含有参数的一元二次方程专题
含参一元二次方程专题复习
一、基础知识梳理
㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解.
㈡、24b ac ∆=-叫作一元二次方程的判别式：
⑴0∆>方程有两个不相等的实数根12b x a -+=，22b x a
--=; ⑵0∆=方程有两个相等的实数根122b x x a
==-
; ⑶0∆<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a
= . 二、基本技能习得
㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用；
㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”；
㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根.
三、基本思想导航
注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决；
㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解；
㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通；
㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0∆≥）还是“不相等的实数根” （0∆>）如例1、例3和例4.
在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方
法解决问题。在本节中没有例题都有体现，特别是例3.
四、典型例题经验
例1、已知常数k 为实数，讨论关于x 的方程2(3)(21)0k x k x k -+-+=的实数根的个数情况。
【解析】此题是对一元二次方程定义和其判别式应用的小综合考查，解决此题学生要有分类的数学思想又一定的感悟。在分类基础上运用一元一次不等式和一元一次方程的知识解决问题.
【解答】当30k -=，即3k =时原方程为530x +=，35
x =-原方程只有一个实数根
当30k -≠，即3k ≠时原方程为一元二次方程，其判别式
当18
k >-，且3k ≠原方程有两个不相等的实数根； 当18
k =-，原方程有两个相等的实数根； 当18
k <-，原方程没有实数根. 【解法】先分一元二次方程、一元一次方程两类，再根据判别式和30k -=，求出k 的值。
例2、方程2(4)0x m x m ---=的两个根分别是1x 、2x ，
⑴试判断方程的根的情况；
⑵设12||A x x =-则是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个值；若不存在说明理由.
【解析】通过判别式224[(4)]41()b ac m m ∆=-=---⨯⨯-的进行必要的变形后，由关于m 的代数式的值来确定方程根的情况。直接求12||A x x =-最值比较困难，但题目给出方程有两个实数根，而12||A x x =-的形式来看，它一个对称式，这两点提示我们用韦达定理来求解。沿着这个思路，通过平方，把绝对值去掉。由222121212||()4A x x x x x x =-=+-可把2A 转化为关于m 的代数式，从而求解.
【解答】⑴由题意得：22[(4)]41()(2)12m m m ∆=---⨯⨯-=-+
∴方程一定存在两个不等实数根 .
⑵124x x m +=-，12x x m =-，
12||A x x =-222221*********||2()4A x x x x x x x x x x ∴=-=-+=+-，
即22[(4)]41()(2)12m m m ---⨯⨯-=-+，
2(2)0m -≥ 2(2)1212m ∴-+≥，
当2m =时代数式2(2)12m ∴-+有最小值12，即2A 有最小值12，
又12||0A x x =-≥，212A =时，A ==
12||A x x ∴=-存在最小值，且最小值为
【解法】在判断∆的符号时和讨论2A 的最值时，都用到了配方法，可见在配方法是初中数学的常用方法.
在解决第⑵小时，用到了转化的思想，表面上看，12||A x x =-最值和韦达定理没有联系，但是通过两边平方之后，将问题转化为2A 的最值，使问题得到顺利解决.
例3、△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于的一元二次方程()2223320k k k x x ++++=-的两个实数根，第三边BC 的长为5 .
⑴k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?
⑵k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长。
【解析】⑴根据题意得出AB 、AC 的长，再由根与系数的关系得出k 的值；
⑵根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB ＝AC ，②AB ＝BC ，③BC ＝AC ；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k 的值．
【解答】⑴∵△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，5BC ＝2225AB AC ∴+＝
， ∵AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223320k k k x x ++++=-的两个实数根，
∴22332AB AC k AB AC k k ++++＝，＝，
∴()2
222AB AC AB AC AB AC ++＝﹣， 即22332AB AC k AB AC k k ++++＝，＝，
()()222323225k k k +++﹣＝，解得2k ＝或5﹣（不符合题意舍去）.
