江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理(解析几何)
直线部分
一、直线的倾斜角和斜率:
(1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线
重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。
注意:规定当直线和x 轴平行或重合时,其倾斜角为o
0,所以直线的倾斜角αo o
(2)直线的斜率:倾斜角不是o
90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,
①斜率是用来表示倾斜角不等于o
90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x 轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。 ③斜率计算公式: 设经过
),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k , 则当21
x x ≠时,2
121tan x x y y k --=
=α;当21
x x =时,o 90=α;斜率不存在;
二、直线方程的几种形式:
(1)点斜式:过已知点),(00y x ,且斜率为k 的直线方程:
)(00x x k y y -=-;
注意:①当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x
=;
②
k x x y y =--0
表示:)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
(2)斜截式:若已知直线在
y 轴上的截距为b ,斜率为k ,则直线方程:b kx y +=;
注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。
(3)两点式:若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点,且(2121
,y y x x ≠≠)
,则直线的方程:1
21
121x x x x y y y y --=
--; 注意:①不能表示与x 轴和
y 轴垂直的直线;
②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以适应在于任何
一条直线。
(4)截距式:若已知直线在x 轴,
y 轴上的截距分别是a ,b (0,0≠≠b a )则直线方程:
1=+b
y
a x ; 注意:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与
y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线,要谨慎使
用。
(5)参数式:???+=+=bt y y at x x 00(t 为参数)其中方向向量为),(b a ,),(2222b
a b b a a ++; a b k =;2
2
||||b
a t PP o +=;
点21,P P 对应的参数为21,t t ,则2
2
2121||||
b
a t t P P +-=
;
?
??+=+=αα
sin cos 00t y y t x x (t 为参数)其中方向向量为)sin ,(cos αα, t 的几何意义为||o PP ;斜率为αtan ;倾斜
角为)0(παα<≤。
(6)一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:0=++C By Ax ;
(B A ,不同时为零);反之,任何一个二元一次 方程都表示一条直线。
注意:①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数
C B A ,,是
否为0才能确定。
②指出此时直线的方向向量:),(A B -,),(A B -,),
(
2
2
2
2
B
A A B
A B +-+ (单位向量)
;直线的法向量:),(B A ;(与直线垂直的向量) 三、两直线的位置关系:
位置关系
2221
11::b x k y l b x k y l +=+=
:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 平行
? 21k k =,且21b b ≠ 212121C C B B A A ≠= 重合
? 21k k =,且21b b =
2
12121C C B B A A == 相交
? 21k k ≠ 2
121B B A A ≠ 垂直
?
121-=?k k
02121=+B B A A
设两直线的方程分别为:222111::b x k y l b x k y l +=+=或0
:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ;当21
k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交,交点
坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00222
111C
y B x A C y B x A 解; 注意:①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如:),(),(2211B A B A λ=
对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如0),(),(2211=?B A B A
②若两直线的斜率都不存在,则两直线 平行 ;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0 ,则两直线垂直。 ③对于0212
1=+B B A A 来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用起来更方便.
④斜率相等时,两直线平行(重合);但两直线平行(重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。
四、两直线的交角
(1)1l 到2l 的角:把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角;它是有向角,其范围是; 注意:①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的;②旋转的方向是逆时针方向;③绕“定点”是指两直线的交点。 (2)直线1l 与2l 的夹角:是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角),它的取值范围是0πθ<≤;
(3)设两直线方程分别为:
222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
①若θ为1l 到2l 的角,121tan k k k k +-=θ或1221tan B B A A B A B A +-=θ;
②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ;
③当012
1=+k k 或02121=+B B A A 时,o
90=θ;
注意:①上述与k 有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在
时,用数形结合法处理。
②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:)2(πθθα≤=或)2
(πθθπα>-=;
五、点到直线的距离公式:
设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ,点P 到l 的距离为:2
200||B A C By Ax d +++=;
两平行线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的距离为:2
221||B A C C d +-=;
六、直线系:
(1)设直线0:1111=++C y B x A l ,
0:2222=++C y B x A l ,经过21,l l 的交点的直线方程为
0)(=+++++C y B x A C y B x A λ(除去2l )
; 如:①011=--?+=kx y kx y ,即也就是过01=-y 与0=x
的交点)1,0(除去0=x 的直线方程。
