数值分析小论文

基于MATLAB曲线拟合对离散数据的处理和研究

摘要：曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法，求解拟合曲线的方法也有很多，这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理，并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比，突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点，并阐述了其适用的范围，最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。

关键字：数值分析；MATLAB；曲线拟合；最小二乘法

一问题探究

在很多的实际情况中，两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来，通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点，需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓，并要得到任意未知数据点的具体数据，这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现，这里主要讨论拟合的方法。

曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成，通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改，对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件，运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。

二曲线拟合的最小二乘法理论

假设给定了一些数据点（Xi,Yi），人们总希望找到这样的近似的函数，它既能反映所给数据的一般趋势，又不会出现较大的偏差，并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。

曲线拟合和差值不同，若要求通过所有给定的数据点是差值问题，若不要求曲线通过所有给定的数据点，而只要求反映对象整体的变化趋势，拟合问题，曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下：

第一步：先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x),m

F（x）=a1 r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)

其中a1，a2，…，a m为待定系数。

第二步：确定的准则（最小二乘法准则）：使n个点（x i,y i）与曲线y=f（x）的距离δi 的平方和最小。记 J（a1,a2,…，a m）==]2=2

问题归结为，求a1,a2，…，a m使J（a1,a2,…，a m）最小。

最小二乘法中如何选择数学模型很重要，用MATLAB解法曲线拟合问题通常有两种方法线性最小二乘法拟合和非线性最小二乘法拟合，对于两种方法的选择，要根据离散数据点位置关系来确定即首先将数据（Xi，Yi），i=1,2，…，n作图，通过直观判断确定。

线性最小二乘法通常是做多项式f（x）=a0+a1x1+…+a m x m拟合。可利用已有的得程序

a=ployval(x,y,m),其中m代表拟合多项式的次数。多项式在x出y的值可用命令y=ployval(a,x)计算，做非线性最小二乘拟合时，应首先选择好适当的数学模型，如y=a,其中a,b为待定系数，此时可以把它转换成线性模型来计算，两边取对数得ln y=ln a +bx ,令Y=ln y ,记A=ln a ,于是有Y=A+bx ,求这个线性模型的最小二乘法问题。另外一种方法就是直接采用非线性拟合问题函数lsqcurvefit 和lsqnonlin来计算，两个命令都要先建立M-文件fun.m ,在其中定义函数f（x）, 但两者定义M-文件的方式有所不同。

这些问题同样可以用MATLAB拟合工具箱[2]来实现，并且操作比较简单，误差等参数也能一目了然的观察到。

三 MATLAB曲线拟合工具箱

MATLAB曲线拟合工具箱界面[3]是一个可视化的图形界面，具有强大的图形你和功能，其中包括：（1）可视化的展开一个或者多个数据集，并可用三点图来表示；（2）用残差和置信区间可视化的估计拟合结果的好坏；（3）通过其他界面还可以实现许多其他功能：比如输出、查看和平滑数据：拟合数据，比较拟合曲线和数据集：从拟合曲线中排除特殊的数据点：选定区间后可以显示拟合曲线和数据集。它把计算，可视化和程序设计融合到一个交互的环境，在此环境中，利用强大的数值计算和图形功能，可高效求解一些复杂的工程问题及实现计算结果的可视化。

用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据进行拟合时，可使用MATLAB内部的库函数或用户自定义的方程对参数变量进行多项式、指数、有理数等形式的数据拟合。

四 MATLAB曲线拟合工具箱的应用举例

在实际中，产品和工件的轮廓形状很难找到一个具体的数学表达式，通常只能通过实验或数学计算得到一些离散点及其上的数值点，此时就需要选择合适的数学模型对其进行曲线拟合，做出它的拟合曲线，从而估计出它的实际形状。下面通过一个例子说明一下用MATLAB 曲线拟合工具箱对离散数据点进行曲线拟合，并与一般的方法作比较。