⑵∵△ABC 是等腰三角形；∴当AB AC ＝时，240b ac ∆＝﹣＝，
∴()()2
223432k k k +++﹣=0解得k 不存在；当AB BC ＝时，即5AB ＝， ∴523AC k ++＝， 2532AC k k ++＝， 解得3k ＝或4，∴4AC ＝或6， ∴△ABC 的周长为14或16．
【解法】本题是一元二次方程根与几何问题相结合的实际应用典型例题。在解答时，应注意把几何知识用代数符号表示如：勾股定理（2225AB AC +＝）
；三角形三边关系（①AB ＝AC ，②AB ＝BC ，③BC ＝AC ）结合韦达定理和判别式求解。同时，综合运用分论讨论、数形结合和方程的思想。
例4、m 是什么整数时，方程()()221631720m x m x ---＋＝有两个不相等的正整数根．
【解析】首先根据已知条件可得m 2﹣1≠0，进而得到m ≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m ≠3；再利用求根公式用含m 的式子表示x ，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m 的值即可．
【解答】解法1首先，()2
21013630m m m -≠≠±∆=-，．＞，所以3m ≠，
用求根公式可得：
161x m =-、2121
x m =+， 由于12x x ，是正整数， 所以，112
3611234612m m -=+=，，， ; ，，，，，; 解得2m =这时126,4x x ==。
解法2首先，2101m m -≠≠±，。设两个不相等的正整数根为12x x ，，则由根与系数的关系知：
212346891218243672m -=，，，，，，，，，，，即234579101319253773m =，，，，，，，，，，，
只有24925m =，
，才有可能，即235m =±±±，，。 经检验，只有2m =时方程才有两个不同的正整数根．
【解法】说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求解)，然后利
用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的。有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法。综上来说，此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．
五、模块练习提升
A 级
1．（2019.盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定
2．（2019年淄博市）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）
A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0 3.（2019.潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方
和为12，则m的值为（）
A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2 4.（2019.苍南）若一元二次方程230
-+=有两个相等的实数根，则c的值
x x c
是．
5．（2019.白银）关于
x+=有两个相等的实数根，则m
x的一元二次方程210
的取值为．
6．（2019.邵阳）关于x的一元二次方程220
--=有两个不相等的实数根，则
x x m
m的最小整数值是．
7．（2018.成都）若关于x的一元二次方程22
-++=有两个不相等的实
x a x a
(21)0
数根，求a的取值范围．
8．（2019.黄石）已知关于x的一元二次方程26(41)0
-++=有实数根．
x x m
（1）求m 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且12||4x x -=，求m 的值．
B 级
9．（2019．广元）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1,3)P a a +--在第 象限．
10．（2019.罗湖区）在等腰ABC ∆中，三边分别为a ，b ，c ，其中2a =，若关于x 的方程2(1)10x b x b +-+-=有两个相等的实数根，则ABC ∆的周长是 ．
11．（2018．绥化）已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）当52
m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．
C 级
12．（2019．沙坪坝）从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程222(4)0x a x a --+=有实数解，且关于y 的分式方程
1311y a y y +-=--有整数解，(则符合条件的a 的值的和是 ) A ．6- B ．4- C ．2- D ．2
13．（2017．西城）已知关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=．
（1）求证：无论m 取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若0m ≠，关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=的解是整数解，求m 的整数值．
根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程专项练习60题 1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求m的值． 2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0， （1）若方程的一根为0，求实数a的值； （2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值． 3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？ 4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0． （1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根； （2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况． 5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程有两个相反的实数根； （3）方程的一个根为0． 6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值． 8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0． （1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x12+12m+x22=10，求m的值． 11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）若x12=11﹣x22，求k的值． 12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根 （1）求m的取值范围； （2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．
含有参数的一元二次方程专题
