贝叶斯定理及应用
贝叶斯定理及应用
中央民族大学
孙媛
一贝叶斯定理
一、贝叶斯定理
贝叶斯定理（Bayes‘ theorem）由英国数学家托马斯贝叶斯（Thomas Bayes）
·Thomas Bayes 在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。用来描述两个条件概率之间的这个定理
关系，比如P(A|B) 和P(B|A)。
一、贝叶斯定理
一贝叶斯定理
所谓的贝叶斯定理源于他生前为解决一个“逆概”问题写的一篇文章，而这篇文章是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。
在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如假设袋子里面有N 个白球，M 个黑球，你伸手进去摸一如“假设袋子里面有N个白球M个黑球你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。而一个自然而然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测。这个问题，就是所谓的逆向概率问题。
样的推测”。这个问题就是所谓的逆向概率问题。
一、贝叶斯定理
一贝叶斯定理
←实际上就是计算"条件概率"的公式。
p y，
←所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。
的先验概率之所以称为先验是因为它不考虑任何←P(A)是A的先验概率，之所以称为先验是因为它不考虑任何B
的因素。
←P(A|B)是在B发生时A发生的条件概率，称作A的后验概率。←P(B)是B的先验概率。
←P(B|A)是在A发生时B发生的条件概率，称作B的后验概率。
贝叶斯定理与其他统计学推断方法截然不同它建立在主←贝叶斯定理与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主
观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。
←贝叶斯定理需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯定理力为验证这些统计量提供了方便也为应用贝叶斯定理创造了条件，它的威力正在日益显现。
一贝叶斯定理
一、贝叶斯定理
根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是
生的情况下事件
P(A∩B)除以P(B)。
一、贝叶斯定理
一贝叶斯定理
贝叶斯公式的用途在于通过己知三个概率来推测第四个概率。它的内容是：在B 出现的前测第四个概率它的内容是B
提下，出现的概率等于出现的前提下
A A B
出现的概率乘以A 出现的概率再除以B 出现
的概率。通过联系A 与B，计算从一个事件
发生的情况下另一事件发生的概率，即从结果发生的情况下另事件发生的概率即从结果溯到源头即概率
上溯到源头（也即逆向概率）。
一、贝叶斯定理
一贝叶斯定理
通俗地讲就是当你不能确定某一个事件发生的概率时你可以依靠与该事件本质属性相关的概率时，你可以依靠与该事件本质属性相关的
事件发生的概率去推测该事件发生的概率。用事件发生的概率去推测该事件发生的概率
数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生
得愈多，则该事件发生的可能性就愈大。这个
推理过程有时候也叫贝叶斯推理。
二、全概率公式
二全概率公式
←假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。
←上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。
二、全概率公式
二全概率公式
←这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件A'
间的个划分，那么事件B的概率，就等于A和A的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
←将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另种写法：
率的另一种写法：
例1：随机选球问题
设有个各个球的箱箱 假设有两个各装了100个球的箱子，甲箱子
，绿，
中有70个红球，30个绿球，乙箱子中有30个红球，70个绿球。假设随机选择其中一个箱子，从中拿出个球记下球色再放回个箱子从中拿出一个球记下球色再放回原箱子，如果得到的球是红球。问认为被选择的箱子是甲箱子的概率有多大？
←刚开始选择甲乙两箱子的先验概率都是50%，因为是随机是贝斯定的因为是随机二选一（这是贝叶斯定理二选一的
特殊形式）。即有：
)=05)=1-
←P(甲) = 0.5，P(乙) = 1 -P(甲)；
←这时在拿出一个球是红球的情况下，我们就应该根据这个信息来更新选择的是甲箱子的先验概率：
←P(甲|红球1) = P(红球|甲) ×P(甲) / (P(红球|甲)(甲)((红球|乙)(乙)))
) ×P() + (P() ×P(
P(红球|甲)：甲箱子中拿到红球的概率
P(红球|乙)：乙箱子中拿到红球的概率
←因此在出现一个红球的情况下，选择的是
验概就可修
甲箱子的先验概率就可被修正为：
←P(甲|红球1) = 0.7 ×0.5 / (0.7 ×0.5 + 0.3 ×0.5) = 0.7
0305)=07
←这表明，来自甲箱子的概率是0.7。也就是说，取出红球之后，甲箱子的可能性得到了增强。
←如果选中的是一个绿球，问甲箱子的概率多
有多大？
红球修正（概率增加），绿球修正（概率←
减少）
三贝叶斯推断的含义三、贝叶斯推断的含义←对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：
对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式←
我们把P(A)称为“先验概率”（Prior probability ），即在B 事件发生之前，我们对A 事件概率的一个判断。“”Posterior probability ）←
P(A|B)称为后验概率（Posterior probability ），即在B 事件发生之后，我们对A 事件概率的重新评估。←