例1，已知机翼下轮廓上的数据如下表所示：

表1 机翼下轮廓数据

机翼长（x）0 3 5 7 9 11 12 13 14 15

机翼宽（y）0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.4 1.6

用这些数据拟合轮廓形状。

（1）用多项式最小二乘法编程方法：（分别用3次和4次进行拟合）。

>> x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];

>> y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.4,1.6];

>> A=polyfit(x,y,3)

A =0.0013 -0.0523 0.5913 -0.0483

>> z=polyval(A,x);

>> plot(x,y,'k+',x,z,'r')

同样的方法可以得到4次多项式拟合曲线，3次和4次得拟合的图像分别为：

图1 三次拟合曲线

图2 四次拟合曲线

拟合得到的多项式分别为：f（x）=0.0013x3-0.0523x2+0.5913x-0.0483

F(x)=0.0004x4-0.0099x3+0.0544x2+0.2767x+0.0214

（1）用MATLAB曲线拟合工具箱计算：

>> x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];

>> y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.4,1.6]；

>>cftool

进入拟合工具箱界面，然后点击Data按钮，在数据栏选择x和y界面分别为：

图3 曲线拟合工具箱界面

图4 “Data”对话框

单击Create data set 按钮，然后单击Close 返回拟合工具箱界面，再单击Fiting 按钮，先选择3次拟合方法，即在Type of fit 中选择Ploynomial,然后在下面的选项中选择cubicploynomial(图5)，单击Ａpply 进行拟合得到图像（图6）；以及结果：Linear model。Poly3:

f(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4

Coefficients (with 95% confidence bounds

p1 = 0.00128 (-0.0008073, 0.003367)

p2 = -0.05227 (-0.1001, -0.004396)

p3 = 0.5913 (0.2892, 0.8934)

p4 = -0.0483 (-0.5768, 0.4802)

Goodness of fit:

SSE: 0.2948

R-square: 0.9143

Adjusted R-square: 0.8714

RMSE: 0.2217。

图5 “Fiting”对话框

图6 3次拟合曲线

从结果中可以看出，拟合得到的多项式：

f（x）=0.0128x3-0.05227x2+0.5913x-0.0483,

以及它的误差平方和SSE为0.2948，相关系数平方和R-square为0.9143，根的均方差RMSE 为0.2217。

若需要进行4次拟合，只需要Fiting中的New fit中选择4次多项式拟合就可以得到4次拟合图像和结果：

所得拟合多项式为：

F(x)=0.0003661x4-0.009906x3+0.05438x2+0.2767x+0.02141.

误差平方和为0.1801。

用这两种方法所得的结果基本相同，显然4次比三次的拟合效果要好，并且用拟合工具箱求解更为方便直观。

图7 3次和4次多项式拟合

下面在举一个非线性拟合的例子。

例2 用非线性拟合[6]的方法对下列一组数据进行拟合：

快速静脉注射下的血药浓度数据

t(h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8

c(μg/ml) 19.2

1

18.1

5

15.3

6

14.1

12.9

8

9.3

2

7.4

5

5.2

4

3.0

1

根据数据特点，选却数学模型：c(t)=a,其中，a、b是待定系数。

（1）编写Ｍ-文件：function f=curvefunl(x,tdata)

F=x(1)*exp(-x(2))*tdata

输入程序：tdata=[0.25,0.5,1,1.5,2,3,4,6,8];

<

<

<

X=lsqcurvefit(‘curvefunl’,x0,tdata,cdata)

f=curvefunl(x,tdata)

x=20.2413 0.2420

f=19.0532 17.93.48 15.8911 14.0802 12.4757 9.7945 7.6894 4.7394 2.9211

即c(t)=20.2413。

（2）用拟合工具箱计算：

输入程序：

>> tdata=[0.25,0.5,1,1.5,2,3,4,6,8];

>> cdata=[19.21,18.15,15.36,14.10,12.89,9.32,7.45,5.24,3.01];

>> cftool(tdata,cdata)

