1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案

1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )

A ．S ＝???01(x2－x)dx

B ．S ＝???01(x －x2)dx

C ．S ＝???01(y2－y)dy

D ．S ＝???0

1(y －

y)dy

[答案] B

[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．

[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝???0

1(x －x2)dx.

2．(2010·山东日照模考)a ＝???02xdx ，b ＝???02exdx ，c ＝???02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小

关系是( )

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

[答案] D

[解析] a ＝???02xdx ＝1

2x2|02＝2，b ＝???02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝???02sinxdx ＝－

cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，

∴c

3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.1

12

B.14

C.13

D.7

12 [答案] A

[解析] 由?

????

y ＝x2

y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．

∴S ＝???0

1(x2－x3)dx ＝

???? ????13x3－14x401＝1

12.

[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：

(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )

A.? ????43，169

B.? ????45，169

C.? ??

??43，157

D.? ??

??45，137 [答案] A

[解析] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝???0t (tx －x2)dx ＝t3

6；S2＝???t

2

(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝4

3，∴P ? ??

??43，169.

4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.4

3

C.18

5

D ．6

[答案] A

[解析] S ＝???0

2x3dx ＝

?

??

x4402＝4. 5．(2010·湖南省考试院调研)?

?1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )

A ．0

B ．2

C ．2＋2cos1

D ．2－2cos1

[答案] B

[解析] ??1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.

6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π

2

D ．π

[答案] A [解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.

[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为

? ??

??

π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝???0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )

A ．有最大值0，无最小值

B ．有最大值0和最小值－32

3

C ．有最小值－32

3，无最大值

D ．既无最大值也无最小值 [答案] B

[解析] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－25

3

.

∴最大值为0，最小值为－32

3

.

[点评] 一般地，F(x)＝???0

x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．

8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝???1x 1

t dt ，若f(x)

的取值范围是( )

A.? ??

???36，＋∞ B ．(0，e21) C ．(e －11，e)

D ．(0，e11)

[答案] D

[解析] f(x)＝???1x 1

t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，

0

9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )

A.1π

B.2π

C.3π

D.π4

[答案] A

[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝???0π

sinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝

S S 矩形OABC

＝2

2π＝1

π

.

10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝????

?

x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π

2的图象与x 轴所围成的图形面

积S 为( )

A.3

2

B ．1

C ．4

D.12

[答案] C

[解析] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝??0－2(x ＋2)dx ＋∫π

2

02cosxdx ＝2＋2＝4.

11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x

3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)

与g(x)的图象交点的个数记为n ，则???m

n g(x)dx 的值是( )

A ．－52

B ．－43

C ．－54

D ．－76

[答案] A

[解析] 由题意可得，当0

个交点，所以m ＝1，n ＝4，则???m n g(x)dx ＝???1

4? ????－x 3dx ＝

???－x2614＝－5

2.

11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )

A.13

B.23

C.12

D.34

[答案] A

[解析] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，

由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝

???01b2db 1×1

＝1

3

.

12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )

A.12

B.14

C.13

D.25

[答案] C

[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝???01

x2dx ＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝1

3

.

2．如图，阴影部分面积等于( )

A ．2

3

B ．2－

3

C.323

D.353

[答案] C

[解析] 图中阴影部分面积为

S ＝???-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝32

3.

3.???0

24－x2dx ＝( )

A ．4π

B ．2π

C ．π D.π2

[答案] C [解析] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中

阴影部分的面积，

∴S ＝1

4

×π×22＝π.

4.

已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )

A ．在t1时刻，甲车在乙车前面

B ．在t1时刻，甲车在乙车后面

C ．在t0时刻，两车的位置相同

D ．t0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A

[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.

5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π

4，0≤y≤1}内随机投掷一点，

该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )

A.π4

B.12

C.π

2－1 D.2

π [答案] D [解析]

平面区域Ω是矩形区域，其面积是

π2

，在这个区

6． (sinx －cosx)dx 的值是( )

A ．0 B.π

4 C ．2 D ．－2

[答案] D

[解析] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.

7．(2010·惠州模拟)???02(2－|1－x|)dx ＝________.

[答案] 3

[解析] ∵y ＝?

????

1＋x 0≤x≤1

3－x 1

∴???02(2－|1－x|)dx ＝???01(1＋x)dx ＋???1

2(3－x)dx

＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32

＝3.

8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若?

?1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a

＝________.

[答案] －1或13

[解析] ∵??1－1f(x)dx ＝??1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，??1－1f(x)dx

＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，

∴a ＝－1或1

3

.

9．已知a ＝∫π

20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a

x －

1x

)6的展开式中含x2项的系数是

________．

[答案] －192

[解析] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π

2)－(sin0

－cos0)＝2，

(2

x －

1

x

)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×C r 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2

得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.

10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4

3

，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．

[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a

b －a (x －a)，

即y ＝(a ＋b)x －ab.

