分式不等式的证明与方法
分式
摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。
关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法
二．利用基本不等式法 均
值
不
等
式
即
：
利用不等式
∑
=n i y i x m i n 11
≥∑=∑=n
i y i n n
i x i n m
1
11)1(∑=-∑=n
i i
m
m y
x n
n
i i 1
2
1
1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一
类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+
a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1
，则有∑+=-n
i m
a a
i i 1
)
(1)(s
n n s m
n +≥
证明:(1)当m=1时，
∵n a a n
i i
n
i i
2
1
1
1
≥∑∑=-=，s
n a n
i i
2
1
1
≥∑=-，所以有：)1
1
(a a i n
i i +∑=-=∑∑==-+n
i i
n i i a a 1
1
1
≧s
n 2
+s=n(n
s s
n
+)
(2)当m=2时,
)1
1
(a a i n
i i +∑=-≧
n
m 2
1
-n
i i n
i m
a a ∑+=-1
)(1≧n )(
n
s
s n m
+
综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式
例3.设a,b,c 是正实数，求证：
23
≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b
a a c c
b +≥+≥+1
11 由排序不等式得：
≥+++++b a c a c b c b a b a a
a c c c
b b +++++ (1) ≥+++++b a
c a c b c b a b
a b
a c a c
b
c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（
b a
c a c b c b a +++++）3≥，所以2
3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n
i i n
i i 2
1
1
1
≥∑∑=-=
例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？
证明：1cos sin 2
2=+βα，不等式左边拆项得：
ββαcos sin sin cos 2
2
2
2
1
1
+
=
β
αβααsni
2
2
2
2
2
sin cos sin cos 1
1
1
+
+
又由于1sin sin cos sin cos 2
2222=++βαβαα
由倒数不等式有:
)
(sin sin cos sin cos 2
2
2
2
2
βαβαα++)1
1
1
(
2
2
2
2
2
sin cos sin cos β
αβααsni
+
+
≥9
所以原不等式成立
当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2
2222==即2tan ,1tan ==αβ时等
号成立。
利用柯西不等式法即利用)(1
R )(2
122
+==∈≤∑=∑∑b a b a b a i i n i i i n i i n i i i 来证明。
例
5、如果a a a n
>
>> (2)
1
，n ∈N,且n ≥3,求证
a a 211
-+a a 322
2-+…+a a n n n ---12
)1(+a
a n n 1
2
-≥0 证明：原不等式等价于
a a 211
-+a a 322
2-+…+a
a n n
n ---1
2
)1(≥
a
a n
n
-1
2
由柯西不等式得：
[（a 1-a 2）+（a 2-a 3）+（a n 1--a n ）][a a 211-+a a 322
2-+…+a a n n
n ---12
)1(]≥
[1+2+…+)1(2
-n ]=2
)]1([2-n n =
4
)1(2
2
-n n
当n ≥3时，4
)
1(2
-n ≥1
所以a a 211-+a a 322
2-+…+
a a n n
n ---12
)1(≥a a n n n
--12
2
4
)
1(≥
a a n
n
-12
（5）利用Grammer 法则，即
把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的
例6.设a i >0求证:
1
1
1
3
2
2
1
-≥
+++
+++
+-n n a
a a
a a
a
a a
a
n n
n
n
证明：令x a a a a n n 1132=+++-
x a a
a a n n 21
3
1
=+++-
……
x a
a a n n =++-1
2
1
设),2,1(n i a i =为未知数，显然此方程组的系数行列式D=)1()1(--n n
，用x i 分别替换D 中的第i 列得：),2,1]()1([1)1(n i n x x D i n
i i n
i =--=∑-=,y
由Grammer 法则有：
1
])1([1
---=
=∑=n n D
n
j i j
i
i x x
D
a ,故有：
a
a a
a a
a
a a
a
n n
n
n
1
1
3
2
2
1
-+++
+++
+
=
1
])1([1
1---∑=n n n
j j
x x
+
1
])1([1
2---∑=n n n
j j
x x
+…
1
])1([1
---∑=n n n
j n j
x x
)]
2([111
21
2
1
3
1
32--+++++++++-=-n n x n x
x x x x
x x x