打开拟合工具箱，在数据栏里选择数据，根据数据点的分布，选择Custom Equations ,

然后在Custom Equations 中设置函数：

c(t)=a后进行拟合，所得图像为：

图8 非线性拟合

拟合结果为：C(t)=20.24,与lsqucuevefit()函数方法结果相同。

由此看出拟合工具箱首先可以画出数据点的散点图，便于选择模型；其次操作简便，省去了复杂的编程工作，再次，结果以图像的和数据两种方式给出，直观形象，并且结果中还给出了判断拟合好坏的参数。

五结论

本文给出了求离散数据点拟合曲线的MATLAB曲线拟合工具箱的方法，并与通常使用的利用拟合函数编程方法相比较，发现利用曲线拟合工具箱拟合曲线更加简捷和直观，并且可视性效果很好。

六参考文献

[1] 李庆扬，关治，白峰山。数值计算原理[M].北京：清华大学出版社，2000:56-58

[2] 苏金明，张莲花，刘波等MATLAB工具箱应用[M],北京：电子工业出版社，2004

[3] 史立新，聂信天，季明。基于MATLAB曲线拟合工具箱的列表曲线拟合[J]。新技术出版社，2007（7）

[4] 牛旭，李小平，利用三次样条差值法求机翼的拟合曲线[J]。塔里木大学学报，2010（3）

[5] 杨云升MATLAB曲线拟合及其在试验数据处理中的应用[J]。电脑与信息技术，2009（4）

[6] 陈文芳，许雯，利用MATLAB曲线拟合工具箱拟合ＰＮ结伏安特性曲线[J].计算机与数学工程，2007（10）

数值分析_数值计算小论文

Runge-Kutta 法的历史发展与应用 摘要Runge-Kutta 法是极其重要的常微分方程数值解法，本文仅就其起源及发展脉络加以简要研究。对Runge 、Heun 以及Kutta 等人的贡献做出适当评述，指出Runge-Kutta 方法起源于Euler 折线法。同时对Runge-Kutta 法的应用做简要研究。 关键词 Euler 折线法 标准四阶Runge-Kutta 法 应用 一、发展历史[1] 1.1 Euler 折线法 在微分方程研究之初，瑞士数学家L.Euler(1707.4—1783.9)做出了开创性的工作。他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。在常微分方程方面，Euler 在1743年发表的论文中，用代换kx y e =给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的概念。 1768年，Euler 在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题 00 (,), (1.1)() (1.2)y f x y x x X y x a '=<≤??=? 的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。欧拉的想法如下：我们选择0h >，然后在00x x x h ≤≤+情况下用解函数的切线 0000()()(,)l x y x x f x y =+- 代替解函数。这样对于点 10x x h =+ 就得到 1000(,)y y hf x y =+。 在11(,)x y 重复如上的程序再次计算新的方向就会得到所谓的递推公式： 11, (,),m m m m m m x x h y y hf x y ++=+=+

数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例

数值分析之幂法及反幂法C 语言程序实例 1、算法设计方案： ①求1λ、501λ和s λ的值： s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。 1λ、501λ：已知矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<< ，要求1λ、及501λ时，可 按如下方法求解： a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。 b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m B A I λ=+，对矩阵B 用反幂法 求得B 的按模最小特征值2m λ。 c ． 321m m m λλλ=- 则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。 ②求和A 的与数5011 140 k k λλμλ-=+最接近的特征值 ik λ（k=0，1，…39）： 求矩阵A 的特征值中与k μ最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法： 先求矩阵 B=A-k μI 对应的按模最小特征值k β，则k β+k μ即为矩阵A 与k μ最接近的特征值。 重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。 ③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ： 在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。 求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()s cond A λλ= ，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。

数值分析小论文 董安

数值分析作业 课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201 研究生姓名董安 学号S2******* 学科、专业机械制造及其自动化 所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日

