（3） 当0=Q 时，),(y x f 在),(000y x P 可能取极值，也可能不取极值。
例 6.34 求函数)6(3
2y x y x z --=的极值。
解 解方程组
???????=--=??=--=??0)4318(0)2312(2
23
y x y x y
z
y x xy x
z 得驻点为)3,2(0P 及直线0,0==y x 上的点。
对)3,2(0P 点有0,144,108,1622>--=-=-=B AC C B A ，于是函数z 在)3,2(0P 取积大值108)(0=P z 。 容易判断，满足条件?
?
?<<=600
y x 的点为函数z 的极小值点，极小值为0；满足条件的
??
?<=00y x 和???>=6
y x 的点为函数z 的极大值点，极大值为0。
一、 最值问题
在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。
我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。
1、 一元函数
设)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数，则)(x f 在],[b a 上一定有最大值和 最小值。区间的两个端点a 和b 可能成为其最值点，而如果最值点在开区间),(b a 取得的话，
则一定是)(x f 的极值点，即是)(x f 的驻点或是使导数)('
x f 不存在的点。假设)(x f 的所有驻点是11211,,k x x x Λ，使导数)('
x f 不存在的点是22221,,m x x x Λ，那么
)}
(),(),(),(),(),(min{]},[|)(min{)}
(),(),(),(),(),(max{]},[|)(max{2211112
21111m
k m k x f x f x f x f b f a f b a x x f x f x f x f x f b f a f b a x x f ΛΛΛΛ=∈=∈
例 6.35 求抛物线x y 22
=上与)4,1(最近的点。
解 设),(y x 是抛物线x y 22
=上的点，则),(y x 与)4,1(的距离是
22222)4()12
1
()4()1(-+-=-+-=y y y x d
考虑函数2
)(d y f =，由0)('=y f ，得到唯一驻点2=y ，于是抛物线x y 22
=上与
)4,1(最近的点是)2,2(
2、多元函数
类似一元函数，
n 元函数),,,(21n x x x f Λ的最值问题就是求),,,(21n x x x f Λ在某个区域?D n R 上的最大值和最小值，我们只需求出),,,(21n x x x f Λ在D 内部的所有极值和边界上最值，从中比较就可以选出),,,(21n x x x f Λ在D 上的最值。
例 6.36 求平面42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离。
解 设),,(z y x 是平面42=++z y x 上的点，则),,(z y x 与)2,0,1(-的距离是
222222)6()12
1
()2()1(y x y z y x d --+-=+++-=
考虑函数2
),(d y x f =，由0,0'
==y x
f f
，得到唯一驻点)3/5,6/11(，于是平面
42=++z y x 与点)2,0,1(-的最短距离是6
6
5)3/5,6/11(=
d 三、条件极值问题和Lagrang
e 乘子法
前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数n 元函数
),,,(21n x x x f Λ，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问
题是有约束条件的，即条件极值问题。
一般来说，条件极值问题是指：求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y Λ=
在一组约束条件??
?????<===)(,0
),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m n
n ΛΛΛΛΛ下的极值。
我们可以尝试对上面方程组用消元法解出m 个变量，从而转化为上一节的无条件极值
问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即： 求目标函数),(y x f z =在一个约束条件0),(=y x F 限制下的极值问题。
假设点),(000y x P 为函数),(y x f z =在条件0),(=y x F 下的极值点，且0),(=y x F 满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数)(x g y =，则0x x =是一元函数))(,(x g x f z =的极值点。于是
0)(),(),(0'0000=+x g y x f y x f y x
由隐函数存在定理得到
0),(),(),(),(00000000=+y x F y x f y x F y x f x y y x
令
λ=)
,(),(0000y x F y x f y y ，于是极值点),(000y x P 需要满足三个条件：
??
?
??==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x F y x F y x f y x F y x f y y x x λλ 因此，如果我们构造拉格朗日函数
),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=
其中，λ称为拉格朗日乘子，则上面三个条件就是
??
?
