确定一次函数解析式的五种方法

五种类型一次函数解析式的确定

确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式

例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。

分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），

所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。

解：

因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），

所以，把x=2，y=-6代入解析式中，

得：-6=3×2+b，

解得：b=-12，

所以，函数的解析式是：y=3x-12.

二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式

例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），

求函数的表达式。

分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，

因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。

解：

因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），

所以，4=3k+b，7=2k+b，

所以，b=4-3k，b=7-2k，

所以，4-3k=7-2k，

解得：k=-3，

所以，函数变为：y=-3x+b，

把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，

解得：b=13，

所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。

三、根据函数的图像，确定函数的解析式

例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．

求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。

分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。

解：

因为，函数的图像是直线，

所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，

设：一次函数的表达式为：y=kx+b，

因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），

所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，

得：40=k×0+b，0=8k+b

解得：k=-5，b=40，

所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。

当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时；

当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时，

所以，自变量x的范围是：0≤x≤8.

四、根据平移规律，确定函数的解析式

例4、如图2，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．（08年上海市）

分析：仔细观察图像，直线OA经过坐标原点，所以，直线OA表示的一个正比例函数的图像，并且当x=2时 y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。

把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b （k≠0，b≠0）的图像。

具体平移要领：

当b＞0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b （k≠0）的图像。

当b＜0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b （k≠0）的图像。

解：

因为，直线OA经过坐标原点，

所以，直线OA表示的一个正比例函数的图像，

设y=kx，

把x=2， y=4代入上式，得：4=2k，

解得：k=2，

所以，正比例函数的解析式为：y=2x，

所以，直线向上平移1个单位，所得解析式为：y=2x+1，

所以，这个一次函数的解析式是y=2x+1。

五、根据直线的对称性，确定函数的解析式

例5、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。

分析：直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于y轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出k、b的值。

解法1：

设A（x，y）是直线y= -3x+7上一个点，

其关于y轴对称的点的坐标为（-x，y ），

则有：y= -3x+7，y= -kx+b

整理，得：-3x+7= -kx+b，

比较对应项，得：k=3，b=7。

解法2：设A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，

其关于y轴对称的点的坐标为（a，b），

则有：b=n，m=-a，

因为，A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点，

所以，点的坐标满足函数的表达式，

即n=-3×m+7，

把n=b ，m=-a ，代入上式，得：

b=-3×（-a ）+7，

整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线y=kx+b 是同一条直线， 比较对应项，得：k=3，b=7。

解法3：

因为，y=kx+b ，所以，x=

k

b y -， 因为，y= -3x+7，所以，x=37--y ， 因为，直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于y 轴对称，

所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数， 所以，k b y -= -37--y =3

7-y ， 比较对应项，得：y-b= y-7，k=3，

所以，k=3，b= 7。

解法4、

因为，直线y= -3x+7，

所以，

当x=1时，y=-3×1+7=4，

即点的坐标（1，4）；

当x=2时，y=-3×2+7=1，

即点的坐标（2，1）；

因此，（1，4）、（2，1）关于y 轴对称的坐标分别为（-1，4）、（-2，1）， 所以，点（-1，4）、（-2，1）都在直线y=kx+b ，

所以，?

??+?-=+?-=b k b k 2114， 留一个练习：

1、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。

2、已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于原点对称，求k 、b 的值。 参考答案：

1、k=3，b=-7.

2、k=-3，b=-7.

函数解析式的表示形式及五种确定方式

函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数 叫做分段函数。 例1、设函数(]()???+∞ ∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由41log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方 程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求 出系数。 例3、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。

函数解析式的七种求法(讲解)之令狐文艳创作

函数解析式的七种求法 令狐文艳 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求 )(x f 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 二、配凑法：已知复合函数 [()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时， 常用配凑法。但要注意所求函数 ()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数 [()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知 x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一 般用代入法。 例4已知：函数 )(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点 )3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'322 2y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得 672---=x x y 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求 )(x f 解 x x f x f =-)1(2)(① 显然,0≠x 将x 换成x 1 ，得：

