湖南省武冈市2020届中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题无答案

初中几何辅助线的几种常见添法

一、由角平分线想到的辅助线

1、截取构全等

例1：如图1，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上。求证：BC=AB+CD 。 例2：已知，如图2，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB 。求证：DC ⊥AC 。

例3：如图3，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 。求证：AB-AC=CD 。

2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等

例1：如图4，已知AB>AD ，∠BAC=∠FAC ，CD=BC 。求证：∠ADC+∠B=180°

例2：已知，如图5，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ，求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

3、作角平分线的垂线构造等腰三角形

例1：已知，如图6，∠BAD=∠DAC ，AB>AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 的中点。

求证：)(21AC AB DH -= 例2：如图7，AB=AC ，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。求证：BD=2CE 。

例3： 已知，如图8，在△ABC 中，AD 、AE 分别是△BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。

求证：AM=ME 。

例4： 已知，如图9，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。

求证：)(2

1AC AB AM +=

。 二、截长补短法

例1：如图10，正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，B E+DF=EF 。求∠EAF 的度数。 例2：如图11，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个角MDN=60°，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求△AMN 的周长。

例3：已知，如图12，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别为AB 边，AC 为直角边各向外作等腰直角三角。求证：EF=2AD 。

例4：如图13，已知在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，且AP 、BQ 分别平分∠BAC 、∠ABC 。求证：BQ+AQ=AB+BP

三、由中点联想到的辅助线

1、由中点应联想到利用三角形的中位线

例：如图14，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD 的延长线分别交EF的延长线于G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

2、由中线联想到中线倍长

例1：如图15，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD又是BC边上的中线。

求证：△ABC是等腰三角形。

例2：如图16，已知△ABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2。求BC 的长。

3、直角三角形斜边上的中点联想到斜边上的中线的性质

例1：如图17，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，AD⊥BD。求证：AC=BD。

四、构造平行线，利用平行线分线段成比例定理求线段的比值

例1：如图18，在△ABC中，BD：DC=1：3，AE：ED=2：3，求AF：FC的值。

例2：如图19，BC=CD，AF=FC，求EF：FD的值。

例3：如图20，BD：DC=1：3，AE：EB=2：3。求AF：FD的值。

五、利用三角形中西边之和大于第三边，两边之差小于第三边，及一个外角等于它不相邻的两个内角和，通过添加辅助线构造三角形，从而证明有些不相等关系。

例1：如图21，点D、E为△ABC内两点。求证：AB+AC>BD+DE+CE。

例2：如图22，已知D是△ABC内的任一点。求证：∠BDC > ∠BAC。

例3：如图23，已知AD是△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：BE+CF>EF.