第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答

问题 1.圆Γ1和圆Γ2

相交于点M和N.设L是圆Γ

1

和圆Γ2的两条公切线中距离

M较近的那条公切线.L与圆

Γ1相切于点A，与圆Γ2相切

于点 B.设经过点M且与L平

行的直线与圆Γ1还相交于点

C，与圆Γ2还相交于点 D.直

线C A和D B相交于点E；直线

A N和C D相交于点P；直线

B N

和C D相交于点Q.

证明：E P=E Q.

解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有

,

.

这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q.

问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明：

.

解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

同理可得

,.于是得到u v w≤x y z,不等式得证.

问题 3.设n≥2为正整数.开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点.对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种"移动"：

I、选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和B，且A位于B的左边；I I、令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于点B右边的点C，使得B C/A B=λ.

试确定所有可能的正实数λ。使得对于直线上任意给定的点M以及这n 只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边.

解答:要使跳蚤尽可能远地跳向右边,一个合理的策略是在每一个移动中都选取最左边的跳蚤所处的位置作为点A,最右边的跳蚤所处的位置作为点 B.按照这一策略,假设在k次移动之后,这些跳蚤之间距离的最大值为

d k,而任意两只相邻的跳蚤之间距离的最小值为δk.显然有d k≥(n-1)δk.

经过第(k+1)次移动,会产生一个新的两只相邻跳蚤之间的距离λd k.

如果这是新的最小值,则有δk+1=λd k;如果它不是最小值,则显然有δk+1

≥δk.无论哪种情形,总有m i n m i n.因此,只要λ≥1/(n-1),就有δk+1≥δk对任意k都成立.这意味着任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值不会减小.故每次移动之后,最左边的跳蚤所处的位置都以不小于某个正的常数的步伐向右平移.最终,所有的跳蚤都可以跳到任意给定的点M的右边.

下面来证明:如果λ<1/(n-1),则对任意初始位置都存在某个点M,使得这些跳蚤无法跳到点M的右边.

将这些跳蚤的位置表示成实数,考虑任意的一系列移动.令S K为第K

次移动之后,表示跳蚤所在位置的所有实数之和.再令W K为这些实数中最大的一个（即最右边的跳蚤的位置）.显然有S K≤n W K.我们要证明序列{W K}有界.

在第(k+1)次移动时,一只跳蚤从点A跳过点B落在点 C.分别用实数a,b,c表示这三个点,则S k+1=S k+c-a.根据移动的定义,c-b=λ(b-a).进

而得到λ(c-a)=(1+λ)(c-b).于是.

如果c>W k,则刚跳过来的这只跳蚤占据了新的最右边位置W k+1=c.再由

b≤W k可得.如果c≤W k,则有

W k+1-W k=0,.故上式仍然成立.

考虑下列数列,k=0,1,2,…则有Z k+1-Z k≤0,即该数列是不升的.因此,对所有的k总有Z k≤Z0.

假设λ<1/(n-1),则1+λ>nλ.可以把Z k写成,其

中.于是得到不等式.故对于

所有的k,总有.这意味着最右边跳蚤的位置永远不会超过一个常数,这个常数与n,λ和这些跳蚤的初始位置有关,而与如何移动无关.最终得到结论:所求λ的可能值为所有不小于1/(n-1)的实数.

问题 4.一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100.他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的.每个盒子里至少都放入了一张卡片.一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字之和.知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子.问共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子.）

解答:共有12种不同的方法.考虑1到100之间的整数.为简便起见,将整数i所放入的盒子的颜色定义为该整数的颜色.用r代表红色,w代表

白色,b代表蓝色.

情形 1.存在某个i,使得i,i+1,i+2的颜色互不相同,例如分别为r w b.则因i+(i+3)=(i+1)+(i+2),所以i+3的颜色既不能是i+1的颜色w,也不能是i+2的颜色b,只能是r.可见只要三个相邻的数字有互不相同的颜色,就能够确定下一个数字的颜色.进一步地,这三个数字的颜色模式必定反复出现:r w b后面一定是r,然后又是w,b,…依此类推.同理可得上述过程对于相反方向也成立:r w b的前面一定是b,…依此类推.

因此,只需确定1,2,3的颜色.而这有6种不同的方法.这6种方法都能够使魔术成功,因为它们的和r+w, w+b, b+r给出模3的互不相同的余数.