求函数解析式的几种常用方法

求函数解析式的几种常 用方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

求函数解析式的几种常用方法 一、高考要求: 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳: 求解函数解析式的几种常用方法主要有: 1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. 二、题例讲解: 例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )= )1 (1 2x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式. 命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力. 知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0

确定函数表达式

《确定二次函数的表达式(第1课时）》 教学设计说明 江西省东乡区黎圩中学李智武 一、学生知识状况分析 学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识.以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难，因此，课堂教学时应鼓励学生敢于探究与实践，通过小组合作交流等形式，充分调动学生自主学习积极性和培养学生主动发展的习惯和能力.在学生自主学习时，要注意引导学生灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程. 二、教学任务分析 本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程. 本节课的教学目标 知识与技能： 能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式. 过程与方法：

经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法. 情感、态度与价值观： 能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识. 学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节： 第一环节 复习引入 1.二次函数表达式的一般形式是什么? y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0) 2.二次函数表达式的顶点式是什么? k h x a y +-=2)( (a ≠0). 3.若二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式? )x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0). 复习引入 初步探究 深入探究 反馈练习 与知识拓展 课时小结 作业布置

一次函数解析式专题练习(全面)

1 / 3 一次函数解析式的确定练习题 第1题?如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ? b 的图象，看图填空: 则y 与x 之间的函数关系式是 第5题.已知直线y = _5x ? a 与直y = 5x ? b 的交点坐标为 （m,8）， 贝H a b 的值是 _________________ . 1 第6题.若直线y x ? n 与直线y = mx -1相交于（1, - 2），则（ ） 2 第7题.已知下表是y 与x 的一次函数，请写出函数表达式， x -2 -1 0 2 3 y 4 第8题.如图所示，直线I 是一次函数y 二kx ?b 的图象. （1 ）图象经过（0, _ ）和（ _ -）点; （2）贝廿 k 二 ___ - b 二 _________ 第9题.某一次函数的图象经过点 （-1,2）-且函数y 的值随自变量2 出一个符合上述条件的函数关系式是 _____________________ 1 第10题.已知y-m 与3x+6成正比例关系（m 为常数当帚 -1 -2 第11题.已知一次函数y 二kx ? b 的图象经过点 A （2,5）和点E ,点E 是一次函数y = 2x -1 的图象与y 轴的交点，则这个一次函数的表达式是 ___________________ . 1 第12题.直线y =kx ? b 过点（-2,5）且与y 轴交于点P ，直线y x 3与y 轴交于Q - (1) b = k 二 ; (2 )当 x = 6 时， y = ； (3 )当 y =6时， X 二 . 第 2题. 一次函数 y =bx 2的图象经过点A （_1,1） ,I 则 b Y 第3题.正比例函数的图象经过点 A （-2,-3），求正比例函数的关系式. 第4题.y ?3与x 1成正比例，且当x = 1时，y =1 -T O k y / I /的增大而减小，请你写 I | 4 时，a yp4，当 x = 3 时, y =7，那么y 与x 之间的函数关系式是 1 2 3 2

高考求函数解析式方法及例题

高考求函数解析式方法 及例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 ，求f(x)的解， 待定系数法 ()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。 x y ()f x 例题：

解法一、 1222x x a ? -= =2248b ac a ∴-=21 ()21 2f x x x ∴=++1 c =又1 ,2,12a b c = ==解得2 ()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40 a b -=得 解法二、 (0)1f =41 a k ∴+=12 22x x -=222k a -∴=1 ,12 a k ∴= =-22 1 ()(2)121212 f x x x x ∴= +-=++()y f x =2 x =-得的对称轴为 (2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k =++设 二 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入 ))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 三【配凑法（整体代换法）】 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