x x x n
n n n
)]2()1([11
----≥
n n n n n =1
-n n 三．零点法即利用非负实数的性质)(0)(2
时等号成立b a b a =≥- 例7.设),2,1(,n i b a i
i =是正实数，且∑∑===n
i i
n
i i
b a 1
1
求证：∑∑==≥+n
i i n
i i
i i a b a a
1
1
2
21 证明：当b a i
i =时，不等式取等号，且2b a b
a a i
i i
i i +=
+ 构造不等式[
0)
2(2
≥+-+b a b a a i i i
i i
]即有：
04
32≥-+
+a b b a a
i
i
i
i i
，令i=1,2,…相互叠加，得：
04
31
1
2
≥-++∑∑∑===n n
i n
i i
i
n
i i
i
i
a
b b
a a ，因为∑∑===n
i i
n
i i
b a 1
1
，所以有∑∑
==≥+n
i i n
i i
i i
a b
a a 1
1
2
21 四。利用放缩法
对于某些分式不等式，抓住其特点，将分子分母进行适当的放缩处理，就能收到意想不到的结果。 例
8.设a,b,c,d 为任意正数，求证：
21<+++++++++++<
c
a d d
a d c c a c
b b d b a a
证明：首先分母缩小以证明右式
2=+++++++<+++++++++++d
c d
d c c b a b b a a c a d d a d c c a c b b d b a a
然后分母放大以证明左式
1
=+++++++++++++++>+++++++++++d
c b a d
d c b a c d c b a b d c b a a c a d d a d c c a c b b d b a a 所以原不等式成立。
五.换元法。
常用的换元方法有局部代换，整体代换，三角代换。 例9．（W.Janous 猜想）
设R z y x +∈,,求证：
02
2
2
2
2
2
≥+-+
+-
+
+-z
y y
x x
z z
x
y z x
y
证明:令原不等式左边为
M,,,,c z y b y x a x z =+=+=+则
R c b a c b z x b a y z a c x y +
∈-=--=--=-,,,,,,所以有：
abc
bc ab ca c
c b a b b a c a a c b M a c b b
a
a
c
c
b )()()()(2
222
2
2
2
2
2
++-++=
-+-+-= 因为ca bc ab b c b b a
a b
a
a
c
c a c c
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2,2,2≥+≥+≥+，所以有：
bc ab ca a c b b
a
a
c
c
b 2
22
2
222
2
2(++≥++，
故M>0,当且仅当z y x ==时等号成立，所以原不等式成立。（局部代换） 例10.已知a,b,c,d R +∈,且111112
2
2
22
22
2
=+++++++d
d c c b b a
a
，求证：91≤abcd
证明：设
αt
a n =a ，
则
))2,0((,1sin 2
2
2
παα∈=+a
a ，，又设))
2
,0(,,(,tan ,tan ,tan π
σγβσγβ∈===d c b ，由
1
s i n s i
n s i
n s i
n 2
2
2
2
=+++σγβα，有
σγβαc
o s
s
i n s i
n s
i
n s i
n 2
2
2
2
2
1=-=++，则有
：)
1(3cos sin sin sin sin sin sin 22
2
2
3
22
2
σγβαγβα=++≤?，
同
理
:
)
2(3cos sin sin sin sin sin sin
2
222
3
222
γσβασβα=++≤?,)
3(3cos sin sin sin sin sin sin 2
2
2
232
2
2
αγβσγβσ=++≤?,
)4(3cos sin sin sin sin sin sin
2
2
2
2
3
2
2
2
βγασγασ=++≤?，
（1）?（2）?（3）?（4）得: σγβασγβαcos cos cos cos sin sin sin sin 2
2
2
2
2
2
2
2
81≤
即：81
1tan tan tan tan 2
222≤
σγβα 所以有：9
1≤abcd
代数不等式的三角代换，常利用同角万能公式将常数化为三角函数。 整体代换
例11 已知R c b a +∈,,,且1111=+++++c
c b b a a ,求证：12111222≥++c
b a 证明：由已知得:
1111111111=++
++
+c
b
a
,设,111a
x +=
,111b
y +=
,111c
z +=
则有:
,111-=x a ,111-=y b ,111-=z
c 且
1
=++z y x ，所以：
8222)11)(11)(11(1=??≥+?+?+=---=zyx
zx
xy yz z y x y x z x z y z y x abc ，所以81≤abc ，
所以：12
3
3
1
1
1
3
6
2
3
222
2
2
2
=≥
≥
+
+
-c
b a c
b a
六．构造法
构造法通常是指构造函数，构造数列，构造对偶式，构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具。 构造对偶式也叫配对法
例12.已知a,b,c 均为正数，求证:3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
c
b a ca b
c ab a
c
c
c
b
b
b
a
a
++≥
++++++++ 证
明：
设
,2
2
3
2
2
3
2
2
3
a
c
c
c
b
b
b
a
a
ca bc ab M +++
+++
++=
a
c a c b c b a b ca bc ab N 2