情形 2.不存在三个连续的数字,其颜色互不相同.假设1是红色的.令i为最小的不是红色的数字.不妨假设i为白色的.再设k为最小的蓝色数字,则由假设必有i+1

如果k<100,因为i+k=(i-1)+(k+1),所以k+1一定要是红色的.但又由于i+(k+1)=(i+1)+k,所以i+1一定要是蓝色的,与k是最小蓝色数字相矛盾.故得k必须等于100.换言之,只有100是蓝色的.我们再来证明只有1是红色的.不然的话,设存在t>1是红色的,则由t+99=(t-1)+100推出t-1是蓝色的,与只有100是蓝色的相矛盾.

于是这些数字的颜色必须是r w w…w w b.而这种方法确实可行:如果被选取的两张卡片上的数字之和≤100,则没有从中选取卡片的盒子一定是蓝色的;如果数字之和等于101,则没有从中选取卡片的盒子一定是白色的;如果数字之和>101,则没有从中选取卡片的盒子一定是红色的.

最后,共有6种按照上述样子排列颜色的方法.故答案为12.

问题 5.确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除.

解答:存在.我们用归纳法来证明一个更一般的命题:

对每一个自然数k都存在自然数n=n(k),满足n|2+1,3|n且n恰好能够被k个互不相同的质数整除.

当k=1时,n(1)=3即可使命题成立.假设对于k≥1存在满足要求的

n(k)=3l．t,其中l≥1且3不能整除t.于是n=n(k)必为奇数,可得

.利用恒等式可知3n|23n+1.根据下面的引理,存在一个奇质数p满足p|23n+1但是p不能整除2n+1.于是自然数n(k+1)=3p.n(k)即满足命题对于k+1的要求.归纳法完成.

引理:对于每一个整数a>2,存在一个质数p满足p|a3+1但是p不能整除a+1 .

证明:假设对某个a>2引理不成立.则a2-a+1的每一个质因子都要整除a+1.而恒等式a2-a+1=(a+1)(a-2)+3说明能够整除a2-a+1的唯一质数是3.换言之,a2-a+1是3的方幂.因为a+1是3的倍数,所以a-2也是3的倍数.于是a2-a+1能够被3整除,但不能被9整除.故得a2-a+1恰等于3.另一方面,由a>2知a2-a+1>3 .这个矛盾完成了引理的证明.

问题 6.设A H1,B H2,C H3是锐角三角形

A B C的三条高线.三角形A B C的内切圆

与边B C,C A,A B分别相切于点T1,T2,T3.

设直线l1,l2,l3分别是直线

H2H3,H3H1,H1H2关于直线T2T3,T3T1,T1T2

的对称直线.证明:l1,l2,l3所确定的三

角形,其顶点都在三角形A B C的内切圆

上.

解答:令M1为T1关于∠A的角平

分线的对称点,M2和M3分别为T2和T3关

于∠B 和∠C 的角平分线的对称点.显

然M1,M2和M3在三角形A B C的内接圆周

上.只需证明它们恰好是题目中所求证

的三角形的三个顶点.

由对称性,只需证明H2H3关于直线

T2T3的对称直线l1经过M2即可.设I为

三角形A B C的内心.注意T2和H2总在

B I的同一侧,且T2比H2距离B I更近.我

们只考虑C也在B I同一侧的情形(如果C

和T2,H2分别位于B I的两侧,证明需要

稍加改动).

设∠A=2α,∠B=2β,∠C=2γ.

引理H2关于T2T3的镜像位于直线

B I上.

证明:过H2作直线l与T2T3垂直.记P为l与B I的交点,S为B I与T2T3的交点.则S既在线段B P上,也在线段T2T3上.只需证明

.

首先我们有

.又由外角定理知

.

再由关于B I的对称性知

.因为

,所以C和S在I T1的同一侧.由

可得S,I,T1和C四点共圆,于是有

.因为

,所以B,C,H2和S也是四点共圆.这意味着

,引理得证.

注意到在引理的证明中,因为B,C,H2和S四点共圆以及关于T2T3的对称

性,可以得到

.又由于M2是T2关于B I的对称像,我

们有

.因此P M2平行于B C.要证明M2位于l1

上,只需证l1也平行于B C.

