2013年四川高考文科数学试卷(word版)和答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A
B =（ ）
（A ）? （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}- 2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台
3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D
4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。若命题:,2p x A x B ?∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ??∈∈ （B ）:,2p x A x B ???∈ （C ）:,2p x A x B ??∈? （D ）:,2p x A x B ????
5、抛物线2
8y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ）
（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1 6、函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ω?ω?=+>-<<
的部分图象如图所示，则,ω?
的值分别是（ ）
y
x
D
B
A O
C
11π
12
5π12
2
O
（A ）2,
3
π
-
（B ）2,6
π
-
（C ）4,6
π
-
（D ）4,
3
π
7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，
[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）
8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,
x y y x x y +≤??-≤?
?≥??≥?且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）
（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）16
9、从椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的
交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A ）
24 （B ）1
2
（C ）22 （D ）32
10、设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）。若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立，则a 的取值范围是（ ）
（A ）[1,]e （B ）[1,1]e + （C ）[,1]e e + （D ）[0,1]
第二部分 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11、lg 5lg 20+的值是____________。
O
C
A
B
D
12、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________。 13、已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值，则a =____________。 14、设sin 2sin αα=-，(
,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是____________。 15、在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_______。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分12分)
在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。
17、(本小题满分12分)
在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos()cos sin()sin()5
A B B A B A c ---+=-。
（Ⅰ）求sin A 的值；
（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影。
18、(本小题满分12分)
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24???这24个整数中等可能随机产生。
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率
(1,2,3)i P i =；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数。以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据。
甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）
乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符
合算法要求的可能性较大。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，122AB AC AA ===，120BAC ∠=，
1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 上异于端点的点。
（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥11A QC D -的体
积。（锥体体积公式：13
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）
20、(本小题满分13分)
已知圆C 的方程为22
(4)4x y +-=，点O 是坐标原点。直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点。
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且222
211
||||||
OQ OM ON =+。请将n 表示为m 的函数。
1
C
21、(本小题满分14分)
已知函数22,0
()ln ,0
x x a x f x x x ?++<=?>?，其中a 是实数。设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象
上的两点，且12x x <。
（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，证明：211x x -≥； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围。
答案：
2013年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?四川）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A ∩B=（ ） A ． ? B ． {2} C ． {﹣2，2} D ． {﹣2，1，2，3}
考点： 交集及其运算． 专题： 计算题．
分析： 找出A 与B 的公共元素即可求出交集．
解答： 解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，
∴A ∩B={2}． 故选B
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）（2013?四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A ． 棱柱
B ． 棱台
C ． 圆柱
D ． 圆台
考点： 由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选D．
点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3．（5分）（2013?四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）
A．A B．B C．C D．D
考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．
解答：解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．
故选B．
点评：本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．
4．（5分）（2013?四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B
考点：命题的否定；特称命题．
专题：规律型．
分析：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．
解答：解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：
￢p：?x∈A，2x?B．
故选C．
点评：本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…
不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
5．（5分）（2013?四川）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（）
A．B．2C．D．1
考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线
的距离．
解答：解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），
∴点F（2，0）到直线的距离d==1．
故选D．
点评：熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．
6．（5分）（2013?四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．C．D．
考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：
根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
解答：
解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
7．（5分）（2013?四川）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）
A．B．C．D．
考点：频率分布直方图；茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．
解答：解：根据题意，频率分布表可得：
分组频数频率
[0，5） 1 0.05
[5，10） 1 0.05
[10，15） 4 0.20
………
[30，35） 3 0.15
[35，40） 2 0.10
合计100 1.00
进而可以作频率直方图可得：
故选：A．
点评：本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．
8．（5分）（2013?四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则
a﹣b的值是（）
A．48 B．30 C．24 D．16
考点：简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．
解答：
解：满足约束条件的可行域如图所示
在坐标系中画出可行域，
平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，
则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．
经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，
则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．
z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．
故选C．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
9．（5分）（2013?四川）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A