2
3
2
2
3
2
2
3+++
+++++=
则M-N=0
即M=N,又a
c
a c c
b
c b b
a b
a ca ca a c bc bc c
b ab ab b a N M 2
2
22
2
2
22
2
2
22
)()()(+++-?+++++-?+++++-?+=+，由基本不等式
得：3
13131
2
22
2222
22
2
22
≥+++-≥+++-?≥+++-a c a c c b c b b
a b
a ca ca bc bc a
b ab ，所以有:3)(2
c b a N M ++≥+,又M=N,故3c
b a M ++≥
利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。 例13设R y x ∈,，且满足1,1< xy y x -≥ - +-12 11112 2 证明：因为1,1< 2 <<<< x 由无穷等比数列求和公式q s a -=11 得出数列的求和有： ++ ++ +=++ + ++++=- +-)()(2)1()1(11114 4 2 2 4 2 4 2 2 2 y x y x y y x x y x xy xy y x -=+++≥122222 2 构造模型 例14.设x,y 是正数，求证： 2 112112 2 212 2a a a a +++≤ +?? ? ??+ 证明:原不等式等价于不等式： a a a a a a 22 212 2 1121121122+++≤+++?? ? ??+?? ? ??+ 当a a 21=时，等号成立，故左端为最小。可利用光学原理的最短线路模型构造图形，作线段a a BC 21+=，以BC 的中点M 为顶角，作直角三角形AMB,DMC ，使AB=DC=1，则有2 21 a a MC BM +==，再设 BC 上任意一点P ，令a a PC BP 21,==，连接AP,PD ，根据光线直进为最 短 路 线 原理 知： AM+MD ≤ AP+PD,有 a a a a a a 2 2 2 12 2 1121121122+++≤++ +?? ? ??+??? ??+ 所以原不等式成立。 利用函数性质巧构造函数式 例15 已知R c b a +∈,,，且a+b+c=1，求证01)13(1)13(1)13(2 2 2 ≥+-+ +-+ +-c b a c c b b a a 证明：构造函数x x x f 2 1)(+= ，易知在(0,1)上为增函数，所以对任意 )1,0(∈x ，有0)1031)(31(2≥-+-x x x ,则)13(103 1)13(2 -≥+-x x x x ，分别令x=a,b,c ，代入上式相加得： 0]3)(3[10 3 1)13(1)13(1)13(2 2 2 ≥+++≥ +-+ +-+ +-c b a c c b b a a c b a 所以原不等式成立。 有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现，它的特点是 不等式的一边是形如 c b a b a a c b b a a a ±±±±, , , 2 2 的式子，通过构造向量并利用b a b a ?≥，可得到这类分式不等式的简捷证法，且构造向量的方法思路单一，操作方便。 例16 已知R c b a +∈,,，求证:2 2 2 2 c b a b a a c c b c b a ++≥ ++ ++ + 证明：构造向量),,(),,,( b a a c c b v b a c a c b c b a u +++=+++= 由v u v u ?≥有:c b a c b a b a a c c b c b a ++≥++?++ ++ +)(22 2 2 平方整理后得： 2 2 2 2 c b a b a a c c b c b a ++≥ ++ ++ + 七．类比法 有的不等式难于找到证法，则多观察，多联想，多分析，多比较，利用相似思想来找出证明的方法。 例17任给13个实数，求证其中至少存在两个实数（记作:x,y ）满足 3210-≤+-≤ xy y x 分析:考虑到13与xy y x +--1,32的联系，从结构看与三角的正切公式相似，又12 tan 32π =-，故可以从此入手求证。 证明：设任给13个实数，记作))2,2(,3,2,1(n ta ππθθ-∈=i i i ，将),2 2(ππ -等分成12个区间，则θi 至少有两个角的终边落在同一区间（不落在y 轴上),令这两个角分别为)(,βαβα≠，则12 0π βα≤ <<，再令βαtan ,tan ==y x ，则xy y x +-=-1)tan( βα。由 于正切函数是增函数，且有3212 tan -=π ，所以321)tan(0-≤+-≤ -≤xy y x βα 八 利用局部不等式证明分式不等式 对于一些和式，积式的分式不等式证明题，很多情况都无法从整体下手，往往需要先考虑局部式子的特征，想办法估计局部性质，导出一些局部不等式，最后再结合这些局部不等式，就会山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，很完美的达到证明的目的。 例18若a,b,c>0,且a+b+c=1.求证： 91313132 2 2 ≤++++++++c b a c b a 分析：这个和式分式不等式，要从整体下手有一定的困难，于是我们考虑局部不等式。并且很容易看出这个不等式是当且仅当3 1===c b a 时，取等号的，然后我们就可以尝试构造局部不等式。 证明：()0) 1(10) 3(3)13(10 3 13,1,0,,2 22 13≤+-=--+++∴=++>-a a a a a a c b a c b a 且 )1(3)13(10 3 132 ≤-+++∴a a a )2(3)13(10 3 132 ≤-+++b b b )3(3)13(10 3 132 ≤-+++∴ c c c （1）+（2）+（3）得:91313132 2 2 ≤++++++++c b a c b a 九用互叠法证明分式不等式 对于一类分式不等式的证明题，如果大胆地左右两边互叠相加，兴许产生意料不到的奇迹。 