??===+==+=0),(),(0),(),(),(0),(),(),(0000000000000000y x F y x L y x F y x f y x L y x F y x f y x L y y y x x x λλλ
也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去求可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。
类似地，求目标函数n 元函数),,,(21n x x x f y Λ=
在一组约束条件??
?????<===)(,0
),,(0),,(0),,(21212211n m x x x G x x x G x x x G n m n
n ΛΛΛΛΛ下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗
日函数为
∑=+=m
i n i i n m n x x x G x x x f x x x L 1
21212121)
,,,(),,,(),,,,,,,(ΛΛΛΛλλλλ
于是，所求条件极值点满足方程组
?
???????
???
====??+=??+=∑∑==0
),,,(0
),,,(212111
1
11
11
n m n
m
i n i
i x x m
i i i x x x x x G L x x x G L x G f L x G f L m n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛλλλλ
例6.37横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于S ，问其尺寸怎样时，此盆有最大的容积？
解 设圆半径为r ，高为h ，则表面积)0,0)((2>>+=h r rh r S π，容积h r V 2
2
1π=。
构造拉格朗日函数
)(),,(22π
λλS
rh r h r h r L -
+-=
解方程组
?
??
?
??
?
=+=-==+-=πλλS rh r r r y x L h r rh y x L h r 2
200000),(0)2(2),( 得到π
π32,300S
h S r ==
，这时3
3
027π
S V =。 由实际情况知道，V 一定达到最大体积，因此，当00232
r S
h ==π
时，体积最大。
习题6.7
1． 求函数xy y x z 33
3-+=的极值。
2． 求函数2
2442y xy x y x z ---+=的极值。
3．求椭圆442
2=+y x 上与)0,1(最远的点
4．求平面1=-+z y x 与点)1,1,2(-的最短距离。
5．求曲面12
+=xy z 上与)0,0,0(最近的点
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为
. 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 令狐采学 设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且 ，过点任意引一条位于曲面Σ 上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点； 不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为 。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为
. 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为 . 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和
三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为 当时，得∑在点X0处的法向量为 则∑在点X0处的法向量为 . 四、典型例题 例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程.
空间曲线的切线与空间曲面的切平面
§14-6 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线和法平面 概念:曲线在某点切线及法平面. 光滑曲线. 推导:已知:曲线Γ(光滑):?? ???===)()()(t z z t y y t x x βα≤≤t ),,(000z y x P 0t t = 取),,(000z z y y x x Q ?+?+?+ 则割线 z z z y y y x x x ?-=?-=?-000 切线: ) ()()(0'00'00'0t z z z t y y y t x x x -=-=- 曲线Γ在P 处的切线向量:{}ρ)(),(),('''t z t y t x T =→ 法平面: 0))(())(())((00'00'0'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 例1:求曲线 t x 2=, 23-=t y , 22t t z -=在点(1)1=t (2))0,6,4(M 处的切 线及法平面方程. (1) )1,1,2(1-?=P t {}{}0,3,222,3,212=-==→ t P t t T 切线: 013122-=+=-z y x 即?????=-+=-0 13122z y x (严格表示) (2) 2)0,6,4(=?t M {}{}{}1,6,122,12,222,3,222-=-=-==→t m t t T 切线: 1 6614-=-=-z y x 法平面:0)6(6)4(=--+-z y x 即0406=--+z y x 例2:求曲线Γ???=++=++0 6222z y x z y x 在点)1,2,1(-M 处切线及法平面方程. 解: Γ的常数方程?????===)()(x z z x y y x x {} ) (),(,1''x z x y T =→
