2014自主招生专题讲座物理

2014自主招生专题讲座物理

专题1.参考系 相对运动与连接体的速度关联

〖知识要点〗

（1）灵活利用参考系解决物理问题，尤其是涉及两个物体的运动问题 ；【例1-1】 （2）速度变换关系：A C A B B C v v v →→→=+【例1-2】【例1-3】 （3）连接体的速度关联

杆或（张紧的）绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的速

度分量； 【例1-4】

一个转动的物体的速度的特征是：同一时刻的角速度必定相等；【例1-5】 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的速度分量必定相等。【例1-5】 （4）用微元法求物体的速度加速度【例1-6】

（5）利用导数示物体的速度加速度【例1-7】【例1-8】

〖典型例题〗

（1）灵活利用参考系解决物理问题，尤其是涉及两个物体的运动问题 ；【例1-1】 【例1-1】t =0时刻从水平地面上的O 点在同一铅垂面上同时朝图示的两个方向发射初速率分别为v A =10m/s 和v B =20m/s 的两个质点A 、B ，试问t=1s 时A 、B 相距多远? m 310

（2）速度变换关系：A C A B B C v v v →→→=+【例1-2】【例1-3】

【例1-2】如图所示, 一列相同汽车以等速度V 沿宽度为C 的直公路行驶,每车宽为b ,头尾间距为a 则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少?

【例1-3】超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪器。一种超声波流量计的原理示意图如图所示。在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外表面上P 1和P 2处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器T 1、T 2和接收器R 1、R 2。位于P 1处的超声波脉冲发射器T 1向被测液体发射超声脉冲，当位于P 2处的接收器R 2接收到超声脉冲时，发射器T 2立即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从P 1传播到P 2所经历的时间t 1和超声脉冲从P 2传播到P 1所经历的时间t 2，又知道了P 1、P 2两点间的距离l 以及l 沿管道轴线的投影b ，管道中液体的流速便可求得u 。试求u 。

222

（3）连接体的速度关联 【例1-4】两只小环O 和O '分别套在静止不动的竖直杆AB 和B A ''上。一根不可伸长的绳子，一端系在A '点上，绳子穿过环O ',另一端系在环O 上。如图所示，若环O '以恒定速度V 1沿杆向下运动,∠ AO O '=α。求环O 的运动速度为多大?

【例1-5】如图所示，AB 杆的A 端以匀速V 运动，在运动时杆恒与一水平半圆相切，半圆的半径为R ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度及杆上与半圆相切点C 的速度和杆与圆柱接触点C 1的速度的大小。

（4）用微元法求物体的速度加速度 【例1-6】（复旦03）A 、B 、C 三质点同时从边长为L 的等边三角形三顶点A 、B 、C 出发，以相同的不变速率v 运动，运动中始终保持A 朝着B ，B 朝着C ，C 朝着A ，则经过时间t =_______后三质点相遇，当他们开始运动时加速度大小a =________________。

（5）利用导数示物体的速度加速度

【例1-7】（11华约）如图，纸面内两根足够长的细杆ab 、cd 都穿过小环M ，杆ab 两端固定，杆cd 可以在纸面内绕过d 点并与纸面垂直的定轴转动。若杆cd 从图示位置开始，按照圈中箭头所示的方向，以匀角速度转动，则小环M 的加速度

A ．逐渐增加

B ．逐渐减小

C ．先增加后减小

D ．先减小后增加

【例1-8】如图所示，一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a 的匀加速度直线运动，在半圆柱体上放置一个竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v 时，杆与半圆柱体接触点P 与圆柱柱心的连线OP ，与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。

专题2.抛体运动、一般的曲线运动与天体运动

〖知识要点〗

（1）熟练运用基本规律，【例2-1】【例2-2】灵活运动特殊规律【例2-3】 （2）巧妙运动矢量的合成与分解【例2-4】 【例2-5】 【例2-6】

（3）求解天体运动问题的基本方法：（1）天体运动的基本认识，如地球经度纬度，第一二宇宙速度，开普勒三定律等；

（2）引力势能的表达式p Mm

E G

r

=-； （3）能量动量在天体运动中的应用，圆轨道卫星的总机械能为r

Mm

G

E 2-=，椭圆轨道的总机械能a

Mm

G

E 2-=。 【例2-10】 【例2-11】 【例2-12】 【例2-13】 【例2-14】 【例2-15】

〖典型例题〗

（1）熟练运用基本规律，灵活运动特殊规律

【例2-1】（10北约）物体做如图所示的斜抛运动，

（1）已知抛出速度V 和抛射角θ，求物体的水平位移S 。 （2）假设一个人站在光滑冰面上，以相对自己的速度V o 斜向上抛出一个球，当小球下落至抛出点高度时，水平位移为L ，设人与球的质量分别为M 和m ，求抛出速度V o 的最小值，以及小球抛出时速度与水平方向的夹角θ

【例2-2】大炮在山脚直接对着倾角为α的山坡发射炮弹，炮弹初速度为V 0，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角度为多少？最远射程为多少？

【例2-3】在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h ，若出手时速度为V 0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？

（2）巧妙运动矢量的合成与分解【例2-4】 【例2-5】 【例2-6】

【例2-4】距河岸（看成直线）500m 处有一静止的船，船上的探照灯以转速n =1r/min 转动，当光束与岸边成60?角时，光束沿岸边移动的速率等于多少？

【例2-5】如图1-2-10所示装置,设杆OA 以角速度ω绕O 转动,其A 端则系以绕过滑轮B 的绳,绳子的末端挂一重物M.已知OB=h,当∠OBA=α时，求物体M 的速度.