P(B|A)/P(B)称为“可能性函数”（Likelyhood ），这是个调整因使得估概率接近真实概率|y 这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。←贝叶斯推断（Bayesian inference ）是一种统计学方法用来估计统计量的某种性质它是贝叶斯定理的应法，用来估计统计量的某种性质。它是贝叶斯定理的应
用。
三贝叶斯推断的含义
三、贝叶斯推断的含义
所以条件概率可以理解成下面的式子
←所以，条件概率可以理解成下面的式子：
←后验概率＝先验概率ｘ调整因子
这就叶斯推断的含义我们估个验
←这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增
强还是削弱了先验概率，由此得到更接近事实的
""由此得到更接近事实的"后验概率"。
在这里如果“”P(B|A)/P(B)>1意←在这里，如果可能性函数P(B|A)/P(B)>1，意味着“先验概率”被增强，事件A的发生的可能性
变大；如果可能性函数1，意味着B事件无助
“”=1
于判断事件A的可能性；如果“可能性函数”<1，
意味着“先验概率”被削弱，事件A的可能性变小。
例2：水果糖问题
两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，碗，碗颗水颗力，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？
我们假定表示号碗表示二号碗←
我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)P(H2)也就是说在取出水果糖P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)05我们把这个概率就叫做P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。←E 再假定，表示水果糖，所以问题就变成了
在已知E 的情况下，来自一号碗的概率有多"大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做后验概率"，即在E 事件发生之后，对P(H1)的修正。
根据条件概率公式得到
根据条件概率公式，得到
已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，
等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，
所以，
将数字代入原方程，得到
将数字代入原方程得到
这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。
贝叶斯定理
贝叶斯定理 (重定向自后验概率) 贝叶斯定理（Bayes theorem），是概率论中的一个结果，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。在有些关于概率的解说中，贝叶斯定理(贝叶斯更新）能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。 通常，事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系,贝叶斯定理就是这种关系的陈述。 作为一个规范的原理，贝叶斯定理对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中，概率如何被赋值，有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。一个结果就是，贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯定理。本文深度讨论了这些争论。 贝叶斯定理的陈述 贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的一则定理。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。 在贝叶斯定理中，每个名词都有约定俗成的名称： 按这些术语，Bayes定理可表述为： 后验概率= (相似度* 先验概率)/标准化常量 也就是说，后验概率与先验概率和相似度的乘积成正比。 另外，比例P(B|A)/P(B)也有时被称作标准相似度（standardised likelihood），Bayes定理可表述为： 后验概率= 标准相似度* 先验概率 从条件概率推导贝叶斯定理 根据条件概率的定义 . 在事件B发生的条件下事件A发生的概率是
同样地, 在事件A发生的条件下事件B发生的概率 整理与合并这两个方程式, 我们可以找到 这个引理有时称作概率乘法规则.上式两边同除以P(B), 若P(B)是非零的, 我们可以得到贝叶斯定理: 二中择一的形式 贝叶斯定理通常可以再写成下面的形式： 在更一般化的情况，假设{A i}是事件集合里的部份集合，对于任意的A i，贝叶斯定理可用下式表示：
贝叶斯公式应用案例
贝叶斯公式应用案例 贝叶斯公式的定义是： 若事件B1 ,B2 , …,Bn 是样本空间Ψ的一个划分, P(B i)>0 (i =1 ,2 , …, n ),A 是任一事件且P(A)>0 , 则有 P(B|A)= P(B j )P(A| B j ) / P(A) (j =1 ,2 , …, n ) 其中, P(A)可由全概率公式得到.即 n P(A)=∑P(B i)P(A|B i) i =1 在我们平时工作中，对于贝叶斯公式的实际运用在零件质量检测中有所体现。 假设某零件的次品率为0.1%，而现有的检测手段灵敏度为95%（即发现零件确实为次品的概率为95%），将好零件误判为次品零件的概率为1%。此时假如对零件进行随机抽样检查，检测结果显示该零件为次品。对我们来说，我们所要求的实际有用的检测结果，应当是仪器在检测次品后显示该零件为次品的几率。 现在让我们用贝叶斯公式分析一下该情况。 假设，A=【检查为次品】，B=【零件为次品】，即我们需要求得的概率为P(B|A) 则实际次品的概率P(B)=0.1%, 已知零件为次品的前提下显示该零件为次品的概率P(A|B)= 95%, P(B)=1-0.001=0.999 所以，P(A)=0.001X0.95+0.999X0.01=0.01094 P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(A)=0.1%*95%/0.01094=0.0868 即仪器实际辨别出该次品并且实际显示该零件为次品的概率仅为8.68%。 这个数字看来非常荒谬且不切合实际，因为这样的结果告诉我们现有对于次品零件的检测手段极其不靠谱，误判的概率极大。 仔细分析，主要原因是由于实际零件的次品率很低，即实际送来的零件中绝大部分都是没有质量问题的，也就是说，1000个零件中，只有1个零件是次品，但是在检测中我们可以看到，仪器显示这1000个零件中存在着10.94个次品（1000*0.01094），结果相差了10倍。所以，这就告诉我们，在实际生产制造过程中，当一个零件被检测出是次品后，必须要通过再一次的复检，才能大概率确定该零件为次品。 假设，两次检测的准确率相同，令 A=【零件为次品】B=【第一次检测为次品】C=【第二次检测为次品】 则为了确定零件为次品，我们所需要的是P(A|BC)
