理工科大学物理知识点总结及典型例题解析
理工科大学物理知识点总结及典型例题解析
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?
v 第一章 质点运动学
本章提要
1、 参照系：描述物体运动时作参考的其他物体。
2、 运动函数：表示质点位置随时间变化的函数。
位置矢量:k t z j t y i t x t r r
)()()()(++==
位置矢量：)()(t r t t r r
-?+=? 一般情况下:r r
?≠?
3、速度和加速度: dt
r
d v
= ; 22dt r d dt v d a == 4、匀加速运动： =a 常矢量 ; t a v v +=0 2
210t a t v r
+= ５、一维匀加速运动：at v v +=0 ； 2210at t v x += ax v v 2202=-
6、抛体运动： 0=x a ； g a y -=
θcos 0v v x = ； gt v v y -=θsin 0
t v x θcos 0= ； 2
210sin gt t v y -=θ
７、圆周运动：t n a a a
+=
法向加速度:22
ωR R
v a n == 切向加速度：dt
dv a t = ８、伽利略速度变换式：u v v
+'=
【典型例题分析与解答】
１．如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h,滑轮到原船位置的绳长为l 。当人以匀速v 拉绳,船运动的速度v '为多少?
解:取如图所示的坐标轴, 由题知任一时刻由船到滑轮的绳长为l=l 0-vt 则船到岸的距离为:
2
2022)(-h -vt l -h l x ==
因此船的运动速率为:
o
x
v l
v h
2
0 ?
??
? ??--==
vt l h l v
dt
dx
v
2．一质点具有恒定的加速度2
)46(m/s j i a +=,在t=0时刻，其速度为零, 位置矢量i r 10= (m).
求:(1)在任意时刻的速度和位置矢量;(2)质点在 xo ｙ平面的轨迹方程，并画出轨迹的示意图.
解. (1)由加速度定义dt v
d a =，根据初始条件 ｔ0=０ v 0=０ 可得
???+==t
t v )dt j i (dt a v d 0
46
s m j t i t v /)46(
+= 由dt
r
d v =
及 ｔ０＝0i r r 100==得
?
??+==t t r r dt j t i t dt v r d 0
)46(0
m j t i t j t i t r r ]2)310[(232
2220 ++=++=
(2)由以上可得质点的运动方程的分量式x ＝x(t) y=y(t ） 即 ｘ=10+3t 2
y=2t 2
消去参数t,得质点运动的轨迹方程为 3ｙ=2x-２0
这是一个直线方程．由m i r
100=知
x ０=10m,y 0=0.而直线斜率 3
2===tga dy/dx k , 则1433'=
a 轨迹方程如图所示
3. 质点的运动方程为2
3010t t -x +=和2
2015t t-y =,(ＳI)试求:(1） 初速度的大小和方向;(2）加速
度的大小和方向.
解.(1)速度的分量式为 t -dx/dt v x 6010+== t -dy/dt v y 4015== 当t=0时,v 0x =-10m/ｓ,ｖ0y =15m ／s,则初速度的大小为0182
0200.v v v y x =+=m/s
而v ０与x 轴夹角为 1412300'== x
y v v arctg
a
(2)加速度的分量式为 2
60-x x ms dt
dv a ==
240-y y ms dt dv a == 则其加速度的大小为 17222
.
a a a y x =+=
ms -２ X
y
3y=2
10
ａ与x 轴的夹角为
1433'== -a a arctg
x
y β(或91326' )
4． 一质点以25m/ｓ的速度沿与水平轴成30°角的方向抛出.试求抛出５s 后,质点的速度和距抛出点的位置.
解. 取质点的抛出点为坐标原点．水平方向为x 轴竖直方向为y 轴， 质点抛出后作抛物线运动,其速度为
αcos 0v v x = gt v v y -=αsin 0 则ｔ=5s 时质点的速度为 ｖx ＝2１．６5m/s ｖy =-36.50m ／ｓ
质点在ｘ，ｙ轴的位移分别为
x=v 0x ｔ=108．25ｍ 0602
2
0.-gt t-v y y ==m 质点在抛出5s 后所在的位置为 )06025108(j .-i .j y i x r
=+=m
5．两辆小车A 、B 沿Ｘ轴行驶，它们离出发点的距离分别为 XA=4t+t 2， ＸB ＝ 2ｔ２
+2ｔ3 (S Ｉ)问:（1)在它们刚离开出发点时，哪个速度较大?(2)两辆小车出发后经过多少时间才能相遇?（3)经过多少时间小车A 和B 的相对速度为零? 解.(１) t /dt dx v A A 24+== 2
64t t /dt dx v B B +==
当 t ＝0 时, v A ＝4m ／s v B =0 因此 v Ａ ＞ v B (2)当小车A 和Ｂ相遇时, x A =x B 即 3
2
2
224t t t t +=+ 解得 ｔ=0、１．19s -1.69s(无意义)
(3）小车A 和B 的相对速度为零,即 v Ａ-v B =0 3ｔ2+t-2＝０ 解得 t=０.67s . -1s （无意义).
第二章 质点力学(牛顿运动定律）
本章提要
1、牛顿运动定律
牛顿第一定律 o F =
时 =v
常矢量
牛顿第二定律 k ma i ma i ma a m F z y x
++==
v
v
v
X
Y
牛顿第三定律 '
F F -=
2、技术中常见的几种力:
重力 g m P
= 弹簧的弹力 kx f -= 压力和张力
滑动摩擦力 N f k k μ= 静摩擦力 N f s s μ≤
3、基本自然力:万有引力、弱力、电磁力、强力。
4、用牛顿运动定律解题的基本思路:
认物体→看运动→查受力（画示力图)→列方程 5、国际单位制（SI ）
量纲:表示导出量是如何由基本量组成的幂次式。
【典型例题分析与解答】
１. 一木块在与水平面成a 角的斜面上匀速下滑.若使它以速度v 0 沿此斜面向上滑动,如图所示.证明它能沿该斜面向滑动的距离为ｖ０2/４gsina.