【例2-6】有一只狐狸以不变的速度v 1沿直线AB 逃跑，一只猎犬去追击。

（1）若猎犬以不变的速度追击。某时刻狐狸在A 处，猎犬在D 处，且FD⊥AB，FD=a ，AF=b ，如图所示。试求猎犬追上狐狸的最小速度。

（2）若猎犬以不变的速率v 2追击，且其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，且FD⊥AB，FD=L ，如图所示。试求此时猎犬的加速度大小

（3）承第二问，从此时开始计时，需多长时间，猎犬追上狐狸？

S

（3）求解天体运动问题的基本方法：（1）天体运动的基本认识，如地球经度纬度，第一二宇宙速度，开普勒三定律等；

（2）引力势能的表达式p Mm

E G

r

=-； （3）能量动量在天体运动中的应用，圆轨道卫星的总机械能为r

Mm

G

E 2-=，椭圆轨道的总机械能a

Mm

G

E 2-=。 【例2-7】 【例2-8】 【例2-9】 【例2-10】 【例2-11】 【例2-7】实践证明，开普勒定律也适用于人造地球卫星的运动。若人造卫星沿半径为r 的圆形轨道绕地球运动，开动制动发动机后，卫星速度降低并转移到与地球相切的椭圆轨道运行，问此后卫星经多长时间着陆?设空气阻力不计，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g 。

【例2-8】（11北约）将一天的时间记为T ，地面上的重力加速度为g ，地球半径记为R e 。 1．试求地球同步卫星P 的轨道半径R p ；

2．赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P ；

（1）假设P 的运动方向突然偏北转过450，试分析地判定而后当地居民一在能有多少机会可看到P 掠过城市上空？

（2）取消（1）问中的偏转，改设P 从原来的运动方向突然偏西北转过1050，再分析地判定而后当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空？

3．另一个赤道城市B 的居民，平匀每三天有四次机会可看到某卫星Q 自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径。

【例2-9】质量为m 的行星在质量为M 的恒星引力作用下，沿半径为r 的圆周轨道运行。要使该行星运行的轨道半径增大1%，外界要做多少功？（行星在引力场中的势能为E P =-GMm /r ，其中G 为引力常数）

【例2-10】质量为m 的人造地球卫星，在圆轨道上运行，运行中受到大小恒为f 的微弱阻力作用，以r 表示卫星轨道的平均半径，M 表示地球质量，求卫星在旋转一周过程中： （1）轨道半径的改变量?r ； （2）卫星动能的改变量?E k 。

【例2-11】（交大06）在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起绕行星做圆周运动，其速率为v ，飞船与登陆艇的质量均为m ，行星的质量为M ，万有引力恒量为G 。 （1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期与轨道半径R 。

（2）在启动返程时，飞船上火箭做一段时间的喷射，使登陆艇和飞船分离，且分离方向与速度方向平行，若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。求刚分离后登陆艇的速率u 。

（3）飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能E ?。 [本题所有答案以G 、M 、m 与v 表示之]

专题3.力和运动的关系

〖知识要点〗

（1） 三力汇交原理 【例3-1】

（2） 一般物体的平衡 【例3-2】 【例3-3】 （3） 运动过程分析【例3-4】 （4） 非惯例性系问题【例3-5】【例3-6】【例3-7】 （5） 瞬时性问题 【例3-8】 【例3-9】

（6） 流体力学问题 【例3-10】 【例3-11】 （7） 质心运动定理 【例3-12】

（8） 动力学中的极值问题 【例3-13】【例3-14】【例3-15】

〖典型例题〗

（1）三力汇交原理 【例3-1】

【例3-1】（13华约）一个人最多能提起5kg 的重物。在一个固定的，倾斜角为15°，摩擦系数为的斜面上有一个质量为m 的重物，求人能够向上拖动的物体质量的最大值。

（2）一般物体的平衡 【例3-2】 【例3-3】

【例3-2】（10北约）如图，一个质量M 、棱边长为L 的立方体放在粗糙

的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。

【例3-3】（12北约）车轮是人类在搬运东西的劳动中逐渐发明的，其作用是使人们能用较小的力量搬运很重的物体。假设匀质圆盘代表车轮，其它物体取一个正方形形状。我们现在就比较在平面和斜面两种情形下，为使它们运动（平动、滚动等）所需要的最小作用力。假设圆盘半径为 b ，正方形物体的每边长也为 b ，它们的质量都是 m ，它们与地面或斜面的摩擦因数都是μ，给定倾角为θ的斜面。 （1）使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上运动，需要的最小作用力 F 1是多少？ （2）在斜面上使正方形物体向上运动所需要的最小作用力 F 2是多少？

（3）在斜面上使圆盘向上运动所需要的最小作用力 F 3是多少？限定 F 3沿斜面方向。

（3）运动过程分析【例3-4】

【例3-4】（13北约）如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端A 向上有三个等间距点B 1、B 2和B 3，

即11223AB B B B B ==。小滑块P 以初速v 0从A 出发，沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑块到达B 3位置刚好停下，而后下滑。若设置斜面AB 1部分与滑块间有处处相同的摩擦，其余部位与滑块间仍无摩擦，则滑块上行到B 2位置刚好停下，而后下滑。滑块下滑到B 1位置时速度大小为_______，回到A 端时速度大小为___________。

（4）非惯例性系问题【例3-5】【例3-6】【例3-7】

【例3-5】如图所示的轻滑轮跨有一轻绳，绳的两端连接着质量分别为1 kg 和2 kg 的物体A 和B ，现以50 N 的恒力F 向上提起滑轮的轴，A 和B 的加速度各为多少？不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦。

A 的加速度为15m/s 2

，B 的加速度为2.5m/s 2

方向均垂直向上）

【例3-6】长为2b 的轻绳，两端各系一个质量为ｍ的小球，中央系一个质量为Ｍ的小球，三球静止在光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，现给中间球施加一个垂直于绳方向的恒力Ｆ，分析当绳端的两球发生碰撞的瞬间绳中的张力以及绳端小球横向速度的大小？

【例3-7】别为l 1和l 2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m 的两个小球，如图，它们处于平衡状态，突然连接两绳的中间小球受水平向右的冲击（如另一球的碰撞），瞬间内获得水平向右的速度V 0，求这瞬间连接M 2的绳子的拉力为多少？

（5）瞬时性问题 【例3-8】 【例3-9】

【例3-8】如图所示,装水的容器中有一个木球被弹簧拉住,当容器发生下列运动时,哪些判断是正确的? (A)容器加速下降时,弹簧将变短 (B)容器加速下降时,弹簧将不变 (C)容器加速上升时,弹簧将变长 (D)容器减速上升时,弹簧将变短

【例3-9】一根长为3l 的轻杆上固定质量分别为M 1和M 2的两个重物，它们之间的距离以及分别到杆两端的距离相等。用两根竖直的绳子系在杆的两端，使杆水平放置且保侍平衡状态，如图。试求当右边绳子被剪断时刻左边绳子的拉力T 。