浅谈贝叶斯方法
浅谈贝叶斯方法 随着MCMC（马尔可夫链蒙特卡尔理论Markov chain Monte Carlo）的深入研究，贝叶斯（T.Bayes(1702~1761)）统计已成为当今国际统计科学研究的热点。翻阅近几年国内外统计学方面的杂志，特别是美国统计学会的JASA(Journal of the American Statistical Association) 、英国皇家学会的统计杂志JRSS（Journal of the Royal Statistical Society）[1]等，几乎每期都有“贝叶斯统计”的论文。贝叶斯统计的应用范围很广，如计算机科学中的“统计模式识别”、勘探专家所采用的概率推理、计量经济中的贝叶斯推断、经济理论中的贝叶斯模型等。托马斯·贝叶斯在18世纪上半叶群雄争霸的欧洲学术界可谓是个重要人物，他首先将归纳推理法应用于概率论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推理、统计估算等作出了贡献。贝叶斯所采用的许多概率术语被沿用至今。他的两篇遗作于逝世前4个月，寄给好友普莱斯（R.Price,1723~1791）分别于1764年、1765年刊于英国皇家学会的《哲学学报》。正是在第一篇题为“机会学说中的一个问题的解”（An essay towards solving a problem in the doctrine of chance）的论文中，贝叶斯创立了逆概率思想。统计学家巴纳德赞誉其为“科学史上最著名的论文之一”。 一、第一部分中给出了7个定义。 定义1 给定事件组，若其中一个事件发生，而其他事件不发生，则称这些事件互不相容。 定义2若两个事件不能同时发生，且每次试验必有一个发生，则称这些事件相互对立。
贝叶斯定理在定位与跟踪上应用参考
2.1贝叶斯定理 贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率的一则定理。 贝叶斯定理公式：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B) （2.1.1） 上面的公式也可变形为：P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A) （2.1.2） 这里，P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。 在贝叶斯定理中，每个名词定义如下： P(A)是A的先验概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。 P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。 P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。 P(B)是B的先验概率。 2.2贝叶斯估计 2.2.1 贝叶斯估计的基本原理。 A．贝叶斯估计的4个步骤 ?假设 ?将待估计的参数看作符合某种先验概率分布的随机变量 ?估计方式 ?通过观察样本，将先验概率密度通过贝叶斯规则转化为后验概率密度。 B．概率密度估计的两种基本方法 方法1：参数估计(parametric methods) 根据对问题的一般性的认识，假设随机变量服从 某种分布，分布函数的参数通过训练数据来估计。 如：ML 估计，Bayesian估计。 方法2：非参数估计(nonparametric methods)： 不用模型，而只利用训练数据本身对概率密度做 估计。 C．贝叶斯估计应用及其框图 贝叶斯估计应用在很多领域，在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等. 贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，该分布称为先验分布。 图 2.1 贝叶斯估计应用框图
贝叶斯定理及应用
贝叶斯定理及应用 中央民族大学 孙媛
一贝叶斯定理 一、贝叶斯定理 贝叶斯定理（Bayes‘ theorem）由英国数学家托马斯贝叶斯（Thomas Bayes） ·Thomas Bayes 在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。用来描述两个条件概率之间的这个定理 关系，比如P(A|B) 和P(B|A)。
一、贝叶斯定理 一贝叶斯定理 所谓的贝叶斯定理源于他生前为解决一个“逆概”问题写的一篇文章，而这篇文章是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。 在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如假设袋子里面有N 个白球，M 个黑球，你伸手进去摸一如“假设袋子里面有N个白球M个黑球你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。而一个自然而然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测。这个问题，就是所谓的逆向概率问题。 样的推测”。这个问题就是所谓的逆向概率问题。
一、贝叶斯定理 一贝叶斯定理 ←实际上就是计算"条件概率"的公式。 p y， ←所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。 的先验概率之所以称为先验是因为它不考虑任何←P(A)是A的先验概率，之所以称为先验是因为它不考虑任何B 的因素。 ←P(A|B)是在B发生时A发生的条件概率，称作A的后验概率。←P(B)是B的先验概率。 ←P(B|A)是在A发生时B发生的条件概率，称作B的后验概率。
浅谈贝叶斯公式及其应用.
