1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011 ?宁夏银川一中月考)求曲线y = x2与y = x 所围成图形的面积,其中正确的是
( )
A. S = 1(x2 — x)dx
B . S = 1(x — x2)dx
C. S = 1(y2 — y)dy D -S = 1(y — 'y)dy
0 0
[答
案]
B
[分析]根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[解读]两函数图象的交点坐标是
(0,0) , (1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在
[0,1]上,x >x2,故函数y = x2与y = x 所围成图形的面积 S = 1(x — x2)dx. 0
2xdx , b = 2exdx , c = 2sinxdx ,贝U a 、b 、c 的大小关 0 0 0 玄阜 系是
A. a 1 [解读] a = 2xdx = rx2|02 = 2 , b = 2exdx = ex|02 = e2 — 1>2, c = 2sinxdx =— 0 0 0 cosx|02 = 1 — cos2 € (1,2), c 3. (2010 ?山东理,7)由曲线y = x2, y = x3围成的封闭图形面积为( ) [答案]A y = x2 [解读]由 得交点为(0,0) , (1,1) y = x3 (2010 ?湖南师大附中)设点P 在曲线y = x2上从原点到A (2,4)移动,如果把由直线 OR 2. (2010 ?山东日照模考)a = 1117 A 讲.产于壬 S = 1(x2 — x3)dx = 1 1 1 3x3 — 4x4 01 = [点评]图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函 数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题: 直线y = x2及直线x = 2所围成的面积分别记作 S1, S2.如图所示,当S1 = S2时,点P 的坐 标是( ) 4 16 4 16 A. 3, 9 B. 5, 9 4 15 4 13 C. 3, 7 D. 5, 7 [答案]A 4. 由三条直线x = 0、x = 2、y = 0和曲线y = x3所围成的图形的面积为( ) 4 18 A. 4 B. C. w D. 6 3 5 [答案]A x4 [解读] S = 2x3dx = — 02= 4. 0 5. (2010 ?湖南省考试院调 研)1 — 1(sinx + 1)dx 的值为( ) A. 0 B . 2 C. 2 + 2cos1 D . 2— 2cos1 [答案]B [解读] 1 — 1(sinx + 1)dx = ( — cosx + x)| — 11 = ( — cos1 + 1) — ( — cos( — 1) — 1)= 2. 6. 曲线y = cosx(0 w x < 2n )与直线y = 1所围成的图形面积是( ) A. 2 n B . 3 n 7t [答案]A [解读]如右图, S =/ 02 n (1 — cosx)dx =(x — sinx)|02 n= 2 n. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性 [解读] 设 P(t ,⑵(0 < t < 2),则直线 OP y = tx ,??? S1 = t(tx 0 t3 —x2)dx =~6; S2 = 8 t3 卄 , 2(x2 — tx)dx t =3― 2t + 百,若 S1= S2,则 t 4 16 …P 3, 9 ①②③④ 面积相等解决,但若把积分区间改为 4 3, n —,n ,则对称性就无能为力了. 7. 函数F(x) = xt(t —4)dt 在[—1,5]上( ) A. 有最大值0,无最小值 32 B. 有最大值0和最小值-二 c.有最小值- 3,无最大值 D.既无最大值也无最小值 [答案]B [解读]F' (x) = x(x —4),令F' (x) = 0,得x1 = 0, x2 = 4, ?- F( —1) =—3, F(0) = 0, F(4) = —32, F(5)=—学 的取值范围是() C. (e —11, e) D . (0 , e11) [答案]D [解 读] 1 f(x) = x-dt = Int|1x = Inx , a3 = S3—S2= 21 —10= 11,由Inx<11 得, 1t 0 9. (2010 ?福建厦门一中)如图所示,在一个长为n,宽为2的矩形OABC内,曲线y = sinx(0 w x< n )与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OAB(内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是() 1 2 3 n A. B.—C. —D.二 n n n 4 [答案]A ???最大值为0,最小值为— 32 [点评]一般地,F(x) x $ (t)dt 的导数F' (x) (x). &已知等差数列{an}的前n项和Sn= 2n2 + n,函数f(x) *dt,若f(x) A. -pm B. (0 , e21) [解读]由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积?由题意得 S = n sinxdx = — cosx|0 n=— (cos n — cosO) = 2,再根据几何概型的算法易知所求概率 P = S 2 1 S 矩形 OAB CT 27= V . x + 2 — 2 w x<0 10. (2010 ?吉林质检)函数f(x) = n 的图象与 x 轴所围成的图形 2cosx 0w x w — 面积S 为( ) 3 1 A. gB . 1 C . 4 D. q [答案]C n n [解读] 面积 S =/ — — 2f(x)dx = 0 — 2(x + 2)dx + / —02cosxdx = 2 + 2= 4. 11. (2010 ?沈阳二十中)设函数f(x) = x — [x ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,女口[— x 1.2] =— 2, [1.2] = 1, [1] = 1.又函数g(x) = — 3, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x)的图象交点的个数记为 n ,贝U ng(x)dx 的值是( ) m 5 4 A.—尹.—3 C — 5 D . — 7 4 6 [答案] A [解读] 由题意可得,当 0 =x — 1,所以当x € (0,2)时,函数f(x)有一个零点,由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函 11. (2010 ?江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛, 比赛规则如下:甲从区间[0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b ,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 c(b 、c 可以相等),若关于x 的方程x2 + 2bx + c = 0有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在 一场比赛中甲获胜的概率为 ( ) 12 13 [答案]A 数有4个交点,所以 m = 1, n = 4,贝U ng(x)dx = m x —3 dx = x2 6 14= — 5 2. 一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1. a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a 第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主, 其应用主要是求一个曲边梯形的面积, 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效 f (x )在区间[a , b ]上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间[a,b ]等分成n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x = ), n n 在每个小区间[X i -^X i ]上任取一点\ i =1,2J||,n ,作和式:S^v f(i)C x =: i 二 n b _a f ( i ),当D x 无限接近于0 (亦即n —; ? ?)时,上述和式S n 无限趋近于常数 S , i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间[a,b ]上的定积分?记为: S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数,X 为积分变量, 需要注意以下几点: [a, b ]为积分区间,b 为积分上限,a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数,即S n 无限趋近的常数S (n 时),称为 a b f (x)dx ,而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二[imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积:S = f x dx ;变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f(x)_0,那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割:n 等分区间[a ,b ];②近似代替:取点 n b — a i ?〔x 」,X i 丨;③求和:、? 口 f(i ); ◎ n ④取极限: 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理练习题及答案
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
高中数学~定积分和微积分基本原理
2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理
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专题13 定积分与微积分基本定理知识点