②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点 。 注意:推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为:0)()(21=+x f x f λ; (2)与0:=++C By Ax l 平行的直线为0'=++C By Ax ; (3)与0:=++C By Ax l 垂直的直线为0'=+-C Ay Bx ; 七、对称问题: (1)中心对称:
①点关于点的对称:
该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c --
②直线关于点的对称:
Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程; Ⅱ、求出一个对称点,在利用21
//l l 由点斜式得出直线方程;
Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如:求与已知直线0632:1
=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。
(2)轴对称:
①点关于直线对称:
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。 如:求点
)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。
②直线关于直线对称:(设b a ,关于l 对称)
Ⅰ、若b a ,相交,则a 到l 的角等于b 到l 的角;若l a //,则l b //,且b a ,与l 的距离相等。 Ⅱ、求出a 上两个点
B A ,关于l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点,则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a 的方程。 如:求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。
八、简单的线性规划: (1)设点),(00y x P 和直线0:
=++C By Ax l , ①若点P 在直线l 上,则000=++C By Ax ;
②若点P 在直线l 的上方,则0)(00>++C By Ax B ;③若点P 在直线l 的下方,则0)(00<++C By Ax B ;
(2)二元一次不等式表示平面区域:
对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ,
①当0>B
时,则0>++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 上方的区域;
0<++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域;
②当0
时,则0>++C By Ax 表示直线:=++C By Ax 下方的区域;
0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域;
注意:通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中,根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。
(3)线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归
结为线性规划问题。
注意:①当0>B
时,将直线0=+By Ax 向上平移,则By Ax z +=的值越来越大;
直线
0=+By Ax 向下平移,则By Ax z +=的值越来越小;
②当0
直线
0=+By Ax 向下平移,则By Ax z +=的值越来越大;
如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),
目标函数
ay
x z +=取得最小值的最优解有无数个,则
a
为 ;
圆部分
一、曲线和方程:
在直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了:
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性) ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点;(完备性) 那么这个方程叫做曲线方程,这条曲线叫做方程的曲线。 二、圆的定义及其方程.
(1)圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点叫做圆心,定长就是半径;(圆心是定位条件,
半径是定型条件)
(2)圆的标准方程:)0()()
(222
>=-+-r r b y a x ;圆心),(b a r
圆的参数方程:?
?+=+=θ
θθ(sin cos r b y r a x 为参数);理解θ的含义;
圆的一般方程:)04(02222
>-+=++++F E D F Ey Dx y x
;圆心),(E D --,半径为F
E D 42
122-+;
一般方程的特点:①2
x 和
2y 的系数相同,且不等于零;②没有xy 这样的二次项;③0422>-+F E D ;
特别地,圆心在坐标原点,半径为r 的半圆的方程是222r y x =+;?
?
?==θθsin cos r y r x ;
若
),(),(2211y x B y x A ,,则以线段AB 为直径的圆的方程是:0))(())((=--+--y y y y x x x x ;
三、点与圆的位置关系(仅以标准方程为例,其他形式,则可化为标准式后按同样方法处理)
设),(00y x P 与圆222
)()(r b y a x =-+-;若P 到圆心之距为d
;
①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d
>-+-?>?;
②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-?; ③P 在在圆C 上22020)()(r b
y a x r d =-+-?=?;
四、直线与圆的位置关系:
设直线0:
=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-,圆心C 到直线l 之距为d
,由直线l 和圆C 联
立方程组消去x (或
y )后,所得一元二次方程的判别式为?,则它们的位置关系如下:
相离0?>?
r d ;相切0=??=?r d ;相交0>??
注意:这里用d 与r 的关系来判定,称为几何法,只有对圆才实用,也是最简便的方法;利用?判定称为代数法,对
讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
五、两圆的位置关系:
(1)代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程组;若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相
同的实数解,则两圆相切;若无实数解,两圆相离。
(2)几何法:设圆1O 的半径为1r ,圆2O 的半径为2r
①两圆外离2121||r r O O +>?; ②两圆外切2121||r r O O +=?;
③两圆相交212112
||||r r O O r r +<<-?;④两圆内切||||1221r r O O -=?;
⑤两圆内含||||122
1r r O O -;
六、与圆的切线有关的问题: (1)若点),(00y x P 在圆222
r y x
=+;则过点P 点的切线方程为:2r yy xx =+;
若点),(00y x P 在圆222)()(r b y a x =-+-;则过点P 点的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+--; 若点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x ;则过点P 点的切线方程为:0000
0=++++++F y y E x x D yy xx ;
(2)斜率为k 且与圆222
r y x
=+相切的切线方程为:2
1k r kx y +±=;
斜率为k 且与圆222
)()
(r b y a x =-+- 相切的切线方程的求法,可设切线为m kx y +=,然后利用圆心到切
线的距离等于半径列出方程求m ; (3)当点),(00y x P 在圆外面时,可设切方程为
)(00x x k y y -=-,利用圆心到直线之距等于半径即r d =,求出k
即可,或利用0=?