代数插值法---拉格朗日插值法 数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。因此学好数值分析的插值法很重要。 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。 1.一元函数插值概念 定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数()0 x j ， ()1 x j ， ···()n x j ，其中n ￡m 。若向量组 k f =（()0k x j ，()1k x j ，···，() k m x j ）T （k=0,1，，n ） 线性无关，则称函数组{()k x j （k=0,1， ，n ）}在点集{i x (i=0,1, ,m)}上线性无关；否 则称为线性相关。 例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2 x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。 又如，函数组{sin x ，n2x ，sin 3x }在点集{0， 3p ，2 3 p ，p }上线性相关。 给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数() f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间[] ,a b 内有定义。设函数组 {()k x j （k=0,1， ，n ）} 是次数不高于n 的多项式组，且在点集{0x ，1x ，···，n x }上线性无关。

演讲稿数值分析应用实例.doc

非线性方程求根 问题：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长度。 设空中电缆的曲线（悬链线）方程为 ] , [ , ) ( 50 50 2 - ∈ + = - x e e a y a x a x （1） 由题设知曲线的最低点)) ( , (0 0y与最高点)) ( , (50 50y之间的高度差为1m，所以有 1 2 50 50 + = +- a e e a a a) ( （2） 由上述方程解出a后，电缆长度可用下式计算： ) ( ) (a a a x a x L e e a dx e e dx x y ds L 50 50 50 50 50 2 1- - - - = ? ? ? ? ? ? + = ' + = =? ? ?（3） 相关Matlab命令： 1、描绘函数] , [ , ) ( ) (1500 500 1 2 50 50 ∈ - - + = - a a e e a a y a a 的图形；

2、用fzero 命令求方程在1250=a 附近的根的近似值x ，并计算)(x y 的函数值； 3、编写二分法程序，用二分法求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出对分次数； 4、编写Newton 迭代法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。 5、编写Newton 割线法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。

线性方程组求解应用实例 问题：投入产出分析 国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子： 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1所示（数字表示产值）。 表1 国民经济三个部门间的关系单位：亿元 假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表2所示。 表2 三个部门的投入产出表

数值分析小论文

“数值分析”课程 第一次小论文 郑维珍2015210459 制研15班（精密仪器系）内容：数值分析在你所在研究领域的应用。 要求：1）字数2500以上；2）要有摘要和参考文献；3）截至10.17，网络学堂提交，过期不能提交！ 数值分析在微流控芯片研究领域的应用 摘要： 作者在硕士期间即将参与的课题是微流控芯片的研制。当前，微流控芯片发展十分迅猛，而其中涉及到诸多材料学、电子学、光学、流体力学等领域的问题，加上微纳尺度上的尺寸效应，理论研究和数值计算都显得困难重重。发展该领域的数值计算，成为重中之重。本文从微流体力学、微传热学、微电磁学、微结构力学等分支入手，简要分析一下数值分析方法在该领域的应用。 微流控芯片(Microfluidic Chip)通常又称芯片实验室(Lab-On-a-Chip )，它是20世纪90年代初由瑞士的Manz和Widmer提出的[1-2]，它通过微细加工技术，将微管道、微泵、微阀、微电极、微检测元件等功能元件集成在芯片材料(基片)上，完成整个生化实验室的分析功能，具有减少样品的消耗量、节省反应和分析的时间、高通量和便携性等优点。 通常一个微流控芯片系统都会执行一个到多个微流体功能，如泵、混合、热循环、扩散和分离等，精确地操纵这些流体过程是微流控芯片的关键。因此它的研究不仅需要生命科学、MEMS、材料学、电子学、光学、流体力学等多学科领域的基础理论的支持，还需要很多数学计算。