（6）流体力学问题 【例3-10】 【例3-11】 【例3-10】（交大07）如图所示，U 形管竖直固定在静止的平板车上，U 形管竖直部分和水平部分的长度均为l ，管内充有水银，两管内的水银面距离管口均为2/l ．若将U 形管管口密封，并让U 形管与平板车一起作匀加速运动，运动过程中U 形管两管内水银面的高度差为6/l ，求（1）小车的加速度；（2）U

形管

底部中央位置的压强．（设水银质量密度为ρ，而大气压强恰好为gl P ρ=0，空气温度不变）

【例3-11】（交大07）如图为体积不可压缩流体中的一小段液柱，由于体积在运动中不变，因此当S 1面以速度v 1向前运动了x 1时，S 2面以速度v 2向前运动了x 2，若该液柱前后两个截面处的压强分别为p 2和p 1，利用功能关系证明流体内流速大的地方压强反而小（忽略重力的作用及高度的变化）．

（7）质心运动定理 【例3-12】

【例3-12】俄罗斯科学家根据同步卫星在地球同步轨道上的飞行原理首先提出了“太空电梯”的构想，以方便向太空实验室运送人员或补充物资。英国科学家阿瑟.克拉克在他1978年出版的小说《天堂喷泉》中使这一构想广为人知。太空电梯的主体是一个永久性连接太空站（同步卫星）和地球基站的缆绳，通过太阳能驱动的“爬行器”沿着缆绳可爬上太空，试分析说明：该太空站（同步卫星）与通常意义上的地球同步卫星相比，离地面的高度哪个更大？

（8）动力学中的极值问题 【例3-12】【例3-14】【例3-15】 【例3-13】半径为r=9.81 cm 的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转．在角速度ω1=5 rad/s 时，物体在平衡状态对器壁的压力为N 1=10-2N 。在平衡状态，物体在什么角速度ω2下对器壁的压力N 2＝4×10-2N ？物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计。重力加速度为g=9.81 m/s 2。

【例3-14】（1）如图中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为M ，位于水平地面上，B 是一质量为m 的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A 始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？绳子的最大拉力是多少？（设A 不会发生转动）

【例3-15】如图所示，质点A 沿半圆弧槽B 由静止开始下滑，已知B 的质量为M ，质点的质量为m ，槽的半径为R 且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A 下滑到任意位置θ角时B 对A 的作用力．

专题4.动量能量综合问题

〖知识要点、典型问题与方法〗 (1)动量定理的应用 p t F ??=

(2)动量守恒定律及其应用221

12211v m v m v m v m '+'=+ 动量守恒的矢量性：一维问题，二维问题

动量守恒的同一性：相对运动—不同参考系之间的速度变换 （3）三种基本碰撞的特点与应用

弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足—— 2

212211v m v m v m v m '+'=+

22221

12

222112

1212121v m v m v m v m '+'=+

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

2

12212112)(m m v m v m m v ++-='

2

11122122)(m m v m v m m v ++--='

对于结果的讨论：

①当m 1 = m 2 时，21v v ='，12

v v

='，称为“交换速度”； ②当m 1 <

，小物碰大物，原速率返回； ③当m 1 >>m 2 ，且02=v 时，11v v =' ，12

2v v

='。 非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律

完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有

2

1221121m m v m v m v v ++='='

（4）动量问题中的能量关系，如碰撞过程中，有f i E E ≥；内力为滑动摩擦力的情况下，有

fs E E E f i =-=?等。

（5）数学方法的应用，如多次相互作用中可能用到的数学归纳法等。

（1）理论考查——参考系问题

【例4-1】一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u 作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。

【例4-2】（10华约）A 、B 、C 三个物体（均可视为质点）与地球构成一个系统，三个物体分别受恒外力F A 、F B 、F C 的作用。在一个与地面保持静止的参考系S 中，观察到此系统在运动过程中动量守恒、机械能也守恒。S ′系是另一个相对S 系做匀速直线运动的参考系，讨论上述系统的动量和机械能在S ′系中是否也守恒。（功的表达式可用W F =F ·S 的形式，式中F 为某个恒力，S 为在力F 作用下的位移）

（2）概念考查——功的计算 【例4-3】（05交大）如图，在水平地面xoy 上有一沿x 正方向作匀速运动的传送带，、运动速度为v 1，传送带上有一质量为m 的正方形物体随传送带一起运动，-当物体运动到yoz 平面时遇到一阻挡板C ，阻止其继续向x 正方向运动。设物体与传送带间的摩擦系数为μ1，与挡板之间的摩擦系数为μ2。此时若要使物体沿y 正方向以匀速v 2运动，问： (1)沿y 方向所加外力为多少?

(2)若物体沿y 方向运动了一段时间t ，则在此期间摩擦力所做的功为多少?

（3）规律考查——动量定理

【例4-4】（08复旦第150题）质量为2m 的粒子a 以速度v 沿水平向右方向运动，另一质量为m 的粒子b 以速度v 沿与水平向右方向成45o

斜向下的方向运动，在某段时间内两个粒子分别受到大小和方向都相同的力的作用，在停止力的作用时，粒子a 沿竖直向下方向以速度v 运动，则粒子b 的运动速率为( ) A ．2v B ．3v C ．v D ．0.5v

【例4-5】估算池中睡莲叶面承受出滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45 mm 。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s.据此估算该压强约为（设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m 3）

A ．0.15 Pa

B ．0.54 Pa

C ．1.5 Pa

D ．5.4 Pa

（4）规律考查——机械能守恒定律

【例4-6】图中的AOB 是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内，由两个半径都是R 的1/4圆周连接而成，它们的圆心1O 、2O 与两圆弧的连接点O 在同一竖直线上。B O 2沿水池的水面．一小滑块可由弧AO 的任意点从静止开始下滑．

（1）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑

时应在圆弧AO 上的何处？（用该处到1O 的连线与竖直线的夹角表示）． （2）凡能在O 点脱离滑道的小滑块，其 落水点到2O 的距离如何？

【例4-7】固定在竖直平面内的一个半圆形光滑轨道，半圆轨道半径为R ，轨道两端在同一水平高度上，其中一段有一小定滑轮（其大小可忽略），两小物体质量分别为m 1和m 2，用轻细绳跨过滑轮连接在一起，如图所示，若要求小物体m 1从光滑半圆轨道上端沿轨道由静止开始下滑，问：m 1下滑到C 点时速度为多大？