证.选如图所示坐标,当木块匀速下滑时,由牛顿第二定理有 mgs ｉｎa-ｆ =0
因此木块受到的摩擦阻力为 f = m ｇsina (１) 当木块上行时,由牛顿第二定律有 - ｍgsina - f ＝ma (2) 联立(1)(２)式可得a ＝ －2gs ｉｎa
式中负号表示木块沿斜面向上作匀减速直线运动.木块以初速v 0开始向上滑至某高度时,ｖ＝0,由v 2
＝v 02+2ａs 可得木块上行距离为 s=-v ０2/2a=v 0２
/4gs ｉna
2．如图所示,已知F ＝4.0×104N,m １＝3．0×103kg ，m2=２.0×1０3k ｇ两物体与平面间的摩擦系数为０.０２,设滑轮与绳间的摩擦系数均不计算.求质量m 2物体的速度及绳对它的拉力. 解.如图所示,设m 2的加速度为a 2,m 1的加速度 为a 1.由牛顿第二定律分别列出ｍ1，m 2的运动方 程为
2
2221111a m g m -T a m g m -F-T ==μμ
由于滑轮质量、滑轮与绳之间的摩擦力不计,则有02
1
=''-T T
考虑到2211T ',T T 'T ==,且绳子不被拉长,则有122a a = 联立上述各式,可得21
21227844)
2(22-m.s .m m m m g F-a =++=
μ
N .a g m T 4
22210351)(?=+=μ
３．在一只半径为R 的半球形碗内，有一粒质量为m 的小钢球.当小钢球以角速度ω在水平面内沿
v x
y
F N
f P
P
F N f a
F a
m m m 1
m 2
F
N
f
f T T N
1T '
2
T ' 2T '
碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高?
解．如图所示,钢球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动.当它距碗底高为
h 时，其向心加速度为θωωsin 2
2R r a n ==,钢球所受到的作用力为重力Ｐ和碗壁对球的
支持力N,其合力就是钢球匀速圆周运动所需的向心力F.由图 有 θωθsin sin 2
mR N F == `则 2
ωmR N = (1) 考虑到钢球在垂直方向受力平衡，则有 mg P N ==θcos (2)
由图可知 /R R-h )(cos =θ. 故有 2
ωR-g/h =
4. 一质量为m 的小球最最初位于如图所示的Ａ点,然后沿半径为ｒ的光滑圆弧的内表面AD ＣB 下滑.试求小球在点C 时的角速度和对圆弧表面的作用力.
解.取图所示的坐标系，小球在运动过程中受重力P 和圆弧内表面的作用力N.由牛顿第二定律得小球在切向方向运动方向方程为 t t ma F = 即 mdv/dt a -mg =sin
由 /dt rd ds/dt v α== 可得 /v rd dt α=. 将其代入上式后，有 ααd -rg vdv sin =
根据小球从A 运动到Ｃ的初末条件对上式两边进行积分,则有
??
=α
παα2
)sin (0
d rg vdv v
得αcos 2rg v =
小球在Ｃ点的角速度为
/r g v/r αωcos 2==
小球在法线方向的运动方程为 F n =ma n
即 ααcos 2cos 2
mg /r mv N-mg == 由此得小球对圆弧的作用力为 αcos 3mg --N N'==
5.有一个可以水平运动的倾角为α的斜面,斜面上放一质量为m 的物体,物体与斜面间的静摩擦系数为μ，如果要使物体在斜面上保持静止,斜面的水平加速度应如何?
解.物体m 在斜面上保持静止,因而具有和斜面相同的加速度a ．可以直观的看出,如果斜面的加速度太小，则物体将向下滑;如果斜面的加速度过大, 则物体会向上滑. (１)假定物体静止在斜面上，但有向下滑的趋势; 物体受力分析如图(１)所示，由牛顿运动定律有
)(sin cos -a m -N f =αα 0cos sin =+-mg N f αα
F
P
N R h θ
θ A
D C
B O r a a t
mg
a n
a
a a N f mg
x
y
N f μ≤则 g a
μa a
a-μa sin cos cos sin +≥
（1)假定物体静止在斜面上,但有向上滑的趋势;物体受力分析如图(２)所示,由牛顿运动定律有
)(sin cos -a m -N f =-αα 0cos sin =+--mg N f αα
N f μ≤则 g a
μa a
μa a sin cos cos sin -+≤
故g a μa a μa a g a μa a a-μsin cos cos sin sin cos cos sin -+≤≤+
第三章 功与能
本章提要
１、功：r d F dW
?= ??
??++==?=
=B
A
B A
B
A
z y x dz f dy f dx F dr F r d F dW W )(cos θ
2、动能定理：2
12
12
221mv mv W -= 3、保守力与非保守力： ?
=?=
L
r d F W 0 保 ?≠?=L
r d F W 0
非
４、势能:对保守内力可以引入势能概念 万有引力势能：r
m m G
E p 2
1-=以两质点无穷远分离为势能零点。 重力势能：mgh E p =以物体在地面为势能零点。
弹簧的弹性势能:2
21kx
E p =以弹簧的自然伸长为势能零点。 5、机械能受恒定律:在只有保守内力做功的情况下,系统的机械能保持不变。
1、用力推地面上的石块.已知石块的质量为2０k ｇ,力的方向和地面平行. 推力随位移的增加而线性增加,即F=6x(ＳI ）.试求石块由ｘ1=1６m 移到x 2= 20ｍ的过程中,推力所作的功. 解．由于推力在作功过程中是一变力,按功的定义有
J -xdx x d F W x x 432)1620(362220
16
2
1
===?=??
2、一颗速率为700m ／s 的子弹,打穿一木块后速率降为500m/s.如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板.求子弹的速率降到多少?