,求出k ,若求得k 只有一值,则还应该有一条斜率不存在的直线0x x =,此时应补上。
(4)当直线l 和圆C 相切时,切点的坐标为l 的方程和圆C 的方程联立的方程组的解,或过圆心与切线l 垂直的直线与切
线l 联立的方程组的解。 (5)若点),(00y x P 在圆222
r y x
=+外一点;则过点P 点的切线的切点弦方程为:200r yy xx =+; 若点
)
,(00y x P 在圆
2
22)()(r b y a x =-+-;则过点
P
点的切线的切点弦方程为:
2))(())((r b y b y a x a x =--+--;
七、圆的弦长的求法:
(1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为l ,弦心距为d ,半径为r ,则有:222)(r d l
=+;
(2)代数法:设l 的斜率为k ,l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ,,则||11||1||2
2B
A B A y y k x x k AB -+=-+=
(其中|||,|
2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ,利用韦达定理求解。
) 八、圆系方程:
(1)经过两个圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是
0)(2222=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ;当1-=λ时,表示过两个圆交点的直线;
(2)经过直线0=++
C By Ax l :与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是
0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ;
圆锥曲线部分
一、椭圆:
(1)椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||
21F F )的点的轨迹。
第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(< 常数叫做离心率。 注意:||221F F a >表示椭圆;||221F F a =表示线段21F F ;||221F F a <没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在x 轴上 中心在原点,焦点在 y 轴上 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 参数方程 ? ? ?==θθθ(sin cos b y a x 为参数) ? ? ?==θθθ(sin cos a y b x 为参数) 图 形 顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴,y 轴;短轴为b 2,长轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2 ||21>=c c F F 222b a c -= 离心率 )10(<<= e a c e (离心率越大,椭圆越扁) 准 线 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 通 径 ep a b 222 =(p 为焦准距) 焦半径 0201||||ex a PF ex a PF -=+= 0201||||ey a PF ey a PF -=+= 焦点弦 )(2||B A x x e a AB ++= 仅与它的中点的横坐标有关 )(2||B A y y e a AB ++= 仅与它的中点的纵坐标有关 焦准距 c b c c a p 22= -= 二、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|| 21F F )的点的轨迹。 第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意:a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹; (2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在x 轴上 中心在原点,焦点在 y 轴上 标准方程 )0(122 22>>=-b a b y a x )0(122 22>>=-b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴,y 轴;虚轴为b 2,实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e (离心率越大,开口越大) 准 线 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 ep a b 222 =(p 为焦准距) 焦半径 P 在左支0 201||||ex a PF ex a PF -=--= P 在右支0 20 1||||ex a PF ex a PF +-=+= P 在下支0 201||||ey a PF ey a PF -=--= P 在上支0 20 1||||ey a PF ey a PF +-=+= 焦准距 c b c a c p 22= -= (3)双曲线的渐近线: ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线,可令其右边的1为0,即得02222=-b y a x ,因式分解得到。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 2 2b y a x ; (4)等轴双曲线为222 t y x =-,其离心率为2 三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 (2)抛物线的标准方程、图象及几何性质: 0>p 焦点在x 轴上, 开口向右 焦点在x 轴上, 开口向左 焦点在 y 轴上, 开口向上 焦点在 y 轴上, 开口向下 标准方程 px y 22= px y 22-= py x 22= py x 22-= 图 形 顶 点 )0,0(O 对称轴 x 轴 y 轴 焦 点 )0,2 (p F )0,2 (p F - )2 ,0(p F )2 ,0(p F - 离心率 1=e 准 线 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 通 径 p 2 焦半径 2 ||||0p x PF + = 2 ||||0p y PF + = 焦点弦 θ 2 21sin 2p p x x = ++(当2π θ=时,为p 2——通径) 焦准距 p 如:AB 是过抛物线 )0(22>=p px y 焦点F 的弦,M 是AB 的 中点,l 是抛物线的准线,l MN ⊥,N 为垂足, l BD ⊥,l AH ⊥,D ,H 为垂足,求证: (1)DF HF ⊥; (2)BN AN ⊥; (3)AB FN ⊥; (4)设MN 交抛物线于Q ,则Q 平分MN ; (5)设),(),,(2211y x B y x A ,则2 21p y y -=,2214 1p x x =; (6) p FB FA 2 ||1||1=+; (7)D O A ,,三点在一条直线上 (8)过M 作AB ME ⊥,ME 交x 轴于E ,求证:||2 1||AB EF =,|||| ||2 FB FA ME ?=; 四、圆锥曲线的统一定义: 若平面内一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离之比等于一个常数)0(>e e ,则动点的轨迹为圆锥曲线。 其中定点F 为焦点,定直线l 为准线,e 为离心率。 当10 < 五、轨迹方程的求法: (1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需 把这种关系“翻译”成含y x ,的等式就得到曲线的轨迹方程。 如:已知ABC ?底边BC 的长为8,两底角之和为o 135,求顶点且的轨迹方程。 (2)定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定义直接求出动点的轨迹方程。 