浅谈贝叶斯公式及其应用 摘要 贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起到很重要的作用。本文通过对贝叶斯公式进行分析研究，同时也探讨贝叶斯公式在医学、市场预测、信号估计、概率推理以及工厂产品检查等方面的一些实例，阐述了贝叶斯公式在医学、市场、信号估计、推理以及产品检查中的应用。为了解决更多的实际问题，我们对贝叶斯公式进行了推广，举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广。从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面、贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要。 关键词：贝叶斯公式应用概率推广
第一章引言 贝叶斯公式是概率论中重要的公式，主要用于计算比较复杂事件的概率,它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。贝叶斯公式出现于17世纪，从发现到现在，已经深入到科学与社会的许多个方面。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中生活中有广泛的应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因。 目前，社会在飞速发展，市场竞争日趋激烈，决策者必须综合考察已往的信息及现状从而作出综合判断，决策概率分析越来越显示其重要性。其中贝叶斯公式主要用于处理先验概率与后验概率，是进行决策的重要工具。 贝叶斯公式可以用来解决医学、市场预测、信号估计、概率推理以及产品检查等一系列不确定的问题。本文首先分析了贝叶斯公式的概念，再用贝叶斯公式来解决实际中的一些问题。然后将贝叶斯公式推广，举例说明推广后的贝叶斯公式在实际应用中所适用的概型。
第二章 叶斯公式的定义及其应用 2.1贝叶斯公式的定义 给出了事件B 随着两两互斥的事件12,,...,n A A A 中某一个出现而出现的概率。如果反 过来知道事件B 已出现，但不知道它由于12,,...,n A A A 中那一个事件出现而与之同时出现， 这样，便产生了在事件B 已经出现出现的条件下，求事件(1,2,...)i A i n =出现的条件概率的问题，解决这类问题有如下公式： 2.1.1定义 设12,...,n B B B 为Ω 的一个分割，即12,...,n B B B 互不相容，且 1n i i B ==Ω，如果 P( A ) > 0 ，()0i P B = (1,2,...,)i n = ,则1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑。 证明 由条件概率的定义（所谓条件概率，它是指在某事件B 发生的条件下，求另一事件A 的概率，记为(/)P A B ） ()(/)() i i P AB P B A P A = 对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式, ()()(/)i i i P AB P B P A B = 1()()(/)n i i j P A P B P A B ==∑ 1()(/) (/),1,2,...,()(/)i i i n j j j P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ 结论的证。
对贝叶斯估计的理解
对贝叶斯定理及其在信号处理中的应用的理解 信号估计中的贝叶斯方法是对贝叶斯定理的应用，要理解贝叶斯估计首先要理解贝叶斯定理。 一、 贝叶斯定理： 1. 贝叶斯定理的简单推导过程 贝叶斯定理就是条件概率公式(贝叶斯公式)，所谓条件概率就是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，常用(/)P B A 表示。一般情况下(/)P B A 与 (/)P A B 是不相等的。容易得到: (/)P B A = ()()P A B P A ,(/)P A B =() () P A B P B 所以 (/)P B A ()P A =(/)P A B ()P B , 对上式变形得贝叶斯公式： (/) P A B =(/)() () P B A P A P B （1） 若',A A 为样本空间的一个划分，可得全概率公式： ()P B =''(/)()(/)()P B A P A P B A P A + 所以（1）式可以改写为： '' (/)() (/)(/)()(/)() P B A P A P A B P B A P A P B A P A = + （2） 如果12n A A A ，，...,为样本空间的一个划分，由（2）式可得条件概率(/)j P A B 1 (/)() (/)(/)() j j j n i i i P B A P A P A B P B A P A == ∑ （3） （3）式就是当样本空间的划分为n 时的贝叶斯公式即贝叶斯定理。我们把其中的()(1,...)i P A i n =称为先验概率，即在B 事件发生之前我们对i A 事件概率的一个判断。(/)j P A B 称为后验概率，即在B 事件发生之后我们对i A 事件概率的重新评估。 2. 贝叶斯公式的事件形式
比较简单的贝叶斯网络总结
比较简单的贝叶斯网络总结