是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP?k AB=k OP?b=c，从而可得答案．
解答：解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），
则+=1，
∴y0=，
∴P（﹣c，），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴k AB=k OP，即==，
∴b=c．
设该椭圆的离心率为e，则e2====，
∴椭圆的离心率e=．
故选C．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
10．（5分）（2013?四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f （f（b））=b成立，则a的取值范围是（）
A．[1，e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[0，1]
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．
分析：根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x 对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程
化简整理得e x=x2﹣x+a，记F（x）=e x，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．
解答：解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）
其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据，化简整理得e x=x2﹣x+a
记F（x）=e x，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得，即，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A
点评：本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．（5分）（2013?四川）lg+lg的值是1．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：直接利用对数的运算性质求解即可．
解答：解：==1．
故答案为：1．
点评：本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．
12．（5分）（2013?四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：
依题意，+=，而=2，从而可得答案．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
13．（5分）（2013?四川）已知函数在x=3时取得最小值，则a=36．
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
分析：
由题设函数在x=3时取得最小值，可得f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．
解答：
解：由题设函数在x=3时取得最小值，
∵x∈（0，+∞），
∴得x=3必定是函数的极值点，
∴f′（3）=0，
f′（x）=4﹣，
即4﹣=0，
解得a=36．
故答案为：36．
点评：本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．
14．（5分）（2013?四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．
考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．
专题：压轴题；三角函数的求值．
分析：已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：
解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
∴cosα=﹣，sinα==，
∴tanα=﹣，
则tan2α===．
故答案为：
点评：此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
15．（5分）（2013?四川）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是（2，4）．
考点：一般形式的柯西不等式．
专题：压轴题；直线与圆．
分析：如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．
解答：解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，
P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：
PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），
∴AC，BD的方程分别为：，，
即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．
解方程组得Q（2，4）．
故答案为：（2，4）．
点评：本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2013?四川）在等比数列{a n}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：
等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求
解答：解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a1q﹣a1=2，4
联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0
∴或q=1（舍去）
∴=
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力
17．（12分）（2013?四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin （A﹣B）sin（A+C）=﹣．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的含义与物理意义；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c 的大小，然后求解向量在方向上的投影．
解答：
解：（Ⅰ）由，
可得，
即，
即，
因为0＜A＜π，
所以．
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=﹣7（舍去）． 向量
在
方向上的投影：
=ccosB=
．
点评： 本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．
18．（12分）（2013?四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．
（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i （i=1，2，3）；
（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i （i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表（部分） 运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 14 6 10 … … … … 2100 1027 376 697 乙的频数统计表（部分） 运行 次数n 输出y 的值 为1的频数 输出y 的值 为2的频数 输出y 的值 为3的频数 30 12 11 7 … … … … 2100 1051 696 353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i （i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．
考点： 程序框图；古典概型及其概率计算公式． 专题： 图表型；算法和程序框图．
分析： （I ）由题意可知，当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输
出y 的值为1，当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 的值为2，当x
从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输
出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；
（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
解答：解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；
当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；
当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；
∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；
（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：
输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲
乙
比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．
点评：本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．（12分）（2013?四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，
∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S 为底面面积，h为高）
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l 与平面A1BC平行．
等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得DE 的值，从而求得=的值，再根据三棱锥A 1﹣QC1D的体积
==??DE，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，
故直线l与平面A1BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
再由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．
而AA1∩AD=A，
∴直线l⊥平面ADD1A1 ．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，
∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，
故DE⊥平面AA1C1C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC?cos60°=1，∴DE=AD?sin60°=．
∵===1，
∴三棱锥A 1﹣QC1D的体积==??DE=×1×=．
点评：本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
20．（13分）（2013?四川）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．
考点：直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用．
专题：直线与圆．
分析：（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；
（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．
解答：解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），
根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，
