平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心

已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：

0=++???OC S OB S OA S C B A

如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则

B

C

COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===???????

图1

=

OD BC DC OB +BC

BD

OC =C

B B

S S

S +OB +C B C S S S +OC

C

B A

COA BOA COD BOD COA COD BOA

BOD S S S S S S S S S S

S

OA OD +=++==

= 图2

∴

C

B A S S S OD +-

=OA

∴C

B A S S S +-

OA =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

∴0=++???OC S OB S OA S C B A

推论O 是ABC ?内的一点，且

0=++???OC OB OA z y x ，则

z y x S S S AOB COA BOC ::::=???

O

A B

C

D

O

A B

C

有此定理可得三角形四心向量式

O 是ABC ?的重心

?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA

O 是ABC ?的内心

?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a

O 是ABC ?的外心

?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC

C OB B OA A

O 是ABC ?的垂心

?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A

证明：如图O 为三角形的垂心，DB

CD

B AD CD A ==

tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB :

∴B A S S COA BOC tan :tan :=??

同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan

:=??

∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=???

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 与“重心”有关的向量问题

1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

如图⑴.

A'

A

2已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，

时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.

3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足

（λ

∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心

B ．重心

C ．外心

D ．垂心

图⑴

图⑵

解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于

sinB=sinC=AD ，

∴

=

由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．

与“垂心”有关的向量问题

3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由PA PB PB PC ?=?，得()0P B P A P C ?-=，即0P B C A ?=，所以PB CA ⊥．同

理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.

4已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足c o s c o s A B

A C

O P O A A B B A C C λ?? ?=++

??

?，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ??

?=+ ???

， 图⑶ 图⑷

A

O

由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ??

?+?= ???

， 即

0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B

AC C

??+

=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点

在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.

5若H 为ABC △所在平面内一点，且2

2

2

2

2

2

HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

证明:

2222

HA HB CA BC -=-

()()HA HB BA CA CB BA ∴+?=+?

得()0HA HB CA CB BA +--?= 即()0HC HC BA +?= AB HC ∴⊥ 同理,AC HB BC HA ⊥⊥， 故H 是△ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题

6已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若

0a I A b I B c I C ++=，则I 是ABC △的( )

．A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心

B

【解析】∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，

∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ??

?+=?+?=??+ ???

， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ?? ?=

+ ?++??

．∵AB AB 与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．

同理可证：BI 平分ABC

∠，CI 平分

ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.

7已知O 是平面上一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足 =OP OA +λ

?

?，(0)λ∈+∞，

，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意得AB AC AP AB AC λ??

?=+ ??

?

，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分

线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.

8若O 在△ABC 所在的平面内：

=

，则O 是△ABC

的（ ） A ．垂心 B ．重心

C ．内心

D ．外心

解：∵向量

的模等于1，因而向量

是单位向量

图⑸

图⑹

∴向量、和等都是单位向量

∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，

∵

可得AO 在∠BAC 的平分线上

同理可得OB 平分∠ABC ，OA 平分∠ACB ， ∴O 是△ABC 的内心． 故选：C ．

与“外心”有关的向量问题

8已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】若2

2

2

OA OB OC ==，则2

2

2

OA OB OC

==，∴OA OB OC ==，则O 是

ABC △的外心，如图⑺。

9 已知O 是平面上的一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ???

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过

图⑺

图⑻

ABC △的( )。 A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由于2

OB OC +过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ??

?+ ???

表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻

四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设ABC △的外心为O ，则点H 为ABC △的垂心的充要条件是OH OA OB OC =++。 2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设ABC △的外心为O ，则点G 为ABC △的重心的充要条件是1()3

OG OA OB OC =++

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设ABC △的外心、重心、垂心分别为O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H 三点连线称为欧拉线），且1

2

OG GH =。

相关题目

10．设△ABC 外心为O ，重心为G ．取点H ，使．

求证：（1）H 是△ABC 的垂心；

（2）O ，G ，H 三点共线，且OG ：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC 外心为O ， ∴

又∵

∴ 则

=

?