假设α≠γ.设直线B C与H2H3和T2T3分别相交于点D和 E.注意到D

和E位于直线B C上线段B C的同一侧.不难证明有

,

.故得l1确实平行于B C.

2015 年国际商务单证缮制与操作试题参考答案

2 015年国际商务单证缮制与操作试题参考答案 一、根据下述合同内容审核信用证，指出不符之处，并提出修改意见。（36分） 经审核信用证后存在的问题如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 . . . . . . . . . 31C 开证日期晚于合同规定，应为2014年2月 25日前； 31D 到期地点有误，应为CHINA 50开证申请人名称有误，应为UNICAMLIMITED ATOMICABSORPTION 59受益人名称有误，应为SHENZHEN ESHOW CO.,LTD. 42C 付款期限与合同不符，应为Atsight 42A 汇票付款人有误，应为MIDLANDBANK PLC,LONDON 43T 转运规定有误，应该允许 44E 装运港有误，应该是SHENZHEN 44F 卸货港有误，应该是LONDON 0. 44C 最迟装运期有误，应该是BeforeAPR.30,2014 1. 45A 货描有误，应该是5 in1ProgrammingCable 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 45A 货描中合同号有误，应为ES1406009 3. 45A 货描中贸易术语有误，应为FOBSHENZHEN 4. 45A 货描中包装方式有误，应为INCARTONS 5. 46A 提单收货人抬头有误，应为TOORDER 6. 46A 提单中运费项目有误，应注明“FREIGHTCOLLECT ” 7.46A 要求提交保险单有误，此条应删除 8.71B 所有费用都由受益人负担与合同规定不符，应为AllbankingChargesoutside China(themainlandofChina)areforaccountoftheDrawee.。 二、根据下面相关资料指出下列进口单据中错误的地方。（24 分） 1 ．原产地证书（每错1分，共12分） 原产地证明中的错误有： （1）Exporter 名称应为MIGUELPEREZTRADINGCOMPANYLIMITED （ 2）Exporter 地址应为281147TH TERSWNAPLES HAIFA,ISRAEL （3）Consignee 名称应为TIANJIN ESHOWIMPORTAND EXPORTCO.,LTD. （ （4）Consignee 地址应为NO. 21 JIANGSUROAD, HEXIDISTRICT,TIANJIN, CHINA (5）Particnlarsof transport 中运输路线应为FROM HAFAIISRAELTO TIANJIN CHINA （ （ 6）Particnlarsof transport 中运输方式应为BYSEA 7）Marks andnumbers 应为ESHOW TIANJIN NOS.1-2000 （8）Numberandkindofpackages 应为TWOTHOUSAND(2000)CARTONS,下边加一行 “******” （ 9）GrossWeight 应为21,000KGS （10）Number of invoices 应为LBC201501578 （11）Date of invoices 为MA Y20,2015 （12）Dateof Issue 应为MA Y25,2015 2 ．海运提单（每错1分，共12分） 海运提单中的错误有：