贝叶斯网络 贝叶斯网络是一系列变量的联合概率分布的图形表示。 一般包含两个部分，一个就是贝叶斯网络结构图，这是一个有向无环图（DAG），其中图中的每个节点代表相应的变量，节点之间的连接关系代表了贝叶斯网络的条件独立语义。另一部分，就是节点和节点之间的条件概率表（CPT），也就是一系列的概率值。如果一个贝叶斯网络提供了足够的条件概率值，足以计算任何给定的联合概率，我们就称，它是可计算的，即可推理的。 3.5.1 贝叶斯网络基础 首先从一个具体的实例（医疗诊断的例子）来说明贝叶斯网络的构造。 假设： 命题S(moker)：该患者是一个吸烟者 命题C(oal Miner)：该患者是一个煤矿矿井工人 命题L(ung Cancer)：他患了肺癌 命题E(mphysema)：他患了肺气肿
这两个条件缺一不可。 贝叶斯网由一个有向无环图（DAG）及描述顶点之间的概率表组成。其中每个顶点对应一个随机变量。这个图表达了分布的一系列有条件独立属性：在给定了父亲节点的状态后，每个变量与它在图中的非继承节点在概率上是独立的。该图抓住了概率分布的定性结构，并被开发来做高效推理和决策。 贝叶斯网络能表示任意概率分布的同时，它们为这些能用简单结构表示的分布提供了可计算优势。 假设对于顶点xi，其双亲节点集为Pai，每个变量xi的条件概率P(xi|Pai)。则顶点集合X={x1,x2,…,xn}的联合概率分布可如下计算： 。 双亲结点。该结点得上一代结点。 该等式暗示了早先给定的图结构有条件独立语义。它说明贝叶斯网络所表示的联合分布作为一些单独的局部交互作用模型的结果具有因式分解的表示形式。
贝叶斯推断及其互联网应用(一)：定理简介
作者：阮一峰 日期： 2011年8月25日 一年前的这个时候，我正在翻译Paul Graham的《黑客与画家》。那本书的第八章，写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（英文版）。 我没完全看懂那一章。当时是硬着头皮，按照字面意思把它译出来的。虽然译文质量还可以，但是心里很不舒服，下决心一定要搞懂它。 一年过去了，我读了一些概率论文献，逐渐发现贝叶斯推断并不难。原理的部分相当容易理解，不需要用到高等数学。 下面就是我的学习笔记。需要声明的是，我并不是这方面的专家，数学其实是我的弱项。欢迎大家提出宝贵意见，让我们共同学习和提高。 ===================================== 贝叶斯推断及其互联网应用 作者：阮一峰
一、什么是贝叶斯推断 贝叶斯推断（Bayesian inference）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。 它是贝叶斯定理（Bayes' theorem）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。
贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。 贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。 二、贝叶斯定理 要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。
贝叶斯统计读书笔记
第五章 贝叶斯统计 葛鹏飞 1、贝叶斯统计学回顾 定理1：贝叶斯定理的形式如下： 它让我们能够通过后验概率，在观测到D 之后估计w 的不确定性。 贝叶斯定理右侧的量)(ωD p 由观测数据集D 来估计，可以被看成参数向量w 的函数，被称为似然函数（likelihood function ）。它表达了在不同的参数向量w 下，观测数据出现的可能性的大小。在观察到数据之前，我们对参数的一些假设，通过先验分布)(ωp 体现。 给定似然函数的定义，贝叶斯定理按照自然语言如下： 2、几个问题的引入 观察贝叶斯定理，在将贝叶斯方法用到统计问题以及更进一步的机器学习问题中，很直观的我们有以下问题需要考虑： （1）似然函数的选择； （2）先验分布的选择； （3）在确定似然函数和先验分布之后，得到后验分布，如何根据后验分布做出统计推断以及决策； （4）如何评价我们的前三步的选择。 之后我们将逐步解决以上四个问题。 3、似然函数的选择 前面的章节中，已经介绍过过拟合和欠拟合的概念：复杂的模型会导致过拟合，而简单的模型又会有欠拟合的忧虑。在贝叶斯方法中同样如此，似然函数包含着我们对数据D 所了解的全部信息，合理的选择似然函数的形式，将直接影响模型的好坏，将这个问题称作贝叶斯模型选择。
假设我们想比较L 个模型}{M i ，其中i=1，...，L 。 给定一训数据集D ，由贝叶斯定理，我们有模型的后验分布： 先验分布让我们能够表达不同模型之间的优先级，假设我们对任意一个模型都没有偏爱,我们发现关于模型分布正比于模型的似然函数，因此最大化后验分布等价于最大化似然函数。由此，我们引入模型证据的概念，或者称作边缘似然函数。下面给出相应定义： 定义2：（模型证据的定义） 使用模型证据的概念，我们就可以进行贝叶斯模型选择，其中的合理性，有以下的近似结论： 最大化模型证据的结果将使得我们选择一个复杂度适中的模型。 关于这点将给出近似的证明，为便于理解，我们使用到如下两图：
贝叶斯公式的应用