定理1.欲证明不等式P>Q 只需证明不等式P+Q>2Q 例19.设c b a >>求证：c b a c b b a b a ++>-+ -22 2 证明：设 c b a Q c b b a P b a ++=-+ -= 2,2 2 ，考察新不等式 Q c b a c b b a c b c b c b b a b a Q P b a 2)(2)22(22)22()( )( 2 2 =++=+++>++-+-+-+-=+ 显然P+Q>2Q,依据定理1，知P>Q ，故原不等式成立。 (注：此处不能取等号，因为b c b c b a b a b a b a 2, 22 2 ≥-+-≥-+-等号不能同时 成立) 定理2：欲证明不等式Q P ≥,只需证明新不等式Q Q P 2≥+ 例20.若R c b a + ∈,,，求证：2 2 2 2 c b a b a a c c b c b a ++≥ ++ ++ + 证 明 ： )4 ()4()4(22 2 2 2 2 2 b a b a a c a c c b c b c b a b a a c c b Q P c b a c b a +++++++++++=++++++++=+ Q c b a 2=++≥，即Q Q P 2≥+,所以原不等式成立 这几种证明方法会让我们加深对分式不等式的理解，让我们对分式不等式不会再发愁，为证明分式不等式指明了捷径。 参考文献： 《用“零件不等式”证明一类积式不等式》 蒋明斌 《不等式的解题方法与技巧》 苏勇 熊斌 《不等式》 西南大学出版社 《一类竞赛题的新证法》 滕曙霞 《数学奥林匹克标准教材》 周沛耕 王博程 《数学分析的方法及例题选讲》徐利治《一类分式不等式的解法》李建潮 《数学奥林匹克问题》郭要红 《一个奥赛不等式的几种解法》孙建斌 《一道数学奥林匹克问题的解法探讨》朱华伟 分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak === ∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++ 分式方程和分式的化简与求值 【知识要点】 1分式和分式方程的定义。 2、 分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。 3、 注意整体代入的思想方法。 1 学会x 的应用。 4、 学会等比设k 法的应用。 5、 x (4) (1 )要使分式 A. X 1 ——有意义，则 x 1 B. x x应满足的条件是 (2) (3) A. (2009年吉林省)化简 x 2 化简 B.亠 x 2 时, C. x 分式一1—无意义. x 2 xy 2y 4x -的结果是( 4 C. D. 3x 2 2 x 5x 6 2 x 4x 3 (5) b 2b D. x 1 2 2 a b 2 4ab 4b 例3. (1)已知1 13，求分式2a 3ab 2b 的值。 a b a ab b a2 2ab 3b2 2，求二 2 a2 6ab 7b2 的值。 例8 .已知a 、 c 满足 ab 1 _b^ 3， b c 1 ca 4‘c a 1 abc ，求分式 的 值。 例5 .已知a b - b c d 例4 .已知：X 1 xy 2 2 0，试求丄 xy III 1 x 2000 y 2000 的值。 的值。 例6. 已知 4 x(x24)A x Bx C C，则A 4 ,B,C 2 x 例7. 若x1 x 3，求 4 x 2 x 2 x 的值。 1 2 、选择题 1?将分式中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（ x y 结 果 是 ( ) a 1 A 、 x 6. 使分式 有意义的 2x 4 =2 工 2 C.x= -2 7. 下列等式成立的是（ a b 的值为 _________________ A 、扩大2倍； B 、缩小2倍； C 、保持不变; D 、无法确定; 3?计算 的正确结果是 4.若 x 2 0,则 2.3 2 2 .的值等于（ （X 2 X ）2 1 3 B. C. .3 D. .3 或 3 5?某人上山和下山走同一条路，且总路程为 =千米，若他上山的速度为 千米/时，下山的速度为千 米/时，则他上山和下山的平均速度为 a b 2ab A. B. 2 a C. b ( ab a b D. ) 2s a b A. (-3 ) -2 =-9 B. ( -3 ) -2 =丄 C. 9 12\ a ) 2 =a 14 已知 a 2 6a 9与b 1互为相反数,则式子 练习 a 2 的取值范围是（ 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 专题训练(一) 分式化简求值常见题型归纳 ? 类型一 代入求值型 一、直接代入型 1．先化简，再求值：? ????a 2 a －1＋11－a ·1a ，其中a ＝－12. 二、选择代入型 2．先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷? ????2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值． 3．若a 满足－3≤a≤3，请你选取一个合适的数a 使得代数式a 2－1a ÷? ?? ??1－1a 的值是一个奇数． 三、整体代入型 4．已知x ，y 满足x ＝5y ，求分式x 2－2xy ＋3y 2 4x 2＋5xy －6y 2的值． 5．已知a ＋b b ＝52，求a －b b 的值． 6．若1a －1b ＝12，求a －b ab －ab a －b 的值． 7．已知1x ＋1y ＝5，求2x －3xy ＋2y x ＋2xy ＋y 的值． 8．已知a 满足a 2＋2a －15＝0，求1a ＋1－a ＋2a 2－1÷（a ＋1）（a ＋2）a 2－2a ＋1 的值． 9．已知t ＋1t ＝3，求t 2＋? ?? ??1t 2的值． 10．