空间曲线与曲面
实验七空间曲线与曲面 实验目的 1．掌握空间直线、平面的画法。 2．了解常见的空间曲线与曲面的画法。 与本实验相关的理论 最基本的空间作图函数是Plot3 ，用于作所有二元函数的三维立方体图形，其格式是： Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，可选项] 由于很多曲面和绝大多数曲线都不能用显函数的形式表示。Mathematica 还提供了Parametric Plot3D参数作图函数，其格式是：Parametric Plot3D[{x[u，v]，y[u，v] ，z[u，v]} ，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}，可选项] Mathematica作三维图形的机理是先在XOY坐标面给定区域内计算出一系列格点的值，再用矩形“小瓦片”拟合张在上面的曲面上。因而如果曲面的表面变化复杂，可通过设置更细的“瓦片”分割来改善。这时候可增加选项PlotPoint―>n 来说明分割数n。 实验步骤 一、画空间曲线 注意空间曲线的参数方程只有一个参变量，如果要画出螺旋线 x=10cost , y=10sint , z=2t 的图形，只要输入： Parametric Plot3D[{10cos[t]，10sin[t]，2t} ，{t，0，20}] 空间直线也类似地处理。 例1：求过A（3，5，-2），B（3，5，-2）的直线方程，并画图。 分析：空间直线方程可由点向式写出，再改成参数式
) 2(4)2(535313----=--=--z y x 化为参数式是：t x 23-=，t y 25-=，t z 62+-= 输入：Parametric Plot3D[{3-2t ，5-2t ，-2+6t} ，{t ，0，1}] 二、画空间曲面 例2：求过A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），的平面方程，并画图。 分析：平面方程可由截距式写出，y x z 2 333--=。 输入：Parametric Plot3D[{3-3x-3y/2} ，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}] 例3：画出二元函数22),(y x y x f +=的图形。 输入：Parametric Plot3D[{x^2+y^2} ，{x ，-4，4}，{y ，-4，4}] 例4：画出椭球心在原点，3=a ，4=b ，5=c 的椭球面。 输入：Parametric Plot3D[{3*Cos[u] Cos[v], 4*Sin[u] Cos[v],5*Sin[v]} ，{u ，0，2Pi}，{v ，-Pi/2，Pi/2}] 例5：画出以x y cos =为准线，母线平行于Z 轴的柱面。 输入：Parametric Plot3D[{x,Cos[x],z} ，{x ，-4，4}，{z ，-4，4}] 例6：画出由平面曲线z x cos 1+=绕Z 轴放转而成的旋转面。 输入：Parametric Plot3D[{（1+Cos[u]）Cos[v] ，（1+Cos[u]）Sin[v] ，u} ，{u ，-Pi ，Pi}，{v ，0，2Pi}] 例7：画单叶双曲面。 输入：Parametric Plot3D[{Sec[u]Cos[v] ，Sec[u]Sin[v] ，Tan[u]} ，{u ，-Pi/2+0.5，Pi/2-0.5}，{v ，0，2Pi}]
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.?.'一'.∣处可微， W t) = 且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其 ?=Λ(∕) y=y?) 方程为A邛,且对应于点不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有 ? g(x吨)+卩(血吨)+叭(?F(?) 及朮LF 。该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个 平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。记为G。 基本方法： 1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数 不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D 法线方程为 ? _ y~y ti_ X(Jf O)=X^) = 2、设点''■' ' l?' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该 曲面在点Al?, "-" - -■处的切平面方程为 -f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MD
X = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V) 给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处 可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ ?与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？ 注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线. Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o); Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V). 它们在点X o处的切向量分别为 ξ=C?冲"?(?, ?(?,?)) E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%)) 过X o的法线方程为 注：方法2实际上是方法 1 中取..'l--λ.'<-的情形 3、若曲面∑由参数方程