确定一次函数解析式

19．2一次函数（2） 班级学号姓名 【学习目标】 1．能根据已知条件确定一次函数关系式． 2．能利用一次函数关系式求相应的自变量的值以及函数值． 【重、难点】 重点：运用待定系数法求一次函数关系式． 难点：求一次函数关系式中的自变量的取值范围． 【新知预习】 1．已知函数y＝2x－3，当x＝－2时，y＝____；当y＝1时， x＝___ ．2．某跨江大桥的收费站对过往车辆都要收费，规定大车收费60元，小车收费50元，若某天过往车辆为3000辆，求所收费用y与小车x（辆）之间的函数关系，及x的取值范围． 【导学过程】 活动1： 一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm. （1）写出蚊香点燃后的长度y(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系式； （2）5h后蚊香还剩多长？ （3）该盘蚊香可以使用多长时间？ （4）求t的取值范围. 活动2： 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体的质量x（克）的一次函数,当所挂物体的质量为10克时，弹簧长11厘米；当所挂物体的质量为30克时，弹簧长15厘米. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）求所挂物体的质量为4克时的弹簧的长度； （3）当弹簧长为29厘米时，所挂物体的质量为多少克？ 小结：求一次函数表达式的一般步骤： 例1．已知：y是x的正比例函数，x=2时，y=6，求y与x的关系式. 例2．已知y与x－3成正比例，当x=4时，y=3，求y与x的函数关系式．

变式1 已知y－1与x成正比例，当x=2时，y=－4，求y与x的函数关系式． 变式2 已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x－2成正比例，当x=－1时，y=2； 当x=2时，y=5，求y与x的函数关系式． 例3．长方形的周长为20cm． (1)写出长y与宽x之间的函数关系式； (2)当长为5 cm时，宽为多少？ (3)求长的取值范围． 【反馈练习】 1.完成课本P145练习． 2.已知函数y=4x+5,当x=-3时，y= ；y=5时，x= ． 3.已知y与4x－1成正比例，当x=3时，y=6，求出y与x的函数关系式． 4.已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y=9; 当x=2时，y=-3. (1)求这个函数的函数关系式； (2)y=5时，求x的值． 5.已知：y－3与x+2成正比例，且x＝2时，y＝7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值； （3）计算y＝4时，x的值. 6．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸，按如图所示方法粘合在一起，粘合部分白纸为2cm. （1）求10张白纸粘合后的长度； （2）设x张白纸粘合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式； （3）求x的取值范围．

经典函数解析式求法

求函数定义域的方法 一．已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k ππ+， k ∈z ｝ 例1 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 二． 复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例2 （1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f （x ）的定义域为〔a ，b 〕，求f 〔g （x ）〕的定义域是解a ≤g （x ）≤b ，即得所求的定义域。 （2）是已知f 〔g （x ）〕的定义域，求f （x ）的定义域。其解法是：已知f 〔g （x ）〕的定义域为〔a ，b 〕，求f （x ）的定义域的方法为：由a ≤x ≤b ，求g （x ）的值域，即得f （x ）的定义域。 解：（1）令-2≤X 2—1≤2 得-1≤X 2≤3，即 0≤X 2≤3，从而 x ∴函数y=f （x 2-1）的定义域为〔。 （2）∵y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，指在y=f （2x+4）中x ∈〔0，1〕，令t=2x+4， x ∈〔0，1〕，则t ∈〔4，6〕，即在f （t ）中，t ∈〔4，6〕∴f （x ）的定义域为〔4，6〕。 （3）由 -1≤x +1≤2 -1≤X 2—1≤2 得 x ≤1

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

二次函数解析式的确定(10种)

二次函数解析式的确定2 〈一〉三点式。 1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21 a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。 1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物 线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，求抛物线的解析式。 2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA=4 3OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将 三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。

一次函数解析式的确定及应用

一次函数解析式的确定及应用 学习目标 1.经历用待定系数法确定一次函数解析式的过程，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，提高数学运算能力. 2.能够用一次函数的相关知识解决实际问题，感受一次函数在解决实际问题中的作用，提高利用数学建模解决实际问题的能力. 教学过程 活动一:待定系数法 1.已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），求这个一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为 ，将点（2，5）和（-1，-1）代入，得方程组 ，解方租 ，所以这个一次函数的解析式为 . 2.一次函数)0(≠+=k b kx y 中有 个待定系数，因此需要根据 个条件才能列出关于 的二元一次方程组求解. 探究归纳： 1.待定系数法 先设出 ，再根据条件确定解析式中 ，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. 2.求一次函数解析式的步骤 （1）设出 （2）根据条件列出解析式中关于未知系数的方程（组）; （3）解方程（组），确定 （4）根据求出的未知系数确定 活动二:知识点即时反馈练习 1.一次函数3+=kx y 中，当3=x 时，6=y ，则k 的值为( ) A.-1 B.1 C.5 D.-5