贝叶斯公式的应用 张利娟 摘要：贝叶斯公式是概率论中重要的公式，在实际中有广泛的应用。本文结合全概率公式，就公共生活中有关传染病防治和测谎仪是否真的能测谎两个问题，说明了它们的用法。并给出相关的意见。 关键词：全概率公式；贝叶斯公式；应用 引言 一个随试验的样本空间都可以找到有限个或可列个基本事件构成一个分割，任一复合事件都可以由这几类基本事件组合而成。例如：有一个袋子，装有白球、黑球和红球，取出两个球，则“取出两球颜色相同”这一事件，可由“取出两个白球”，“取出两个黑球”，“取出两个红球”复合而成。对这类问题从概率上表达时发生可能性之间关系的公式就是全概率公式，与其互逆的即为贝叶斯公式。1.全概率与贝叶斯公式 若事件B1，B2，…，Bn是样本空间Ω的一个划分，P（Bi）> （i= 1、2、3、…n），A是任一事件且P（A）> 0，则有 其中, P(A) 可由全概公式得到。即 我们主要应用公式的简单情形, 即对任意两个事件A 和B, 根据贝叶斯公式有其中 事件B的概率通常是根据以往的数据分析得到的，对我们而言，所求的P(A|B)通常更有用。 2 . 贝叶斯公式的应用 资料显示, 某项艾滋病血液检测的灵敏度(即真有病的人检查为阳性)
为95%, 而对没有得病的人这种检测的准确率( 即没有病的人检查为阴性) 为99%. 美国是一个艾滋病比较流行的国家, 估计大约有千分之一的人患有这种病。为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播, 几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查。该计划提出后, 征询专家意见, 遭到专家的强烈反对, 计划没有被通过。 现在我们用贝叶斯公式分析专家为何反对通过这项计划。 设A = { 检查为阳性} , B = { 一个人患有艾滋病} . 根据文中叙述可知, 由全概率公式 P(A)=0.001×0.95+0.999×0.01= 0.01094. 由贝叶斯公式 也就是说, 被检测患有艾滋病而此人确实患有该病的概率大约为0.087。这个结果使人难以接受, 好像与实际不符。从资料显示来看, 这种检测的精确性似乎很高。因此，一般人可能猜测，如果一个人检测为阳性, 他患有艾滋病的可能性很大。如果通过这项计划, 势必给申请登记的新婚夫妇带来不必要的恐慌。因为约有91. 3%的人并没有患艾滋病。为什么会出现与直觉如此相悖的结果呢? 这是因为人们忽略了一些基础信息, 就是患有艾滋病的概率很低, 仅为千分之一。因此，在检测出呈阳性的人中大部分是没有患艾滋病的。 但是, 我们也应该注意到, 这项检测还是为我们提供了一些新的信息. 计 算结果表明, 一个检测结果呈阳性的人患有艾滋病的概率从最初的0. 001 增加到了0. 087, 这是原来患有艾滋病概率的87倍.进一步的计算, 我们得到一个检查呈阴性而患有艾滋病的概率为 因此, 通过这项检测, 检查呈阴性的人大可放宽心, 他患有艾滋病的概率 已从千分之一降低到十万分之六。
贝叶斯定理
贝叶斯定理有条件概率和全概率组成： 条件概率 如果两个事件A 和B 不是互相独立的，并且知道事件B 中的一个事件已经发生，我们就能得到关于P(A)的信息。这反映为A 在B 中的条件概率，记为P(A︱B) ： 无条件概率P(A)通常称为先验概率，而条件概率通常称为后验概率。 注意：条件可以在任何一个中发生： 贝叶斯定理 假设样本空间S 被分成一个含有n 个互斥事件的集合，每个事件称为S 的一个划分： 考虑S 中的一个任意事件B,如下图所示： 事件B 可以写成由n 个不相交（互斥）事件BA1，,BA2,..., BA n 组成，记为： 这隐含了全概率定理： 用全概率定理和条件概率的定义可以得到贝叶斯定理： 例子： 考虑一个由10 个水样组成的集合。3 个水样已被污染。定义事件如下： P(C)=0.3（基于10 个样本中有3 个被污染）
假设样本分析技术不完美。通过校准检验： P（D︱C）=0.9 成功检测出 P（D︱C’）=0.4 错误警报 贝斯定理（用C 代替A1，用C’代替A2，用D 代替B）： 贝叶斯定理用于投资决策分析是在已知相关项目B的资料，而缺乏论证项目A的直接资料时， 通过对B项目的有关状态及发生概率分析推导A项目的状态及发生概率。 如果我们用数学语言描绘，即当已知事件Bi的概率P（Bi）和事件Bi已发生条件下事件A的概率P（A│Bi）， 则可运用贝叶斯定理计算出在事件A发生条件下事件Bi的概率P（Bi│A）。 按贝叶斯定理进行投资决策的基本步骤是： 1 列出在已知项目B条件下项目A的发生概率，即将P（A│B）转换为P（B│A）； 2 绘制树型图； 3 求各状态结点的期望收益值，并将结果填入树型图； 4 根据对树型图的分析，进行投资项目决策； 搜索巨人Google和Autonomy，一家出售信息恢复工具的公司，都使用了贝叶斯定理（Bayesian principles）为数据搜索提供近似的（但是技术上不确切）结果。 研究人员还使用贝叶斯模型来判断症状和疾病之间的相互关系，创建个人机器人，开发能够根据数据和经验来决定行动的人工智能设备。 贝叶斯定理是机器学习的核心。 question1：如果袋子里有M个白球，N个黑球，则伸手拿到黑球的概率是多大？ question2：如果我们事先不知道袋子里黑球和白球的个数，而是闭着眼睛摸出一个（或几个）球，观察这些取出来的球的颜色后，来判断黑白球的比例。 具体地说，我们需要做两件事情： 1. 算出各种不同猜测的可能性大小。 2. 算出最靠谱的猜测是什么。 第一个就是计算特定猜测的后验概率，对于连续的猜测空间则是计算猜测的概率密度函数。第二个则是所谓的模型比较，模型比较如果不考虑先验概率的话就是最大似然方法。
贝叶斯公式的应用