如:已知圆1622 =+y x ,定点)0,2(A ,若P 是圆上的动点,AP 的垂直平分线交OP 于R ,求R 的轨 迹方程。 (3)几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式, 再代人点的坐标较简单。 如: AB 是O 的直径,且a AB 2||=,M 为圆上一动点,作AB MN ⊥,垂足为N ,在OM 上取点P , 使||||MN OP =,求点P 的轨迹。 (4)相关点法(代人法):有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而 运动的;如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。 如:在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线上分别取点A 和B ,使2 ||||c OB OA =?(其中O 为 坐标原点,C 为双曲线的半焦距),求 AB 中点的轨迹。 (5)交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数) 的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。 如:己知两点)2,2(-P ,)2,0(Q 以及一直线x y l =:,设长为2的线段AB 在直线l 上运动,求直线PA 和 QB 的交点M 的轨迹方程。 (6)整体法(设而不求法):当探求的轨迹较复杂时,可扩大考察视角,将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体, 从整体出发运用整体思想,注重整体结构的挖掘和分析。 如:以)2,2(P 为圆心的圆与椭圆m y x =+22 2交于B A ,两点,求AB 中点M 的轨迹方程。 (7)参数法:有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的 运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标), (y x 中的y x ,分别随 另一变量的变化而变化,称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法, 如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可; 在选择参数时,选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质,如时间、速度、距离、角度,有向线段的数量、直线的斜率,点的横、纵坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。 注意:所有的求轨迹的问题都要根据题意,求其中y x ,的取值范围。 六、直线与圆锥曲线的位置关系: (1)会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系;解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数 来入手。(要注意考虑二次项系数为零,思考此时几何意义),也通过图形进行讨论。(要注意的是:与对称轴、渐近线平行的情况) 如:试确定实数 A 的不同取值,讨论直线)1(+=x k y 与双曲线4422=-y x 的公共点的个数。 (2)会求直线被圆锥曲线所截的弦长,弦的中点坐标:解决此类问题时,由于直线和圆锥曲线相交,故其方程组的0>? (尤其含有待定的系数是否则会增解);涉及到中点坐标,要注意韦达定理的应用,而韦达定理的前提条件是0≥?。 如:设抛物线经过两点)6,1(-和)2,1(--,对称轴与x 轴平行,开口向右,直线72+=x y 被抛物线截得的线 段长是104 ,求抛物线方程。 (3)当直线与圆锥曲线相交时,求在某些给定条件下地直线线方程;解此类问题,一般是根据条件求解,但要注意0 >? 条件的应用。 如:已知抛物线方程为 x y 22=在y 轴上截距为2 的直线l 与抛物线交于N M ,两点,且以N M ,为径的圆过原 点,求直线l 的方程。 (4)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题,解此类题的方法:圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直,则圆锥曲 线上两点的中点一定在对称直线上,得到关系式而求解。 如:抛物线)0(12≠-=a ax y 上有关于0=+y x 对称的相异两点,求a 的取值范围。 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α 叫做直线 的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意 直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,有 曲线与方程 (2)求曲线方程的基本方法 直线 一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念:(1)倾斜角:当直线 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。 (2)倾斜角的范围:当 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角 为0°因此0°≤ <180°。 2、直线的斜率 (1)斜率公式:K=tan ( ≠90°) (2)斜率坐标公式:K=12 1 2x x y y -- (x1≠x 2) (3)斜率与倾斜角的关系:一条直线必有一个确定的倾斜角,但不一定有斜率。当 =0°时,k=0;当0°< <90°时,k >0,且 越大,k 越大;当 =90°时,k 不存在;当90°< <180°时,k <0,且 越大,k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定: (1)两条不重合的直线的倾斜角都是90°,即斜率不存在,则这两直线平行; (2)两条不重合的直线,若都有斜率,则k1=k2 1 ∥2 2、两直线垂直的判定: 已知直线l 经过点00(,)P x y ,且斜率为k ,则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠,则通过这两点的直线方程为11 12122121(,) y y x x x x y y y y x x --=≠≠--, 由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式 已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ,与y 轴的交点为(0,)B b ,其中0,0a b ≠≠,则直线l 的方程1 =+b y a x 叫做直线 的截距式方程. 注意:直线与x 轴交点(a ,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距;直线与y 轴交点(0,b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ,则22122121()()PP x x y y =-+-. 特殊地:(,)P x y 与原点的距离为 22 OP x y =+. 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 点斜式 111(,),P x y k 11() y y k x x -=- k 存在 斜截式 b k , y kx b =+ k 存在 两点式 ) ,(11y x (),22y x 11 2121 y y x x y y x x --= -- 12x x ≠ 12y y ≠ 截距式 b a , 1x y a b += 0a ≠ 0b ≠ 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高三数学解析几何专题
高中平面解析几何知识点总结
高中解析几何知识点
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总