配餐作业(十八) 定积分与微积分基本定理
(时间:40分钟)
一、选择题
1.??2
4(x 2
+x 3
-30)d x =( )
A .56
B .28 C.
56
3
D .14
解析 ??2
4(x 2+x 3
-30)d x =? ??
??13x 3+14x 4-30x |42
=13(43-23)+14(44-24)-30(4-2)=56
3。故选C 。 答案 C 2. (1+cos x )d x 等于( )
A .π
B .2
C .π-2
D .π+2
解析 (1+cos x )d x =2
(1+cos x )d x =2(x +sin x )
=2? ????
π2+1=π+2。故选D 。
答案 D
3.已知函数f (x )=???
??
x 2
,-2≤x ≤0,x +1,0<x ≤2,
则f (x )d x 的值为( )
A.43 B .4 C .6
D.20
3
解析
=? ????0+83+? ????12×4+2-0=20
3
。故选D 。 答案 D
4.如图所示,曲线y =x 2
-1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( )
解析 由曲线y =|x 2
-1|的对称性,所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等,即
|x 2
-1|d x ,故选A 。
答案 A
5.若函数f (x )=x 2
+2x +m (m ,x ∈R )的最小值为-1,则??1
2f (x )d x 等于( )
A .2 B.
16
3
C .6
D .7
解析 f (x )=(x +1)2
+m -1,∵f (x )的最小值为-1, ∴m -1=-1,即m =0。 ∴f (x )=x 2
+2x 。
∴??1
2f (x )d x =?
?1
2(x 2
+2x )d x =? ????13x 3+x 2|21=13×23+22-13-1=163。故选B 。
答案 B 6.
e |x |d x 值等于( )
A .e 2-e -2
B .2e 2
C .2e 2-2
D .e 2+e -2-2
解析
=-1+e 2+e 2-1 =2e 2-2。故选C 。 答案 C
7.(2016·南昌一模)若??1a ?
??
??2x +1x d x =3+ln2(a >1),则a 的值是( )
A .2
B .3
C .4
D .6
解析 由题意可知??1a ?
??
??2x +1x d x =(x 2+ln x )|a 1=a 2
+ln a -1=3+ln2,解得a =2。故选A 。
答案 A
8.一物体受到与它运动方向相反的力:F (x )=110e x
+x 的作用,则它从x =0运动到x =1时F (x )所做的功等
于( )
A.e 10+25
B.e 10-25
C .-e 10+25
D .-e 10-25
解析 由题意知W =-??01?
????110
e x +x d x ,
因为? ????110e x +12x 2′=110e x +x ,所以原式=-e 10-25。故选D 。
答案 D 二、填空题
9.(2016·陕西五校二联)定积分 (|x |-1)d x 的值为________。
解析
答案 -1
10.设函数f (x )=(x -1)x (x +1),则满足??0
a f ′(x )d x =0的实数a =________。
解析
??
a f ′(x)d x=f(a)=0,得a=0或1或-1,又由积分性质知a>0,故a=1。
答案 1
11.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________。
解析由x-x2=0,得x=0或x=1,因此所围成的封闭图形的面积为 (x-x2)d x=?
?
??
?
x2
2-
x3
3|10=
1
2-
1
3=
1
6。答案
1
6
12.由曲线y=sin x,y=cos x与直线x=0,x=
π
2
所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________。
解析由图可得阴影部分面积S=2 (cos x-sin x)d x=2(sin x+cos x) =2(2-1)。
答案22-2
(时间:20分钟)
1.已知f(x)为偶函数且??
6
f(x)d x=8,则f(x)d x等于( )
A.0 B.4
C.8 D.16
解析因为原函数为偶函数,即在y轴两侧的图象对称,所以对应的面积相等,
∴f(x)d x=2??
6
f(x)d x=8×2=16。故选D。
答案 D
2.若f(x)=x2+2
??
1f(x)d x,则
??
1f(x)d x等于( )
A.-1 B.-
1
3
C.
1
3
D.1
解析∵f(x)=x2+2
??
1f(x)d x,
∴
??
1f(x)d x=
?
?
?
?
?
1
3
x3+2x
??
1f x d x|1
=1
3+2?
?0
1f (x )d x ,
∴?
?0
1f (x )d x =-1
3。故选B 。
答案 B
3.(2017·泰安模拟)若f (x )=则f (2 014)=( )
A.1
3 B.16 C.56
D.12
解析 f (2 014)=f (2 014-5×402)=f (4)=f (4-5)=f (-1)=2-1+
cos3t d t 。
因为? ??
??
13sin3t ′=cos3t , 所以
cos3t d t =1
3sin3t
=13? ????sin π2-sin0=13,
所以f (2 014)=2-1
+13=56。故选C 。
答案 C
4.(2016·滨州模拟)已知正方形ABCD ,点M 是DC 的中点,由AM →=mAB →+nAC →
确定m ,n 的值,计算定积分??mπ
nπ
sin x d x =________。
解析 如图,AM →=mAB →+nAC →
=-12AB →+AC →,
因为(-cos x )′=sin x ,
答案 1
5.(2017·安徽合肥一模)已知函数f (x )=ln x +x 2
-3x ,则其导函数f ′(x )的图象与x 轴所围成的封闭图形
的面积为________。
解析 因为f ′(x )=1
x
+2x -3,令f ′(x )=0,
得x =1
2
或x =1,
所以f ′(x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积S =-f ′(x )d x =-f (x )
=f ? ????12-f (1)=
? ??
??
ln 12+14-32-(ln1+1-3)=ln 12+34=34-ln2。 答案 3
4
-ln2
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分及微积分基本定理练习题及答案