高考数学题型全归纳：正弦定理的变形应用典型例题含答案

正弦定理的变形应用

例：已知圆O 的半径为R ，它的内接三角形

ABC 中，B b a C A R sin )2()sin (sin 222成立，求角C 的大小．

分析：观察已知等式的结构特征，用正弦定理将角转化为边，再用余弦定理求得角C 后，将面积S 表示成函数关系式求解．

解：由B b a C A R sin )2()sin (sin 222，得

B

R b a C A R sin 2)2()sin (sin )2(222用正弦定理，得

2222b ab c a ，即ab c b a 2222．

由余弦定理，得

,

22

222cos 2

22ab ab ab c b a C .

4C 小结：本题由ab c b a 2222，联想余弦定理求得

4C 是解题的关键，类似地，由3222C ab c b a ，由63222

ab c b a ．熟记这些结论，可以快速解题．

余弦定理知识点+经典题(有答案)

余弦定理 余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- 2.利用余弦定理解三角形： （1）已知两边和它们所夹的角： （2）已知三边： 余弦定理 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( )A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．4 6 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ 3ac ， 则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 6．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4

7．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( ) A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2 8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 9．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．10．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c 的值为________． 11．在△ABC中，a＝32，cos C＝1 3 ，S△ABC＝43，则b＝________. 12．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________． 13．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c2 4 ，则角C＝________. 14．(2015年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．

(完整版)正弦定理练习题经典

正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

高考数学典型例题---数学归纳法解题

数学归纳法 每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究 ［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，

《正弦定理和余弦定理》典型例题.

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A = ，30C = ，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C = ， ∴sin 10sin 45sin sin 30c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+= ， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304 c B b C ?====?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在60,1ABC b B c ?=== 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

正弦定理、余弦定理经典练习题

学科数学版本人教版大开本、3+x 期数2339 年级高一编稿老师梁文莉审稿教师 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： §5.9正弦定理、余弦定理 目标：使学生理解正弦定理、余弦定理的证明和推导过程，初步运用它们解斜三角形。并会利用计算器解决解斜三角形的计算问题。培养学生观察、分析、归纳等思维能力、运算能力、逻辑推理能力，渗透数形结合思想、分类思想、化归思想，以及从特殊到一般、类比等方法，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 二. 重点、难点： 重点： 正弦定理、余弦定理的推导及运用。 难点： （1）正弦定理、余弦定理的推导过程； （2）应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 ［学法指导］ 学习本节知识时可采用向量法、等积法（面积相等）等不同方法来推导正弦定理，以加深对定理的理解和记忆，由于已知两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，此时三角形可能出现两解、一解、无解三种情况，因此解此类三角形时，要注意讨论。 深刻领会向量的三角形法则及平面向量的数量积是用向量法推导余弦定理的关键。注意余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。当有一个角为90°时，即为勾股定理。因此，勾股定理可看作是余弦定理的特例。 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。一般地，利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（R 为ΔABC外接圆半径），可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理A＋B＋C＝π。 可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题。在三角形中，有一个角的余弦值为负值，该三角形为钝角三角形；有一个角的余弦值为零，便是直角三角形；三个角的余弦值都为正值，便是锐角三角形。 【例题分析】

正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

高考数学 题型全归纳 如何由递推公式求通项公式典型例题

如何由递推公式求通项公式 高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。 下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。 类型一：1()n n a a f n +-= 或 1 () n n a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或1 21 121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211 ,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s += =，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121 1 1 1 (1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111 ()()()121122 n n n n =-+-++-+---…… 312n = - （2）2(1)n n s n a =+Q 112(2)n n s na n --∴=≥ 两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2) 1n n a n n a n -=≥- 12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---∴=??…… 121 121n n n n -=??--……

正弦定理典型例题与知识点

正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA≤) ( b a 锐角一解无解 b a 1、已知中，，，则角等于 ( D) A ． B ． C ． D ．

2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D．

1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ）

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-，则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

高考数学典型题归纳

高考数学典型题归纳 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合等于 A ．{2，3} B ．{2，3，5，6} C ．{1，4} D ．{1，4，5，6} 2．设复数满足，则z 的共轭复数z = A ． B ． C ． D ． 3. “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．抛物线()2 40y ax a = ≠的焦点坐标是 A. ()0,a B. (),0a C. 10,16a ? ? ??? D. 1,016 a ?? ??? 5. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是 A. 4 3 3cm B. 833cm C.33cm D.4 3cm 7. 已知实数满足约束条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则的 最大为 A . B. C. D. 8. 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是 ,x y 2z x y =+3323 2 -3-k ()N M

余弦定理教学设计经典

1.1．2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形； 能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。 难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股02220定理的知识，即当∠C=90时，有c=a+b。作为一般的情况，当∠C≠90时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。

高考数学典型例题详解

高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由? ??<<-<

∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2f (0)对所有θ∈［0, 2 π ］都成立？ 若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由. 命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目. 知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ), 即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2－mt +2m －2=(t － 2 m )2 －4 2 m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正. ∴当 2 m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0?m >1与m <0不符； 当0≤2 m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0 ?4－221,即m >2时，g (1)=m －1>0?m >1.∴m >2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22.

(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案

解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.

正余弦定理复习教案设计

正弦、余弦定理 一. 教学内容： 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点： 1. 重点： 正弦、余弦定理。 2. 难点： 运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 cos ,cos ,cos . bc A ac B ab C 注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。（∵sinA>sinB ? 22R R >?a>b ?A>B ） 二、应用举例 1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向； ②北偏本α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式 （1）1 ()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径； （3）1 ()()2 S r a b c r =++为内切圆半径。 【典型例题】 [例1] 已知在ABC ?中，?=∠45A ，2=a ，6=c 解此三角形。 练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。 （1）5=a ，4=b ，?=120A （2）7=a ，14=b ，?=150A （3）9=a ，10=b ，?=60A （4）50=c ，72=b ，?=135C 正弦定理余弦定理的应用：

江苏省2020年高考数学说明典型例题(教师版)

2020年江苏省高考说明 -----典型题示例 (一)填空题 1．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【解析】本题主要考查对数函数的单调性．本题属容易题. 【答案】+∞1（－，） 2 . 2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是_______. 【解析】本题主要考查复数的基本概念、基本运算．本题属容易题. 【答案】1. 3．设集合{1,1,3}A =-，2 {2,4}B a a =++，{3}A B ?=，则实数a 的值为_______. 【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识．本题属容易题. 【答案】1. 4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是______. 【解析】本题主要考查古典概型．本题属容易题. 【答案】 13 . 5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有 根的长度小于20mm. 【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题. 【答案】30 6．右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是________. 【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识．本题属容易题. 【答案】63. 7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若11a =，公差2d =，22k k S S +-=， 则正整数k =________. 【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和与其通项的关系等基础知识． 本题属容易题. 【答案】5. 8．设直线1 2 y x b = +是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法．本题属中等题. 【答案】ln21-. (第6题) (第5题)