贝叶斯公式的应用 一、综述 在日常生活中，我们会遇到许多由因求果的问题，也会遇到许多由果溯因的问题。比如某种传染疾病已经出现．寻找传染源；机械发生了故障，寻找故障源就是典型的南果溯因问题等。在一定条件下，这类由果溯因问题可通过贝叶斯公式来求解。以下从几个的例子来说明贝叶斯公式的应用。 文【1】主要应用贝叶斯公式的简单情形，从“疾病诊断”，“说谎了吗”，“企业资质评判”，“诉讼”四个方面讨论其具体应用。文【2】用市场预测的实例，介绍了贝叶斯公式在市场预测中的应用。贝叶斯市场预测能对信息的价值是否需要采集新的信息做出科学的判断。文【3】、文【4】介绍贝叶斯过滤技术的工作原理及技术原理，讨论了邮件过滤模块，通过分析研究该模块中垃圾邮件关键词的统计概率分布，提出了基于贝叶斯概率模型的邮件过滤算法，并对该算法的合理性和复杂度进行了分析。可以根据垃圾邮件内容的特征，建立贝叶斯概率模型，计算出一封邮件是垃圾邮件的概率，从而判断其是否为垃圾邮件。文【5】基于贝叶斯公式中概率统计的重要性与在日常生活中应用的广泛性，概述了贝叶斯统计的基本思想及其与其他统计学派的争论，并对作为贝叶斯统计基石的贝叶斯公式进行了归纳。 二、内容 1.疾病诊断. 资料显示, 某项艾滋病血液检测的灵敏度( 即真有病的人检查为阳性) 为95%, 而对没有得病的人，种检测的准确率( 即没有病的人检查为阴性) 为99%. 美国是一个艾滋病比较流行的国家, 估计大约有千分之一的人患有这种病. 为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播, 几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查. 该计划提出后, 征询专家意见, 遭到专家的强烈反对, 计划没有被通过. 我们用贝叶斯公式分析专家为何反对通过这项计划. 设A= {检查为阳性}, B = { 一个人患有艾滋病}。据文中叙述可知： ()0.001,(|)0.95,()10.0010.999,(|)10.990.01 P B P A B P B P A B ===-==-= 由公式：()()(|)()((|) P A P B P A B P B P A B =+ 得：()0.001*0.950.999*0.010.01094 P A=+= 由公式： ()(|) (|) () P A P A B P A B P A =得： 0.001*0.95 (|)0.087 0.01094 P B A=≈ 也就是说, 被检测患有艾滋病而此人确实患有该病的概率大约为0. 087. 这个结果使人难以接受, 好像与实际不符. 从资料显示来看, 这种检测的精确性似乎很高. 因此, 一般人可能猜测, 如果一个人检测为阳性, 他患有艾滋病的可
贝叶斯经典例子
贝叶斯经典例子 我发现他有其他女人内衣，他出轨的可能性有多大？ 2015-03-17 07:57 大数据文摘原创文章，如要转载，务必后台留言申请。 如果在男友的衣柜中发现了其他女人的内衣，你一定认为这个没良心的家伙出轨了，对不起你了，瞬间，你已经想出来N种对策——马上跳楼？不，我先去砍了他！哦，不！我得先砍了她再砍了他！不，我还是... 小编已经不敢再想了，太血腥了... 庆幸吧，你看到了这篇文章！ 在你决定采取动作之前，请务必完整阅读，其实男友出轨的概率并没有你想象的那么高！ 这个问题，老先生早就给出了答案 我们在计算一个事件发生的概率时需要考虑其他事件的信息则需要用到的概念。如果事件B的发生要以事件A的发生为前提，则 当然我们还可以用其他方法来计算条件概率。事件“B与A”与事件“A与B”是相同的，而又有 所以可得： 这便是由数学家托马斯×贝叶斯（Thomas Bayes）提出的著名（也称为贝叶斯定理）。这位18世纪英国教士留下的不起眼的公式给整个科学界和统计学界都带来了深远的影响。因为如果直接计算P(B|A)非常简单，但是想要反向计算P(A|B)就不是那么容易了。贝叶斯法则使得这种计算易如反掌。贝叶斯法则还有更加复杂的变形，现在常见的电子邮件垃圾过滤器与互联网里都用到了它。 分析男友出轨概率 不论你相信与否，对于这样的问题，贝叶斯定理总能给出答案——假如你知道（或者有意愿预估）下列三个量： 第一，你需要预测出自己伴侣在出轨的情况下，这件内衣出现的概率。（P(x｜B)）
这里一定要注意不能因为你手上拿了一件合格产品，就说是100％，实际上这个概率是要根据以下这个公式（即全概率公式）计算出来的：
贝叶斯信念网络
贝叶斯信念网络 ●朴素贝叶斯分类 （Naive Bayesian Classification） ●贝叶斯信念网络 （Bayesian Blief Networks） 朴素贝叶斯分类 一.摘要 贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。 这里首先介绍分类问题，对分类问题进行一个正式的定义。然后，介绍贝叶斯分类算法的基础——贝叶斯定理。最后，通过实例讨论贝叶斯分类中最简单的一种：朴素贝叶斯分类。 二.分类问题综述 对于分类问题，其实谁都不会陌生，说我们每个人每天都在执行分类操作一点都不夸张，只是我们没有意识到罢了。例如，当你看到一个陌生人，你的脑子下意识判断TA是男是女；你可能经常会走在路上对身旁的朋友说“这个人一看就很有钱、那边有个非主流”之类的话，其实这就是一种分类操作。 从数学角度来说，分类问题可做如下定义： 其中C叫做类别集合，其中每一个元素是一个类别，而I叫做项集合，其中每一个元素是一个待分类项，f叫做分类器。分类算法的任务就是构造分类器f。