则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），
∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，
代入=+得：=+，
即=+=，
由（*）得到x1+x2=，x1x2=，
代入得：=，即m2=，
∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，
由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），
根据题意得点Q在圆内，即n＞0，
∴n==，
则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．
21．（14分）（2013?四川）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B
（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：压轴题；导数的综合应用．
分析：（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；
（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即
可得出a的取值范围．
解答：解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，
当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，
∴x 2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；
（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x ﹣x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；
两直线重合的充要条件是，
由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．
点评：本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．
2013年高考广东省理科数学试题
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式: 台体的体积公式() 121 3 V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{ }2 |20,M x x x x =+=∈R ,{ } 2 |20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( ) A . {}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2- 2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2 4．已知离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则X 的数学期望EX = ( ) A . 32 B ．2 C ． 5 2 D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．14 3 C ．163 D ．6 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于 3 2 ,在双曲线C 的方程是 ( ) A . 221x = B ．221x y -= C ．22 1x y -= D ．22 1x = 正视图 俯视图 侧视图 第5题图
2019年上海高考数学(文科)试卷
2019年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文史类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算： 31i i -=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{} 210A x x =->，{} 1B x x =<，则A B ?＝ 3、函数sin 2()1 cos x f x x = -的最小正周期是 4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 6、方程1 42 30x x +--=的解是 7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、1 2 为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞ +++= 8、在6 1x x ? ?- ?? ?的二项式展开式中，常数项等于 9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足 BM CN BC CD = ，则AM AN ?的取值范围是 13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1 (,1)2 B 、(1,0) C ，函数 ()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 14、已知1 ()1f x x = +，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
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考点：反函数。 专题：计算题。 分析：问题可转化为已知f（x0）=﹣2，求x0的值，解方程即可 解答：解：设f（x0）=﹣2，即2x0+1=﹣2，解得 故答案为 点评：本题考查反函数的定义，利用对应法则互逆可以避免求解析式，简化运算． 4、（2011?上海）函数y=2sinx﹣cosx的最大值为． 考点：三角函数的最值。 专题：计算题。 分析：利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值． 解答：解：y=2sinx﹣cosx=sin（x+φ）≤ 故答案为： 点评：本题主要考查了三角函数的最值．要求能对辅角公式能熟练应用． 5、（2011?上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为x+2y﹣11=0． 考点：直线的点斜式方程；向量在几何中的应用。 专题：计算题。 分析：根据直线的法向量求出方向向量，求出直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程．
历年高考真题(数学文化)
历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积
2018广东省高职高考数学试题有答案
2018年广东省普通高校高职考试 数学试题 、选择题（共15小题，每题5分，共75 分） 1、(2018)已知集合 A 0,1,2,4,5 , B 0,2，则 Al 2. （2018）函数 f 3 4x 的定义域是（ 3. （2018）下列等式正确的是（ 6. （2018）抛物线y 2 4x 的准线方程是（ B 、x 1 C > y 1 D 、y 1 A. 1 B. 0,2 C. 3,4,5 D. 0,1,2 A 、lg5 lg3 Ig 2 B 、lg5 lg3 lg8 C 、 lg5 lg10 lg5 D > Ig — = 2 100 4.（ 2018 ）指数函数 的图像大致是（ 5. （2018） “ x 3 ”是 A 、必要非充分条件 C 、充分必要条件 x 2 9 ”的（ ） B 、充分非必要条件 D 、非充分非必要条件 C D
、,6, C 90，则（ ） tan A \ 2 D 、 cos(A B) 1 （ ） C 、 2 (1 2n 1) D 、 2 (1 2n ) uuu ，则BC （ ） 10. （2018）现有3000棵树，其中400棵松树，现在提取150做样本，其中抽取松树 做样本的有（ ）棵 A 、15 B 、20 C 、25 D 、30 x 3, x 0 … 11. （2018 f x 2 ，则f f 2 ( ) x 1,x 0 A 、1 B 、0 C 、 1 D 、 2 12. （2018） 一个硬币抛两次, 至少一次是正面的概率是（ ） " 1 1 2 _ 3 A 、丄 B 、丄 C 、一 D 、- 3 2 3 4 13. （2018） 已知点A 1,4 ,B 5,2，则AB 的垂直平分线是 ( ) A 、 3x y 3 0 B 、 3x y 9 0 C 、3x y 10 0 D 、3x y 8 0 14. （2018） 已知数列 a n 为等比数列， 前n 项和S n 3n 1 a ，则 a （ A 、 6 B 、 3 C 、0 D 、3 15. （2018）设f x 是定义在 R 上的奇函数，且对于任意实数 x ，有 f x 4 若f 1 3，则f 4 5 （ ） C 、4 A 、 sin A 2 B 、coA= .6 C 、 3 1 1 1 1 1 8.(2018)1 2 L n 1 2 22 23 24 A 、 2 (1 2 n ) B 、2 (1 21n ) uun 9.（2018）若向量 AB uuur 1,2 , AC 3,4 7. (2018)已知 ABC , BC 、、3, AC A 、 4,6 B 、 2, 2 C 、 1,3 D 、 2,2
2012广东高考数学试题及答案
2012年普通高等学校（广东卷） 数学（理科） 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 3、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 4、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的 高 线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。 N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.把复数的共轭复数记作z ，设（1+2i ）z =4+3i ，其中i 为虚数单位，则z i = A ． 2- i B. 2+ i C.1+2 i Ｄ．-1+2i 2．已知集合A={x ∣f(x)=3+x + 2 1 +x }，B={x ∣3x-7≤8-2x}，则A B ?为 Ａ．[3,-3] Ｂ．[3,-2）U （-2，-3] Ｃ．[3,-2) Ｄ．[-2，-3] 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于 Ａ．直线x=a 对称 Ｂ．点（a ，0）对称 Ｃ．原点对称 Ｄ．Y 轴对称 4.已知{}n a 是等比数列，且,20252,0645342=++>a a a a a a a n 那么，53a a +的值为 Ａ．45 Ｂ．35 Ｃ．25 Ｄ．15 5. 在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，E 是BC 边的中点，连 接DE 交AC 于点F 。已知→ → → → ==b AD a AB ,,则=→ OF A ．→→+b a 6131 B ．)(4 1→ →+b a C ．)(61→→+b a D ．→→+b a 4 161 6. 对于命题p 、q ，有p ∧q 是假命题，下面说法正确的是 A ．p ∨q 是真命题 B ．p ?是真命题 C ．q p ??∧是真命题 D. q p ??∨是真命题 7. 如图是某几何体三视图的斜二测画法，正视图（主视图）是等腰三角形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A.3 16 B.16 C.8 D. 4
2016年上海市高考文科数学试题及答案
2016年高考上海数学试卷（文史类） 考生注意： 1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32i i z += ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=： ，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）. 5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1 ()f x -=______. 7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥?? ≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 9 ．在2 )n x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线y =则OP BA ×uu u r uu r 的取值范 围是 .
