？美国Discovery探索频道的节目《流言终结者》中，两位实验专家通过控制变量法得到的结论是跑步比走路淋雨多。但节目中也提及美国北卡罗来州的两名气象学家曾做过这个实验，得到结果却是跑步比走路淋的雨少40%。同样的问题的出了两个截然相反的结论。让我们建立如下物理模型，讨论这个问题。 淋雨量问题涉及的主要因素有：单位体积降雨量 ，竖直雨速v雨，水平风速v风，人的行走速度v人(当跑步时，v人比较大)，行走的直线距离L1和人的淋浴面积。人可简化 为一个长方体模型，如图所示，可能被淋到的面为：S顶，S 正(代表人的正面)，S背。若以上条件均已知，则

(1) 在无风的情况下，即v风=0，人在雨中行走或跑步，S顶，S 正，S背三个面中，哪个面的淋雨为0？ (2) 请写出无风时，淋雨量不为0的各面的淋雨量的表达式。由此，在无风的情况，是 走还是跑才能被雨少淋？ (3) 若有风，且背面有风，求雨滴相对于地面的速度大小，并写出总淋雨量的表达式， 说明是走还是跑才能被雨少淋。 【例4】 一、正文： 圆周运动 大家学习了有关物体运动的知识，但研究的基本都是直线运动，而直线运动是物体运动的最简单形式，实际生活中，绝大部分物体的运动都不是直线运动，所以我们有必要对物体运动的研究进行拓展，而今天我们要研究的是最简单曲线运动之一的圆周运动。 物体在以某点为圆心半径为R的圆周上运动，即物体运动时其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”，它是一种最常见的曲线运动。例如吊扇、车轮、皮带轮等都做圆周运动。圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动（如：竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的单摆运动）。在圆周运动中，最常见和最简单的是匀速圆周运动（匀速圆周运动实际上是指速度大小始终保持不变的圆周运动） 物理学中人们提出一系列物理量来描述匀速圆周运动（如图）：

复旦大学2020年自主招生真题

复旦大学2020年自主招生真题 出国留学高考网为大家提供复旦大学2017年自主招生真题，更 多高考资讯请关注我们网站的更新! 复旦大学2017年自主招生真题 2017年自主招生分望道计划、博雅计划、奥赛决赛(丘赛决赛) 三种，不同的招生类别考核形式不同，2017年望道计划以体验营的 形势来进行，体验营设有笔试、面试、名师讲座、校园体验等内容。 【笔试】 笔试考核方式笔试科目：数学、物理、化学、生物，全部都是选择题。 笔试时间：3小时 科目设置：数学50题，物理40题，化学22题，生物8题。满 分600，共120道单项选择题，每题5分，选对得5分，不选得0 分，选错倒扣2分。 文综： 120道题里，考了5道英文数学题和六七道英文历史题。英文数 学题，比较简单。英文历史题，要对国家名、专有名词等有些了解，才好做。例如有一个历史题，给了一段英文的题干，然后问你这是 历史上的哪次国际会议?选项有波茨坦会议、开罗会议等。历史考了 很多史料文本，比如给一段文字，问出自哪本书，还考查了文言文。 理综： 理科是用英文考物理题和化学题。其中，物理题是关于热力学的。 【面试】 五对一，每人15分钟，教授自由提问，学生回答。(主要是物理、化学组老师)

首先做1分钟的自我介绍，接着，老师会根据考生的自荐信、自我介绍及报考专业相关内容进行提问。 据部分参加考生反应，面试主要主要集中在三个方向： 1、考生的竞赛/科创/课外活动经历的。根据考生的学习或者考试等方面进行提问，如：竞赛学习方法、看过的书籍、对竞赛的认知等等。 2、高中学习和对复旦的看法。如有考生被问到：高考估计，高考体验，为什么选择复旦，未来专业方向等等。 3、学术性问题。该部分在整个面试过程中时间最长，也是考核最为细致的一部分。 等到时间差不多了，老师便会宣布面试结束。