已知x ＋1x ＝4，求x 2x 4＋x 2＋1 的值． ? 类型二 设比例系数或用消元法求值 11．已知2a －3b ＋c ＝0，3a －2b －6c ＝0，abc ≠0，则a 3－2b 3＋c 3a 2b －2b 2c ＋3ac 2＝________． 12．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值． ? 类型三 利用非负数的性质挖掘条件求值 13．已知x 2 －4x ＋4与|y －1|互为相反数，则式子? ????x y －y x ÷(x ＋y)的值为________． 14．已知??????x －12x －3＋? ?? ??3y ＋1y ＋42 ＝0，求32x ＋1－23y －1的值． ? 类型四 值恒不变形 15．已知y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x －x ＋3，试说明不论x 为任何使原式有意义的值，y 的值均不变． 详解详析 1．解：原式＝????a 2 a －1－1a －1·1a ＝a 2－1a －1·1a ＝（a ＋1）（a －1）a －1·1a ＝a ＋1a . 当a ＝－12时，a ＋1a ＝－12＋1－12 ＝－1. 2．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －（x －1）x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1 . 由题意，可取x ＝2代入上式，得x 2x －1＝22 2－1 ＝4.(注意：x 不能为0和±1) 3．解：原式＝a ＋1.由原代数式有意义，得a ≠0且a ≠1，又代数式的值是奇数，且－3≤a ≤3，所以a ＝±2. 4．解：由已知可得y ≠0，将分式的分子、分母同除以y 2，得原式＝????x y 2 －2·x y ＋34·????x y 2＋5·x y －6. 又已知x ＝5y ，变形得x y ＝5，将其代入原式，得????x y 2－2·x y ＋34·????x y 2＋5·x y －6 ＝52－2×5＋34×52＋5×5－6＝18119. 5．[解析] 由a －b b ＝a ＋b －2b b ＝a ＋b b －2，再将已知条件代入该式即可求解． 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 分式化简求值练习题库(经典精心整理) 1．先化简，再求值： 12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、（2011?綦江县）先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值：，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、化简： b a b a b a b 3a -++-- 7、（2011?曲靖）先化简，再求值： ，其中a=． 8、（2011?保山）先化简211111 x x x x -÷-+-（），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、（2011?新疆）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9，其中x = 10–3 11、（2011?雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值： 12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、（2011?泸州）先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212 x x --≤?? 求值：2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18．先化简，再求值：? ?? ??1＋1x －2÷x 2 －2x ＋1x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简：÷．（2）化简：22a b ab b a (a b )a a ??--÷-≠ ??? 22、先化简，再求值： ，其中． 23请你先化简分式2223691,x 1211 x x x x x x x +++÷+--++再取恰的的值代入求值. 24、（本小题8分）先化简再求值()1 21112222+--++÷-+a a a a a a 其中a=3+1 25、化简，其结果是． 3 化简求值题 1． 先化简，再求值： 12112---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值： ，其中a=﹣1． 3、（2011?綦江县）先化简，再求值： ，其中x=． 4、先化简，再求值： ，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0． 6、化简： b a b a b a b 3a -++-- 7、（2011?曲靖）先化简，再求值： ，其中a=． 8、（2011?保山）先化简211111 x x x x -÷-+-（ ），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． 9、（2011?新疆）先化简，再求值：（ +1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18x 2 – 9 ，其中x = 10–3 11、（2011?雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算． ． 12、先化简，再求值： 12-x x (x x 1--2),其中x =2. 13、（2011?泸州）先化简，再求值： ，其中． 14、先化简22( )5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --≤?? 