1）微流体力学计算[3]： 对微管里的流体动力的研究主要包含了以下几个方面：(1)微管内流体的粘滞力的研究；(2)微管内气流液流的传热活动；(3)在绝热或传热的微管内两相流的流动和能量转换。这三方面的研究涵盖了在绝热、传热和多相转换条件下，可压缩和不可压缩流体在规则或不规则的微管内的流动特性研究。 由此，再结合不同的初值条件和边界条件，我们可以得到各种常微分方程或偏微分方程，而求解这些方程，就是需要很多数值分析的知识。例如，文献[4]里就针对特定的初值和边界条件，由软件求解了Navier-Stodes方程： 文献[4]专门有一章节讨论了该方程的离散化和数值求解。 微流体力学主要向两个方面发展：一方面是研究流动非定常稳定特性、分叉解及微尺寸效应下的湍流流动的机理，更为复杂的非定常、多尺度的流动特征，高精度、高分辨率的计算方法和并行算法；另一方面是将宏观流体力学的基本模型，结合微纳效应，直接用于模拟各种实际流动，解决微纳芯片生产制造中提出来的各种问题。 2）微传热方程计算： 常微分、偏微分方程的数值求解应用较为广泛的另一问题就是微流体传热问题。由传热学的相关知识，我们可以达到如下的传热学基本方程： 该方程在二维情况下经过简化和离散，可以得到如教材第三章所讲的“五点差分格式”的方程组，从而采取数值方法求解[5]。 除此之外，微结构芯片在加工和制造过程中也会有很多热学方面的问题，例如文献[6]所反映的注塑成型工艺中，就有大量的类似问题的解决。 3）微电磁学计算： 由于外加电场的作用，电渗流道中会产生焦耳热效应。许多研究者对电渗流道中的焦耳热效应进行了数值模拟研究。新加坡南洋理工大学的G. Y. Tang等在电渗流模型的基础上，考虑了与温度有关的物理系数，在固一液祸合区域内利用

数值分析在生活中的应用举例及Matlab实现

Matlab 实验报告 学院：数学与信息科学学院班级：信息班 学号：20135034027 姓名：马永杉

最小二乘法，用MATLAB实现 1.数值实例 下面给定的是郑州最近1个月早晨7：00左右的天气预报所得到的温度，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合。 2、程序代码 x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9 ,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1=polyval(a1,x) b2=polyval(a2,x) b3=polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 2.流程图

4．数值结果分析 不同次数多项式拟合误差平方和为： r1=67.6659 r2=20.1060 r3=3.7952 r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。 5、拟合曲线如下图

数值分析论文 (8)

牛顿迭代法及其应用 [摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。最后给出了离散牛顿法的具体做法。 [关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。 1.牛顿法及其收敛性 求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即 ，ξ在x与之间 忽略余项，则得方程的近似 右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即 (2.4.1) 称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与 x轴交点为,作为的新近似，如图1所示

图1 关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理. 定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且 (2.4.2) 证明由式(2.4.1)知迭代函数,， ,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕. 定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论. 例1用牛顿法求方程的根. ,牛顿迭代为 取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.

例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得 (2.4.3) 这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它 的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当 时有 即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且 所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3) 中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛. 在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到 =1.732 051,具有7位有效数字. 求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。方程为 此切线与x轴交点记作，它就是(2,4,1)给出的牛顿迭代法，由图2-3 看到牛顿法求根就是用切线近似曲线，切线与x轴交点xk+1作为方程f(x)=0 根x*的新近似。 根据定理2.3可以证明牛顿法是二阶收敛的，这就是定理4.1给出的结果，牛顿法由于收敛快，它是方程求根最常用和最重要的方法，在计算机上用牛顿法解方程的计算步骤： 算法如下：（牛顿法） 步0： 给初始近似,计算精度最大迭代步数N,0→k.

数值分析课程设计学生题目

《数值分析》课程设计

本课程设计的内容为：每个小组的同学均应完成以下五个案例； 目标：能将数值分析课程中所学的算法知识熟练应用于实际问题中。 案例1 土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。 假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。 根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH （1.1） 其中Q 是水的流量（s m /3 ），U 是流速（s m /），H 是水的深度（m ）。 在水工学中应用的有关流速的公式是 3 /23 /22/1)2()(1H B BH S n U += （1.2） 这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠 的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。 把（1.2）代入（1.1）就得到 3 /23 /52/1)2()(1H B BH S n U += （1.3） 为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量 的水），需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。这样，就需要求解 0) 2()(1)(3 /23 /52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4） 一个具体的案例是 s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203==== 求出渠道中水的深度H 。 所涉及的知识——非线性方程解法。 案例2 在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应 C D A C B A ?+?+2 其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。反应达到平衡是有如下的平衡关系： d a c b a c C C C k C C C k == 22 1 , 其中2 24 1107.3 ,104--?=?=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。假定反应开始时各种物质的浓度为：