==0

即AH⊥BC

同理BH⊥AC，CH⊥AB

即H是△ABC的垂心；

（2）∵G为△ABC的重心

∴=3=3+=

即=3

即O，G，H三点共线，且OH=3OG

即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2

三角形“四心” 与向量的完美结合(精.选)

三角形的“四心”与向量的完美结合 三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一． 知识点总结 1）O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 故0OC OB OA =++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2）O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心， 则 C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 ==) 若O 是ABC ?的外心 则 C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：：： 故C 2sin B 2sin A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ?的充要条件是 ( =- ?=- ?=- ? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内 心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 C sin B sin A sin c b a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ABC ?的内心;

讲义---平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 [ OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂 足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理⊥，⊥ ?O 为ABC ?的垂心 : （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b c 、 分别为 方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ ∴ c b a bc ++= （b c +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a B C D

三角形四心的向量性质

三角形“四心”的向量性质及其应用 一、三角形的重心的向量表示及应用 命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若 GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心． 证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0， 所以 ()GA GB GC =-+． 以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-． 又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =． 所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心． 点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法． 例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ， =OC c ，试用a b c ，，表示OG ． 解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点， ?? ? ??=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴ 而03=-++∴OG c b a 图2

3 c b a OG ++= ∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键． 变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则 AD BE CF ++=0． 证明：如图的所示， ??? ? ? ???? -=-=-=GC CF GB BE GA AD 232323 )(23 GC GB GA CF BE AD ++-=++∴ 0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．． 变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1 ()4 PO PA PB PC PD =+++． 证明：1()2PO PA PC =+，1()2 PO PB PD =+， 1()4 PO PA PB PC PD ∴=+++． 点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用 命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。 例2 已知G 、M 分别为不等边△ABC 的重心与外心，点A ，B 的坐标分别为A （-1，0），B （1，0），且GM ∥AB ，（1）求点C 的轨迹方程；（2）若直线l 过 图3

平面向量与三角形四心学案

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、典例分析 [例]已知点G 是ABC ?内任意一点,点 M 是ABC ?所在平面内一点. （1）动点P 满足)(++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的_________. (2)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB AC λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ?的__________. （3）动点P 满足：??? ? ??++=B AC C MA MP sin sin λ，()0,λ∈+∞，则直线AG 一定通过ABC ?的 . (4)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ?的__________. (5)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠ ,则点G 的轨迹可能通过ABC ?的__________. (6)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC = ,则点G 的轨迹可能通过 ABC ?的__________. （7）??=?=?GA GC GC GB GB GA G 为ABC ?的___________. （8）?=++G 是ABC ?的___________. （9 ）==?G 为ABC ?的___________.

平面向量中的三角形四心问题

平面向量中的三角形四心问题 向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在 给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。 一、重心(baryce nter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的帕普斯定理。 结论1 : 若G为ABC所在平面内一点，则G 是三角形的重心 证明：设BC中点为D，则2GD GA GB GC 0 GA GB GA 2GD, 这表明，G在中线AD上 同理可得G在中线BE,CF上 故G为ABC的重心

结论2: 1 —. 若P 为 ABC 所在平面内 点，贝S PG (PA PB 3 G 是ABC 的重心 PC) - 1 — 证明：PG (PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 GA GB GC 0 G 是ABC 的重心 二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论3: H 是ABC 的垂心 证明：HA HB HB HC HB ? S- HB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H 为三角形垂心 若H 为ABC 所在平面内一点，则HA HB HB HC HC HA (HA

结论4: 2 ------ 2 ------ 2 ------ 2 -------- 2 ------ 2 若H 为 ABC 所在平面内一点，贝U HA BC HB AC HC AB H 是ABC 的垂心 2 2 2 2 HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2 HB HC HC HA 同理可证得，HA HB HB HC HC HA 由结论3可知命题成立 三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。 结论5: 若0是ABC 所在平面内一点，则 OA OB OC 0是ABC 的外心 证明：由外心定义可知 命题成立 2 2 证明：由HA BC 结论6: 若0是ABC 所在平面内一点，则