解.由动能定理可知,子弹穿过第一块和第二块木板时克服阻力所作的功分别为
a
a N
-f mg x
y
22
2
1232
1
22
1
2122211mv
-mv W mv -mv W ==
式中v 1为子弹初速率,v 2为穿过第一块木板后的速率,v ３为穿过第二块木板后的速率.由题意知两块木
板完全相同,因此子弹穿过木板过程中克服阻力所作的功可认为相等,即 W 1=Ｗ2，故有
2221232
12121222
1mv -mv mv -mv = 由此得子弹穿过第二块木板后的速率为 m/s -v v v 1002212
23==
３、.用铁锤把钉子敲入木板.设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比．若第一次敲击能把钉子打入木板m 101.0-2
?.第二次打击时, 保持第一次打击钉子的速度,那么第二次能把钉子打多深．
解.锤敲钉子使钉子获得动能.钉子钉入木板是使钉子将获得的动能用于克服阻力作功.由于钉子所受阻力ｆ与进入木板的深度ｘ成正比,即ｆ=kx,其中ｋ为阻力系数.而锤打击钉子时,保持相同的速度,故钉子两次进入木板过程中所作功也相等, 所以有
??
=x
kxdx kxdx 01
.001
.00
m x 0141.0=
即钉子经两次敲击进入木板的总深度为０.0141m.由此可知第二次打击使钉子进入木板的深度为
m .x-x d 004101==
4、一半径为R 的光滑球固定在水平面上. 另有一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下.摩擦力略去不计.求粒子离开球的位置以及粒子在该位置的速度.
解.如图所示,粒子在光滑球面上滑动时仅受球面支持力和地球引力 ｍg 的作用.由于N 始终与球的
运动方向垂直，故系统机械能守恒．当粒子从最高点A 滑至离开球的位置Ｂ时,有
θcos 2
2
1mgR mv mgR += 根据牛顿第二定律,有21
cos mv N mg R
=-θ
而粒子刚好离开时,Ｎ=0．因此有
θθcos cos 21mgR mgR mgR +=
则物体刚离开球面处的角位置为
此时,粒子的速率为Rg gR v 32cos ==
θ
v 的方向与P 夹角为
8.4190=-=θa
５、一劲度系数为K 的水平轻弹黉,一端固定在墙上,另一端系一质量为M 的物体Ａ放在光滑的水平
面上.当把弹黉压缩x 0后，再靠着Ａ放一质量为m 的物体B,如图所示.开始时系统处于静止，若不计一切摩擦.试求:(1)物体A 和B 分离时,B 的速度;(2)物体Ａ移动过程中离开ｏ点的最大距离. 解．（1）以A 、Ｂ及弹黉为系统,假定A 、B 分离时的共同速度为v. 由机械能守恒定律，有
248arccos 32.==θθ R
o
P
N
v
A
B
A
x 0
x
2
02122
1)(kx v m M =+
则 0)(x m M K/v +=
(2）若设x 为物体A 离开o 点的最大距离,
由系统机械能守恒,有22
1
2
2
1kx Mv =
则0)(x m M M/x +=
第四章 动量
本章提要
1、动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系)动量的增量。21p p dt F -=
对于质点系∑=
i
i
p
p
2、动量受恒定律:系统所受合外力为零时,∑=i
i
p
p
常矢量。
3、质心的概念 质心的位矢：∑∑=
i i i i
i
i c r m m m
r m r )1(
?
=dm r m r c
1 4、质心运动定律:质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度。c a m F
=
质点系的动量受恒等同于它的质心速度不变。
1、如图所示,质量为ｍ、速度为v 的子弹，射向质量为M 的靶,靶中有一小孔， 内有劲度系数为ｋ的弹黉,此靶最初处于静止状态,但可在水平面作无摩擦滑动.求子弹射入靶内弹黉后,弹黉的最大压缩距离.
解.质量为m 的子弹与质量为M 的靶之间的碰撞是从子弹与固定在靶上的弹黉接触时开始的，当弹黉受到最大压缩时,Ｍ和ｍ具有共同的速度v １， 此时弹黉的压缩量为x 0.在碰撞过程中,子弹和靶组成的系统在水平方向上无外力作用, 故由动量守恒定律可得
1)(v M m mv += （1)
在碰撞过程中，系统的机械能守恒,有
2021
212122
1)(kx v M m mv ++= (2)
联立(1) (2）式,得)
(0M m k mMv
x +=
M
m
v
2、质量为kg 10
7.2-23
?、速率为m/s 106.07?的粒子A, 与另一个质量为其一半而静止的粒子B 发
生完全弹性的二维碰撞,碰撞后粒子Ａ的速率为m/s 105.07
?.求( １)粒子Ｂ的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏角;(2）；粒子A 的偏转角.
解．取如图所示的坐标.当A 、B 两粒子发生碰撞时，系统的动量守恒.在x ｏy 平面内的二维直角坐标中,
有αβcos mv cos mv 2
1
mv B221A222A1+=+
=x B x A mv mv αβin s m v sin m v 0B22
1A2-=
由碰撞前后系统机械能守恒，有
2A221
2B2212A12
1mv (m/2)v mv +=
则碰撞后粒子B 的速率为
m /s.104.69v 7B2?=
粒子Ｂ相对于粒子A 原方向的偏转角6'54
=β, 粒子A 的偏转角20'22
=a
3、如图所示为一弹黉振子,弹黉的劲度系数为K,质量不计．有一质量为m 、速度为v 的子弹打入质量为M 的物体，并停留在其中,若弹黉被压缩的长度为x ，物体与平面间的滑动摩擦系数为μ,求子弹的初速度．
解．以M 、m 和弹黉为研究对象,系统在水平 方向动量守恒，有mv ＝(m+M)u (１) 子弹打入物体后,在弹黉被压缩的过程中, 由功能原理,可得
M)gx (m Kx M)u (m 22
122
1++=+μ （2) 联立（1)(2)式得gx
2m)/(M Kx m M
m v 2
μ+++=
4、质量为m 的物体从斜面上高度为h 的A 点处由静止开始下滑，滑至水平段B 点停止．今有一质量为m 的子弹射入物体中,使物体恰好能返回到斜面上的Ａ点处. 求子弹的速率. 解.以地球和物体为研究系统,物体从A 处滑到Ｂ 处的过程中,由功能原理可得摩擦力的功的数值 为 W f =mgh
取子弹和物体为系统,子弹射入物体的过程系统 的动量守恒,有 ｍｖ＝2mu
再以地球、物体和子弹为系统，由功能原理有 2mgh -(2m)u
2W 221f = y
x
v A1
V B2
V A2
o α
β
m
M
v
A
m B
m
h
由此可得gh 4v =
５、如图所示，质量为m 的小球沿斜坡在h 处由静止开始无摩擦滑下， 在最低点与质量为M 的钢块作完全弹性碰撞．
求:(1)碰撞后小球沿斜坡上升的高度.（２)若钢块和地面间摩擦系数为μ，碰撞后钢块经过多长时间后停下来.