第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题
第二章 曲面的表示与曲面论 第三节 曲面的切平面和法线、光滑曲面 1、 平面曲线的切线与法线 设平面曲线的方程为 0),(=y x F , ),(0 y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为 ) ,() ,()(00000y x F y x F x y y x ''-='. 从而曲线过点),(000y x P 的切线方程为 ) () ,() ,(000000x x y x F y x F y y y x -''- =-, 即0 (,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为 000000 (,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ''---=，(2)
例1、 求笛卡叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线. 解 xy y x y x F 9)(2),(3 3 -+=, y x F x 962 -=',x y F y 962 -='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y x F F , 得到 切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示. 图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0 , )(),(),(0 t z z t y y t x x ===, 动点 L z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+=),,(),,(0 . 动割线P P 0 的方程为 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-0 00, 当0→?t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0 的极限位 置l : 0 ()()() x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0 P 的切线. 其方向向量为 0 {(),(),()}x t y t z t τ'''= 。
3曲面的切平面与法线
曲面的切平面与法线
设有光滑曲面0 ),,(:=Σz y x F 通过其上定点),,(000z y x M 任意引一条光滑曲线],[),(),(),(:βα∈===Γt t z z t y y t x x )(),(),(000t z t y t x ′′′对应点M , 0t t =则Γ在M 的切向量为：)} (),(),({000t z t y t x T ′′′= 切线方程 ()()() 00 0000t z z z t y y y t x x x ′?= ′?=′?Γ T M 设且不全为0，
证明:由于∑上过点M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 此平面称为∑在该点的切平面.下面证明： )(),(),(:t z z t y y t x x ===Γ在∑上.故 ))(),(),((=t z t y t x F 两边在0t t =处求导,得 ()()()()()()0 ,,,,,,000000000000=′+′+′t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x 令： )},(),(),({000t z t y t x T ′′′= ()()()} ,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = 有：n T ⊥
曲面∑在点M 的法向量()()()} ,,,,,,,,{000000000z y x F z y x F z y x F n z y x = ()()()()()()0 ,,,,,,000000000000=?+?+?z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 过M 点且垂直于切平面的称为曲面∑在点M 的法线.法线方程： ()()() 0000 00000000,,,,,,z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x ?= ?=?切平面方程：
曲线论 曲线的切线和法平面
§2.3 曲线的切线和法面 给出曲线上一点P ，点Q 是P 的临近一点（如图1），把割线PQ 绕 P 点旋转，使Q 点沿曲线趋于P 点，若割线PQ 趋近于一定的位置，则 我们把这个割线PQ 的极限位置称为曲线在P 点的切线. 定点P 称为切点. 直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。 设曲线的参数方程是()r r t = ，切点P 对应参数0t ，Q 点对应参数0t t +?（如图 2），则有00()()PQ r t t r t =+?- 。 在割线PQ 上作向量PR ，使得00()() r t t r t P R t +?-= ? 。 当Q P →（即0t ?→）时，若 ()r t 在0 t 可微，则由向量函数的微 商可得向量PR 的极限 0000()()()lim t r t t r t r t t ?→+?-'=? 。 根据曲线的切线定义，得到 PR 的极限是切线上的一向量 ()r t ' ，它称为曲线上一点的切向 量。 由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即()0r t '≠ ，所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数t 的增 O