与三角形四心相关的向量结论

与三角形“四心”相关的向量结论 濮阳市华龙区高中 张杰 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 问题：设点O 在ABC ?内部，且有03=++OC OB OA ，则BOC ?与AOC ?的面积的比值是____. 分析：∵03=++OC OB OA 设OD OB =3，则0=++OC OD OA ， 则点O 为ADC ?的重心.∴ACD AOD COA DOC S S S S ????= ==31. 而 AOC COD BOC S S S ???==3131， ∴3 1:=??COA BOC S S . 探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。 结论： 设O 点在ABC ?内部，若()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S A O B C O A B O C ::::=?? 证明： 已知O 点在ABC ?内部，且()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0 设：OF OC r OE OB n OD OA m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ??=1，DOF AOC S mr S ??=1，DOE AOB S mn S ??=1， ∴r n m S S S AO B CO A BO C ::::=?? 说明: 此结论说明当点O 在ABC ?内部时，点O 把ABC ?所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。 应用举例：设点O 在ABC ?内部，且40OA OB OC ++= ，则ABC ?的面积与OBC ?的面积之比是： A ．2：1 B ．3：1 C ．4：3 D ．3：2 分析：由上述结论易得：1:1:4::=??AO B CO A BO C S S S ，所以2:34:6:==?O BC ABC S S ，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。 引申：设O 点在ABC ?内部，且角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,, 结论1：若O 为ABC ?重心，则0=++OC OB OA 分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC ?的面积三等分. 结论2 ：O 为ABC ?内心，则0=++OC c OB b OA a 分析：内心在三角形的内部，且易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =c b a :: 结论3： O 为ABC ?的外心，则02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A 分析： 易证S △BOC ：S △COA ：S △AOB =sin2A ：sin2B ：sin2C.

平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 °D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是 ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0 C

有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 0是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,

平面向量与三角形的四心

专题9：平面向量与三角形的四心 三角形的四心： 1. 外心： 2. 内心： 3. 垂心： 4. 重心： 例1. O 是ABC ?所在平面上一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ?的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 例2. O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 (),0AB AC OP OA AB AC λλ=++>，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 例3. 点P 是ABC ?所在平面上一点，若PA PB ?=PC PB ?=PA PC ?，则点P 是 ABC ?的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 例4. 证明：点P 是ABC ?所在平面上一点，有 G 是ABC ?的重心?1()3 PG PA PB PC =++

针对训练： 1. O ，P 两点在ABC ?所在平面内，且(OP OA)(AB AC)0-?-=，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 2. 已知A,B,C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ?的重心，动点P 满足 111(OA OB 2OC)322 OP =++，则点P 一定为ABC ?的（ ） A. AB 边中线的中点 B. AB 边中线的三等分点（非重心） C. 重心 D. AB 边的中点 3. 在同一个平面上有ABC ?及一点O 满足关系式： 222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 一定为ABC ?的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 4.已知O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足： ()OP OA AB AC λ=++，则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 5. 在ABC ?所在平面上的一动点M 满足22 2AM BC AC AB ?=-，则动点M 的轨迹必过ABC ?的________________(内心，垂心，外心，重心)。 6. 已知A,B,C,D 是平面上四个不共线的点，若0)()2(=-?-+，则ABC ?的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

平面向量与三角形四心问题

平面向量基本定理与三角形四心 已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证： 0=++???OC S OB S OA S C B A 如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则 B C COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===??????? 图1 = OD BC DC OB +BC BD OC =C B B S S S +OB +C B C S S S +OC C B A COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++== = 图2 ∴ C B A S S S OD +- =OA ∴C B A S S S +- OA = C B B S S S +OB +C B C S S S +OC ∴0=++???OC S OB S OA S C B A 推论O 是ABC ?内的一点，且 0=++???OC OB OA z y x ，则 z y x S S S AOB COA BOC ::::=??? O A B C D O A B C

有此定理可得三角形四心向量式 O 是ABC ?的重心 ?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA O 是ABC ?的内心 ?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a O 是ABC ?的外心 ?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC C OB B OA A O 是ABC ?的垂心 ?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A 证明：如图O 为三角形的垂心，DB CD B AD CD A == tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB : ∴B A S S COA BOC tan :tan :=?? 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan :=?? ∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