例如，医生对病人进行诊断就是一个典型的分类过程，任何一个医生都无法直接看到病人的病情，只能观察病人表现出的症状和各种化验检测数据来推断病情，这时医生就好比一个分类器，而这个医生诊断的准确率，与他当初受到的教育方式（构造方法）、病人的症状是否突出（待分类数据的特性）以及医生的经验多少（训练样本数量）都有密切关系。 三.贝叶斯定理 贝叶斯定理解决了现实生活里经常遇到的问题：已知某条件概率，如何得到两个事件交换后的概率，也就是在已知P(A|B)的情况下如何求得P(B|A)。这里先解释什么是条件概率： P(A|B)表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，P(B|A)叫做事件B发生下事件A的条件概率。其基本求解公式为： 贝叶斯定理之所以有用，是因为我们在生活中经常遇到这种情况：我们可以很容易直接得出P(A|B)，P(B|A)则很难直接得出，但我们更关心P(B|A)，贝叶斯定理就为我们打通从P(A|B)获得P(B|A)的道路。下面不加证明地直接给出贝叶斯定理： ) ( ) ( ) | ( ) | ( A P B P B A P A B P 四.朴素贝叶斯分类 1：朴素贝叶斯分类的原理与流程 朴素贝叶斯分类是一种十分简单的分类算法，叫它朴素贝叶斯分类是因为这种方法的思想真的很朴素，朴素贝叶斯的思想基础是这样的：对于给出的待分类项（x），求解在此项出现的条件下各个类别（y）出现的概率，哪个最大，就认为此待分类项属于哪个类别。通俗来说，就好比这么个道理，你在街上看到一个黑人，我问你你猜这哥们哪里来的，你十有八九猜非洲。为什么呢？因为黑人中非洲人的比率最高，当然人家也可能是美洲人或欧洲人，但在没有其它可用信息下，我们会选择条件概率最大的类别，这就是朴素贝叶斯的思想基础。朴素贝叶斯分类的正式定义如下： 那么现在的关键就是如何计算第3步中的各个条件概率。 我们可以这么做： 1）、找到一个已知分类的待分类项集合，这个集合叫做训练样本集。 2）、统计得到在各类别下各个特征属性的条件概率估计，即：
贝叶斯定理的抛硬币例子
抛硬币的例子： ###################### 有若干个硬币，随机上抛，发现25%的正面朝上，求正面朝上的概率？ P(θ)先验值为：normal(0.5, sd)，最大值出现在0.5位置的正态分布。 P(D1|θ)为：最大值出现在0.25位置的偏态分布。 p(D1)为：形成证据1的先验概率，先验值多样性大小的概率。 P(θ|D1)为：发生证据1 后，认定正面朝上的概率。 P(θ|D1) = P(θ)*P(D1|θ)/ p(D1) 图中红色部分在有证据1后，先验概率增大而形成后验概率。黑色部分在有证据1后，先验概率减小而形成后验概率。 0.00.20.40.60.8 1.0 0.000.03 0.06Prior p 0.00.20.40.60.8 1.0 0.01.02.03.0 Likelihood p (D |) / p (D ) p(D) = 0.00039 0.0 0.20.40.60.8 1.0 0.00 0.03 0.06 Posterior p (|D )
证据D1的数据量越大（证据越充分），后验p(D1|θi)的平均值越小， 后验p(D1|θi)=0的情况越多（被排除的θ越多）。D1的数据量越大（证据越充分），先验P(D1)的值越小（先验假设单一）， 更接近后验最大值p(D1θj)乘以先验P(θj)值。这时p(θj|D1)的值逐渐趋近于1。 当所有的i ≠j 都有p(D1|θi)=0，而p(D1|θj)>0 (不管后验值的大小)，P(θj)>0 (不管先验预测值的大小)， p(D1)>0 (证据形成多样性的大小)，那么p(D1)≈p(θj)*p(D1|θj)，即p(θj|D1)=p(θj)*p(D1|θj)/p(D1)≈100%。 0.20.40.60.8 0.04 0.10 0.16 length(Theta)=10 Theta p T h e t a 0.0 0.40.8 0.010.03 length(Theta)=50 Theta p T h e t a 0.20.40.60.8 0.04 0.10 0.16 length(Theta)= 10 Theta p T h e t a 0.20.40.60.8 0.00000.00060.0012 length(Data)=10Theta p D a t a G i v e n T h e t a 10.20.40.60.8 0e +002e -304e -30 length(Data)=100 Theta p D a t a G i v e n T h e t a 20.20.40.60.8 0.0e +001.5e -294length(Data)=1000 Theta p D a t a G i v e n T h e t a 30.20.40.60.8 0.000000.00020 length(Data)=10 Theta p D a t a G i v e n T h e t a 1 * T h e t a 0.20.40.60.8 0e +006e -31 length(Data)=100Theta p D a t a G i v e n T h e t a 2 * T h e t a 0.20.40.60.8 0e +003e -295 length(Data)=1000 Theta p D a t a G i v e n T h e t a 3 * T h e t a