量方向是一致的。 现在我们导出曲线上一点的切线方程。 我们仍设曲线上一个切点P 所对应的参数为0t ，P 点的向径是 0()r t ，{,,}X Y Z ρ= 是切线上任一点的向径 （如图3），因为00()()r t r t ρ'- ，则得P 点的切线方程为00()()r t r t ρλ'-= ，其中λ为切线上的参数。 下面再导出用坐标表示的切线方程。设 0000(){(),(),()}r t x t y t z t = ， 0000(){(),(),()}r t x t y t z t ''''= ， 则由上述切线方程消去λ得到 000000()()()() () () X x t Y y t Z z t x t y t z t ---= = '''， 这是坐标表示的切线方程。 例1 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3 t π = 处的切线方程。 解：易得 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = ， (){sin ,cos ,}r t a t a t b '=- ， 3 t π = 时，有 (){,}3223a b r π π= ， (){,,}322 a r b π '=- ， 所以切线的方程为 ( )()33 r r π π ρλ'-= ， 即
空间曲线的切线与空间曲面的切平面doc资料
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为
数学实验教程实验6(空间曲线与曲面
实验6 空间曲线与曲面 实验目的 1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面 2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。 实验准备 1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程 实验内容 1．绘制空间曲线 2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成 4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域 软件命令 表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令 实验示例 【例6.1】绘制空间曲线 绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】： t=0:pi/30:9*pi; a=10; c=3; x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t; plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。 图6-1 空间曲线的绘制 【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面 绘制二元函数 22 2 2 sin x y z x y += +在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。 【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。 图 6-2 绘制空间曲面 【例6.3】绘制Mobius 带 Mobius 带的参数方程为 122122 cos sin cos ,[0,2],[,] sin u u x r u y r u r c v u v a b z v π=??==+∈∈??=?，， 其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
852 曲面的切平面与法线讲解
8.5.2曲面的切平面与法线 过曲面Σ上一点M，在曲面Σ上的曲线 有无数多条，每一条曲线点M处都有一条 切线，在下面的讨论中将会发现，在一定 的条件下，这些切线位于同一平面，我们 称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。 设曲面Σ的方程为F(x，y，z)=0，M(x0， y0，z0)是曲面上一点，函数F(x，y，z)在 点M处有连续的偏导数，且三个偏导数不 全为零，另设曲线Γ是过点M且在曲面Σ 上的任意一条曲线，它的方程为 t=t0是点M0所对应的参数 ， 不全为零。 由于曲线Γ在曲面Σ上，于是曲线Γ上 任意一 点的坐标满足曲面Σ的 方程，即有恒等式 图8-22 又由于函数F(x，y，z)在点M处有连续的偏导数，函 数 在t=t0处可导，所以复合函 数在t=t0 处可导，且全导数为
恒等式=0两边在t0处对t求全导数，有 上式说明向量 与向量 垂直。向量是曲线Γ在点M处的切向量，故曲线Γ在点M处 的切线与向量垂直，由曲线Γ的任意性知，所有过点M，且在曲 面Σ上的曲线在M处的切线都与向量垂直，也就是这些切线都在 以向量为法向量，并通过点M的平面上。所以，曲面Σ在点M处的切平面方程为 过点M(x0，y0，z0)且垂直于该点处的切平面的直线称为曲面Σ在点M处的法线，显然，切平面的法向量就是法线的方向向量，所以曲面Σ在点M处的法线方程为 如果曲面Σ的方程为z=f(x，y),则只需设 那么曲面Σ的方程就可化成F(x，y，z)=0的形式，而且 , 此时曲面Σ在点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为