讲义平面向量与三角形四心的交汇

讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D

平面向量的应用——三角形四心的性质

平面向量的应用——三角形四心的性质 一 知识点精讲 三角形四“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ?的外心2 22O A O B O C ?== . （2）O 为ABC ?的重心 0OA OB OC ?++= . 证明： 证明： （3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? . 证明： （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++= . 证明： 二 典例解析 一、重心 1. 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++ ，(0)λ∈+∞， ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 2. 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足sin ||sin ||( C AC B AB + +=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过 ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 二、垂心 3. O 是ABC △所在平面上一点，222222||||||||||||+=+=+，O 是ABC △___ Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 4. 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足

cos ||cos ||( C AC B AB + +=λ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过 ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 三、内心 4.（2003江苏） 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ?? ? =++ ??? ，(0)λ∈+∞， ，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 四、外心 5. 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2 cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ??? ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的． Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂 心 6. (2005湖南)．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义),,()(321λλλ=p f ，若G 是△ABC 的重心，)61 ,31,21()(=Q f ，则（ ） A ．点Q 在△GA B 内 B ．点Q 在△GB C 内 C ．点Q 在△GCA 内 D ．点Q 与点G 重合 定理：设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，则有 =++???S S S PBC PAC PAB 五 判断三角形的形状及求最值 7.在△ABC 中，已知向量2 1 0( = =?+ BC AC AB 满足与，则△ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三

向量与三角形四心的一些结论

【一些结论】：以下皆是向量 1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积） 3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边） 4 若P是△ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2（AP就表示AP向量|AP|就是它的模） 5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心 6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心 8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点 【以下是一些结论的有关证明】 1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与

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平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C

有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,

平面向量题型三三角形“四心”与向量结合

题型三 三角形“四心”与向量结合 (一)平面向量与三角形内心 1、O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 2、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ?+?+?=，则P 是三角形的（ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3、在三角形ABC 中，动点P 满足：CP AB CB CA ?-=22 2 ，则P 点轨迹一定通过△ABC 的： （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (二)平面向量与三角形垂心 “垂心定理” H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ?=?=??点H 是△ABC 的垂心. 证明：由⊥?=??=-???=?00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 4、已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足： 0PA PC PA PB PB PC ?+?+?=，则P 点为三角形的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足?=?=?，则 点O 是ABC ?的 （ ） （A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点 （C ）三条中线的交点 （D ）三条高的交点 6、在同一个平面上有ABC ?及一点Ｏ满足关系式： 2 O A ＋2 BC ＝2 OB ＋2 CA ＝ 2 OC ＋2 AB ，则Ｏ为ABC ?的 （ ） Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 (三)平面向量与三角形重心 “重心定理” G 是△ABC 所在平面内一点，++=0?点G 是△ABC 的重心. 证明 图中GE GC GB =+

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平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z

有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

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三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用 知识点总结 1．O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ; 若 O 是 S BOC S AOC S AOB 1 S ABC OA OB OC 0 ; ABC 的重心，则 3 故 uuur uuur uuur uuur G 为 ABC 的重心 . PG 1 ( PA PB PC ) 3 2．O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ; 若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S BOC ： S ： S tan A ： ： AOC AOB tan B tan C 故 tan AOA tan BOB tan C OC 0 2 2 2 3．O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC | (或 OA OB OC ) 若 O 是 ： ： sin ： ： ABC 的外心则 S BOC S AOC S AOB BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C 故 sin 2A OA sin 2BOB sin 2C OC OA ( AB AC OB BA BC OC CA CB ) 0 4． O 是内心 ABC 的充要条件是 ) ( ) ( | AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB | 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1 , e 2 ,e 3 ，则刚才 O 是 ABC 内心的充要条件 可以写成 OA (e 1 e 3 ) OB (e 1 e 2 ) OC (e 2 e 3 ) ， O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOA b OB cOC 0 。若 O 是 ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ： S AOB a ： b ： c 故 aOA bOB cOC 0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ; uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ; A | AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是 e 1 e 2 uuur uuur 向量 AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直 B C ( uuur uuur | AB | | AC | 线) ； P 范 例 ( 一)将平面向量与三角形内心结合考查 例 1．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,则 AB AC P 点的轨迹一定通过 ABC 的（ ） （A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心 AB uuur uuur uuur 又 OP OA AP ，则原 解析：因为 是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ， AB

平面向量奔驰定理与三角形四心(1)