1 含参一元二次方程专题复习 一、基础知识梳理 ㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解. ㈡、24b ac ?=-叫作一元二次方程的判别式： ⑴0?> 方程有两个不相等的实数根12b x a -+= ，22b x a --=; ⑵0?=方程有两个相等的实数根122b x x a ==- ; ⑶0?<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a =g . 二、基本技能习得 ㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用； ㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”； ㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根. 三、基本思想导航 注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决； ㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解； ㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通； ㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0?≥）还是“不相等的实数根” （0?>）如例1、例3和例4. 在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法） 设p为质数，且关于x的方程x2+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值； 题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。 首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数， 可得-、3、3、10、13、p， 那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p， 那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3， 首先可以排除1170×p这种形式， 那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7， 同时p肯定要比1170小， 所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么： ①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行； ②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行； ③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行； ④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行； ⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p； ⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适； 所以最终就能得到p=13； 这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？
我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组， 有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？ 所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中， 那么我们可以将两个3看做一个因数9， 现在就变成了四个因数9、10、13、p， 需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个， 那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10， 也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了， 将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117， 130-117=13=p成立， 所以p=13符合； 老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下： x2=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数， 所以设x=np， 那么（np）2=p（1170-p）， 所以n2p=1170-p， 变形为n（n+1）p=9×10×13 那么p=13；
含有参数的一元二次方程专题
含参一元二次方程专题复习 一、基础知识梳理 ㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解. ㈡、24b ac ∆=-叫作一元二次方程的判别式： ⑴0∆>方程有两个不相等的实数根12b x a -+=，22b x a --=; ⑵0∆=方程有两个相等的实数根122b x x a ==- ; ⑶0∆<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a = . 二、基本技能习得 ㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用； ㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”； ㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根. 三、基本思想导航 注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决； ㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解； ㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通； ㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0∆≥）还是“不相等的实数根” （0∆>）如例1、例3和例4. 在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题)
含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式,通常情况下，均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析:本题二次项系数含有参数,()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时，解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时,解集为{}32|> 含参数的一元二次方程整数解 知识定位 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。 知识梳理 1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是： x=a ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2、根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2= a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 专题 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a Θ ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式?的符号分类，即0,0,0?； 例3 解不等式042>++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵162-=?a ∴当()4,4-∈a 即0a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 含参数的一元二次方程 引言 本文档旨在介绍含参数的一元二次方程的概念和解法。一元二 次方程是数学中常见的方程形式，它的一般形式为： $$ax^2 + bx + c = 0$$ 其中，$a, b, c$ 为常数，$x$ 是未知数。 