法线方程为 例1：求曲面在点M(3，1，1)处的切平面方程和法线方程。 解： 例2：求圆锥面在点M(1，0，1)处的切平面方程和法线方程。 解： 例3：在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平 面平行，并求该点的切平面及法线方程。 解：
曲面的切平面与法线方程
曲面的切平面与法线方程 设*「中曲面工的方程为F（x ,z) = 0，函数F ( x , y , Z）在曲面工上点益-氐丹，环） Wo）= 处可微，且酬（血）前（血）萌（血） # o ，过点」任意引一条位于曲面工上的曲线 r。设其方程为 X ■戎\ * y = XO mW），且f ■冷对应于点-'■ 不全为零。由于曲线『在工 上，则有＜ -「及□化（孟）确,）+匚僦）HG+胃（兀玄如 。该方程表示 了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上, 这个平面就称为曲面工在点■'处的切平面.点1 .称为切点.向量」丁 J _1称为曲面工在点］.处 的一个法向量。记为厂： 基本方法: 1、设点?-1'■?"在曲面F（x, y, z）=0上，而F（x, y, z）在点‘丨处存在连续偏导数，且三个偏 导数不同时为零，则曲面F（x, y, z）=0在点丄1处的切平面方程为 忙（局）（“忌）4 兀（EXF -刃）+ ￡（兀-x,）-o 法线方程为 尺％，厂￡3■厂￡（兀） 2、设点f-' 1' -1'■-在曲面z = f （x, y）上，且z = f （x, y）在点M（x。，y。）处存在连续偏导数, 则该曲面在点上处的切平面方程为
过X的法线方程为 -工外片)-工知片)】 注：方法2实际上是方法1中取■'■ ■1■ ' '■'- ■■' I的情形. 3、若曲面刀由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，刀上的点''''■'-与uv平面上的点(LP, v。)对应，而x(u , v) , y( u , v) , z( u , v)在(u。, v o)处可微.曲面刀在点X)处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y( u , v) , z = z( u , v)，刀上的点'：_i 1与u , v平面上的点(u o, v o)对应，怎样确定刀在点X)处的法向量? 注释: :设x( u ,v),y(u , v),z(u ,v)在(s, v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线 『1: x = x(u ,v o),y = y(u ,v o),z = z( u , v o)； 『2：x = x(u o,v),y = y(u o ,v),z = z( u o , v). 它们在点X。处的切向量分别为 \=a：糾冲,y：(埠咻￡(知耳)) E ■(兀(如岭竄和4心知比))
空间曲线的切线与法平面
第六节偏导数的几何应用 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程) 1()() ()( t z t y t x o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M . ),,(0000t t t z z y y x x M 对应于; ),,,(0000t t z y x M 对应于设 M 第六节偏导数的几何应用
考察割线趋近于极限位置——切线的过程z z z y y y x x x 0 00t t t 上式分母同除以, t o z y x M M 割线的方程为 M M ,0 00z z z y y y x x x
, 0,时即当 t M M 曲线在M 处的切线方程 000 000()()() x -x y -y z -z ==.φt ψt ωt 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 000()()() T =φt ,ψt ,ωt 法平面：过M 点且与切线垂直的平面. ()()()()()() 0000000 φt x -x ψt y -y ωt z -z
例1 求曲线: t u udu e x 0cos ，t y sin 2 t cos ,t e z 31 在0 t 处的切线和法平面方程. 解当0 t 时，, 2,1,0 z y x ,cos t e x t ,sin cos 2t t y , 33t e z , 1)0( x ,2)0( y , 3)0( z 切线方程, 3 2 2110 z y x 法平面方程, 0)2(3)1(2 z y x . 0832 z y x 即
曲面的切平面和法线计算例题
第二章 曲面的表示与曲面论 第三节 曲面的 切平面和法线、 光滑曲面 1、 平面曲线的切线与法线 设平面曲线的方程为 0),(=y x F , ),(0 y x P 是其上一定点。在该点的切线斜率为 ) ,() ,()(00000y x F y x F x y y x ''- ='. 从而曲线过点),(000y x P 的 切线方程为 ) () ,() ,(000000x x y x F y x F y y y x -''-=-, 即0 (,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y ''-+-= ，(1) 法线方程为 (,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ''---=，
(2) 例1、 求笛卡尔叶形线09)(23 3 =-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线. 解 xy y x y x F 9)(2),(3 3 -+=, y x F x 962 -=',x y F y 962 -='. 12)1,2(,15)1,2(-='='y x F F , 得到 切线方程 0)1(4)2(5=---y x ,即645=-y x ; 法线方程 0)1(5)2(4=-+-y x ,即1354=+y x .如图(1)所示.