平面向量奔驰定理与三角 形四心 [文档副标题] [日期] MICROSOFT [公司地址]

平面向量奔驰定理与三角形四心 已知O 是ABC ?内的一点，AOB AOC BOC ???,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证： 0=++???OC S OB S OA S C B A 如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则 B C COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===??????? 图1 = OD BC DC OB +BC BD OC =C B B S S S +OB +C B C S S S +OC C B A COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++== = 图2 ∴ C B A S S S OD +- =OA ∴C B A S S S +- OA = C B B S S S +OB +C B C S S S +OC ∴0=++???OC S OB S OA S C B A O A B C D O A B C

推论:O 是ABC ?内的一点，且0=++???OC OB OA z y x ，则 z y x S S S AOB COA BOC ::::=??? 有此定理可得三角形四心向量式 1、O 是ABC ?的重心 ?1:1:1::=???AOB COA BOC S S S ?0=++OC OB OA 2、O 是ABC ?的内心 ?c b a S S S AOB COA BOC ::::=????0=++???OC OB OA c b a 3、O 是ABC ?的外心 ?C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=??? ?02sin 2sin 2sin =++???OC C OB B OA A 4、O 是ABC ?的垂心 ?C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? ?0tan tan tan =++???OC C OB B OA A 证明：如图O 为三角形的垂心，DB CD B AD CD A == tan ,tan ?AD DB B A :tan :tan = =??COA BOC S S :AD DB : ∴B A S S COA BOC tan :tan :=?? 同理得C B S S AOB COA tan :tan :=??，C A S S AOB BOC tan :tan :=?? ∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=??? 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

高考数学测试卷三角形“四心”的一种向量表示

三角形四心嘚一种向量表示 几个记法：在△ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结AO 并延长交BC 于D ，连结BO 并延长交CA 于E ，连结CO 并延长交AB 于F 。 记：AB AF t FB =，BC BD t DC =，CA CE t EA =； AC AE t EC =，CB CD t DB =，AC AE t EC =； 且有：1AB BA AC CA BC CB t t t t t t ?=?=?= 记：A AO AD λ=，B BO BE λ=，C CO CF λ= 引理1.线段嘚定比分点嘚向量关系式 （1）111BC BC BC t AD AB AC t t = +++ (1.1.1)； 111CA CA CA t BE BC BA t t = +++； (1.1.2) 111AB AB AB t CF CA CB t t = +++。 (1.1.3) （2）若AB AF AB λ=，BC BD BC λ=，CA CE CA λ=，则有： (1)BC BC AD AB AC λλ=-+ (1.2.1)； (1)CA CA BE BC BA λλ=-+； (1.2.2) (1)AB AB CF CA CB λλ=-+。 (1.2.3) 证明：只证明（1.1.1），其它同理。 ∵BC BD t DC = ∴1BC BC t BD BC t = +则有 F D E C A B O 图1

1()1111BC BC BC BC BC BC BC AD AB BD t AB BC t t AB AC AB t t AB AC t t =+=++=+-+= +++ 引理2.11 AC AB AB AC AB AC t t AO AB AC t t t t = +++++ (2.1.1) 1 AB AC A A B A C t t t t λ+= ++ (2.1.2) 11 BC BA BC BA BC BA t t BO BC BA t t t t = +++++ (2.2.1) 1 BC BA B B C BA t t t t λ+= ++ (2.2.2) 11 CA CB CA CB CA CB t t CO CA CB t t t t = +++++ (2.3.1) 1 CA CB C CA CB t t t t λ+= ++ (2.3.2) 且有2A B C λλλ++= (2.4) 证明： ∵点B 、O 、E 共线，且B BO BE λ= ∴(1)(1)1AC B B B B AC t AO AB AE AB AC t λλλλ=-+=-+?+ ………………① 同理，∵点C 、O 、F 共线，且C CO CF λ= ∴(1)(1)(1)11AB AB C C C C C C AB AB t t AO AC AF AC AB AB AC t t λλλλλλ=-+=-+? =?+-++ ………………② ∴1111AB B C AB AC B C AC t t t t λλλλ? -=?+???=-+??，解得：1111AC B AB AC AB C AB AC t t t t t t λλ+?=?++??+?=++?? ………………③