数值分析论文

插值方法总结 摘 要：本文是对学过的插值方法进行了总结使我们更清楚的知道那一种方法适合那一种型。 关键词：插值；函数；多项式；余项 （一）Lagrange 插值 1．Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏≠=--= n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0 = 称为Lagrange 插值基函数 2．Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商

i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 2．Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为 0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，' 1f ，…，' n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(' '1212 ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若],[22b a C f n +∈，插值误差为 220) 22(12)()()! 22() ()()(n x n n x x x x n f x H x f --+= -++ ξ，),()(b a x x ∈=ξξ （四）分段插值 设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<= 10 和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ?，具有性质

中北大学数值分析小论文

中北大学 《数值分析》 常微分方程初值问题的数值解法 专业： 班级： 学号： 姓名: 日期: 2012.12.26

常微分方程初值问题的数值解法 摘 要 微分方程的数值解法在科学技术及生产实践等多方面应用广泛. 文章分析了构造常微分方程初值问题数值解法的三种常用基本方法，差商代替导数法，数值积分法及待定系数法，推导出了Euler 系列公式及三阶龙格-库塔公式，指出了各公式的优劣性及适用条件，并对Euler 公式的收敛性、稳定性进行了分析。 Abstract The numerical solution of differential equations is widely used in science, technology, production practices and many other fields. This paper analyzed three kinds of basic methods for constructing numerical solutions for initial value problem of ordinary differential equations ：difference quotient instead of derivative method, numerical integral method and undetermined coefficients method. At the same time, the paper deduces the Euler series formula and the classical third order Runge-Kutta formula. In addition, the paper pointed out the advantages and disadvantages of each formula and application condition, it also analyzed the convergence and stability of the Euler formula. 1.引言 科学技术及实际生产实践中的许多问题都可归结为微分方程的求解问题，使用较多的是常微分方程初值问题的求解。对于一阶常微分方程的初值问题 000dy /dx f (x,y),y(x )y ,x x b ==<<，其中f 为已知函数，0y 是初始值。如 果函数f 关于变量y 满足Lipschitz 条件，则初值问题有唯一解。只有当f 是一些特殊类型的函数时，才能求出问题的解析解，但一般情况下都满足不了生产实践与科学技术发展的需要，因此通常求其数值解法。 2.主要算法 数值解法是一种离散化的方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。基本思想是离散化，首先要将连续区间离散化，对连续区域[]0x ,b 进行剖分01n 1n x x x x b -<<Λ<<=，n n 1n h x x +=-为步长；其次将其函离散

数值分析小论文

基于MATLAB曲线拟合对离散数据的处理和研究 摘要：曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法，求解拟合曲线的方法也有很多，这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理，并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比，突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点，并阐述了其适用的范围，最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。 关键字：数值分析；MATLAB；曲线拟合；最小二乘法 一问题探究 在很多的实际情况中，两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来，通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点，需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓，并要得到任意未知数据点的具体数据，这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现，这里主要讨论拟合的方法。 曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成，通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改，对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件，运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。 二曲线拟合的最小二乘法理论 假设给定了一些数据点（Xi,Yi），人们总希望找到这样的近似的函数，它既能反映所给数据的一般趋势，又不会出现较大的偏差，并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。 曲线拟合和差值不同，若要求通过所有给定的数据点是差值问题，若不要求曲线通过所有给定的数据点，而只要求反映对象整体的变化趋势，拟合问题，曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下： 第一步：先选定一组函数r1(x),r2(x),…,rm(x),m