解．小球沿斜坡滑下过程中系统机械 能守恒22
1mv mgh =
小球m 以速度v 在斜坡底端和M 发生完全弹性碰撞,有
21Mv m v m v +=
222
1
212122
1Mv mv mv += 小球沿斜坡上升过程中系统机械能守恒,有mgh'mv 2121=
若钢块M 在平面上运动经t ?秒后停下来,由动量定理有
2Mv -0t Mg -=?μ
联立求解可得h m M m M h'2
??
?
??+-= g h m M m t /2)(2+=
?μ 第五章 刚体的转动
本章提要:
1、 刚体的定轴转动:
角速度：dt d θω=
角加速度；dt
d ω
β=
匀加速转动：t βωω+=0 22100t t βωθθ＋＝- βθωω22
02=-
2、 刚体的定轴转动定律：βJ M =
3、 刚体的转动惯量:∑=
i
i
i r
m J 2
?
=dm r J 2
平行轴定理2md J J c +=
4、 力矩的功：?=
θMd W
转动动能:22
1ωJ E k =
A m
M
h
刚体定轴转动的动能定理:2
02122
1ωωJ J W -=
刚体的重力势能：c p mgh E =
机械能守恒定律:只有保守力做功时,=+p k E E 常量 5、 角动量:
质点的角动量：v r m P r L
?=?=
质点的角动量定理：L dt
d M
=
质点的角动量守恒定律:=?==v m r L M
, 0常矢量
刚体定轴转动的角动量:ωJ L = 刚体定轴转动的角动量定理:L dt
d M =
刚体定轴转动的角动量受恒定理:当合外力矩为零时 =ωJ 常量 １、设某机器上的飞轮的转动惯量为6３．６ｋg ．m 2,转动的角速度为3１.4s -1,在制动力矩的作用下，飞轮经过2０ｓ匀减速地停止转动,求角加速度和制动力矩. 解.由题意知飞轮作匀减速运动,角加速度β应为常量,故有
-1.57rad/s 31.4)/20-(0)/t -(0===ωωβ.
根据转动定律,可得制动力矩-99.9N.m (-1.57)63.6J M =?==β
式中负号表示角加速度、制动力矩的方向均与飞轮转动的角速度方向相反．
2、如图(a ）所示为一阿脱伍德（Ａt ｗｏo ｄ)机.一细而轻的绳索跨过一定滑轮, 绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体，且ｍ1>m ２．设定滑轮是一质量为M 、半径为ｒ 的圆盘,绳的质量不计，且绳与滑轮间无相对运动.试求物体的加速度和绳的张力.如果略去滑轮的运动,将会得到什么结果?
解.分别作出滑轮M,物体m 1和m 2的受力分析图如图(b ）所示.由于绳索质量不计,且长度不变,故m 1和m ２两物体运动的加速度a 和ａ＇大小相等,均为a ，但方向相反.对物体m 1和m 2以及滑轮Ｍ分别应用牛顿第二定律和转动定律,可得
m １ｇ-T 1=m 1ａ (1）
T ’2-m 2ｇ=m ２a ’ (2)
βJ )r T -(T 21= （3) 而 22
1Mr J =
(4)
βr a = (5) 联立(1）（２)(３)(4）(５)式,可得
g M/2
m m m -m a 222
1++=
m
2 m 1
M a
a T P
T P 1
T 1
T 2 P N
g m M/2m m M/22m T l 2221+++=
g m M/2
m m M/2
2m T 22212+++=
如果略去滑轮的运动,即T 1=T ２=T,有 2121m m )g m -(m a +=
2
12121m m g
m 2m T T T +===
3、质量为0．5０kg ，长为0．40m 的均匀细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动.如将此棒放在水
平位置，然后任其下落.求:(1）在开始转动时的角加速度；(2)下落到铅直位置时的动能;(３)下落到铅直位置时的角速度.
解.(1)如图所示,棒绕端点ｏ的转动惯量Ｊ=m l ２
/３. 在水平位置时，棒所受的重力矩 Ｍ＝mg ｌ/2, 根据转动定律，得-2
36.8rad.s
)3g/(2M/J ===l β
(2）取棒和地球为系统,以棒处于竖直位置时其中 心点Ａ处为重力势能零点.在棒的转动过程中只有 保守内力作功,系统的机械能守恒．棒从静止时的水 平位置下落到竖直位置时，其动能为 E ｋ=mg l /２=0.98Ｊ
(3）棒在竖直位置时的动能就是此刻棒的转动动能,则有E k =１／２ J ω２
，所以竖直位置时棒的角速度为8.57rad/s 3g//J 2E k ===
l ω
4、如图所式,A 、B 两个轮子的质量分别为m 1和m ２,半径分别为r 1和ｒ2.另有一绳绕在两轮上,并按图示连接.其中A 轮绕固定轴o 转动.试求:(1)B 轮下落时, 其轮心的加速度;(2)细绳的拉力. 解.取竖直向下为ｘ轴正向,两轮的受力分析如图示.Ａ轮绕轴o 作定轴转动,故有 A 2112
11r m r ' T β= 且 1A A /r a =β
故 A 121a m ' T =
(1)
对于B 轮除了绕其轴C 的转动外,还有B 轮质心C 的平动．根据牛顿定律,B 轮质心运动方程为
c 22a m T -g m = (2)
又根据转动定律,对Ｂ的转动有 B 2222
12r m Tr β=
且有 2B B /r a =β 故 B 22
1a m T =
(3）
而 T=T '
a A ＝a c -a B （４) 联立求解可得
２T/m 1=ａc -2T ／m 2 故 2
1c
212m 2m a m m T +=
(5）
A
P r m
A
B r m
r
m A T ′ T p
βB x
联立(２)(５)式可得 2121c 2m 3m )g m 2(m a ++=
2
121c 2m 3m g
m m )a -(g m T +==
5、在图示的装置中,弹黉的劲度系数K=2.0Ｎ/m,滑轮的转动惯量J=０.50k ｇ.ｍ２
, 半径R ＝0.30m ，
物体质量m=６×1０-２
ｋｇ．开始时用手将物体托住使弹黉为原长, 系统处于静止状态.若不计一切摩擦，求物体降落0.4m 处的速率.