图(1)
2、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线L 的方程为 )(),(),(t z z t y y t x x ===,βα≤≤t . 定点L z y x P ∈),,(0 , )(),(),(0 t z z t y y t x x ===, 动点 L z z y y x x P z y x P ∈?+?+?+=),,(),,(0 . 动割线P P 0 的方程为 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-0 00, 当0→?t 时,动点P 沿曲线无限接近定点0P , 达到动割线P P 0 的极限位 置l : 0 ()()() x x y y z z x t y t z t ---==''' ，(3) 称之为曲线L 在点0 P 的切线. 其方向向量为
曲面的切平面与法线方程讲课讲稿
曲面的切平面与法线 方程
曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有及。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点 处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 . 法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为
. 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑 问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为
曲面与空间曲线的方程
第 2 章曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及 表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面 曲线方程的区别； ( 2)空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： § 1 曲面的方程 普通方程： 1 定义：设工为一曲面，F(x, y, z) =0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若工上任一点P(x,y,z)的坐标都满足F(x，y, z)=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲 面工上，则称F (x, y, z) =0为工的普通方程，记作 2：F (x, y, z) =0. 不难看出，一点在曲面2上〈一〉该点的坐标满足工的方程，即曲面上的点与其 方程的解之间是一一对应的???》的方程的代数性质必能反映出2的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三 元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的,但也有如下特殊情况 1 ° 若F( x, y, z) =0 的左端可分解成两个(或多个)因式F1( x, y, z) 与F2 (x, y, z)的乘积，即 F (x, y, z)= F i (x, y, z) F2 (x, y, z),贝U F (x , y , z) =0〈一〉F i (x , y , z) =0 或F2 (x , y , z) =0 ,此时 F( x y z) =0 表示两叶曲面1与 2 它们分别以F1( x y z) =0 F2( x y z) =0 为其方程此时称F(x y z)=0 表示的图形为变态曲面。如 F(x,y,z) xyz 0 即为三坐标面。 2 0方程F(x,y,z) (x2 y2 z2) x i2 y 2 2 (z 3)2 0 仅表示坐标原点和点( i 2 3) 3 °方程F(x, y,z) 0可能表示若干条曲线如 F(x, y,z) (x2 y2)(y2 z2) 0 即表示z 轴和x 轴 °方程F(x, y,z) 0不表示任何实图形如 4
曲面的切平面和法线方程
曲面的切平面与法线方程 设二中曲面工的方程为F (x , y , z ) = 0，函数F (x , y , z )在曲面工上点_ 1 . . ■ 一处可微，且 x=瑚Q ￡=胡，且f 叫对应于点肌；疋(订)』(讥*(耐)不全为零。由于曲线I 在工上，则有 任意一条过点‘‘-的曲线在该点的切线都与向量 一」'-L| -垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平 面就称为曲面工在点 ' -处的切平面.点］称为切点.向量'■ '-1--称为曲面工在点’-处的一个法向 量。记为顶丽 化gF, QO) 基本方法: 1、设点? ljl ' L 在曲面F (x , y , z )=0上，而F (x , y , z )在点「■'处存在连续偏导数，且三个偏导数 不同时为零，则曲面 F (x , y , z )=0在点’「处的切平面方程为 法线方程为 L % _ F_ 片 _ ￡_矶 ￡(兀厂叮兀厂外匕) 2、设点在曲面z = f (x , y )上,且z = f (x , y )在点M o (x o , y o )处存在连续偏导数，则该 曲面在点?处的切平面方程为 过X o 的法线方程为 齐_ 爲 ______ _g~g? -￡(心片)-刀仇」)1 注：方法2实际上是方法1中取 埶兀”巧■”/(“)?0 ［加(血)朗(血)鹽他))n (滋 如 龛丿 ,过点-任意引一条位于曲面工上的曲线 r 设其方程为 该方程表示了曲面上
的情形. 3、若曲面刀由参数方程 x = X(u, v), y = y(u, v) , z = z(u, v) 给岀，刀上的点「「..'与uv 平面上的点(u o , v o)对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微.曲面刀在点X o处的切平面方程及法线方程分别为 三、答疑解惑 问题：曲面刀的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v),E上的点1与u , v平面上的点(u o , v o)对应，怎样确定刀在点X o处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在(u o , v o)处可微，考虑在刀上过点X o的两条曲线. r ：x = x(u , v o) , y = y(u , v o) , z = z(u , v o); ir：x = x(u o, v) , y = y(u o , v) , z = z(u o , v). 它们在点X o处的切向量分别为
空间曲面与空间曲线学习总结
面及其方程 一曲面方程的概念 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。 为此，我们给出如下定义： 若曲面 S与三元方程 F x y z (,,) 0 (1) 有下述关系： 1、曲面 S上任一点的坐标均满足方程(1)； 2、不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程(1)。 那么，方程(1)称作曲面 S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。 下面，我们来建立几个常见的曲面方程。 【例1】球心在点 ) , , ( z y x M ，半径为R的球面方程。