【例4-8】如图所示，质量为m 的钢球下连一根可不计质量的轻杆，杆长为L,杆原来直立在光滑的水平面上，轻推一下后，问：（1）小球下落的轨迹是什么？（2）球在离地L/2处，杆着地点的速度为多少？

（5）规律考查——动能定理

【例4-9】 (13北约)某车辆在平直路面上作行驶测试，测试过程中速度v(带有正负号)和时间t 的关系如图所示。已知该过程发动机和车内制动装置对车辆所作总功为零，车辆与路面间的摩

擦因数μ为常量，试求μ值。数值计算时，重力加速度取g=10m/s 2。

【例4-10】如图所示，一根长为l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和m b ．杆可绕距a 球为

1

4

l 处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置，小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动，求当a 转过 角时小球b 速度的大小，设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分离．不计一

切摩擦．

（6）理论拓展——虚功原理

【例4-11】如图所示，一轻质三足支架每边长度均为l ，每边与竖直线成同一角度θ，三足置于一光滑水平面上，且恒成一正三角形．现用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线间的夹角，设三足支架负重为G ，试求绳中张力F T ．

（7）综合考查——动量守恒定律与碰撞

【例4-12】如图所示，三个小球A ﹑B ﹑C 静止放在光滑水平面上，B 在A ﹑C 之间，如果各球之间的碰撞均为弹性碰撞，现使A 球以速度v 0去撞击B 球，B 球又去撞击C 球，如果A ﹑C 两球的质量m 1﹑m 3确定，则B 球的质量m 2为多大时可使C 球获得的速度最大？

【例4-13】水平大桌面上有一质量为M 的均匀圆环形细管道，管道内有两个质量同为m 的小球，位于管道直径AB 的两端。开始时环静止，两个小球沿着向右的切线方向﹑具有相同的初速度v 0，如图所示，设系统处处无摩擦。

（1） 当两个小球在管道内第一次相碰前瞬间，试求两个小珠之间的相对速度大小； （2） 设碰撞是弹性的，试分析判定两小球碰后能否在管道内返回原来的A ﹑B 位置？

（3） 若能，再通过计算确定两小球第一次返回A ﹑B 时，相对桌面的方向（向左还是向右）和速度的大小。

【例4-14】如图所示，小球K 的质量m =0.4kg ，在水平外力F 的作用下，从光滑水平面的A 点由静止开始向B 点运动。到达B 点时突然撤去外力F ，小球K 随即冲上具有半径R =0.4m 的四分之一光滑圆弧曲面的小车，小车即沿光滑水平面PQ 运动。设开始时平面AB 与圆弧CD 相切，A ﹑B ﹑C 三点在同一水平线上。令AB 连线为x 轴，且AB =d =64cm ，小球K 在AB 上运动时，动量随位移x 的变化关系为：p =x .61kgm/s ，小车质量M =3.6kg ，不计能量损失。

（1） 判断小球K 能否到达D 点，若能，试计算此时小车和小球K 的速度各为多大？

（2） 小球K 能否第二次通过C 点？试分析说明之，若能，请计算小球第二次通过C 点时，小球和小车的速度又分别是多大？

【例4-15】（10北约）如图所示，光滑平面上，两个相隔一定距离的小球分别以V o和0.8V o反向匀速运动，它们中间另有两个小球（小球1和小球2）将一弹簧压紧，小球1和小球2的质量分别为m和2m ，弹簧的弹性势能为E p。现将弹簧由静止释放，求：

（1）小球1和小球2各自的速度

（2）若小球1能追上左边的以V o运动的球，而小球2不能追上右边以0.8V o运动的球，求m的取值范围。

【例4-16】(题型示例)一质点从高处自由下落距离h后，落到倾角为 45°的很长的光滑斜面上，并与斜面发生多次弹性碰撞。如图选取直角坐标，重力加速度为g。

求：（1）经过n 次（n=1,2,3,…）碰撞后刚弹起时速度的x 分量u n和 y 分量v n；

（2）任意两次碰撞之间的时间间隔。

【例4-17】(13北约)质量为M、半径为R的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为m的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为v x，竖直向上的分速度记为v y，合成的初始速度大小记为v，将圆盘后退的速度记为u。

(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

(1.1)对给定的v x，可取不同的v y，试导出跳起过程中青蛙所作功W的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g(重力加速度)和v x。

(1.2)将(1.1)问所得W取值范围的下限记为W0，不同的v x对应不同的W0值，试导出其中最小者W min，答案中可包含的参量为M、R、m和g。

(2)如果在原圆盘边紧挨着另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W/，试求W/与(1.2)问所得W min间的比值γ=W/／W min，答案中可包含的参量为M和m。

专题6.电场和磁场

〖知识要点〗

电荷间的相互作

电场叠加

电荷在匀强电场中的运动

电场中的导体和电容器、静电屏蔽

导体棒在磁场中的运动

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 带电小物体在磁场中的运动

〖典型例题〗

（1）电荷之间的相互作用

【例6-1】一个点电荷，距离一个原子距离为，由于受到产生的电场作用，原子核外电子的中心和原子核有所偏离，简单近似为一对间距为，大小为的正负电荷。把这样的东西叫电偶极子，令。已知p 正比于原子处的电场。这样点电荷就会受到原子提供的合外力。 a) 电偶极子受到排斥力还是吸引力？

b) 将变为2，点电荷受到的合外力变成原来的多少倍？ c) 将变为，点电荷受到的合外力变成原来的多少倍？ （2）电场叠加

【例6-2】如图所示，在空间坐标系Oxy 中，A 、B 两处固定两个电荷量分别为+cq 和-q ，A 、B 位于O 点两侧，距离O 点的距离均为a ，确定空间中电势为零的等势面所满足的方程。

【例6-3】已知真空中电场的能量密度为201

2

E ωε=

，试求：（1）均匀带电球面（电量为Q ＞0，半径为R ）上电场强度E R 。（2）带电球面上的表面张力系数。

（2）电荷在匀强电场中的运动

【例6-4】(13北约)如图所示，在水平O -xy 坐标平面的第1象限上，有一个内外半径几乎同为R 、圆心位于x =R 、y =0处的半圆形固定细管道，坐标平面上有电场强度沿着y 轴方向的匀强电场。带电质点P 在管道内，从x =0、y =0位置出发，在管道内无摩擦地运动，其初始动能为E ko 。P 运动到x =R 、y =R 位置时，其动能减少了二分之一。

(1)试问P 所带电荷是正的，还是负的?为什么?

