输出S K=K+1
a =a S =S +a ?K 是否
输入a S =0,K =1结束
K ≤6开始2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国2卷)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.
31i
i
+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i - 2.设集合{}1,2,4A =,{}
240x x x m B =-+=.若{}1A
B =,则B =()
A .{}1,3-
B .{}1,0
C .{}1,3
D .{}1,5
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()
A .1盏
B .3盏
C .5盏
D .9盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π
5.设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??
-+≥??+≥?
,则2z x y =+的最小值是()
A .15-
B .9-
C .1
D .9
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()
A .12种
B .18种
C .24种
D .36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则() A .乙可以知道四人的成绩 B .丁可以知道四人的成绩
C .乙、丁可以知道对方的成绩
D .乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =() A .2 B .3 C .4 D .5
9.若双曲线C:22221x y a b
-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()22
24x y -+=所截
得的弦长为2,则C 的离心率为()
A .2
B .3
C .2
D .23
10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异
面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为()
A
B
.5 C
.5
D
11.若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1 12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值是() A.2- B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二
等品件数,则D X =.
14.函数(
)23sin 4f x x x =+-
(0,2x π??
∈????
)的最大值是. 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则
11
n
k k
S ==∑. 16.已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点,M 是C 上一点,F M 的延长线交y 轴于点N .若M 为F N 的中点,则F N =.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。
17.(12分)ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=. (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b
18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )其频率分布直方图如下:
(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法
的箱产量不低于50kg ”,估计A 的概率;
(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
(3) 根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01
)
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
旧养殖法/kg
O
/kg
新养殖法
O
19.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ,
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. (1)证明:直线//CE 平面PAB
(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,
求二面角M -AB -D 的余弦值
20.(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2
2
1
2
x y +=上,
过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程;
(2) 设点Q 在直线x =-3上,且1OP PQ ?=.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21.(12分)已知函数2
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;
(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2
20()2e
f x --<<.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为
cos 4ρθ=.
(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标
方程;
(2)设点A 的极坐标为(2,
)3
π
,点B 在曲线2C 上,求OAB ?面积的最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知3
3
0,0,2a b a b >>+=,证明: (1)5
5()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 16. 6 三、解答题 17.解:
(1)由题设及2
sin 8sin 2
A B C B π
π++==得,故
sin 4-cosB B =(1)
上式两边平方,整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17
1(舍去),= (2)由158cosB sin B 1717==
得,故14a sin 217
ABC S c B ac ?== 又17
=22
ABC S ac ?=,则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-??+=(+c )
所以b=2 18.解:
(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”,C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++?()
故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
0.0680.0460.0100.0085=0.66+++?()
故()P C 的估计值为0.66
因此,事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?= (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
()2
2
2006266343815.705
10010096104
K ??-?=
≈???
由于15.705 6.635>
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++?=<,
箱产量低于55kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++?=>
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34
50+
2.35kg 0.068
()
≈5. 19.解:
(1)取PA 中点F ,连结EF ,BF .
因为E 为PD 的中点,所以EF AD ,12EF AD =
,由90BAD ABC ∠=∠=?得BC AD ∥,又1
2
BC AD = 所以EF BC ∥.四边形BCEF 为平行四边形,CE BF ∥.