解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即： ()()()x x y y z z R -+-+-=020202 ()()()x x y y z z R -+-+-=0202022 (2) (2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。 反过来，不在球面上的点 ''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点 'M 的坐标不适合于方程(2)。 故方程(2)就是以 M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。 若球心在原点，即 M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为 x y z R 2222++= 【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π 的方程。 解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意 的一点，则 AM BM = 即： ()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222
曲面与空间曲线的方程
第2章 曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定 义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有 关平面曲线方程的区别； （2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： §1 曲面的方程 一 普通方程： 1 定义：设Σ为一曲面，F （x ，y ，z ）=0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若Σ上任一点P （x ,y ,z ）的坐标都满足F （x ，y ，z ）=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F （x ，y ，z ）=0为Σ的普通方程，记作 Σ：F （x ，y ，z ）=0. 不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 ∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形： 空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的 一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况 1° 若F （x ，y ，z ）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F 1（x ，y ，z ） 与F 2（x ，y ，z ）的乘积，即F （x ，y ，z ）≡F 1（x ，y ，z ）F 2（x ，y ，z ），则 F （x ，y ，z ）=0〈═〉F 1（x ，y ，z ）=0或F 2（x ，y ，z ）=0，此时 F （x ，y ，z ）=0表示两叶曲面1∑与2∑，它们分别以F 1（x ，y ，z ）=0，F 2（x ，y ，z ）=0为其方程，此时称F （x ，y ，z ）=0表示的图形为变态曲面。如 0),,(=≡xyz z y x F 即为三坐标面。 20方程()()[] 0)3(21)(),,(222222=-+-+-++≡z y x z y x z y x F 仅表示坐标原点和点（1，2，3） 3°方程0),,(=z y x F 可能表示若干条曲线，如 0))((),,(2 222=++≡z y y x z y x F 即表示z 轴和x 轴 4°方程0),,(=z y x F 不表示任何实图形，如
曲面的切平面与法线方程
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 曲面的切平面与法线方程设中曲面Σ的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面Σ上点处可微，且，过点任意引一条位于曲面Σ上的 曲线Γ。设其方程为，且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有及 。该方程表示了曲面上任意一条过点 的曲线在该点的切线都与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面. 点称为切点. 向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为。 基本方法： 1、设点在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为 .
法线方程为 . 2、设点在曲面z = f (x, y)上，且z = f (x, y) 在点M0 (x0, y0) 处存在连续偏导数，则该曲面在点处的切平面方程为 . 过X0的法线方程为 . 注：方法2实际上是方法1中取的情形. 3、若曲面∑由参数方程 x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v) 给出，∑上的点与uv平面上的点（u0 , v0）对应，而x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)在（u0 , v0）处可微.曲面∑在点X0处的切平面方程及法线方程分别为 和 三、答疑解惑
问题：曲面∑的参数方程为x = x(u , v) , y = y(u , v) , z = z(u , v)，∑上的点与u , v 平面上的点（u0 , v0）对应，怎样确定∑在点X0处的法向量？ 注释：设x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) 在（u0 , v0）处可微，考虑在∑上过点X0的两条曲线. Γ1：x = x(u , v0) , y = y(u , v0) , z = z(u , v0); Γ2：x = x(u0, v) , y = y(u0 , v) , z = z(u0 , v). 它们在点X0处的切向量分别为 当时，得∑在点X0处的法向量为 则∑在点X0处的法向量为 . 四、典型例题 例1 求椭球面x2+2y2+3z2 = 6在（1, 1, 1）处的切平面方程与法线方程. 解设F(x, y, z) = x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1, 1, 1）处，椭球面在点(1, 1, 1)处的法向量为(2, 4, 6). 则所求切平面方程为 ， 即x + 2y + 3z = 6.