(2)P 所到位置可用该位置的x 坐标来标定，试在2R≥x≥0范围内导出P 的动能E k 随x 变化的函数。 (3)P 在运动过程中受管道的弹力N 也许是径向朝里的(即指向圆心的)，也许是径向朝外的(即背离圆心的)。通过定量讨论，判定在2R ≥x ≥0范围内是否存在N 径向朝里的x 取值区域，若存在，请给出该区域；继而判定在2R ≥x ≥0范围内是否存在N 径向朝外的x 取值区域，若存在，请给出该区域。

【例6-5】（11华约）如图，xy 平面为一光滑水平面。在x >0，y >0的空间区域内有平行于xy 平面的匀强电场，场强大小为E =100V/m ；在x >0，y <3m 的区域内同时有垂直于xy 平面的磁场。一质量为m =2×l0-6 kg 、电荷量大小为q =2×10-7C 的带负电粒子从坐标原点O 以一定的初动能入射，在电场和磁场的作用下发生偏转，到达P(4，3)点时，动能变为初动能的0.2倍，速度方向平行于Y 轴正方向。最后，粒子从y 轴上y =5m

的M 点射出电场，动能变为初动能的0.52倍。求：

（1）OP 连线上与M 点等电势的点的坐标； （2）粒子由P 点运动到M 点所需的时间。

（4）电场中的导体和电容器 【例6-6】（12北约）两个相同的电容器A 和B 如图连接，它们的极板均水平放置。当它们都带有一定电荷并处于静电平衡时，电容器A 中的带电粒子恰好静止。现将电容器B 的两极板沿水平方向移动使两极板错开，移动后两极板仍然处于水平位置，且两极板的间距不变。已知这时带电粒子的加速度大小为g/2，求B 的两个极板错开后正对着的面积与极板面积之比。设边缘效应可忽略。

【例6-7】4块相同的正方形金属薄平板从左至右依次平行放置，任意两个相邻平板之间的距离都相等，且平板的边长远大于平板之间的间距。平板从左至右依次编号为1、2、3、4，如图。其中第1块带净电荷q 1（<0），第n 块上的净电荷q n =nq 1，n =1，2，3，4。现将第1块和第4块板接地，如图所示，忽略边缘效应。问：

（1）从第1块板和第4块板流入大地的电荷量1q ?和4q ?分别是q 1的多少倍？

（2）上述两板接地后，哪块板上的电势最低？求该电势的值，将其表示为两相邻极板之间的电容C 和q 1的函数。

（5）导体棒在磁场中的运动 【例6-8】（交大08）如图所示为一电阻可以忽略的水平放置的足够长的导体线框，线框两平行导线的间距为L ，线框通过开关与一带电为Q ±的电容器C 以及电阻0R 串联。在导体框上有一可以自由移动的质量

为m 电阻为R 导体棒。设整个系统处于均匀的磁场B

中，

磁场与线框平面垂直，如图所示。若把开关置于联通位置，电容器将通过回路放电，导体棒将在磁场中开始运动。则导体棒运动的最大加速度为 ，最终速度值为 。（忽略各接触点的电阻）。

（6）带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 【例6-9】（10华约）如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界

上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同

C

样的速率通过P 点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧长是圆周长的三分之一，将磁感应强度的大小从原来的B 1变为B 2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B 2/B 1等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．3

【例6-10】 被U =1000V 的电压加速的电子从电子枪射出来，沿直线a 方向，要击中在α=30o 方向上，距离枪口5cm 处的目标M ，求以下两种情况下所加磁场的磁感应强度B 。 （1）磁场垂直由直线a 和TM 所决定的平面

（2）磁场平行于TM

【例6-11】螺旋环的平均半径R 处有一点源P ，如图。由P 点沿磁感线方向注入孔径角2α很小（α<<1）的一电子束，束中的电子都是经电压U 0加速后从P 点发出的，假设B 的大小为常数，且电子束中各电子间的静电相互作用可以忽略。R ＝55mm,U 0=3kV （1）为了使电子束沿环形磁场运动，需要另加一个使电子束偏转的均匀磁场B 1。对于在环内沿半径为R 的圆形轨道运动的1个电子，试计算所需的B 1的大小。 （2）当电子束沿环形磁场运动时，为了使电子束每绕一圈有4个聚焦点，即如图所示，每绕过π/2的角度聚焦一次，B 应有多大？（注考虑电子轨道时，可忽略B 1，忽略磁场B 的弯曲）

（3）带电粒子在复合场中的运动 【例6-12】（12华约）如图， 在 0 ≤ x ≤ a 的 区域有垂直于 纸面向里 的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B ；在 x >a 的 区域 有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小也 为 B 。质量为 m 、电 荷量为 q ( q > 0) 的粒 子沿 x 轴从 原点O 射入磁场。

(1)若粒子在磁场中的轨道半径为a ，求其轨迹与x 轴交点的横坐标； (2) 为使粒子返回原点，粒子的入射速度应为多大 ？

【例6-13】(13北约)如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B 的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中a 、b 两点在同一水平线上，两点相距l 。带电量q >0，质量为m 的质点P ，以初速度v 从a 对准b 射出。略去空气阻力，不考虑P 与地面接触的可能性，设定q 、m 和B 均为不可改取的给定量。 (1)若无论l 取什么值，均可使P 经直线运动通过b 点，试问v 应取什么值

?

(2)若v为(1)问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运

动通过b点?