解．以滑轮、物体、弹黉和地球为系统,在物体下落过程中,系统的机械能守恒.设物体下落h=0．4ｍ时的速率为v ，则 221
22122
1mv J(v/R)Kh mgh ++=
0.16m/s )
(J/R m Kh)h
-(2mg v 2=+=
6、如图所示,质量为m 1和m 2 的两物体通过定滑轮用轻绳连接在一起,滑轮与轴、物体与桌面的摩擦忽略不计.当m 1由静止下降距离h 时,求:(1)若滑轮质量不计,此时m 1的速率是多少?(2)若滑轮的转动惯量J=ＭＲ2/２,此时m 1的速率又为多少? (３）若在（2）中把m 1换成拉力F,此时滑轮的角加速度为多少?
解.(1）物体在下落过程中系统的机械能守恒，有
2
212
11)v m (m gh m += )m gh/(m 2m v 211+=
(２)考虑到滑轮的转动，在物体下落的过程中,系统的机械能仍然守恒,因此有
221
221212J )v m (m gh m ω++= M/2)m gh/(m 2m v 211++=
(3)由转动定律,有 βJ T)R -(F = 而 βR m m T 22==a 则 M/2)R]F/[(m 2+=β
第六章 气体动理论
本章提要
1、 系统和外界,宏观量和微观量;
2、 平衡态和平衡过程;
3、 理想气体状态方程：RT m
PV μ
=
普适气体常数: -1
-1
k mol 8.31J R ??= 阿佛加德罗常数:1
23
m ol 10023.6-?=A N
m
R k
m 2
m 1
h
玻尔兹曼常数：123k J 1038.1--??==
A
N R
k 4、 理想气体的压强:k n v nm P ε3
22
31==
5、 温度的统计概念:kT 2
3
=k ε 6、 能均分定理：
每一个自由度的平动动能为:kT 21 一个分子的总平均动能为:kT 2
i
=
ε
mol μ
M
理想气体的内能为：RT 2
i M E μ=
7、 速率分布函数：Ndv
dN
v f =
)( 三速率：最概然速率μ
RT
2kT
2==
m
v p
平均速率 πμπRT
8kT 8=
=
m v 方均根速率μ
RT
3kT 32=
=
m v 8、 分子的平均自由程:P
d n
d 2
2
2kT
21
ππλ==
9、 输送过程：内摩擦(输送分子定向动量)
热传导（输送无规则运动能量） 扩散(输送分子质量）
1、目前实验室所能获得的真空,其压强为１.３3×10-8pa.试问在27℃的条件下, 在这样的真空中每立方厘米内有多少个气体分子?
解. 由 P=nkT 可得单位体积内的分子数
ｎ=P/(k Ｔ）＝3.21×101２
m -3
故每立方厘米内的分子数为3.２１×10６
个
２、２g 氢气装在20×10-３m 3的容器中,当容器内的压强为3．99×10４
Pa 时, 氢气分子的平均平动动能为多大?
解.理想气体分子的平均平动动能取决于温度,且有kT mv 2
3
22
1=, 而一定量气体在确定的体积和
压强的前提下,其温度可由状态方程得
MR
PV
T μ=
则
J 101.99MR
PV
23k mv 21-22
1?==
μ
3、 求温度为12７℃的氢气分子和氧气分子的平均速率, 方均根速率及最概然速率.
解.分别按平均速率,方均根速率和最概然速率的计算公式, 可求得氢分子相对应的各种速率为 m/s 102.06RT/1.60v 3?==μ
m/s 102.23RT/1.73v 32?==μ
m/s 101.82RT/1.41v 3p ?==μ 由于三种速率与分子的摩尔质量成反比,而4/H 0=μμ,则氧分子的三种速率均为氢分子速率的1/
４.即
v 0＝5.１6×102m ／s,
m/s 105.58v 220?=,
(ｖp )0=4.45×102m/s
４、在30×10-3m 3的容器中装有２0g 气体，容器内气体的压强为０.506×１05P ａ,求 气体分子的最概然速率
解.最概然速率 μRT/1.41v p =,式中气体的温度T 可根据状态方程,以压强P 和体积V 代替,即
PV/(MR)T μ=,
故 389m/s PV /M 1.41v P ==
5、收音机所用电子管的真空度为１．3３×10-３
Pa.试求在２7℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设分子的有效直经ｄ＝3.0×10-8cm). 解. 由压强公式可得单位体积中的分子数
n=P/（kT)=３.２1×1017m -３
分子的平均自由程为
7.77m P)d 2kT/(2
==πλ
第七章 热力学基础
本章提要
1、 准静态过程:过程中的每一个时刻，系统的状态都接近于平衡态。准静态过程中系统对外做的体
积功
pdV dW = ?=2
1
V V PdV W
2、 热量：系统和外界或两个物体由于温度不同而交换的热运动能量。
3、 热力学第一定律：W )E (E Q 12+-= dW dE dQ +=
4、 理想气体的摩尔摩尔热容量：R C 2i V = R C 2
2i P +=
迈耶公式：R C C V P =- 摩尔热容比:i
2
i C C V P +==γ 5、 理想气体的四种过程:
等体过程：0PdV dW V ==
RdT dT C E dQ 2
V V i
M M
d μμ
=
=
=
)T R(T )T (T C E E Q 122
12V 12V -=-=