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

2014年全国国际商务单证专业考试国际商务单证缮制与操作试题答案

操作试题参考答案 一、根据下述合同内容审核信用证，指出不符之处，并提出修改意见。( 36分) I. 31C开证日期与合同不符，应为：2013年5月31日之前 2. 31D有效期与合同不符，应为：2013年8月15日及该日之后 3. 31D到期地点与合同不符，应为：CHINA 4. 50开证申请人名称与合同不符，不是HAZZE ABC HOLDING应为：HAZZE AB HOLDING 5. 59 受益人名称与与合同不符，不是SHANGHAI ANDY TRADING CO., LTD.，应为：SHANGHAI ANDYS TRADING CO., LTD. 6. 32B货币名称与合同不符，应为：USD 7. 32B信用证金额与合同不符，应为：27500 8. 42C付款期限与合同不符，应为：即期(写成AT SIGHT也得分) 9. 42A受票人(写“付款人”也可)不应为开证申请人，应为：SWEDBANK写“开证行”或“ISSUING BANK也可) 10. 44P不允许分批与合同不符，应为：允许( ALLOWE) II. 44T不允许转运与合同不符，应为：允许( ALLOWED? 12. 44E装运港与合同不符，应为： SHANGHAI 13.44C最迟装运期与合同不符，应为：130731 14. 45A数量与合同不符，不是1000PCS，应为：100PCS 15. 45A贸易术语与合同不符，I不是 CIF STOCKHOLM，应为：FOB SHANGHAI 16. 合同采用的贸易术语为 FOB，46A不应该要求受益人提交保险单，应为：删除此条 17. 46A海运提单要求注明“ FREIGHT PREPAID”，与 FOB术语不符，应为： FREIGHT COLLECT 18. 71B 所有的费用和佣金由受益人负担不妥，应为： ALL CHARGES AND COMMISSIONS OUTSIDE SWEDEN ARE FOR ACCOUNT OF BENEFICIARY. 二、根据下面相关资料指出下列进口单据中错误的地方，并改正。( 24分) 1 .汇票(每错1分，共12分) (1)Drawn under 后跟 BANQUE NATIONALE PARI不对，应为：BANK OF CHINA, TIANJIN BRANCH (2)L/C NO.LC14231670不对，应为：LC14231679 (3)Dated开证日期 May. 15, 2013 不对，应为：May 15,2014 (4)NO.发票号不对,应为：LBC2014015 (5)Exchange for后小写金额不对，应为： EUR83340.00 (6)Date 出票日期 MAY 1,2013 不对，应为：May 1,2014 (7) At 30 days after sight 汇票付款期限不对，应为： At ****** sight (只打******或写“即期付款”也可) (8) Pay to the order of 收款人不对，不应为 BANK OF CHINA, TIANJIN BRANCH，应为议付行：BANQUE NATIONALE PARIS (9)大写金额不对，不是SAY EURO EIGHTY THREE THOUSAND FOUR HUNDRED AND THIRTY ONLY.，应为：SAY EURO EIGHTY THREE THOUSAND THREE HUNDRED AND FORTY ONLY. (10) TO受票人(付款人) BANQUE NATIONALE PAR不对，应为开证行： BANK OF CHINA, TIANJIN BRANCH (11)出票人 TIANJIN LINBEICHEN COMMERCE AND TRADE CO., LTD. 不对，应为卖方：La

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

国际商务单证

一、单项选择题 1、某外贸公司对外以CFR报价，如果该公司先将货物交到货站或使用滚装与集装箱运输时，应采用(C.CPT)为宜。 2、中未注明商品重量是按毛重还是按净重计算时，则习惯上应按(B净重)计算。 3、海运提单日期应理解为(C货物装船完毕的日期)。 4、按照《2000年通则》的规定，以FOBST贸易术语变形方式成交，买卖双方风险的划分界限是(B货物在装运港越过船舷)。 5、对于大批量交易的散装货，因较难掌握商品的数量，通常在合同中规定(B溢短装运条款)。 6、根据《2000年通则》的解释，下列术语中卖方不负责办理出口手续及支付相关费用的是(D、EXW)。 7、汇票的抬头人是(A受款人)。 8、合同或信用证没有规定投保加成率，根据《UCP500》的规定，卖方可在CIF总值的基础上(B加一成)投保。 9、下列单据中，只有(B铁路运单副本)才可用来结汇。 10、按国际保险市场惯例，投保金额通常CIF总值的基础上(A加一层)。 11、预约保险(B国外的装运通知)代替投保单，说明投保的一方已办理了投保手续。 12、根据我国“海洋货物运输保险条款”规定，“一切险”包括(C水渍险加11种一般附加险)。 13、以下出口商品的单价，只有(B250美元/桶CIF伦敦） 14、在其他条件相同的前提下，(B提单签发日后30天付款 )的远期汇票对受款人最为有利。 15、根据《UPC500》的解释，信用证的第一付款人是(B开证行)。 16、承兑是(A付款人)对远期汇票表示承担到期付款责任的行为。 17、在国际货物买卖中，较常采用的不可抗力事故范围的规定方法是(D综合规定)。 18、以下(A纸单据和电子单据同时传递)不是EDI必须包括的内容。 19、除非特殊情况，通常开证行开立的信用证一般不是(D预支信用证)。 20、CIF Ex Ship’s Hold 与DES 相比，买方承担的风险(D前者大)。 21、托收的优点不包含(B属于银行信用，出口人能安全、及时收汇)。 22、如果信用证未规定交单期限，根据《UCP500》的规定，受益人必须在货物装船后( B、21)天内交单议付，但不能超过信用证的有效期。 23、商业发票的抬头人一般是(B开证申请人)。 24、仲裁裁决的效力是(A终局的，对争议双方具有约束力)。 25、根据《联合国国际货物销售合同公约》的规定，发盘和接受的生效采取( D到达生效原则)。 26、出口报关的时间是(B装船前)。 27、进口许可证自签发之日起(B一年)内有效。 2、在交货地点上，《1941年美国对外贸易定义修订本》中对(C. FOB Vessel)的解释与《2000年通则》中对FOB的解释相同。 3、象征性交货意指卖方的交货义务是(C. 凭单交货)。 4、CIF Ex Ship’s Hold属于(B. 装运港船上交货类)。 5、我方出口大宗商品，按CIF新加坡术语成交，合同规定采用租船运输，如我方不想负担卸货费用，我方应采用的贸易术语变形是(C. CIF Ex Ship’s Hold Singapore)。 6、在以CIF和CFR术语成交的条件下，货物运输保险分别由卖方和买方办理，运输途中货物灭失和损失的风险(C. 均由买方承担)。 7、根据《INCOTERMS 2000》的解释，以CIF术语成交时，卖方的交货是(C. 凭单交货)。 8、买方以FOB条件购买煤炭，不愿承担装船费，那么，应选择(B.FOB并平舱)价格条件签订合同。 9、《INCOTERM2000》C组贸易术语与其他各组贸易术语的重要区别之一是(C.风险和费用划分的地点相分离)。 10、按FOB术语签订的合同，采用程租船运输的大宗货物，应在合同中具体订明(A.