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：

规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c

定积分与微积分基本定理

教学过程

一、课堂导入 问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么？ 二、复习预习 1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．

2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷． 三、知识讲解 考点1 定积分的概念 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0

在每个小区间内任取一点ξi，作和式I n＝∑n－1 i＝0 f(ξi)Δx i.当λ→0时，如果和式的极限存在，把和式I n的极限叫做函数f(x) 在区间[a，b]上的定积分，记作?b a f(x)d x，即?b a f(x)d x＝lim λ→0∑n－1 i＝0 f(ξi)Δx i，其中f(x)叫做被积函数，f(x)d x叫做被积式，a 为积分下限，b为积分上限．

(1)?b a kf(x)d x＝k?b a f(x)d x (k为常数)． (2)?b a[f(x)±g(x)]d x＝?b a f(x)d x±?b a g(x)d x. (3)?b a f(x)d x＝?c a f(x)d x＋?b c f(x)d x (a

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容

定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a

定积分与微分基本定理

定积分与微积分基本定理 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分. ● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点： ● 重点：正确计算定积分，利用定积分求面积. ● 难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题. 学习策略： ● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念. ● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算. 二、学习与应用 常见基本函数的导数公式 （1）()f x C =（C 为常数），则'()f x = （2）()n f x x =（n 为有理数），则'()f x = （3）()sin f x x =，则'()f x = （4）()cos f x x =，则'()f x = （5）()x f x e =，则'()f x = （6）()x f x a =，则'()f x = “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（7）()ln f x x =，则'()f x = （8）()log a f x x =，则'()f x = 函数四则运算求导法则 设 ()f x ，()g x 均可导 （1）和差的导数：[()()]'f x g x ±= （2）积的导数：[()()]'f x g x ?= （3）商的导数：()[]'() f x g x = （()0g x ≠） 知识点一：定积分的概念 如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，用分点b x x x x x a n n =<

定积分和微积分基本定理

第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主， 其应用主要是求一个曲边梯形的面积， 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效 f (x )在区间［a , b ］上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间［a,b ］等分成n 个小区间，每个小区间长度为 D x ( D x = )， n n 在每个小区间［X i -^X i ］上任取一点\ i =1,2J||,n ，作和式：S^v f(i)C x =： i 二 n b _a f ( i )，当D x 无限接近于0 (亦即n —； ? ?)时，上述和式S n 无限趋近于常数 S ， i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间［a,b ］上的定积分?记为： S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数，X 为积分变量， 需要注意以下几点： ［a, b ］为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数，即S n 无限趋近的常数S (n 时)，称为 a b f (x)dx ，而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二［imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积：S = f x dx ；变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看，如果在区间［a ,b ］上函数f (x )连续且恒有f(x)_0，那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割：n 等分区间［a ,b ］；②近似代替：取点 n b — a i ?〔x 」，X i 丨；③求和：、? 口 f(i )； ◎ n ④取极限:

专题13 定积分与微积分基本定理知识点

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理 [考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义． 【知识通关】 1．定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在 每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a n f (ξi )，当n →∞ 时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定 积分，记作??a b f (x )d x ，即??a b f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a n f (ξi )． 在??a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S ＝??a b f (x )d x S ＝－??a b f (x )d x S ＝??a c f (x )d x －??c b f (x )d x S ＝??a b f (x )d x －??a b g(x )d x ＝??a b [f (x )－g(x )]d x 2.(1)??a b kf (x )d x ＝k ??a b f (x )d x (k 为常数)；

(2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x ； (3)??a b f (x )d x ＝??a c f (x ) d x ＋??c b f (x )d x (其中a

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 2，c ＝? ?0 2sin x d x ＝－cos x |02＝1 －cos2∈(1,2)， ∴c

微积分公式与定积分计算练习大全

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

定积分与微积分基本定理1

第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2 －2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1 2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1 2g B ．g C.32 g D ．2g 3．(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x －a )d x ＝∫π 40cos 2x d x ，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．4 4.(2016·淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2 －1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 －1|d x B.???? ??02(x 2 －1)d x C.??0 2(x 2 －1)d x D.??01(x 2 －1)d x ＋??1 2(1－x 2 )d x

5．(2016·天津蓟县期中)由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 6．(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2－x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C ．π D ．2π 7．(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 －2x |d x 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．若函数f (x )，g (x )满足? ?1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组 正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2 . 其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题 9．(2016·江西高安二中段考)已知? ?a －a(sin x ＋3x 2 )d x ＝16，则正实数a 的值为________． 10．(2017·德州月考)如图，已知点A ? ?? ??0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2 上，若阴影 部分面积与△OAP 面积相等，则x 0＝________. 11．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2 ＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ；力的单位：N)． 12．(2016·洛阳统考)用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的较小的数，设f (x )＝min{x 2 ，x }，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝1 2和直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为 ________.

定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定 理 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

课题：定积分与微积分定理使用时间：2011-10-11 【使用说明及学法指导】 1.先仔细阅读教材选修2-2：,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树； 2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法. 【学习目标】 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。 2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。 3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.？ 学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。 学习难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。 学习策略： ①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。 ②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ③求导运算与求原函数运算互为逆运算. 【课前预习】 一、基础知识梳理： 知识点一：定积分的概念

如果函数在区间上连续，用分点 将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点 （i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间 叫做，函数叫做，叫做，叫做 . 说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义： 设函数在区间上连续. 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的； 在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积 的；

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈ 1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a

8．若??0 k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝? ?? ?? K ，f x ≤K ， f x ，f x >K ， 则当函数f (x )＝1 x ，K ＝1时，定积分??2 1 4f K (x)d x 的值为________． | (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t(0