-=i M M
μμ
等压过程：PdV dE dQ P +=
)
T (T C )T R(T )T (T C PdV
E E Q 12P 12212V V 12P 2
1
-=
-+-=+-=?μ
μμM
i
M M
V
等温过程：0dT = 0dE = pdV dW dQ T T == 1
2
1
2
T T P P RTln
V V RTln
PdV Q W μ
μ
M
M
==
=
=? 绝热过程:0dQ = )T (T C PdV W 12V μ
M --
==
?a
绝热方程：=γ
PV 常量 ＝－T V
1
γ常量 ＝－－γγT P 1常量
6、 循环过程:
热循环（正循环)：系统从高温热源吸热，对外做功，向低温热源放热。
循环效率:1
21Q Q 1－Q W
＝＝
η 致冷循环（逆循环）:系统从低温热源吸热，接收外界做功，向高温热源放热。 致冷系数：2
12
12－Q Q Q ＝W Q ＝
ω 7、 卡诺循环：系统只与两个恒温热源进行热量交换的准静态循环过程。
正循环的效率：1
2
T T 1-
＝c η 逆循环的致冷系数:2
12
T T T -=
c ω
8、热力学第二定律：克劳修斯说法(热传导) 开尔文说法（功热转换） 9、可逆过程和不可逆过程
不可逆：各种实际宏观过程都是不可逆的，而它们的不可逆性又是相互沟通的。 三个实例:功热转换、热传导、气体自由膨胀。
可逆过程：外界条件改变无穷小的量就可以使过程反向进行的过程（其结果是系统和外界能同时回到初态)，无摩擦的准静态过程是可逆过程。
1、一定质量的空气,吸收了１．１７×1０3J 的热量,并保持在1.013×105Pa 下膨胀,体积从1０－
2m 3
增加到15×10－３
m 3，问空气对外作了多少功?内能增加了多少? 解.空气等压膨胀所作的功为 Ｗ=Ｐ(V 2-V 1）=５.０7×102J 由热力学第一定律 W E Q +?=, 可得空气内能的改变为 J 101.12W -Q E 3
?==?
２、100ｇ水蒸气自１2０℃升到1４0℃.问(１)在等体过程中,(2)在等压过程中,各吸收了多少热量． 解. 水蒸气为三原子分子，其自由自由度为i=６，定体摩尔热容C ｖ=(i/2)R, 定压摩尔热容 C p ＝(i ／２+１)R,则
(1)等体过程中吸收的热量为
J
102.77 )
T -)R(T (M/)T -(T )C (M/dT )C (M/Q 3
122i
12v v v ?====μμμ
(2)等压过程中吸收的热量为
J
103.69 )T -1)R(T )(i/2(M/)T -(T )C (M/dT )C (M/Q 3
1212p p p ?=+===μμμ
3、压强为1.０１3×105Pa,体积为10-3m ３
的氧气0℃加热到100℃,问（1)当压强不变时, 需要多少热
量？（２）当体积不变时,需要多少热量?（3） 在等压或等体过程中各作多少功? 解. 在给定状态下该氧气的摩尔数为 )/(RT PV M/11=μ
(1)压强不变的过程即等压过程,氧气所需的热量为
130J
)T -)(T /T (PV )T -)R(T /(RT PV )T -(T )C (M/Q 12112
7
12112712p p ====μ
(2)体积不变的过程即等体过程，氧气所需的热量为
92.8J
)T -)(T /T (PV )T -)R(T /(RT PV )T -(T )C (M/Q 121125121125
12v v ====μ
(3)由热力学第一定律 W E Q +?= 得等压过程中氧气所作的功为
37.1J
)T -)(i/2)R(T (M/-)T -1)R(T )(i/2(M/E -Q W 1212p p =+=?=μμ
此结果亦可由 )V -P(V
PdV W 12
p ==
? 及 V 1/V ２=T １/T 2得到．
在等体过程中氧气所作的功为
0)T -(T )C (M/-)T -(T )C (M/E -Q W 12v 12v v v ==?=μμ 此结果亦可直接由 0PdV W v ==
? 得到.
4、如图所示,使1ｍol 的氧气(1)由a 等温的到b;(2)由a 等体的变到c ；再由ｃ等压变到b.试分别计算所作的功和所吸收的热量.
解.（１)氧气在ａ到ｂ的等温过程中所作的功为
J
103.15)/V ln(V V P )
/V RTln(V PdV W 3
a b b b a b M
b
a
T ?===
=?μ
由于等温过程中内能不变,由热力学第一定律
W E Q +?=,可得氧气在a 到b 过程中所
吸收的热量为 Q=WT=３.15×１０３
J
(2)由于等体过程中气体不作功,而等压过程中所作的功为V P W P ?=,图中ａｃ 为等体过程,cb 为等压过程．因此,氧气在acb 过程中所作的功为
Ｗ=W ac +Ｗｃb =W ｃb =P c (V ｂ-V c )=2.27×103Ｊ
氧气在ac ｂ过程中所吸收的热量为a ｃ和cb 两个过程中吸收热量之和,即
J
102.27 )V -(V P )R]
/[(M/)V P -V P )(C -(C )(M/ )
T -(T )C (M/)T -(T )C (M/Q Q Q 3c b c b b c c p v c b p a c v cb ac ?===+=+=μμμμ
5、一卡诺热机的低温热源温度为７℃,效率为40％,若将其效率提高到50％,求高温热源的温度提高多少度?