2.如果一次函数的图象经过点（0，1）和（-1，3），那么这个函数的解析式为( ) A.1 - y 2- =x =x 2+ - y B.1 C.1 =x 2+ 2- y y D.1 =x 3.如图，直线l为一次函数b =2的图象，则= x y+ b 活动三：典型习题 例1.（1）已知一次函数的图象过A（-3，-5），B（1，3）两点，求这个一次函数的解析式为.（2）已知直线b =，求这个一 y2 - y+ kx =经过点A（0，6），且平行于直线x 次函数的解析式. 变式练习1 一次函数的图象与直线1 y平行，且经过点 A（1，-7），求这个一次函数的解 =x 3- - 析式. 变式练习2 已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求一次函数的解析式. 例2.某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（单位∶元）与每月用水量x（单位∶m3）之间的 关系如图所示. （1）求y关于x的函数解析式 （2）若某用户二、三月份共用水 40 m2（二月份用水

函数解析式求法总结及练习题

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ? =+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3 2 1 2b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解 析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表 示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2． 把???-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ． 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置

函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 此法较适合简单题目。 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知2 2 1)1(x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1(2 -+ =+ x x x x f ， 21≥+ x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2 -=-+-=t t t t f 1)(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2 +=-+=+∴ )0(≥x

(2)设 .)(,,,1 11 1111 11-= ∴-= - = = =x x f t t t f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(12121 0224 2222 --=∴?? ???-=-==∴?????=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1 (2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

4.4确定一次函数表达式的六种类型1

4.4确定一次函数表达式的六种类型 【学前准备】： 1.正比例函数的表达式是 ；一次函数的表达式是 . 2.正比例函数图象一定经过坐标 ，正比例函数图象和一次函数图象都是 。 3.直线x y 2-=与直线52+-=x y 的位置关系是 ；直线13--=x y 与 直线5+=x y 的位置关系是 4.一次函数2-=kx y 中，若y 随x 的增大而减小，则k 0； 5.一次函数3+=kx y 中，当x=-2时，y=1，则k= 。 6.函数b x y +-=的图象经过点（－5，2），则b= . 想一想： （1） 确定正比例函数的表达式需要____个条件， （2） 确定一次函数的表达式需要_____个条件。 一、根据规律： 1.某山区的气温t （℃）和高度h （米）之间的关系如下表 由上表得t 与h 之间的关系式是 . 二、根据图象： 直线l 是一次函数 y = kx + b 的图象， (1) b = ，k = ； (2) 当x =30时，y = ； (3) 当y =30时，x = 。 三、根据平行： 1.一次函数y=kx+b 的图象平行于正比例函数y=0.5x 的图像，且过点（4，7），求一次函数的解析式以及与坐标轴的交点坐标. 2.已知正比例函数y=kx 经过点P(1，2），如图所示． （1）求这个正比例函数的解析式； （2）将这个正比例函数的图像向右平移4个单位，写出在这个平移下，点P 、 原点O 的像P '、O '的坐标，并求出平移后的直线的解析式． O' P'P (1, 2 )O x y

四、根据面积： 直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积是4，求表达式。 五、根据定义： 1.y与x成正比例，其图象经过)1,3 (P；求y与x的关系式。 2、已知y-1与x+1成正比例，且x=2时，y=7，求表达式。 3、若函数y=kx+b的图象经过点（-3，-2）和（1，6）求k，b及表达式。 六、根据交点： 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1，-5)，且与正比例函数y= 1 2x的图象相交于点(2， a)，求 (1)a的值 (2)k，b的值 (3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。

八年级数学 一次函数解析式求法及答案详解

一次函数解析式求法 1.已知52)2(--+=m m x m y 是正比例函数,若A(a,10)在此直线上,求a 的值. 2.已知直线经过原点及另一点A(-2，4)，求此直线解析式。 3.已知y 与2x-1成正比例,当x=-1时,y=9,求y 与x 的函数关系式. 4.已知2y-1与3-4x 成正比例,当x=2时,y=-7,求y 与x 的函数关系式.