2013年广东省高考数学试卷(理科)附送答案
2013年广东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2} 2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A．（2，4） B．（2，﹣4）C．（4，﹣2）D．（4，2） 4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为 X123 P 则X的数学期望E（X）=（） A．B．2 C．D．3 5．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（） A．4 B．C．D．6 6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（） A．B．C．D． 8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（） A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）?S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）?S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）?S，（x，y，w）?S 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为． 10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为． 12．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=． 13．（5分）给定区域D：．令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0， y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．
2014-2019历年高考文科数学函数真题全国卷
(2019-1-3)3. 已知3.02.022.022.0log ===c b a ，，，则 A. c b a << B. b c a << C. b a c << D. a c b << (2019-1-5)5. 函数],[cos sin )(2 ππ-++=在x x x x x f 的图像大致为 A. B. C. D. (2019-2-6)6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ． B ．e 1x -+ C ． D ．e 1x --+ (2019-2-11)11．已知a ∈（0， π 2 ），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15 B ．5 C ． D ． 25 (2019-3-12)12．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则 A ．f （log 314）＞f （3 2 2-）＞f （2 32-） B ．f （log 31 4 ）＞f （2 32-）＞f （3 22-） C ．f （32 2 - ）＞f （232 - ）＞f （log 3 14 ） e 1x --e 1x ---3
D ．f （23 2 - ）＞f （32 2 - ）＞f （log 3 14 ） (2018-1-12)12．设函数()20 1 0x x f x x -?=?>?，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是 A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞， (2018-1-13)13．已知函数()() 2 2log f x x a =+，若()31f =，则a =________． (2018-2-3)3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 (2018-2-12)12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =， 则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=L A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 (2018-3-7)7.下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+ (2018-3-9)9．422y x x =-++的图像大致为( ) x x x x D. C. B. A.
2013广东高考数学(理科)试题及详解
2013广东高考数学（理科）试题及详解 参考公式:台体的体积公式() 11221 3 V S S S S h = ++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{ } 2 |20,M x x x x =+=∈R ,{ } 2 |20,N x x x x =-=∈R ,则M N =( ) A . {}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2- 【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N ={}2,0,2-,故选D ． 2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,2 1y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是 ( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3 y x =与2sin y x =,故选 C ． 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2 【解析】C ；2442i z i i += =-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则X 的数学期望EX = ( ) A . 32 B ．2 C ．52 D ．3 【解析】A ；331153 12351010102 EX =?+? +?==,故选A ． 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ． 14 3 C ． 16 3 D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 1和2的正方形,高为2,故() 2222114 1122233 V = +?+?=,,故选B ． 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α?,n β?,则 //m n 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第5题图
2016年上海市高考数学试卷(文科)
2016年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）. 1．（4分）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为． 2．（4分）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于． 3．（4分）已知平行直线l 1：2x+y﹣1=0，l 2 ：2x+y+1=0，则l 1 ，l 2 的距离． 4．（4分）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是（米）． 5．（4分）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a= ．6．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f ﹣1（x）= ． 7．（4分）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为． 8．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为． 9．（4分）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于． 10．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于． 11．（4分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为． 12．（4分）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y= 上一个动点，则?的取值范围是．