解. 由卡诺热机的效率η=1-(T 2/Ｔ1）可知， 具有相同低温热源而效率分别为η＇和η"的两热机,其高温热源的温度分别为
Ｔ1'=Ｔ２/(1-η'） T 1"=T 2/(1-η") 因此,为提高效率而需提高的温度为
△T ＝T 1"-Ｔ1'=9３．3K
第八章 静电场
本章提要:
1、 电荷的基本性质:
两种电荷;量子性;电荷守恒;相对不变性
2、 库仑定律:两个静止的点电荷之间的作用力:0
2
21041E r r q q πε＝
真空中的介电常数:2
12120m N C 1085.8---???=ε
P
2
1 o 2244V
c b a
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
圆的知识点总结
圆的知识的归纳总结与复习 【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。 （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。 （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。 （2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。 （3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。 【经典例题】
多元统计分析模拟考题及答案.docx
一、判断题 （ 对 ） 1 X ( X 1 , X 2 ,L , X p ) 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 （ ） 2 标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 对） 3 典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4 多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据 分析方法。 （ 错）5 X (X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X , S 分别是样本均值和样本离 差阵，则 X , S 分别是 , 的无偏估计。 n （ 对） 6 X ( X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X 作为样本均值 的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错） 7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对） 8 因子载荷阵 A ( ij ) ij 表示第 i 个变量在第 j 个公因子上 a 中的 a 的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中， 若两个总体的协差阵相等， 则 Fisher 判别与距离判别等价。 （对） 10 距离判别法要求两总体分布的协差阵相等， Fisher 判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、 样本相关系数矩阵． 2、 设 是总体 的协方差阵， 的特征根 ( 1, , ) 与相应的单 X ( X 1,L , X m ) i i L m 位 正 交 化 特 征 向 量 i ( a i1, a i 2 ,L ,a im ) ， 则 第 一 主 成 分 的 表 达 式 是 y 1 a 11 X 1 a 12 X 2 L a 1m X m ，方差为 1 。 3 设 是总体 X ( X 1, X 2 , X 3, X 4 ) 的协方差阵， 的特征根和标准正交特征向量分别 为： 1 2.920 U 1' (0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U 2' (0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U 3' (0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 4 0.007 U 4' ( 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930) ，则其第二个主成分的表达式是
《圆》知识点归纳及相关题型整理
第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。
圆知识点总结及归纳
第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：
(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0. 大学物理上册期末考试 重点例题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 第一章 质点运动学习题 1-4一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4.（SI ） (式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．) (1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，并计算这1秒内质点的位移； (3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，并计算t ＝4 s 时质点的速度； (5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝4s 时质点的加速度。 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)． 解：（1）质点位置矢量 21 (35)(34)2r xi yj t i t t j =+=+++-m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 211 [(315)(1314)](80.5)2t s r i j m i j m ==?++?+?-=- 221 [(325)(2324)](114)2 t s r i j m i j ==?++?+?-=+m 21(114)(80.5)(3 4.5)t s t s r r r i j m i j m i j m ==?=-=+--=+ (3) ∵ 20241 [(305)(0304)](54)2 1 [(345)(4344)](1716)2 t s t s r i j m i j m r i j m i j m ===?++?+?-=-=?++?+?-=+ ∴ 1140(1716)(54)(35)m s 404 t s t s r r r i j i j v m s i j t --==-?+--= ==?=+??- 第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,, ,)p X X X =X 、(2)(2)(2) (2) 12(,, ,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1)()(1) ()(1) ()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=++ +a X ()(2)()(2) ()(2) ()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠ 2. 0(,1,2,,) (,)0 ()0() i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X =X 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推 出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 °的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1，求MN的长； ②若半径0M = R，/ AOB = 120。，求MN的长。 解：①??? AB =，半径0M 丄AB，二AN = BN = 高中圆的知识点总结 椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。 一、教学内容： 椭圆的方程 高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质. 重点：椭圆的方程与几何性质. 难点：椭圆的方程与几何性质. 二、知识点： 1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质 定义第一定义：平面内与两个定点 )的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义： 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0 标 准 方 程焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形焦点在x轴上 焦点在y轴上 性质焦点在x轴上 范围： 对称性：轴、轴、原点. 顶点：， . 离心率：e 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式： 范围： 2、椭圆中a，b，c，e的关系是：(1)定义：r1+r2=2a (2)余弦定理： + -2r1r2cos(3)面积： = r1r2 sin ?2c| y0 |(其中P( ) 三、基础训练： 1、椭圆的标准方程为 焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为2、椭圆的值是__3或5__; 3、两个焦点的坐标分别为 ___; 4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P 到另一个焦点 5、设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴，，则椭圆的离心率为 6、方程 =10，化简的结果是 ; 满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成 一个正方形，则椭圆的离心率为 8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点，顶点在椭圆上，则10、已知点F是椭圆的右焦点，点A(4，1)是椭圆内的一点，点P(x，y)(x0)是椭圆上的一个动点，则的最大值是 8 . 【典型例题】 例1、(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程. (2)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程. 解：设方程为 . 所求方程为(3)已知三点P，(5，2)，F1 (-6，0)，F2 (6，0).设点P，F1，F2关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 . 解：(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点M( ， 1)的椭圆的标准方程. 解：设方程为 例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 (精确到1km). 例1：1 mol 氦气经如图所示的循环，其中p 2= 2 p 1，V 4= 2 V 1，求在1~2、2~3、3~4、4~1等过程中气体与环境的热量交换以及循环效率（可将氦气视为理想气体）。