(3)对每一个满足(2)问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b

所经过的时间。

(4)对每一个满足(2)问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b

点?若能，再求P在而后运动过程中可达到的最大运动速率v max。

【例6-14】如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为q（q>0)的粒子从坐标原点O沿xoy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。

(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a，0)点，求v1的大小；

(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>v1)．为使该粒子能经过A(a，0)点，其入射角θ（粒子初速度与x 轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值；

(3)如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xoy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量v x与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值v m。

【例6-15】设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场。一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度的大小恒定不变。

（1）试通过论证，说明此质点作何种运动（不必求出运动的轨迹方程），

并论述题目中所给的速率是否是唯一的。

（2）若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后该质点在运

动过程中的最小动能为其初始动能（即电场和磁场刚要消失时的动能）的

一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量。

（4）带电小物体在磁场中的运动

【例6-16】如图所示，水平面上放有质量为m，带电+q的滑块，滑块和水平面之间的动摩擦系数为μ，水平面所在的位置有场强大小为E，方向水平向右的匀强电场，和垂直于

纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，若μ

E O

y z

x B

E

【例6-17】如图所示，半径为R 的光滑圆轨道竖直放置，匀强磁场垂直于纸面向外，一个质量为m ，电量为q 的带正电小球从轨道的最高点由静止释放。

（1）如果磁感强度的大小为B ，小球从左侧滑下，求小球脱离轨道时与球心连线和竖直方向之间的夹角。 （2）如果B 的大小未知，小球从右侧由静止滑下，刚好能滑至底部，求B 的大小。

（3）在（2）的情况下，小球能否继续转圈？

【例6-18】如图，一半径为R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q （q ＞0）、质量为m 的小球P 在球面上做水平的匀速圆周运动，圆

心为O ’。球心O 到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜)2 。为了使小球能够在该圆

周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P 相应的速率。重力加速度为g 。

2011北约自主招生物理真题

2011年综合性大学自主选拔联合考试 物理试题 一 （14分）平行轨道上停着一节质量M=2m 的小车厢，车厢与水平铁轨之间摩擦可略。有N 名组员沿铁轨平行方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m 。 1. 当组员们和组长发现前面车厢时，都以相同速度0v 跑步，每名组员在接近车厢时又以20v 速度跑着上车坐下，组长却因跑步速度没有改变而恰好未能追上车，试求N ． 2. 组员们上车后，组长前进速度减为0v 2 ，车上的组员朝者车厢前行方向一个接着一个水平跳离车厢，跳离后瞬间相对车厢速度大小同为u ，结果又可使组长也能追上车。试问，跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能？ 二 （12分）一弹簧的自然长度为l ，劲度系数为k ．现有质量各为m 的两个均匀铁质球 体，用上述弹簧连接起来。设上述2个铁球中心与整个弹簧都始终保持一条直线上，并己 知铁的密度为ρ。 1. 当弹簧处于自然长度时，两铁球由静止释放，求两球之间的万有引力将使弹簧压缩的最大长度； 2. 上述体系绕其中心转动，角速度多大时，两球之间的弹簧长度司以保持为l ？ 三 （16分）将一天的时间记为T ，地面上的重力加速度记为g ，地球半径记为e R 。 1. 试求地球同步卫星P 的轨道半径p R ； 2. 赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P ； 2.1 假设P 的运动方向突然偏北转过045，试分析判定而后当地居民一天能有多少次机会可 看到P 掠过城市上空？ 2.2 取消“2.1”问中的偏转，改设P 从原来的运动方向突然偏向西北转过0105，再分析地 判定而后当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空？ 3. 另一个赤道城市B 的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q 自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径Q R . 四 （14分）设无重力空间中有匀强电场E u r ,现有两个质量均为m 的小球A 、B ，A 带电量q(q>0)， B 不带电，t=0时，两球静止，且相距0 30，AB u u u r 的方向与E u r 的方向相同。从t=0时刻开始，A 由于受到电场作用向B 运动，A 与B 相遇时发生第一次弹性正碰撞（其性质参见题五），碰撞

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

2014华二自主招生数学试题

J I H B D G E A F C 2014华二自主招生数学试题 一、填空题 1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______． 2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____． 3．,4112222b a b a +=+=?? ? ??-??? ??20142013b a a b _________． 4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADA ABBCB 5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ． 6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ， BE=_________． 7．13+a=9+b=3+c ，求 a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______． 8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________． 9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E ′的坐标_____． 10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中 a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________． 11．有一个多项式，除以2x 2-3，商式是7x-4，余式是-5x+2，多项式为__________． 12．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______． 13．有一个矩形ABCD ，DC=2BC ，E 、F 为AB 边上点，DE 、DF 将∠ADC 三等分， S △DEF /S 矩=________． 14．抛物线上两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)，抛物线顶点在(x 0，y 0)，当y 1＞y 2＞y 0，求x 0的取值范围__________． 15．l 1、l 2交于点O ，平面内有任意点M ，M 到 l 1、l 2的距离分别为a 、b ，有序实数对(a ， b)为距离坐标，若有序实数对为(2，3)，这样的数有几个?___________ 二、选择题 16．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD 全等的有( A ．△BCE B ．△ADF C ．△ADE D ．△CDE 17．有一个长方形纸片，其长为a ，宽为b(a>b)，现将这种纸片按下图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足( ) A ．a=2b B ．a=3b C ．a= 34b D ．a=4b

2012年北约自主招生物理试题(附详细答案word版)

2012年北约自主招生试题（答案附后） 物 理 一、选择题（单选题，每题4分） 1．两质量相同的卫星绕地球做匀速圆周运动，运动半径之比为R １:R 2＝１:２，则关于两卫星的下列说法正确的是（ ） A ．向心加速度之比为a 1:a 2=1:2 B ．线速度之比为v 1:v 2=2:1 C ．动能之比为E k1:E k2=2:1 D ．运动周期之比为T 1:T 2=1:2 2．如图所示，通电直导线旁边放一个金属线框和导线在同一平面内， 以下哪种运动方式不能使框abcd 中产生感应电流？ A ．线框以A B 为轴旋转 B ．线框以ad 为轴旋转 C ．线框向右移动 D ．线框以ab 为轴旋转 3．相同材料制成的一个圆环Ａ和一个圆盘B ，厚度相同，且两者起始温度和质量也相同，把它们都竖立在水平地面上，现给它们相同的热量，假设它们不与任何其它物体进行热交换，则升温后的圆环A 的温度ｔA 与圆盘B 的温度ｔＢ的大小关系是（ ） A ．t A >t B B ．t A > d,r>>d ，问： （1）接收屏上的干涉条纹间距是多少？ （2）设单缝A 的宽度b 可调，问b 增大为多少时干 c d