13．（4分）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是． 14．（4分）无穷数列{a n }由k个不同的数组成，S n 为{a n }的前n项和，若对任意 n∈N*，S n ∈{2，3}，则k的最大值为． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）. 15．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E、F分别为BC、BB 1 的中点，则 下列直线中与直线EF相交的是（） A．直线AA 1B．直线A 1 B 1 C．直线A 1 D 1 D．直线B 1 C 1 17．（5分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（） A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
重庆市历年高考文科数学真题及答案详解
2005年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学试题卷（文史类） 数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率 k n k k n n P P C k P- - =) 1( ) ( 第一部分（选择题共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆 5 )2 (2 2= + +y x关于原点（0，0）对称的圆的方程为（） A． 5 )2 (2 2= + -y x B．5 )2 (2 2= - +y x C． 5 )2 ( )2 (2 2= + + +y x D．5 )2 (2 2= + +y x 2． = + -) 12 sin 12 )(cos 12 sin 12 (cos π π π π （）A．2 3 - B．2 1 - C．2 1 D．2 3 3．若函数 ) (x f是定义在R上的偶函数，在]0, (-∞上是减函数，且0 ) (= x f，则使得x x f的 ) (<的取值范围是（） A． )2, (-∞B．) ,2(+∞ C． ) ,2( )2 , (+∞ - -∞ D．（－2，2） 4．设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于（）A．（1，1）B．（－4，－4）C．－4 D．（－2，－2）
2017年广东省高职高考数学试卷及参考答案
2017年广东省高等职业院校 招收中等职业学校毕业生考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共15小题，没小题5分，满分75分.在每小题给出的四个只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合}5,4,3{},4,3,2,1,0{==N M ，则下列结论正确的是（ ）。 A. N M ? B. N M ? C. { }4,3=N M D. {}5,2,1,0=N M 2．函数x x f += 41)(的定义域是（ ）。 A. ]4, (--∞ B. ()4,-∞- C. ),4[+∞- D. ),4(+∞- 3．设向量a = )4,(x ，b = )3,2(-，若a . b ，则x=（ ）。 A. -5 B. -2 C. 2 D. 7 4．样本5，4，6，7，3的平均数和标准差为（ ）。 A. 5和2 B. 5和2 C. 6和3 D. 6和3 设0>a 且y x a ,,1≠为任意实数，则下列算式错误．．的是（ ）。 A. 10=a B. y x y x a a a +=? C. y x y x a a a -= D. 2 2)(x x a a =
2013年广东省高考数学理科试题(已编辑好)
2013年广东省高考数学理科试题(已编辑好)
绝密★启用前 试卷类型：A 2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科） 台体的体积公式h S S S S V )(3 12121 ++=，其中S 1，S 2分别表示台 体的上、下底面积，h 表示台体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合M={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ?=（ ） A ．{0} B ．{0，2} C ．{-2,0} D ．{-2,0,2} 2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ ） A ． 4 B ．3 C ．2 D ．1 3．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ．（2,4） B ．（2,-4） C ． (4,-2) D ．(4,2) 4．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望E （X ）=（ ） A ．23 B ．2 C ．2 5 D ．3 5．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ） A ．4 B ．314 C ．316 D ．6 X 1 2 3 P 53 103 101
7=_______． 13．给定区域D ： ?? ? ??≥≤+≥+0444x y x y x ，令点集T ={(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈ Z}是z =x +y 在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定____条不同的直线． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方 程为???==t y t x sin 2cos 2 （t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为L ，一座标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_________________． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 到D 是BC =CD ，过C 作⊙O 的切线交AD 于E ． 若AB =6，ED =2，则BC =______． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π ． （1）求)6(π-f 的值；（2）若)2,2 3(,53cos ππθθ∈=，求)32(πθ+f ． 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数
2019年上海高考数学(理科)试卷
2019年上海高考数学（理科）试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：i i +-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A I = . 3．函数1 sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 . 4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角 函数值表示）. 5．在6)2(x x -的二项展开式中，常数项等于 . 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为 V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V Λ . 7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范 围是 . 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角 6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf = =)(θf . 11择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别 是边BC 、CD | || |CD CN BC BM =，则?的取值范 围是 .
13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 （ ） （A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ?中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ?的形状是 （ ） （A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定. 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的 概率均为0.2，随机变量2ξ取值22 1 x x +、23 2 x x +、24 3 x x +、25 4 x x +、21 5 x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ ） （A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关. 18．设251sin πn n n a =，n n a a a S +++=Λ21. 在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74 E
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