O p V V 1 V 4 p 1p 2解：p 2= 2 p 1 V 2= V 11234T 2= 2 T 1p 3= 2 p 1V 3= 2 V 1T 3= 4 T 1p 4= p 1V 4= 2 V 1 T 4= 2 T 1 （1）O p V V 1 V 4 p 1p 21234)(1212T T C M m Q V -=1→2 为等体过程， 2→3 为等压过程， )(2323T T C M m Q p -=1 1123)2(23RT T T R =-=1 115)24(2 5RT T T R =-=3→4 为等体过程， )(3434T T C M m Q V -=1 113)42(2 3 RT T T R -=-=4→1 为等压过程， )(4141T T C M m Q p -=1 112 5)2(25RT T T R -=-= O p V V 1 V 4 p 1p 21234（2）经历一个循环，系统吸收的总热量 23121Q Q Q +=1 112 13 523RT RT RT =+=系统放出的总热量1 41342211 RT Q Q Q =+=% 1.1513 2 112≈=-=Q Q η三、卡诺循环 A → B ：等温膨胀B → C ：绝热膨胀C → D ：等温压缩D →A ：绝热压缩 ab 为等温膨胀过程：0ln 1>=a b ab V V RT M m Q bc 为绝热膨胀过程：0=bc Q cd 为等温压缩过程：0ln 1<= c d cd V V RT M m Q da 为绝热压缩过程：0 =da Q p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 a b ab V V RT M m Q Q ln 11= =d c c d V V RT M m Q Q ln 12= =, 卡诺热机的循环效率： p V O a b c d V a V d V b V c ) )(1 212a b d c V V V V T T Q Q (ln ln 11-=- =ηT 1T 2 bc 、ab 过程均为绝热过程，由绝热方程： 11--=γγc c b b V T V T 1 1--=γγd d a a V T V T (T b = T 1, T c = T 2)(T a = T 1, T d = T 2) d c a b V V V V =1 212T T Q Q -=- =11η p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 卡诺制冷机的制冷系数： 1 2 1212))(T T V V V V T T Q Q a b d c ==(ln ln 2 122122T T T Q Q Q A Q -= -== 卡ω A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； - 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； / （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD " 圆心角定理 ~ 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ~ 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 " BC BD =AC AD = 大学物理典型例题分析 第１3章光的干涉 例13－1如图将一厚度为l ，折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为λ,测量中点Ｃ处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时，该点的强度为 0I ,试问: (1)点Ｃ的光强与片厚ｌ的函数关系是什么； (２)l 取什么值时,点C 的光强最小。 解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为 22(1)n l π π ?δλ λ ?= = - 点C 的光强为： 2 14cos 2I I ??= 其中：Ｉ１ 为通过单个狭缝在点C 的光强。 014I I = (2)当 1(1)()2 n l k δλ =-=-时 点C 的光强最小。所以 1() 1,2,3, 21l k k n λ=-=- 例13-２如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1 ,T 2 为一对完全相同的玻璃管，长为l ,实验开始时，两管中为空气，在 P ０ 处出现零级明纹。然后在T ２ 管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移 动数可以推知气体的折射率。 设l =２0cm ，光波波长589.3nm λ=,空气的折射率1.0０02７6，充一某种气体后，条纹 移动2００条,求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时，零级明纹出现在P 0处,则从S 1和S 2射出的光在此处相遇时，光程差为零。T 2管充以某种气体后,从Ｓ2射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在o P ' 处。如干涉条纹移动Ｎ条明纹，这样P ０ 处将成为第N 级明纹,因此，充气后两 光线在P ０ 处的光程差为 S 1 L 1 L 2 T 2 T 1 S 2 S E P 0 P 0 ' 例13-2图 例13-1图 《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点； 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交 ?d r 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点 ?d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2 圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－ r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2＋E 2－4F >0 时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的 圆； ②当 D 2＋ E 2－4 F ＝0 时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数都为1 ，没有xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (三)直线与圆的位置关系 方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4切 5含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是： （1）B ＝0； （2）A ＝C ≠0； （3）D 2＋E 2－4AF ＞0. 2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上． （2）圆心在任一弦的中垂线上． （3）两圆切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝ 122x x + ，y ＝12 2 y y + . 考点一：有关圆的标准方程的求法 ()()()2 2 20x a y b m m +++=≠的圆心是 ，半径是 . 【例2】 点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4，则实数a 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) 大学物理典型例题分析 第13章光的干涉 例13-1如图将一厚度为I,折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间, I (k 1k 1,2,3，川 2 n 1 种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中 对完全相同的玻璃管，长为I，实验开始时，两管中为空气，在P0处出现零级明纹。然后 在T2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。 设l=20cm，光波波长589.3nm，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移动 200条，求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时，零级明纹出现在P。处，则从S和S2射出的光在此处相遇时, 光程差为零。T2管充以某种气体后，从s射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要向下移动，出现在 FO 处。如干涉条纹移动N条明纹，这样P。处将成为第N级明纹，因此, 充气后两光线在P0处的光程差为 n2l n1l ，测量中点C处的光强与片厚I的函数关系。如果1=0时，该点的强度为 (1) 点C的光强与片厚I的函数关系是什么； (2) I取什么值时，点C的光强最小。 解(1)在C点来自两狭缝光线的光程差为 相应的相位差为 长为 nl Io ，试问: I M1 C 点C的光强为: 2 I 2 其中：h为通过单个狭缝在点 I 411 cos 例13-1图 ⑵当 —(n 1)I C的光 强。 I i (n 1)l 1 (k 2)时 设入射光波 点C的光强最小。所以 例13-2如图所示是 所以 n 2l nj N 即 代入数据得 n 2 N l n 1 n 2 200 589.3 103 1.0002 7 6 1.000865 0.2 例13-3.在双缝干涉实验中，波长 =5500?的单色平行光垂直入射到缝间距 a=2 10 -4 m 的双缝上，屏到双缝的距离 D = 2m .求： (1 )中央明纹两侧的两条第 10级明纹中心的间距； (2)用一厚度为e=6.6 10-6 m 、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到 原来的 第几级明纹处 ？ D 解：(1)因为相邻明(暗)条纹的间距为 T ，共20个间距 x 20— 0.11m 所以 a (2)覆盖玻璃后，零级明纹应满足： r 2 (r 1 e) ne 0 设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有 r 2 r 1 k 所以 (n 1)e k (n 1)e k 6.96 7 零级明纹移到原第 7级明纹处. 例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长 =5461?的平面光波正入射到钢片 上。屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为 x =12.0mm., (1) 求两缝间的距离。 (2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ (3) 如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变？ 2kD x --------- 解(1) d 2kd d x 此处 k 5 10D d 0.910mm x (2)共经过20个条纹间距，即经过的距离 初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O 圆知识点总结及归纳 一、知识清单一级标题宋体四号加粗 （一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号标准方程(x －a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：，半径： 1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗（1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0、（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：(x＋)2＋(y＋)2＝①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形、 2、圆的一般方程的特征是：x2和 y2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项、3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 （二）点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r 2、（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r 2、（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2大学物理上册期末考试重点例题
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