16、（2011?成都）先化简，再求值：232( )111 x x x x x x --÷+-- ，其中x = 17先化简。再求值： 2222121111a a a a a a a +-+?---+，其中12 a =-。 18． 先化简，再求值：? ????1＋ 1 x －2÷ x 2 －2x ＋1 x 2－4，其中x ＝－5． 19. 先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+?? ，其中x 是一元二次方程2220x x --=的正数根. 20 化简，求值： 111(1 1222+---÷-+-m m m m m m ） ，其中m =． 21、（1）化简： ÷． （2）化简：22a b ab b a (a b )a a ??--÷-≠ ??? 22、先化简，再求值： ，其中． 3 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.sodocs.net/doc/2a6631983.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.sodocs.net/doc/2a6631983.html,) 原文地址： https://www.sodocs.net/doc/2a6631983.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 专题训练七分式化简求值 解题技巧 Prepared on 21 November 2021 【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果242114x x x =++，那么42251553x x x -+= 。 （2）若 a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-=+-+ 。 例2、若a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++，则a b c 、、中 （ ） A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等 例3、化简求值：22214( )2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-= 。 例4、已知2410,a a ++=且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值。 例5、已知a b c 、、满足222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-。 针对性训练 1、已知30,x y -=那么22 2()2x y x y x xy y +?-=-+ 。 2、已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y -= 。 3、已知0abc ≠，且 a b c b c a ==，则3223a b c a b c ++=-- 。 4、已知2310x x -+=，则2 421 x x x =++ 。 5、已知0abc ≠，0,a b c ++=则111111()()()a b c b c c a a b +++++= 。 6、已知323x y -=，则23796x y xy xy y x --=+- 。 7、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则代数式222 222 522310x y z x y z +-=-- 。 分式的化简 一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 中考要求 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值：21 1 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 2221 (1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，安徽省中考 【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-?? -÷=?= ?----??- 例题精讲 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 1． 先化简，再求值：1 2 112 ---x x ，其中x ＝－2． 2、先化简，再求值：，其中a=﹣1． , 3、（2011?綦江县）先化简，再求值：，其中x=． — 4、先化简，再求值：，其中． 5先化简，再求值 ，其中x 满足x 2 ﹣x ﹣1=0． ? 6、化简：b a b a b a b 3a -++ -- 、 7、（2011?曲靖）先化简，再求值：，其中a= ． 8、（2011?保山）先化简2 11 111 x x x x -÷-+-（ ），再从﹣1、0、1三个数中，选择一个你认为合适的数作为x 的值代入求值． : 9、（2011?新疆）先化简，再求值：（+1）÷，其中x=2． 10、先化简，再求值：3x –3 – 18 x 2 – 9 ，其中x = 错误!–3 * 11、（2011?雅安）先化简下列式子，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．． # 12、先化简，再求值：12 -x x (x x 1 --2),其中x =2. | 13、（2011?泸州）先化简，再求值：，其中 ． 14、先化简22()5525x x x x x x -÷ ---，然后从不等组23212x x --≤??
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