数值计算实例

数值计算 插值 假设需要得到x 坐标每改变0.1 时的y 坐标, 用三次插值方法对机翼断面下缘轮廓线上的部分数据加细, 并作出插值函数的图形. 程序: clear, close all x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; plot(x,y); xi=0:0.1:15; yi_cubic=interp1(x,y,xi,'cubic'); plot(x,y,'ro',xi,yi_cubic); pp=csape(x,y,'second'); v=ppval(pp,xi); v; T=(ppval(pp,0.1)-ppval(pp,0))/0.1; angle=atan(T)*180/pi; s=v(130:151); ss=min(s); 图形: 最小二乘拟合

已知空气温度与动力粘度关系如下，进行最小二乘拟合 0℃170.8×10^-4mPa.s 40℃190.4×10^-4mPa.s 74 ℃210.2×10^-4mPa.s 229 ℃263.8×10^-4mPa.s 334℃312.3×10^-4mPa.s 409℃341.3×10^-4mPa.s 481℃358.3×10^-4mPa.s 565℃375.0×10^-4mPa.s 638℃401.4×10^-4mPa.s 750 ℃426.3×10^-4mPa.s 810 ℃441.9×10^-4mPa.s 程序： >> x=[0 40 74 229 334 409 481 565 638 750 810]; >> y=[170.8 190.4 210.2 263.8 312.3 341.3 358.3 375.0 401.4 426.3 441.9]; >> p=polyfit(x,y,2) p = -0.0002 0.4652 172.5460 >> xi=[0:2:810]; >> yi=polyval(p,xi); >> plot(x,y,'ko-',xi,yi,'k--') 解线性方程组的直接法

数值分析小论文论文

对于牛顿型方法的改进 对于函数f(x),假定已给出极小点* x 的一个较好的近似点0x ，则在0x 处将f(x)泰勒展开到二次项，得二次函数()x φ。按极值条件'()0x φ=得()x φ的极小点，用它作为*x 的第一个近似点。然后再在1x 处进行泰勒展开，并求得第二个近似点2x 。如此迭代下去，得到一维情况下的牛顿迭代公式'k 1''k ()() k k f x x x f x +=- (k=0,1,2,…) 对于多元函数f(x),设k x 为f(x)极小点*x 的一个近似值，在k x 处将f(x)进行泰勒展开，保留到二次项得21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ?≈=+?-+ -?-， 式中 2()k f x ?—f(x)在k x 处的海赛矩阵。 设1k x +为()x ?的极小点，它作为f(x)极小点*x 的下一个近似点，根据极值必要条件 1()0k x ?+?=即21()()()k k k k f x f x x x +?+?-得1 21()()k k k k x x f x f x -+??=-???? （k=0,1,2，…） 上式为多元函数求极值的牛顿法迭代公式。 对于二次函数，f(x)的上述泰勒展开式不是近似的，而是精确地。海赛矩阵是一个常矩阵，其中各元素均为常数。因此，无论从任何点出发，只需一步就可以找到极小点。因为若某一迭代法能使二次型函数在有限次迭代内达到极小点，则称此迭代方法是二次收敛的，因此牛顿方法是二次收敛的。 从牛顿法迭代公式的推演中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿法公式，有时会使函数值上升，即出现1>k k f f +（x ）（x ） 现象。为此对上述牛顿方法进行改进，引入数学规划法的概念。 如果把1 2()()k k k d f x f x -??=-????看作是一个搜索方向，则采取如下的迭代公式 121()()k k k k k k k k x x a d x a f x f x -+??=-=-???? （k=0,1,2,…） 式中 k a —沿牛顿方向进行以为搜索的最佳步长k a 可通过如下极小化过程求得1()()()min k k k k k k k a f x f x a d f x a d +=+=+。由于此种方法每次迭代都在牛顿方向上进 行一维搜索，这就避免了迭代后函数值上升的现象，从而保持了牛顿法二次收敛的特性，而对初始点的选取并没有苛刻的要求。其计算步骤如下：