解法 对于含参数的一元二次方程，解法与一般的一元二次方程类似。我们可以使用求根公式来找到方程的解。 一元二次方程的求根公式如下： $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 根据方程的情况，可能存在以下几种解的情况： - 当 $b^2 - 4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。 - 当 $b^2 - 4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数根。 - 当 $b^2 - 4ac < 0$ 时，方程没有实数根，但可能有复数根。示例 让我们通过一个示例来说明含参数的一元二次方程的解法。假设我们有以下方程： $$2x^2 + px + q = 0$$ 我们需要找到方程的根。 首先，计算判别式 $b^2 - 4ac$ 的值： $$b^2 - 4ac = p^2 - 4(2)(q)$$ 根据判别式的值，我们可以判断方程的解的情况。 - 若 $p^2 - 4(2)(q) > 0$，则方程有两个不相等的实数根。 - 若 $p^2 - 4(2)(q) = 0$，则方程有两个相等的实数根。 - 若 $p^2 - 4(2)(q) < 0$，则方程没有实数根。 根据判别式的结果，我们可以使用求根公式计算方程的根。 结论 含参数的一元二次方程是一种常见的数学方程形式。通过求解方程中的参数和应用求根公式，我们可以得到方程的解。然而，在解决实际问题时，需要注意方程的判别式的值，以确定方程的根的情况。 如有其他问题，请随时向我提问。 1 第4讲答案 1. D 【解析】关于x 的一元二次方程02-2=-k x x 有两个不相等的实数根， ∴⊿)k -14-2-2 （）（⨯⨯= ＞0，∴k ＞－1． 2. B 【解析】关于x 的方程0631 22 =+----mx x )m (m m 是一元二次方程， 032122≠-=--∴m m m 且，1-=∴m ，1=-∴m 3. C 【解析】二次函数c ax ax y +-=22的图象经过点（－1，0），而对称轴为直线x =1， ∴方程022=+-c ax ax 的解为-11=x ，32=x ． 4. A 【解析】∵1()()0x a x b ---=，∴1=()()x a x b --．∵m 、n （m 含参数一元二次不等式解法 含参一元二次不等式常用分类方法有三种： 一、按2 x 项系数a 符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24 221a a a x +---= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222 >+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 16 22---=a a x ，显然 21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解 因,012>+m ( )( ) 2 2 2 3414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ = 21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+--+-+>132132222 2m m x m m x x 〈或； 当33>- 专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式 【考点预测】 1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧ ⎪∆=->⎪ ⎪ +=->⎨⎪ ⎪=>⎪⎩ （2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧ ⎪∆=->⎪ ⎪ +=-<⎨⎪ ⎪=>⎪⎩ （3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a =< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2b x a =-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 12m x x << 2()0 b m a f m ∆>⎧⎪⎪ ->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x << ()0f m < 12x x m << 02()0 b m a f m ∆>⎧⎪⎪ -<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内 没有实根 0∆< 12120x x m x x m ∆==≤=≥或 02()0 b m a f m ∆>⎧⎪⎪ -<⎨⎪⎪≥⎩ 02()0 b n a f n ∆>⎧⎪⎪ ->⎨⎪⎪≥⎩ ()0 ()0 f m f n ≤⎧⎨ ≤⎩ O n m y x O n m y x O n m y x O n m y x O n m y x 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222 >+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 一元二次方程与二次函数的含参问题 单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明 一，堂前测 1.假如关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x 的 方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为〔 〕 A. －1或者－3 B. 1或者３ C. －1或者３ D. 1或者－3 2. 关于x 的方程2(12)2110k x k x --+-=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。 3. 当m 取何值时，关于x 的方程22210x mx m m ++--=有两个小于1的根? 4. 函数y=x 2-x+4-2m 在-1≤x≤1时与x 轴有交点，务实数m 的取值范围。 5，关于x 的方程. 220 (0)kx x k k --=≠ 〔1〕求证：方程总有两个不相等的实数根； 〔2〕假设方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值。 6关于 x 的方程x 2 -(m+1)x+ =0 的两根是一矩形的两邻边长，当矩形的对角线长为 时，求m 的值 7函数y= x2-6x+m+4与x轴有两个交点〔x1,0〕,(x2,0),假设x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m的值。 二，例题 1，关于x的一元二次方程x2﹣〔m+1〕x+ =0有实根。 〔1〕求m的值 〔2〕先作函数的图像关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后的图像解析式。 〔3〕在〔2〕的条件下，第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公一共点时，求n2-4n的最大值和最小值。 2，：关于x的一元二次方程mx2﹣〔3m+1〕x+2m+2=0 〔m＞1〕。 〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根； 〔2〕设方程的两个实数根分别为x1，x2〔其中x1＞x2〕，假设y是关于m的函数，且y=m x2﹣2x1，求这个函数的解析式； 〔3〕将〔2〕中所得的函数的图象在直线m=2的左侧局部沿直线m=2翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象答复：当关于m的函数y=2m+b 的图象与此图象有两个公一共点时，求b的取值范围。 专题26：含参数的一元二次分类讨论方法(解析版） 三个两次之间的关系 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧> 21|x x 当0含参数的一元二次方程整数解
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