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分 一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则 (A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数 (C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c| ＋|2a ＋b|，则 (A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中，∠C ＝90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关 系中正确的是 (A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞2 1- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤2 1 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质： (i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)， (ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，

小学二年级数学奥林匹克竞赛题(附答案)

小学二年级数学奥林匹克竞赛题（附答案） 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3、2，3，5，8，12，( )，( ) 4、1，3，7，15，( )，63,( ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( ) ，( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？(1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 11. 修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 12. 王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 13. 食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？ 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( )

19、按规律填数。(1)1，3，5，7，9，( ) (2)1，2，3，5，8，13 ( ) (3)1，4，9，16，( ) ，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 (2) 4 4 4 4 4 =16 (3)9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( ) 个。 24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？ 25、用1、2、3三个数字可以组成( ) 个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( ) 和( ) 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( ) 盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子) ，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng

41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1

2015年国际商务单证员《国际商务单证缮制与操作》真题及详解【圣才出品】

2015年国际商务单证员《国际商务单证缮制与操作》真题及详解 一、根据下述合同内容审核信用证，指出不符之处，并提出修改意见。（36分） 1．合同 SALES CONTRACT The Seller: SHENZHEN ESHOW CO., L TD. Contract No. ES1406009 Address: 81 FUHUA ROAD, SHENZHEN, CHINA Date: Feb. 10, 2014 The Buyer: UNICAM LIMITED A TOMIC ABSORPTION Packing: In cartons Shipping Mark: UNICAM ES1406009 LONDON C/No.1-100 Time of Shipment: Before APR.30, 2014 Loading Port and Destination: From Shenzhen, China to London, England Partial Shipment: Not Allowed Transshipment: Allowed Insurance: To be effected by the buyer T erms of Payment: By L/C at sight, reaching the seller before Feb.25, 2014, and remaining valid for negotiation in China for further 15 days after the effected shipment. L/C must mention this contract number. L/C advised by BANK OF CHINA. All banking Charges outside China (the mainland of China) are for account of the Drawee. Documents: + Signed commercial invoice in triplicate. + Full set (3/3) of clean on board ocean Bill of Lading marked “Freight to collect”made out to order blank endorsed notifying the applicant. + Packing List in triplicate. + Certificate of Origin issued by China Chamber of Commerce

2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克 第一轮 比赛时间：2019年11月29日 1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数. 2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立. 求a 1的所有可能的值. 3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD. 4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队. (1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅? (2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅? 5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排” 的所有 n 的值. 6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有： 2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1, 就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”. 第二轮 比赛时间：2020年1月30日

第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

新人教版2020-2021三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

中心小学三上年级数学竞赛试题 小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收 获。 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下， 要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大 猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均 成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘 米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3 倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 二、我会判断(每题1分，共6分)

第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。 证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。， 因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。 若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。 综上所述，结论成立。 此题平均得分：4.804分

2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。 证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。 设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。 不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分