2014年四川绵阳南山中学自主招生数学试题及答案

保密★启用前 绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试 数学试题 本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号； 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效； 3．非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用2B 铅笔或0．5毫米黑色签字笔； 4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交． 第一卷 （选择题，共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列计算正确的是（ ） （A ）2 3 6 a a a ?= （B ）222()x y x y +=+ （C ）3262()a b a b = （D ）23(0)a a a a ÷=≠ 2．方程组2|1|4 23x x x +=??=+? 的解是（ ） （A ）－1 （B ）3 （C ）－1或3 （D ）－5或3 3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P 、Q 、M 、N 表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（ ） （A ）P 区域 （B ）Q 区域 （C ）M 区域 （D ）N 区域 4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段 时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像 是（ ） （D ） （C ） （B ） （A ） 时间距学校的距离 O O 距学校的距离 时间时间 距学校的距离 O O 距学校的距离 时间 ②①第3题图M N Q P

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

2014年(中职生)自主招生综合文化知识考试样卷

2014年(中职生)自主招生综合文化知识考试样卷 （本试卷共39道题，全卷满分200分，考试时间90分钟） 综合素养 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 在每小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其选出.未选，错选或多选均不得分 1.外交部2014年1月21日举行中外媒体吹风会，外交部副部长程国平、国家体育总局副局长杨树安分别介绍了主席应邀赴俄罗斯出席索契冬季奥林匹克运动会开幕式有关情况，并回答了记者提问。 A.温家宝 B.胡锦涛 C.习近平 D.李克强 2.职业道德建设的核心是。 A.服务群众 B.爱岗敬业 C.办事公道 D.奉献社会 3.职业生涯规划的重要性是。 A.帮助你最终能实现自己的美好理想 B.帮助你扬长避补地发展自己 C.帮助你目标明确地发展自己 D.帮助你不用太努力就可发展自己 4.交际礼仪修养最重要的原则是。 A.尊重他人 B.谦虚谨慎 C.情绪稳定 D.态度平和 5.计算机病毒是。 A.计算机系统自生的 B.一种人为特制的计算机程序 C.主机发生故障时产生的 D.可传染疾病给人体的 6.电话的发明者是。 A.爱迪生 B.贝尔 C.贝尔德 语文 二、语言运用题（30分） 1.从下列消息中，提取四个关键词语并填写在横线上。（12分） 3月11日下午2时46分（东京时间），日本东北部的太平洋发生了一场里氏9.0级的强烈地震。震中位于宫城县以东太平洋海域，震源深度20公里。地震引发大规模海啸，造成人员伤亡。受11日大地震影响，日本福岛第一核电站1—4号机组发生核泄漏事故。 2.阅读下面一段话，按要求完成下列各题。（18分） 让自己的生命为他人开一朵花，就是提高自己生存的质量。面对灾难的突袭，一次无偿的援助是一朵花，一个及时的电话是一朵花，一朵花是一次适时的看望，一次大度的让贤是一朵花…… （1）文段中有句式不够整齐的问题，请修改整齐。（8分） （2）文段中哪一句与其它三句在语意上不够连贯，请改为语意连贯的句子。（10分） 三、应用写作题（30分） 请按规范的格式及内容要求改正下面文章。 拾物招领启示 今天中午，本人在操场东边的双杠上拾到天蓝色运动衣一件，衣袋里有红色塑料钱包一个，钥匙一串，手帕一条。钱包内有人民币15元，饭票8元5角。钥匙共五枚，两枚是铜制的，三枚是铝制的。手帕上印有十二生肖图案。有丢失者速来认领。 拾者 3月5日数学 四、选择题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 1.只有元素0的集合可以表示为（）. 六、解答题（共10分）

北约自主招生数学试题

2013年北约自主招生数学试题与答案 2013-03-16 （时间90分钟，满分120分） (33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++= 702320a b c d e a b c d +---=???+++=? 即方程组：420(1)20(2)70 (3)2320(4)630(5) a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=??+=??+---=??+++=?++=??，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x 2312-2312为两根的有理系数多项式的次数最小为5. 1． 在66?的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择； 最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位

置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有3 6654614400C ????=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知： 32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =--- 由22 25,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=- ①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y == 当1x y ==+ 3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=----- 3870108x =--=--. 当1x y == 3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+--- 22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-?+=-3870108x =--=-+. （2）若x y ≠，则根据条件知：22 (25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-?+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=， 进而知222()()12 x y x y xy +-+==-. 于是知：3223 2415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-. 综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-. 3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a . A. 3019?2 2012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D.无法确定 解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++?=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+?=.

最新全国高校自主招生数学模拟试卷一

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P

2014上中自主招生数学试题

F E D C A 2014上中自主招生数学试题 一、填空题 1．已知b a b a +=+111，则=+b a a b ______． 2．有______个实数x ，可以使得x -120为整数？． 3．在△ABC 中，AB=AC ，CD=BF ，BD=CE ，用含∠A 的式子表示∠EDF ，∠EDF 应为=______． 4．在直角坐标系中，抛物线)0(4 322>-+=m m mx x y 与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两点 到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足3 211=-OA OB ，则m=__________． 5．定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，r<72且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆且沿圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有__________个可能的值． 6．学生若干人租游艇若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人？ 7．对于各数互不相等的正整数组(a 1，a 2，…，a n )(n 是不小于2的正整数)，如果在ia j ，则称a i 与a j 是该数组的一个“逆序”．例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1”“4，3”“4，1”“3，1”，其逆序数为4，现若有各数互不相同的正数组(a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6)的逆序数为2，则(a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1)的逆序数是___________________． 8．若n 为自然数，则使得关于x 的不等式19 102111<+S 2 B ．S 1=S 2 C ．S 1