数值分析论文

题目：论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日

论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 （1 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134 2 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ；Mathematical Modeling; Linear Equations ；differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型

(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点

计算方法教案新疆医科大学 数学教研室 张利萍

一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时54 4、学分：4 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》 二、课程的目的与任务： 计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法 2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。

数值分析论文

《数值分析与科学计算概述》研究 第一章对象描述 一、数值分析与科学计算的概念 科学计算即数值计算，科学计算是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算。在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量复杂的数学计算问题，这些问题用一般的计算工具来解决非常困难，而用计算机来处理却非常容易。 科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的学科，发展迅速，它与理论研究和科学实验成为现代科学发展的三种主要手段，它们相辅相成又互相独立，在实际应用中导出的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型求其数值解，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为可以求出精确解的线性模型，但这样做往往不能满足近似程度的要求，因此使用数值方法直接求解做较少简化的模型，可以得到满足近似程度要求的结果，使科学计算发挥更大的作用。 自然科学规律通常用各种类型的数学方程式表达，科学计算的目的就是寻找这些方程式的数值解。这种计算涉及庞大的运算量，简单的计算工具难以胜任。在计算机出现之前，科学研究和工程设计主要依靠实验或试验提供数据，计算仅处于辅助地位。计算机的迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能。利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化：传统的科学技术只包括理论和试验两个组成部分，使用计算机后，计算已成为同等重要的第三个组成部分。 数值分析也称计算方法，它与计算工具发展密切相关。是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为计算数学的主体部分。在电子计算机出现以前，计算工具只有算盘，算图，算表和手摇及电动计算机。计算方法只能计算规模较小的问题。 数值分析的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关理论的学科。数

数值分析小论文 线性方程组的直接解法

题目：煤层瓦斯含量规律分析 算法：线性方程组的直接接法 组号：22 组员：张玉柱薛洪来孔杰商鹏

煤层瓦斯含量规律分析 张玉柱，薛洪来，孔杰, 商鹏 （河南理工大学安全学院，河南焦作454000） 摘要：通过煤层瓦斯含量预测数学模型的建立，研究对煤层瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程，为瓦斯含量的预测和估计提供了一定的理论依据。 关键词：瓦斯含量；模拟测试 Mathematical models of gas content predict Yuzhu-zhang, Honglai-xue, jie-kong, peng-shang (School of Safety Science and Engineering, Henan Polytechnic University，Jiaozuo．454000，China) Abstract: Through the gas content prediction mathematical model. Research on the impact of coal seam gas content prediction top bottom elevation, the buried depth, thickness of the overlying strata, volatile gradation factors. Determine the impact of gas content and multiple regression equation for the gas content prediction and estimate provided theoretical basis. Key words：teetonicslly coal；simulation test 0.问题背景 瓦斯是指在煤矿生产过程中，从煤层、岩层和采空区放出的各种有害气体的总称，其中甲烷是瓦斯的主体成分，所以狭义的矿井瓦斯一般是指甲烷，主要来自煤层，它构成威胁煤矿开采的主要危险。它对矿井安全的威胁主要有突出、爆炸、和窒息三种形式，最严重的瓦斯灾害是瓦斯爆炸和瓦斯突出事故，它严重威胁着井下人员的生命和矿井设施的安全[1]。瓦斯含量是影响煤矿安全生产的重要因素，因此，加强煤层瓦斯含量预测方法及瓦斯涌出的影响因素研究，掌握煤层瓦斯含量预测规律，对改善我国煤矿安全生产状况具有积极的意义[2]。本文收集、整理和分析了大量实测数据资料，通过实测和数学方法，研究对瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程。最后，运用该方法对夏店煤矿回采工作面进行了瓦斯含量预测，结果与现场实测数据基本吻合。根据夏店煤矿的生产实际，对瓦斯含量影响因素进行分析，研究瓦斯含量与煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素之间的关系，对夏店煤矿防治矿井瓦斯灾害，确保煤矿安全生产具有重要意义。