5.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-3成正比例,当x=1时,y=-4;当x=-3时,y= 6.求y与x的函数关系式. 6.如图,已知菱形ABCD在平面直角坐标系中,B(6,2),C(12,6). (1)求D点坐标及菱形ABCD的面积; (2)若直线y=kx始终与线段CD有交点,求k的取值范围. 7.已知直线与坐标轴交于A、B两点,A(-4，0),已知△OAB的面积为12,求直线AB的解析式.

8.已知直线AB,当-2≤x≤4时,函数值y的取值范围为-1≤x≤8,求直线AB的解析式. 9.如图,已知矩形OABC在坐标系中,A(10，0)，C(0，6)，E在AB上,连接CE,将△BCE沿CE折叠,使B点落在OA的F点处. (1)求F点及E点坐标; (2)求直线CE解析式.

10.已知直线经过点)2321(， A 和点B(1，6). (1)求直线AB 的解析式; (2)求直线AB 与x 轴、y 轴的交点坐标C 和D,并求CD 的长; (3)若点E 在y 轴上,当C 、D 、E 三点围成的三角形是等腰三角形,求满足条件的E 点坐标. 11.如图,直线y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E,F.点E 的坐标为(-8,0)，点A 的坐标为(-6,0). （1）求k 的值； （2）若点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点.当点P 运动过程中,试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； （3）探究:当P 运动到什么位置时,△OPA 的面积为8 27,并说明理由．

八年级数学上册 五种类型一次函数解析式的确定(人教版)

五种类型一次函数解析式的确定 确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。 一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式 例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。 分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6）， 所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。函数的解析式就确定出来了。 解： 因为，函数y=3x+b经过点（2，-6）， 所以，把x=2，y=-6代入解析式中， 得：-6=3×2+b， 解得：b=-12， 所以，函数的解析式是：y=3x-12. 二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式 例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7）， 求函数的表达式。 分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b， 因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。 解： 因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7）， 所以，4=3k+b，7=2k+b， 所以，b=4-3k，b=7-2k， 所以，4-3k=7-2k， 解得：k=-3， 所以，函数变为：y=-3x+b， 把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b， 解得：b=13， 所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。 三、根据函数的图像，确定函数的解析式 例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．

求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。 分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。 解： 因为，函数的图像是直线， 所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数， 设：一次函数的表达式为：y=kx+b， 因为，图像经过点A（0，40），B（8，0）， 所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中， 得：40=k×0+b，0=8k+b 解得：k=-5，b=40， 所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。 当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时； 当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时， 所以，自变量x的范围是：0≤x≤8. 四、根据平移规律，确定函数的解析式 例4、如图2，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．（08年上海市）

求函数解析式,的四种常用方法

求函数解析式的四种常用方法 1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． 2．换元法：设t ＝g(x )，解出x ，代入f (g(x ))，求f (t)的解析式即可． 3．配凑法：对f (g(x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g(x )”即可． 4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． [再练一题] 3．已知函数f (x )是二次函数，且f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则f (x )＝________. 【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1得c ＝1. 又f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1， ∴f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b . 由2ax ＋a ＋b ＝2x ，得????? 2a ＝2a ＋b ＝0， 即a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 【答案】 x 2－x ＋1 1．下列表示函数y ＝f (x )，则f (11)＝( ) A ．2

C ．4 D ．5 【解析】 由表可知f (11)＝4. 【答案】 C 2．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10 【解析】 法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5， ∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ， 即f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x . 法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x . ∴f (x )的表达式是f (x )＝x 2＋6x ， 故选A . 【答案】 A 3．f (x )＝|x －1|的图象是( ) 【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝????? x －1，x ≥1，1－x ，x <1， 当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A ，C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D. 【答案】 B 4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm )之间的表达式是________．

函数解析式的七种求法(讲解)

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求 )(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴??????=-===32 12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知 221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的 解析式。 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直 线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数 )(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式。 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2 把? ??-='--='y y x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y 整理得672---=x x y ∴67)(2---=x x x g