2013年北约自主招生物理解析

2013年北约自主招生物理解析 【试题总评】2013年高水平大学（北约）自主选拔学业能力测试物理探究试题内容大多数与高考难度接近，显示了“基础为能力载体”的命题导向。试题覆盖了中学物理的力学、热学、电学、光学、原子物理五大部分，对考生的思维能力、建模能力和灵活运用知识能力要求较高。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题(单项选择，每题5 分，共20 分) l.简谐机械波在同一种介质中传播时，下述结论中正确的是( ) A．频率不同时，波速不同，波长也不同 B．频率不同时，波速相同，波长则不同 C．频率不同时，波速相同，波长也相同 D．频率不同时，波速不同，波长则相同 解析：机械波在同一种介质中传播时波速相同，由v=λf可知，频率不同时，波长则不同，选项B正确。 答案：B 【点评】此题考查机械波的传播，难度不大。机械波传播速度只与介质有关，与频率无关；而电磁波传播速度与介质和频率都有关。 2.一个具有放射性的原子核A 放射一个β粒子后变成原子核B，原子核B 再放射一个α粒子后变成原子核C，可以肯定的是( ) A．原子核A 比原子核B 多2 个中子 B．原子核A 比原子核C 多2 个中子 C．原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为B 的中性原子中的电子数少1 D．原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为C 的中性原子中的电子数少1 解析：一个具有放射性的原子核A 放射一个β粒子后变成原子核B，质量数不变，质子数增加1，中子数减1；原子核B 再放射一个α粒子后变成原子核C，质子数减2，质量数减4..。原子核 A 比原子核B 少1个中子多1个质子，选项A错误。原子核A 比原子核C多1个质子，多3个中子，选项B错误。原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为B 的中性原子中的电子数多1，选项C错误。原子核为A 的中性原子中的电子数，比原子核为C 的中性原子中的电子数少1，选项D正确。 答案：D 【点评】此题考查放射性衰变，可利用α衰变规律和β衰变规律解答，难度不大。 3．人在平面镜前看到站在自己身边朋友在镜中的像时，虽然上下不颠倒，左右却互换了。今将两块相互平行的平面反射镜如图放置，观察者 A 在图示 右侧位置可看到站在图示左侧位置的朋友B，则 A 看到的像

2014年华约自主招生数学试题及参考解答

2014年“华约”自主招生数学试题 1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值． 2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12 ），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？ 3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π??=-+-+ ?? ?（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值． 4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合 函数，即()()(())f g x f g x = （1）证明-11 1()()()()f g x g f x --=． （2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数． 5、从椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 上的动点M 作圆2 22b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线 PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ?面积的最小值。 6、已知数列{}n a 满足n n n qa np a +=+1，01=a 。 （1）若1=p ，求{}n a 的通项公式； （2）若1||

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?=L ． 6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 ． 7 ． 设 函 数 ()x f x x = ，则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121 ()1 x f x x -= +，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ． 二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点 M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标． 参考答案： 1. 21x - 2. 1 2 - 3. 2 4. 94 5. ()1!1n +- 6. 2

2014北约自主招生物理试题A与解答

2014年自主招生物理试题与解答 一、选择题（每题5分，共20分） 1.今有一个相对地面静止，悬浮在赤道上空的气球。对于一个站在宇宙背景惯性系的观察 者，仅考虑地球相对其的自转运动，则以下对气球受力的描述正确的是（） A.该气球受地球引力、空气浮力和空气阻力； B.该气球受力平衡； C.地球引力大于空气浮力； D.地球引力小于空气浮力。 答：C 2.下列过程中， a)水在1atm、下蒸发； b)冰在1atm、下融化； c)理想气体准静态绝热膨胀； d)理想气体准静态等温膨胀； e)理想气体准静态等压加热； f)理想气体向真空绝热膨胀。 其中系统对外作正功的是：（） A．（a、c、d、e）；B.（a、b、c、e）；C.（b、d、e、f）；D.（b、c、d、f） 答：A 3. 有两个惯性参考系1和2，彼此相对做匀速直线运动，下列叙述中正确的是（） A．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变快了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程都变慢了； B．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变快了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程也变快了； C．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变慢了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程都变快了； D．在参考系1看来，2中的所有物理过程都变慢了；在参考系2看来，1中的所有物理 过程也变慢了。 答：D 4.下列说法中正确的是：（） A.卢瑟福实验中发现许多粒子被金箔大角度散射，这表明粒子很难进入金箔原

子内部； B. 衰变中产生的射线是原子核外电子挣脱原子核束缚之后形成的电子束； C.通过化学反应无法改变放射性元素的半衰期； D.较小比结合能的原子核不稳定，容易发生裂变。 答：C 二、填空题（每题两空，每空4分，共32分） 5. 如图，有半径为的光滑细圆环轨道，其外壁被固定在竖直平面上。轨道正上方和正下方分别有质量为和的静止小球，它们由长为的轻杆固连。已知圆环轨道内 壁开有环形小槽，可使轻杆无摩擦、无障碍地绕着其中心点转动。今对上方小球施加小扰动，则此后过程中该小球的速度最大值为；当其达到速度最大值时，两小球对轨道作用力的合力大小为。 答：； 6.在一个空的可乐瓶中封入高压理想气体，在打开瓶盖后的短时间内，外界对瓶内气体作 _________（可填“正功”、“负功”、“不做功”其中之一），瓶内气体温度____________（可填“升高”、“降低”、“可能升高也可能降低”其中之一）。 答：负功；降低。 7.空间有一孤立导体，其上带有固定量的正电荷，该空间没有其它电荷存在。为了测量该 导体附近的某一点P的电场强度，我们在P点放置一带电量为q的点电荷，测出q受到的静电力F，如果q为正，F/q （可填“大于”、“小于”其中之一）P点的原电场强度；如果q为负，F/q （可填“大于”、“小于”其中之一）P点的原电场强度。 答：小于；大于。 8. 已知普朗克常量为 ，电子的质量为 ，其中 为真空光速， ，则动能为 的自由电子的物质

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3

5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相

2014年自主招生培训讲义

2014年自主招生培训讲义 第一讲.方程与多项式 知识要求 1.因式分解方法 2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法 例题分析 1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学） 2. 3. （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题 （1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.n n n x y -+≥ （2009年清华大学） （2）已知a 、b 为非负实数，44 M a b =+，且1a b +=，求M 的最值. （2006年清华大学） 3.设实数9k ≥，解方程322 29270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题 （1）.已知方程32 10x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥ （2008年南开大学） （2）.设,,a b c ∈R ，使得方程3 2 0x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中. （2013年清华大学夏令营） 4.已知方程3 2 0x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题 （1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x （2009年北京大学） （2. （2008年复旦大学面试）

5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足 123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}. a a a b b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++?? ++=++??≤? 求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<； （2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则2 2x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22t t -，求()f a ，()f b ，()f c 的值. （2013年清华大学金秋营） 7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++ ++，使()0f x = 有一个根为 （2009年清华大学） 相关习题 （1）. 已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）. 1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 （2013年北约）